微积分在经济中应用
摘要：微积分作为数学知识的基础,是学习经济学的必备知识,着重讨论了微积分在经济学中最基本的一
些应用，计算边际成本、边际收入、边际利润并解释其经济意义,寻求最小生产成本或制定获得最大利
润的一系列策略。
关键词：微积分；边际分析；弹性；成本；收入；利润；最大值；最小值
1导数在经济分析中的应用
边际分析在经济分析中的的应用
边际需求与边际供给
设需求函数 Q=f（p）在点 p处可导（其中 Q为需求量，P为商品价格），则其边际函数 Q’=f’(p)称
为边际需求函数，简称边际需求。类似地，若供给函数 Q=Q(P)可导（其中 Q为供给量，P为商品价
格），则其边际函数 Q=Q(p)称为边际供给函数，简称边际供给。
边际成本函数
总成本函数 C=C(Q)=C0+C1(Q)；平均成本函数=(Q)=C(Q)Q；边际成本函数 C’=C’(Q)．C’(Q0)称为当
产量为 Q0时的边际成本，其经济意义为：当产量达到 Q0时，如果增减一个单位产品，则成本将相应增
减 C’’(Q0)个单位。
边际收益函数
总收益函数 R=R(Q)；平均收益函数=(Q)；边际收益函数 R’=R’(Q)．
R’(Q0)称为当商品销售量为 Q0时的边际收益。其经济意义为：当销售量达到 Q0时，如果增减一个单
位产品，则收益将相应地增减 R’(Q0)个单位。
边际利润函数
利润函数 L=L(Q)=R(Q)-C(Q);平均利润函数;=(Q)边际利润函数 L’=L’(Q)=R’(Q)-C’(Q).L’(Q0)称
为当产量为 Q0时的边际利润，其经济意义是：当产量达到 Q0时，如果增减一个单位产品，则利润将相
应增减 L’(Q0)个单位。
例 1某企业每月生产 Q（吨）产品的总成本 C（千元）是产量 Q的函数，C(Q)=Q2-10Q+20。如果每吨产
品销售价格 2万元，求每月生产 10吨、15吨、20吨时的边际利润。
解：每月生产 Q吨产品的总收入函数为：
R（Q）=20Q
L（Q）=R（Q）-C（Q）=20Q-（Q2-1Q+20）
=-Q2+30Q-20
L’(Q)=(-Q2+30Q-20)’=-2Q+30
则每月生产 10吨、15吨、20吨的边际利润分别为
L’(10)=-2×10+30=10（千元/吨）；
L’(15)=-2×15+30=0（千元/吨）；
L’(20)=-2×20+30=-10（千元/吨）；
以上结果表明：当月产量为 10吨时，再增产 1吨，利润将增加 1万元；当月产量为 15吨时，再增产 1
吨，利润则不会增加；当月产量为 20吨时，再增产 1吨，利润反而减少 1万元。
显然，企业不能完全靠增加产量来提高利润，那么保持怎样的产量才能使企业获得最大利润呢？
弹性在经济分析中的应用
弹性函数
设函数 y=f(x)在点 x处可导，函数的相对改变量Δyy=f(x+Δx)-f(x)y 与自变量的相对改变量Δxx 之
比，当Δx→0时的极限称为函数 y=f(x)在点 x处的相对变化率，或称为弹性函数。记为
EyEx•EyEx=limδx→0
ΔyyΔxx=limδx→0ΔyΔx．xy=f’(x)xf(x)
在点 x=x0处，弹性函数值 Ef(x0)Ex=f’(x0)xf(x0)称为 f（x）在点 x=x0处的弹性值，简称弹
性。EExf(x0)%表示在点 x=x0处，当 x产生 1%的改变时，f（x）近似地改变 EExf(x0)%。
需求弹性
经济学中，把需求量对价格的相对变化率称为需求弹性。
对于需求函数 Q=f（P）(或 P=P（Q）)，由于价格上涨时，商品的需求函数 Q=f(p)（或 P=P(Q)）为单调
减少函数，ΔP与ΔQ异号，所以特殊地定义，需求对价格的弹性函数为η(p)=-f’(p)pf(p)
例 2设某商品的需求函数为 Q=e-p5，求(1)需求弹性函数；(2)P=3,P=5,P=6时的需求弹性。
解：(1)η(p)=-f’(p)pf(p)=-(-15)-p5=p5；
(2)η(3)=35=;η(5)=55=1;η(6)=65=
η(3)=<1，说明当 P=3时，价格上涨 1%，需求只减少 %，需求变动的幅度小于价格变动的幅度。
