第十章 衍生资产定价：
期权定价理论及其应用
4期权定价的技巧被广泛的应用到许多金融领域
和非金融领域，包括各种衍生证券定价、公司
投资决策等。
4学术领域内的巨大进步带来了实际领域的飞速
发展。期权定价的技巧对产生全球化的金融产
品和金融市场起着最基本的作用。
4近年来，从事金融产品的创造及定价的行业蓬
勃发展，从而使得期权定价理论得到不断的改
进和拓展。
4所以，无论从理论还是从实际需要出发，期权
定价的思想都具有十分重要的意义。
1. 一些基本定义
4例子：投资者B和W计划签定一份合同：现在
B支付给W 200元，交换条件是在接下来的六个
月的任何时间，允许B自愿从W那里以150元/
股的价格购买100股IBM公司股票。 IBM公司
股票现在的价格为145元/股。问题：
– B和W为什么都愿意签定这个合同？
– B如果不支付给W 200元，W是否愿意签定这个合同
？
4例子：投资者B和W计划签定一份合同：现在
B支付给W 200元，交换条件是在接下来的六个
月的任何时间，允许B可自愿以135元/股的价
格卖给W 100股IBM公司股票。 IBM公司股票
现在的价格为145元/股。问题：
– B和W为什么都愿意签定这个合同？
– B如果不支付给W 200元，W是否愿意签定这个合同
？
4看涨期权、看跌期权
4一种期权具有四个特征：
– 1）这种期权能够买（对于看涨期权而言）或者卖
（对于看跌期权而言）的对象，或者说，合约是关
于哪种资产的合约，我们称这种资产为标的物
(underlying asset)。
• 以股票为标的物的期权，每份期权通常包括100份特定的股票。
例如，持有一份以IBM公司股票为标的物的看涨期权，是一份可
以买100份IBM公司股票的权利。
– 2）执行价格(exercise price, 或者strike price)。
• 这个价格是执行期权合约时，可以以此价格购买标的物的价格。
对于以IBM公司股票为标的物的看涨期权，如果执行价格为150
美元，则在执行这种期权时，按每份股票150美元购买。
– 3）期权有效的时间区间由到期日(expiration date)
来确定。
• 这段时间区间可以是一天、一个星期、或者一年。以IBM公司股
票为标的物的看涨期权，如果到期日为六个月，则在这六个月里，
这份权利都是有效的。
– 4）期权应该包括是否可以在到期日之前执行这种
权利。
• 如果在到期日之前的任何时间以及到期日都能执行，我们称这种
期权为美式期权。如果只能在到期日执行，称为欧式期权。
• 美式和欧式这两个名词曾代表了以股票为标的物的期权在美洲和
欧洲的结构形式。但是现在，它们已成为反映两种不同结构的期
权的标准名词，而不管期权是在哪儿发行的。
4看涨期权(call option)、看跌期权(put option)、
鞍 式 期 权 (straddle option)、 蝶 式 期 权
(butterfly spread option)、实值期权 (in the
money option)、两平期权(at the money option)、
虚值期权(out of the money option)
4所有合约都是由看涨期权、看跌期权、股票和
债券四种基本证券构成地。
4Exotic option:
– Asian option
– Barrier option
– Lookback option
– Currency-translated option
– Binary option
4所有股票期权合约在标的股票发生拆股
或者分红股的情况时，执行价格和合约
中规定的股数都要作相应的调整。
– 例子：假如在购买上述期权的当天， IBM公司股票的价格为
145元，第二天，1股拆成6股。股价变为145/6元。
4 期权的这四个特征——标的物、是看涨
还是看跌、执行价格、到期日（包括是
美式还是欧式）——说明了一种期权的
各个细节。
4期权是两人之间的一种合约，其中的一
人给予另外一人在规定的一段时间内，
可以以规定的价格买或者卖某种规定的
资产的权利。
4获得权利的一方需要做出是否接受该权
利的决定，我们称这一方为期权的买者
(option buy)，因为他需要付钱来获得这
种权利。
4提供权利的一方称为期权的写者(option
writer)。
4例如，欧式看涨期权是一种证券，这种
证券给出了期权持有者在到期日以执行
价格购买标的物的权利。
4何时买看涨期权，何时买看跌期权？
4既然期权的持有者获得的是权利而不需
