Sep，2008
现代商贸工业
Modern Business Trade Industry 2008年第9期
论微积分在经济分析中的应用
辛春元
(辽宁对外经贸学院 ，辽宁 大连 116052)
摘 要：微积分作为数学知识的基础 ，是学习经济学的必备知识 ，着重讨论了微积分在经济学中最基本的一些应用，
计算边际成本、边际收入、边际科润并解释其经济意义，寻求最小生产成本或制定获得最大利润的一系列策略。
关键词：微积分；边际分析；弹性；成本；收入；利润；最大值；最小值
中图分类号：O13 文献标识码 ：A 文章编号：1672—3198(2008)09—0139—02
1 导数在经济分析中的应用
1．1 边际分析在经济分析中的的应用
1．1．1 边际需求与边际供给
设需求函数Q—f(p)在点 p处可导(其中Q为需求量，
P为商品价格)，则其边际函数 Q=f(p)称为边际需求函
数，简称边际需求。类似地，若供给函数 Q—Q(P)可导(其
中Q为供给量，P为商品价格)，则其边际函数 Q—Q(p)称
为边际供给函数，简称边际供给。
1．1．2 边际成本函数
总成本函数 C—C(Q)一C0+C1(Q)；平均成本函数 C
— e(Q)一 ；边际成本函数 c：c(Q)．c(Q0)称为当
产量为 Qo时的边际成本，其经济意义为：当产量达到 2o
时，如果增减一个单位产品，则成本将相应增减 C (Qo)个
单位。
1．1．3 边 际收益 函数
总收益函数 R—R(Q)；平均 收益函数 一良(Q)；边际
收益函数 R—R(Q)．
R(Qo)称为当商品销售量为 Qo时的边际收益。其经
济意义为：当销售量达到 Q0时，如果增减一个单位产品，则
收益将相应地增减 R(Qo)个单位。
1．1．4 边际利润函数
利润函数 L—L(Q)=R(Q)-C(Q)；平均利润函数；[
一 [(Q)边际利润函数 = (Q)一R(Q)一C(Q)． (Qo)称
为当产量为 Qo时的边际利润，其经济意义是：当产量达到
时，如果增减一个单位产品，则利润将相应增减L(Qo)
个单位。
例 1 某企业每月生产 Q(吨)产品的总成本 C(千元)
是产量 Q的函数，C(Q)一Qz一10Q+2O。如果每吨产品销
售价格 2万元，求每月生产 1O吨、15吨、2O吨时的边际利
润。
解：每月生产Q吨产品的总收入函数为：
R(Q)=20Q
L(Q)一R(Q)一C(Q)=2OQ-(Q2—1Q+2o)
=一Q +3OQ一2O
L(Q)一(一Q2+30Q-2o) 一一2Q+3O
则每月生产 1O吨、15吨、2O吨的边际利润分别为
U(1O)一一2×1O+30=lO(千元／吨)；
L(15)一一2×15+30=0(千元／吨)；
L(2O)一一2×2O+30=一10(千元／吨)；
以上结果表明：当月产量为 1O吨时，再增产 1吨，利润
将增加 1万元；当月产量为 15吨时，再增产 1吨，利润则不
会增加；当月产量为 20吨时，再增产 1吨，利润反而减少 1
万元 。
显然，企业不能完全靠增加产量来提高利润，那么保持
怎样的产量才能使企业获得最大利润呢?
1．2 弹性在经济分析中的应用
1．2．1 弹性 函数
设函数 y=f(x)在点x处可导，函数的相对改变量 一
与自变量的相对改变量等之比，当△x呻。
时的极限称为函数y—f(x)在点 X处的相对变化率，或称为
弹性函数。记为髻·乜Exy=一lim△_Xx_=一lim△~x． =f(x)志在
点x=拗处，弹性函数值 =f(拗 称为f(X)在点
x一拗 处的弹性值 ，简称弹性。 12,f(xo) 表示在点 x—XO
处，当x产生 1％的改变时，f(】【)近似地改变 f(xo) 。
1．2、2 需求弹性
经济学中，把需求量对价格的相对变化率称为需求弹
性。
对于需求函数 Q—f(P)(或P=P(Q))，由于价格上涨
时，商品的需求函数 Q—f(p)(或 P—P(Q))为单调减少函
数，△P与△Q异号，所以特殊地定义，需求对价格的弹性函
数为 1(p)一一f(p)
例2 设某商品的需求函数为 Q—e--号，求(1)需求弹
作者简介：辛春~(1975--)，女，学士学位，辽宁对外经贸学院讲师，主要研究方向为高等数学。
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Modern Business Trade Industry 2008年第9期
性函数；(2)P一3，P=5，P=6时的需求弹性。
解：(1)1l(p)一一f(p) —一(一吉)e一号． 一号；
(2)Tl(3)一号 0·6；1l(5) 号 1；1l(6) 号 1．2
