3 回 归 预 测 法
一元线性回归预测法
多元线性回归预测法
非线性回归预测法
应用回归预测时应注意的问题
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一元线性回归预测法
是指成对的两个变量数据分布大体上呈直线趋
势时，运用合适的参数估计方法，求出一元线
性回归模型，然后根据自变量与因变量之间的
关系，预测因变量的趋势。
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很多社会经济现象之间都存在相关关系，因
此，一元线性回归预测有很广泛的应用。进
行一元线性回归预测时，必须选用合适的统
计方法估计模型参数，并对模型及其参数进
行统计检验。
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一、建立模型
一元线性回归模型：
其中，
是未知参数，
为剩余残差项
或称随机扰动项。
，
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用最小二乘法进行参数的估计时，要求
满足一定的假设条件：
是一个随机变量；
的均值为零，即
在每一个时期中，
的方差为常量，即
各个 相互独立；
与自变量无关。
二、估计参数
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用最小二乘法进行参数估计 ，得到的估计表达式为：
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三、进行检验
标准误差：估计值与因变量值间的平均
平方误差。
其计算公式为：
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可决系数：衡量自变量与因变量关系密切
程度的指标，表示自变量解释了因
变量变动的百分比。
其计算公式为：
可见，可决系数取值于0与1之间，并取决于回归模型所解释的
方差的百分比。
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相关系数
其计算公式为：
由公式可见，可决系数是相关系数的平方。
相关系数越接近+1或-1，因变量与自变量的拟
合程度就越好。
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相关系数测定变量之间的密切程度，可决系数测定自变量对因变量的解释程度。相关系数有正负，可决系数只有正号。
正相关系数意味着因变量与自变量以相同的方向增减。
如果直线从左至右上升，则相关系数为正；
如果直线从左至右下降，则相关系数为负。
相关系数与可决系数的主要区别：
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回归系数显著性检验
检验假设：
其中，
检验规则：给定显著性水平
，若
则回归系数显著。
检验统计量：
~
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回归模型的显著性检验
检验假设：
回归方程不显著
回归方程显著
检验统计量：
~
检验规则：给定显著性水平
，若
则回归方程显著。
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德宾—沃森统计量（D—W）
检验
之间是否存在自相关关系。
其中，
D—W的取值域在0~4之间。
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检验法则：
在D—W小于等于2时， D—W检验法则规定：
如
,认为
存在正自相关;
如
,认为
无自相关;
在D—W大于2时, D—W检验法则规定:
如
,认为
存在负自相关;
如
,认为
无自相关;
如
,不能确定
是否有自相关。
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四、进行预测
小样本情况下,近似的置信区间的常用公式为：
置信区间=
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• 例 1
已知身高与体重的资料如下表：
例题分析
50 52 57 56 60 65 62 70
体重（公斤）
身高（米）
试计算：（1）拟合适当的回归方程；
（2）判断拟合优度情况；
（3）对模型进行显著性检验；（α=）
（4）当体重为75公斤时，求其身高平均值的95%
的置信区间。
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解答：
（1）n=8，经计算得：
因此：
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因此，建立的一元线性回归方程为：
（2）
回归直线的拟合优度不是很理想 。
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（3）
所以拒绝原假设，认为所建立的线性回归模型是显著的。
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（4）
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多 元 线 性 回 归 预 测 法
社会经济现象的变化往往受到多个因
素的影响，因此，一般要进行多元回归分
析，我们把包括两个或两个以上自变量的
回归称为多元回归。
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多元回归与一元回归类似，可以用最小
二乘法估计模型参数。也需对模型及模
型参数进行统计检验。
选择合适的自变量是正确进行多元回归预
测的前提之一，多元回归模型自变量的选
择可以利用变量之间的相关矩阵来解决。
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一、建立模型（以二元线性回归模型为例 ）
二元线性回归模型：
类似使用最小二乘法进行参数估计 。
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二、拟合优度指标
标准误差：对y值与模型估计值之间的离
差的一种度量。
其计算公式为：
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可决系数：
意味着回归模型没有对y的变差做出任何解释；
意味着回归模型对y的全部变差做出解释。
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三、 置信范围
置信区间的公式为：
置信区间=
统计量数值表
其中
是自由度为
的
是观察值的个数，
在内的变量的个数。
中的数值，
是包括因变量
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四、自相关和多重共线性问题
自相关检验 ：
其中 ，
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多重共线性检验：
由于各个自变量所提供的是各个不同因素的信息，因此假定各自变量同其他自变量之间是无关的。但是实际上两个自变量之间可能存在相关关系，这种关系会导致建立错误的回归模型以及得出使人误解的结论。为了避免这个问题，有必要对自变量之间的相关与否进行检验。
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任何两个自变量之间的相关系数为：
经验法则认为相关系数的绝对值小于，或者
,这两个自变量之间不存在多重共线性问题。
若某两个自变量之间高度相关，就有必要把其
中的一个自变量从模型中删去。
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非 线 性 回 归 预 测 法
在社会现实经济生活中，很多现象之
间的关系并不是线性关系，对这种类型现
象的分析预测一般要应用非线性回归预测，
通过变量代换，可以将很多的非线性回归
转化为线性回归。因而，可以用线性回归
方法解决非线性回归预测问题。
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一、配曲线问题
选配曲线通常分为以下两个步骤：
确定变量间函数的类型
变量间函数关系的类型有的可根据理
论或过去积累的经验事前予以确定；
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确定相关函数中的未知参数
最小二乘法是确定未知参数最常用的方法。
不能根据理论或过去积累的经验确定时，根
据实际资料作散点图，从其分布形状选择适
当的曲线来配合。
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二、一些常见的函数图形
选择合适的曲线类型不是一件轻而易
举的工作，主要依靠专业知识和经验，也
可以通过计算剩余均方差来确定。
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抛物线函数
对数函数
S型函数
常见的函数
幂函数
指数函数
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应用回归预测法时应注意的问题
应用回归预测法时应首先确定变量
之间是否存在相关关系。如果变量之间
不存在相关关系，对这些变量应用回归
预测法就会得出错误的结果。
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正确应用回归分析预测时应注意：
用定性分析判断现象之间的依存关系；
避免回归预测的任意外推；
应用合适的数据资料。
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