要承担什么义务，他就必须花钱购买这
个权利，那么，公平的价格应该是多少
？这是证券投资学研究的重要内容。
2 影响欧式期权价格的因素
4本章的主要目的：如何确定以金融证券
为标的物的欧式期权的价格。
4在整个一章中假设：如果无特殊说明，
标的物在到期日以前不支付红利。
4期权理论之所以重要，不仅仅因为期权
在证券市场结构中具有重要的作用，也
因为期权理论说明了投资学的基本原理
被提高到了一个新的水平——在以动态
结构为基本结构的经济环境中应用这些
原理。
4假设一种欧式看涨期权，它以某种股票为标的
物，该股票在时间 t 的价格以 表示，期权的
执行价格为 ，到期日为 ，期权在时间 t 的
价格为 。
4第一，在到期日 T，期权的价值为多少。
– 1）
– 2）
–
– 把期权在 T 时的价格显示地表示成股票价格的函数。
这个函数如下图所示。该图说明当 ，期权
的价值为零，当 时，期权的价值随着股票
价格的增加而线性增加。
– 例子：
– 期权不可能有负的价值，责任有限金融工具。
» 图1看涨期权在到期日的收益
4对于欧式看跌期权而言，上述结果正好
反过来。假设一种看跌期权，它以某种
股票为标的物，该股票在时间 t 的价格
以 表示，期权的执行价格为 ，到期
日为 T，期权在时间 t 的价格为
4在到期日 T，期权的价值。
– 1）
– 2）
–
– 把期权在 T 时的价格显示地表示成股票价格的函数。
这个函数如下图所示。该图说明当 ，期权的
价值为零，当 时，期权的价值随着股票价格
的增加而线性减少。
• 图2 看跌期权在到期日的收益
4注意，看跌期权在 时的价值是有界的，
而看涨期权在 时的价格是无界的。相
反，当写一份看涨期权时，可能的损失
是无界的。
4期权的写者的收益
– 看涨期权的写者在到期日的收益
– 看跌期权的写者在到期日的收益
4 对于看涨期权而言，如果分别有 、
、 ，则称一份看涨期权分别
为实值期权(in the money option)、两平
期权 (at the money option)、虚值期权
(out of the money option)。这些名称适用
于任何时间，但在到期日，这些名称描
述了期权价值的特征。对于看跌期权，
我们也有类似的名称。
4第二，期权的时间价值。
–即使在到期日以前的任何时间，欧式期权均
有价值，因为它提供了将来执行权利的可能
性。
– 例如，以GM公司股票为标的物的一种期权，其执
行价格为40美元，到期日为三个月。假设GM公股
票现在的价格为37美元。显然，在接下来的三个月
中，该股票的价格有可能上涨而超过40美元，从而
有执行该期权而获得利润的可能。从这儿可以看出，
即使现在期权是虚值的，它也具有价值。
4在到期日以前的任何时间 t ，这里 ，
作为股票价格的函数，欧式看涨期权的
价格 是 t 时股票价格 的光滑函
数，其图形如图3所示。
» 6个月
» 3个月
– 图3 具有不同到期日的 期权价格曲线
时
间
价
值
4这条光滑曲线可以利用历史的实际数据，通过
回归分析来得到。在图中，粗的折线表示在到
期日，期权的价格曲线。这条线上面的曲线对
应于到期日不同的期权的价格曲线。在粗折线
上的第一条对应的到期日为三个月，紧接着的
一条曲线对应的到期日为六个月，到期日越长
的曲线越在上面。这表明，在到期日以前的任
何时间，对于同一股票价格，到期日越长的期
权，其价格越高。这是因为，到期日越长，标
的股票价格上扬，从而增加最后支付的可能性
越大。
4当股票的价格远远大于或者小于执行价格时，
随着到期日的增加，期权价格增加的幅度越
来越小。
– 当股票的价格远远大于执行价格时，持有期权并
不比持有股票占多大的优势。
– 当股票的价格远远小于执行价格时，股票价格上
涨超过的可能性很小，从而期权的价格为零。
4第三，还有哪些因素影响期权的价格？
– 1）执行价格
• 从(1)和(2)式可以看出，一种看涨期权，其执行价格越小，
股票价格超过的可能性就越大，这种看涨期权也就越有价
值。对于看跌期权，结果正好相反。
– 2）标的股票价格的方差
• 在投资的过程中，投资者偏好以方差较大的股票为标的物
的期权。方差越大，股票价格超过执行价格的概率越大，
这种期权对投资者也就越有价值。
– 假设有两种期权，具有相同的执行价格，但标的股
票价格的分布不同，如图4，这两个分布的期望值
相同，方差不同。我们偏好于哪一种期权？
» 图4 股票价格的分布
– 因为只有当股票的价格大于执行价格时，我们才能