1】(3)；O．6<1，说明当P=3时，价格上涨 1％，需求只
减少0．6 ，需求变动的幅度小于价格变动的幅度。
1】(5)=1，说明当P=5时，价格上涨 1％，需求也减少
1 ，价格与需求变动的幅度相同。
1】(6)；1．2>1，说明当 P一6时，价格上涨 1 ，需求减
少 1．2 ，需求变动的幅度大于价格变动的幅度。
1．2．3 收益 弹性
收益R是商品价格P与销售量Q的乘积，即
R=PQ=Pf(p)
R f(P)q-pf'(p)一f(p)(1+f(p )一f(p)(1—11)
所以，收益弹性为 =R(P)． 一f(p)(1—1l
=1--7
这样，就推导出收益弹性与需求弹性的关系是：在任何
价格水平上，收益弹性与需求弹性之和等于1。
(1)若 1，则嚣>o价格上涨(或下跌)1 ，收益增加
(或减少)(1一T1) ；
(2)若 7>1，则 <o价格上涨(或下跌)1％，收益减少
(或增an)I1一T1I％；
(3)若 7=1，则 ----0价格变动 1％，收益不变。
1．3 最大值与最小值在经济问题中的应用
最优化问题是经济管理活动的核心，各种最优化问题
也是微积分中最关心的问题之一，例如，在一定条件下，使
成本最低，收入最多，利润最大，费用最省等等。下面介绍
函数的最值在经济效益最优化方面的若干应用。
1．3．1 最低成本问题
例 3 设某厂每批生产某种产品x个单位的总成本函
数为 c(x)=mx3一nxz+px，(常数 m>0，n>0，p>O)，(1)
问每批生产多少单位时，使平均成本最／b?(2)求最小平均
成本和相应的边际成本。
解：(1)平均成本c(x)= =mx2--nx+p，C=2mx
令c，得 x= ，而c(x)=2m>0。所以，每批生产
m 厶II1
个单位时，平均成本最小。
(2)e( )一m( )2--n( )+p一( )，又 c
(x)=3rexz一2nx+p，c( )一3m( ) 一2m( )q-p一
～
4m
4
p
m
-- nz
∥ ·以，最小平均成本等于其相应的边际成本。
1．3．2 最大利润 问题
例 4 设生产某产品的固定成本为 60000元，变动成本
为每件 2o元 ，价格函数 p一60一 (Q为销售量)，假设供
销平衡，问产量为多少时，利润最大?最大利润是多少?
解：产品的总成本函数C(Q)----60000十20Q
收益函数R(Q)一pO=(6o一 )Q=6OQ一
则利润函数 L(Q)=R(Q)一c(Q)=一 +4oQ一
60000
L(Q)=一 Q+4o，令 L(Q)-0得 Q=20000
．‘ (Q)一一 <o．．．Q=2000时 L最大，L(2000)一
340000元
所以生产 20000个产 品时利润最大，最大利润为
340000元 。
2 积分在经济中的应用
在经济管理中，由边际函数求总函数(即原函数)，一般
采用不定积分来解决，或求一个变上限的定积分；如果求总
函数在某个范围的改变量，则采用定积分来解决。
例5 设生产 x个产品的边际成本C=100+2x，其固
定成本为 Co一1000元，产品单价规定为500元。假设生产
出的产品能完全销售，问生产量为多少时利润最大?并求
出最大利润。
解：总成本函数为
C(x)一J (1OO+20dt+C(O)一100x+x2+1000
‘ 总收益函数为R(x)=500x
总利润 L(x)一R(x)一C(x)一400x-- 一1000，L一
400--2x，令 L—O，得 x=200，因为 L'(200)<O。所以，生产
量为 200单位时，利润最大。最大利润为 L(200)一400×
200—2002—1000=39000(元)。
在这里我们应用了定积分，分析出利润最大，并不是意
味着多增加产量就必定增加利润，只有合理安排生产量，才
能取得总大的利润。
综上所述 ，对企业经营者来说 ，对其经济环节进行定量
分析是非常必要的。将数学作为分析工具，不但可以给企
业经营者提供精确的数值，而且在分析的过程中，还可以给
企业经营者提供新的思路和视角，这也是数学应用性的具
体体现。因此，作为一个合格的企业经营者，应该掌握相应
的数学分析方法，从而为科学的经营决策提供可靠依据。
参考文献
[13聂洪珍，朱玉芳．高等数学(一)微积分[M]．北京：中国对外经济
贸易出版社，2003，(6)．
[2]顾霞芳．浅谈导数在经济中的应用EJ]．职业圈，2007，(4)．
[3]李春萍．导数与积分在经济分析中的应用[J]．商业视角，2007，
(5)．
[4]褚衍彪．高等数学在经济分析中的运用口]．枣庄学院学报，2007，
(10)．
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