η(5)=1，说明当 P=5时，价格上涨 1%，需求也减少 1%，价格与需求变动的幅度相同。η(6)=>1，
说明当 P=6时，价格上涨 1%，需求减少 %，需求变动的幅度大于价格变动的幅度。
收益弹性
收益 R是商品价格 P与销售量 Q的乘积，即
R=PQ=Pf(p)
R’=f(p)+pf’(p)=f(p)(1+f’(p)pf(p))=f(p)(1-η)
所以，收益弹性为 EREP=R’(P).PR(P)=f(p)(1-η)ppf(p)=1-η
这样，就推导出收益弹性与需求弹性的关系是：在任何价格水平上，收益弹性与需求弹性之和等于 1。
（1）若η<1，则 EREP>0价格上涨（或下跌）1%，收益增加（或减少）(1-η)%；
（2）若η>1，则 EREP<0价格上涨（或下跌）1%，收益减少（或增加）|1-η|%；
（3）若η=1，则 EREP=0价格变动 1%，收益不变。
最大值与最小值在经济问题中的应用
最优化问题是经济管理活动的核心，各种最优化问题也是微积分中最关心的问题之一，例如，在一定条
件下，使成本最低，收入最多，利润最大，费用最省等等。下面介绍函数的最值在经济效益最优化方面
的若干应用。
最低成本问题
例 3设某厂每批生产某种产品 x个单位的总成本函数为 c(x)=mx3-nx2+px，（常数 m>0,n>0,p>0），
（1）问每批生产多少单位时，使平均成本最小？（2）求最小平均成本和相应的边际成本。
解：（1）平均成本(X)=C(x)x=mx2-nx+p，C’=2mx-n
令 C’，得 x=n2m，而 C’’(x)=2m>0。所以，每批生产 n2m个单位时，平均成本最小。
（2）(n2m)=m(n2m)2-n(n2m)+p=(4mp-n24m)，又 C’(x)=3mx2-2nx+p，C’(n2m)=3m(n2m)2-2m(n2m)
+p=4mp-n24m所以，最小平均成本等于其相应的边际成本。
最大利润问题
例 4设生产某产品的固定成本为 60000元，变动成本为每件 20元，价格函数 p=60-Q1000（Q为销售
量），假设供销平衡，问产量为多少时，利润最大？最大利润是多少？
解：产品的总成本函数 C(Q)=60000+20Q
收益函数 R(Q)=pQ=(60-Q1000)Q=60Q-Q21000
则利润函数 L(Q)=R(Q)-C(Q)=-Q21000+40Q-60000
L’(Q)=-1500Q+40,令Ｌ’(Q)=0得 Q=20000
∵L’’(Q)=-1500<0∴Q=2000 时 L最大，L（2000）=340000元
所以生产 20000个产品时利润最大，最大利润为 340000元。
2积分在经济中的应用
在经济管理中，由边际函数求总函数（即原函数），一般采用不定积分来解决，或求一个变上限的定积
分；如果求总函数在某个范围的改变量，则采用定积分来解决。
例 5设生产 x个产品的边际成本 C=100+2x，其固定成本为 C0=1000元，产品单价规定为 500元。假设
生产出的产品能完全销售，问生产量为多少时利润最大？并求出最大利润。
解:总成本函数为
C(x)=∫x0(100+2t)dt+C(0)=100x+x2+1000
总收益函数为 R(x)=500x
总利润 L(x)=R(x)-C(x)=400x-x2-1000，L’=400-2x，令 L’=0，得 x=200，因为 L’’(200)<0。所
以，生产量为 200单位时，利润最大。最大利润为 L(200)=400×200-2002-1000=39000（元）。
在这里我们应用了定积分,分析出利润最大,并不是意味着多增加产量就必定增加利润,只有合理安排生
产量,才能取得总大的利润。
综上所述，对企业经营者来说，对其经济环节进行定量分析是非常必要的。将数学作为分析工具，不但
可以给企业经营者提供精确的数值，而且在分析的过程中，还可以给企业经营者提供新的思路和视角，
这也是数学应用性的具体体现。因此，作为一个合格的企业经营者，应该掌握相应的数学分析方法，从
而为科学的经营决策提供可靠依据。
参考文献
［1］@聂洪珍,朱玉芳.高等数学（一）微积分［Ｍ］.北京：中国对外经济贸易出版社，2003,（6）.