从期权合约中获得收益。股票价格分布的方差越大，
股票价格超过执行价格的概率也就越大，我们获得
收益的概率也就越大。所以，我们偏好以方差较大
的股票为标的物的期权。
– 期权的价值与标的资产的价值之间的重大差别：如
果持有标的资产，我们获得收益的可能性由标的资
产价格的整个概率分布决定。作为风险厌恶者，我
们不喜欢高风险。如果我们持有期权，我们获得收
益的可能性由标的资产价格的尾部概率分布决定。
期权的这种性质使得大的方差更具有吸引力。
4例子：假设某家公司得到一笔长期贷款，
每年应支付的利息为8000元。该公司可
以把这笔贷款用于下面两个项目中的一
个。这两个项目具有相同的5000元的期
望现金流。
4 项目1 项目2
4 概率 现金流 概率 现金流
4,000 0
5,000 5,000
6,000 10,000
• 如果投资到第一个项目，该公司将破产，因为所
有可能的现金流都比偿还利息所需的8000元少。
• 由于第二个项目的方差较大，所以有40%的机会，
除能够偿还利息外，还有2000元的剩余。显然，
该公司将选择第二个项目。尽管它的风险更大，
但是存在40%的机会给公司带来正的利润。
• 这个例子形象地说明了期权的持有者为什么更偏好大的方
差。同时，这个例子也引入了一种重要的观点。一个公司
的股东实际上是一种期权的持有者，这种期权以公司的市
场值为标的物。当公司的市场值比它所需偿还的债务低时，
公司破产。这时，股东允许期权到期而不执行，股东所持
有的股票的价值为零；股东把公司移交给债权人，债权人
获得公司作为补偿。当公司的市场值比它所需偿还的债务
高时，股东执行期权，偿还债权人的债务后，股东获得剩
余的利润。
– 3）无风险利率。
• 在所有的因素里，这个因素是最不直观的。一般
说来，无风险利率越大，执行价格的现值也就越
小，这样的期权也就越有价值。而且，当市场处
于均衡状态时，无风险利率越大，股票的回报率
也应该越高。从而，在到期日，股票的价格也应
该越高，这时，期权的价格也应该越高。
–在确定欧式看涨期权的价格时，有五种因素
是重要的：标的资产的价格，期权的执行价
格，标的资产价格的方差，到期日（实际应
该是剩下的到期时间），以及无风险利率。
把欧式看涨期权的价格写成如下的函数形式：
•
(3)
3 期权在证券市场中的作用
4金融市场中一个引人注目的发展就是衍生证券
的日趋普遍。在许多情况下，套期保值者和投
机者都发现交易某项资产的衍生证券比交易资
产本身更具有吸引力。原因在于，衍生证券往
往具有现有上市证券所不具备的特点，从而能
够满足一些套期保值者和投机者的特殊要求，
所以，证券公司经常根据客户的需要，开发一
些衍生证券来满足要求。
4衍生行业的蓬勃发展，说明了现有的证券市场
并不是完备的市场，因为作为一个完备的市场，
总能通过构造证券组合来满足投资者的各种要
求。同时，也说明了衍生产品在资源配置有效
化中所起的作用。
4 期权组合策略，图形表示
4假设：欧式看涨期权和欧式看跌期权具
有相同的到期日和相同的标的股票，并
且假设执行价格等于标的股票期初的价
格。
– 当 时欧式看涨期权在到期日的利润
– 当 时欧式看跌期权在到期日的利润
– 股票在到期日的利润
–债券在到期日的利润
– 上述证券可以按下面的关系任意组合
–买一份股票并买一份以此股票为标的物的看
跌期权所获得的收益，和持有一份债券并买
一份以同样股票为标的物的看涨期权所获得
的收益是一样的。
–鞍式期权
5 欧式看涨期权与看跌期权价格之间
的平价关系(put-call parity)
4假设欧式看涨、看跌期权具有相同的标的物、
相同的到期日、相同的执行价格
4简单一期模型
4连续复利
4买一份股票，买一份看跌期权，再卖一
份看涨期权，在到期日，该证券组合的
收益为
4有红利时欧式期权的平价关系
4美式期权不存在平价关系
6 关于期权价格界的定理
4看涨期权价格的界。
–定理1：以不支付红利的股票为标的物的美
式看涨期权不会提前执行。
• 证明：买一份欧式看涨期权，买面值为K 债券，
再卖空一份股票。
–定理2：当标的股票支付红利时，美式看涨
期权可能被提前执行。
–定理3：无论标的股票是否支付红利，美式
看跌期权都有可能提前执行。
7 期权定价理论——二项式方法
4Black-Scholes 模型
4等价鞅测度模型
4二项分布方法
– 在应用这种方法时，最重要的是套期保值的概念。
套期保值最形象、最简单的例子是有关保险中的定
价问题。
–可用于对美式期权的定价
–可用于对标的物有红利的期权定价
4假设1：标的股票不支付红利
4假设2：证券市场是无摩擦的和完全竞争
的，且不存在套利机会。
4A. 以股票为标的物的看涨期权的简单二项模型
– 标的股票的价格服从二项分布产生的过程：
4
4 图9 一期二项式生成过程
4这里
=股票现在的价格
=股票价格上涨的概率
=一期的无风险利率
=股票价格上涨的幅度
=股票价格=下跌的幅度
–
例子：
4
4
4注：对 的假设，在这个假设之下，不
管经过多少期，股票的价格永远不会跌
到零以下。但是，对股票价格上涨的界
没有限制。
4每期的无风险利率为 。对 的限制
为 ，这是无套利条件。直观
地可以看出，无论是 （这时，无
风险利率总比股票的风险回报率高）还
是 （这时，无风险利率总比股
票的风险回报率低），都存在套利机会。
不失一般性，假设 。
4以股票为标的物的欧式看涨期权，执行
价格为 ，到期日为一期，它的现价以
表示。该期权在到期日的支付如下图
4
4 图10 欧式看涨期权的支付
– 构造无风险套期保值证券组合：以价格 买一份股票，写
份以股票为标的物的看涨期权（ 称为套期保值比率）。下
图说明了这个套期保值证券组合的到期支付。如果这个套期
保值证券组合在每种状态下的到期支付都相等，则这个证券
组合是无风险的。
– 图11 套期保值证券组合的到期支付
4 让支付相等，得到：
4 =
4 从上式中解出看涨期权的份数 ：
4 (21)
4 把例子里的数字代入，得到
=
4 因此，无风险套期保值证券组合包括买一份股票，写
份看涨期权。在两个状态下的支付相等，如下表：
不确定状态 证券组合 支付
好状态 (20元)(3元)=元
坏状态 (20元)(0元)=元
4 因为套期保值证券组合是无风险的，它的终端支付应
该等于它的现价乘以 ，即，
从这个式子得出期权的价格：
4 (22)
4 设
4 则
4
4 这里定义 的总是大于0而小于1，具有概率的性质，
我们称之为套期保值概率。
4 从 的定义可以看出，无套利条件 成立
当且仅当 大于0而小于1（即，保证 是概率）。
4 是当市场达到均衡时，风险中性者所认为
的 值，即，股票价格上涨的概率。作为风
险中性者，投资者仅仅需要投资在风险股票上
的回报率为无风险利率：
4从中解出值，得到：
4所以，对一个风险中性者来说， = ，而(24)
式中看涨期权的价格可以解释为，在一个风险
中性环境中，期权的期望终端支付的折现值。
4在求得看涨期权价格的过程中，有两点
是至关重要的：
–套期保值证券组合的存在性；
–无风险的套期保值证券组合的的回报率为无
风险利率。
4 看涨期权的定价公式具有以下三个有趣
的特征：
1．该公式不依赖于股票价格上涨的概率。这
使得，即使投资者对的预期不一致，只要他们
对别的参数的估计一致（包括 ），
他们就会有一样的定价公式。
2．该公式的获得不依赖个体对风险的偏好。
所需的假设仅仅只是无套利。
3．该公式依赖的唯一随机变量是标的股票。
（例如，与市场证券组合无关）
4B. 两期模型
4 图12 股票价格
4
4 图13 欧式看涨期权的支付
4假设两期的无风险利率为 。利用一
期期权的定价公式(24)得到期权在一期
末的价值 和 ：
4 (25)
4 (26)
4把和当作一期模型的终端支付，再一次
利用一期期权的定价公式(24)得到期权
的现在价格：
4把(25)和(26)式代入得到：
–
– (27)
4可以把(27)式中的分子部分看成是一期
模型的定价公式(24)式的分子的二项展
开。
4(27)式的另外一种解释是，看涨期权的
价格等于期权在两期末的期望支付的折
现值，这里所用的概率为套期保值概率，
折现利用无风险利率。
C. 看涨期权定价的完全二项式模型
4T期模型
–这里
4 1. 在0时刻，买 份股票，卖空
份债券所构成的证券组合在到期日的支付，即为以该
股票为标的物，以 为执行价格的欧式看涨期权在到
期日的支付。以此观点，如果把到期日以前任意的第 t
期当作起始时刻，则欧式看涨期权在到期日以前的任
意第 t 期的价格为：
(32)
4 所以，(32)式不但给出了欧式看涨期权在第 t 期的定价
公式，而且给出了第 t 期为了模拟欧式看涨期权在到期
日的支付所应该采用的策略。
4 2．从(31)式可以看出，当股票价格 增加，执行价
格减少时，期权的价格都会增加。另外，当无风险利
率增加时，它的主要影响是减少执行价格的现值，从
而增加期权的价格（尽管无风险利率增加时，会导致 p、
p’ 减少，但这种影响是次要的）。至于到期日和股票
价格的方差，它们的变化对期权价格的绝对影响并不
是显然的，需要通过严格的数学证明来得到。
D. 二项模型推广到连续时间Black-
Scholes 期权定价模型
4在实际操作中应该注意，Black-Scholes期
权定价公式仅仅适用于标的股票不支付
红利的情形。
4只适用于欧式期权
4用途
4连续时间看涨期权定价公式，Black和
Scholes（1973）：
4 (33)
4 这里
4
4连续时间看跌期权定价公式：
4这里
4与二项式模型的对照
4比较静态分析
–看涨期权
–看跌期权
4标的股票风险的估计
–样本方差
–市场估计
4Hedging ratio
–股票价格变化导致期权价格的变化
–为了构造无风险组合，一份期权需要多少份
股票
–当期权的到期日变小，股票价格变化时，
Hedging ratio也发生变化，所以为了套期保
值需要连续调整组合策略。
4期权价格的渐进行为
– 图14 期权价格曲线
4在实际应用中注意：
–股票实际是一种期权
–风险是随时间变化的
9 美式期权的定价
10. 指标期权(index option)
11 Portfolio insurance
4一个投资者持有风险高度分散的证券组
合，现价100000元，投资者目标：从牛
市中充分获利，但从熊市中免遭损失。
–购买保险
–购买看跌期权
–构造合成看跌期权
4购买保险
4 100
4 Uninsured portfolio value
4购买看跌期权
4 100
4 Uninsured portfolio value
Create a synthetic put
A 100000
B 125000
C 80000
D
F
E
G
Uninsured
portfolio
156250
Insured
portfolio
156250
100000 100000
100000 100000
64000 100000
12 monthsNow 6 months
Create a synthetic put
A 100000
B
C
Now 6 months
Stocks: 125000
bonds: 0
total:125000
Stocks: 0
bonds: 95238
total: 95238
Stocks: 66138
bonds: 40312
total:106450
4在B点
4在C点
4在A点
4初始投资相当于投资在股票100000元，
投资在看跌期权6450元，看跌期权的执
行价格为100000元，到期日为12个月。
4这个过程可以看作看跌期权或者保险政
策的定价。
4动态策略
4交易成本、动态调整的可行性
411 期权定价思想的应用
– 股票和债券作为期权
• 例子：
– Popov公司被授权在南极洲举办下一年的奥运会。由于南极洲特殊
的条件，该公司在奥运会后将解散。公司通过发行债券来筹办这次
奥运会。假设下一年债务连本带息为800元，到时债务将一次性付
清。公司下一年的现金流预测如下
• 非常 一般 一般 完全
• 成功 成功 失败 失败
• 支付债务
• 前的现金流 1000 850 700 550
• 债务 800 800 700 550
• 股东的
• 现金流 200 50 0 0
4 依照看涨期权来表示
– 股东：把股票看成以公司为标的物（债权人拥有公司），执行价格
为800的看涨期权
– 股东现金流
– 0
– 800 公司现金流
– 债权人的头寸可以用下面两个权益来描述：
• 拥有公司
• 写一份以公司为标的物、执行价格为800的看涨期权
» 债权人现金流
» 800
» 0
» 800 公司现金流
4 依照看跌期权来表示
– 股东的头寸可以用三种权益来表示：
• 拥有公司
• 连本带息欠债权持有者800元
• 股东持有以公司为标的物、执行价格为800元的看跌期权。债权持有者是
看跌期权的卖者。
– 债权持有者的头寸可以用下面两个权益来描述：
• 有800元的债权
• 卖出了以公司为标的物、执行价格为800元的看跌期权
– 把具有违约风险的债权利用无违约风险债权和看跌期权来表示：
» 风险债券的值=无风险债券的值-看跌期权的值
– 两种观点的一致性
» 两平关系
» 普通股票的 价值+看跌期权的值-看涨期权的值=执行价格的现值
» 以公司为标的物的看涨期权的值=公司的值+以公司为标的物的看跌期权的值-无违
约风险的债权的值
» 公司的值-以公司为标的物的看涨期权的值=无违约风险的债权的值-以公司为标的
物的看跌期权的值
– 贷款保险的价值
