回归分析预测法
从本章起将讨论定量预测技术
第三章的基本思路来源于数学分析
中数理统计的回归分析方法，将因素之
间的规律（利用已知统计资料）设为按
一定数学模型变化的运动轨迹，并假定：
未来的变化仍然是在已知的条件下
进行，运动轨迹将不会发生畸变。
第一节 回归分析的基本概念
一.基本概念
1.回归分析的来由：
20世纪初，英统计学家 研究父子身高的
遗传统计，高个子父母下一代比父亲更高的概率小于
比他矮的概率，而矮个子父亲下一代比父亲高的概率
大于比他矮的概率；且这两种高度父辈的后代，高度
有向两种父辈平均身高靠拢的趋势，这种现象称为“
回归”——是一种自然界现象规律的提取。
2.回归分析
研究变量之间的互相关系，把其中一些因素作为
控制的变量，而把另一些随机变量作为因变量，利用
适当的数学模型尽可能趋向于趋势变化的均值描述它
们的关系的分析，称为回归分析。
即假定 y 与 x 相关，应有 y = f ( x )
若 x1,x2, ‥‥‥ xn个变量影响y，应有
y = f (x1,x2, ‥‥‥xn)
显然，有一些问题必须解决
①因素分析
现代社会中，任何一件事物与多个因素相关，如
何选取主要因素，忽略次要因素，使建立的数学模型
不因变量太多而复杂，又能较好的抓住主要矛盾。
解决方法是求相关系数R
②运动轨迹的模型
主要利用已知统计数据在图上打点进行观察分析，
寻求一条最佳线路。采用最小二乘法，即在满足该条
线路的模拟值与真值总平方误差∑ei2为最小的条件下，
来求出模拟数学模型各参数。（为Gauss--Markov最佳
线性与无偏估计量 ）
③相关性检验
目的是鉴别所求出的模型是否可靠，
方法：利用相关性检验准则进行检验
④精确度：即讨论在一定置信度条件下的
置信区间
⑤预测 ：前面的问题已解决，数学模型已
经建立且可靠, 精度问题也已解决，利用延续
性原则代入需预测的数据，并求出结果。
二.方法分类
线性 线性
一元 多元
非线性 非线性
第二节 一元线性回归预测
一.回归方程的建立
假定需预测的目标为 y，与之对应的因素 x，随
机抽样，子样数为 n ，通过图上打点作粗略估计已知
的一组对应数据，初步定为线性关系，同时再考虑到
随机因素，应有:
yi = a + b xi + ei i = 1,2,……n (1)
不考虑随机因素，应有:
yi = a + b xi i = 1,2,n (2)
代（2）入（1），求得随机项
ei = yi – yi = yi – ( a + bxi ) （3） ei 称为
残差
∧
∧
这表示，真值与模拟直线y = a + bx之间存
在实际误差 ei，累积平方误差为 Q = ∑ei 2,称
残差平方和，又称剩余平方和。
反之，我们已知的是实际数据（xi，yi），
从可能的无穷条模拟直线中选取某一条直线，
使之模拟得最好，标准为Q = ∑e2i最小。
由（3） Q（a,b）= ∑ei2 = ∑(yi –a--bxi)2
求极值点，应有：[Q(a,b)]’a = 0
及 [Q(a,b)]’b = 0
得出 ∑（yi—a—bxi）= 0
∑（yi—a—bxi）xi = 0
求出a,b
a =(1/n) ∑yi -
b = (∑xiyi—nxy)/(∑xi2—nx2)
记 ∑（xi—x)2= lxx……x的离差平方和
∑（xi—x)(yi--y) = lxy……x,y离差乘积和
则b可简记为
b = lxy/lxx , a = y– (lxy/lxx) x
a,b称回归系数
y = a + bx 称线性回归方程。
这种方法称为最小二乘法，又叫最小
平方法OLS（Ordinary Least Square)
二. 一元线性回归方程的代表特性
1、
∑ei = 0 , 即残差和为0
2 、 回归直线过点（x,y） ∵ y = a + bx
即过数据重心。
3 、 回归平均值等于离散平均值，即 = y
i=1
. n
三. 相关检验
相关检验解决两大问题：
x与y是否线性相关及相关强弱如何？
它们之间相关显著性如何？
1、y的离差平方和
lyy = ∑(yi—y) 2
对于任意给定的xi，都有yi的波动，波动的大小可
用yi—y来评价，n次结果的总波动大小为lyy,……数据
分散程度。
2、回归平方和
U = ∑( —y) 2
对于任意给定的xi，yi与xi是人为给定的线性变化
而得到，它与实际的均值 必产生偏差，这种偏差是
由回归而产生的，是回归偏差平方和U……回归分散程
度制定。
3.残差平方和
Q = ∑(yi—y) 2
实际值与模拟值产生的误差，由于yi 随xi变化的随机
特性引起，模拟的好则残差平方和应尽可能小
lyy = Q+U
∧
∧
这个公式中：离差平方和lyy是不可变更的客观存
在，且残差平方和Q尽可能小，故有U→ lyy效果好，即
yi与xi之间存在强的线性关系。
于是有定义：R2 =U/lyy (0≦︱R︱ ≦1)
即 U = R2· lyy
由lyy = U+Q推出Q = （1—R2） lyy
其中R称为相关系数。
当R=0为不相关，R →+1为强正相关， R→-1为
强负相关
这样，通过研究相关系数R，可作出两个因素之
间是否具有线性相关关系，且能判其相关程度。
相关程度的显著与不显著（即使相关性强，但某
因素对另一因素的影响不大，即不显著，那么这种因
素也是不重要的）有一个具体界限，这是R检验。
由于抽样误差的影响，R达到的显著值与样本个数
n有关，且取决于不同的显著性水平（或置信度），配
成相关系数检验表，它们给出了在不同的n,a时，相关
系数达到的最小值。
四、精度：即是在确定的置信度条件下，求出
相应的置信区间：(n>>0)
当 a = % 时（yi –2s,yi+2s）
a = % 时（yi –3s,yi+3s）
其中 S = Q/（n—2),称为剩余标准差。
2004/10/11
五. 预测
利用公式 = a + bx
对于任意确定的时间（此时取y = a + bt）或
数值（自变量x），可以决定所给定时间或自
变量条件的预测值y及预测范围.
第三节 多元线性回归预测
这是指所预测的变量与多个自变量线性相关的情
形，这里谈一种较简单的分析方法。
非线性回归均可转化为线性回归，所以我们研究
多元线性回归就有突出重要性。
设y 与 xj 线性相关，j = 1,2,3,……m,即m元。那么有
y 与 xj 构成的线性关系：
y = bo + b1x1+ ‥‥‥ + bmxm +e
其中bo,b1,‥‥bm为常数，e为随机项, 则对应之回归方
程应为（不考虑随机因素）
y = bo + b1x1+ ‥‥‥ + bmxm
针对y与xj 的第k次观察数据，就有：
yk = bo + b1xk1+ ‥‥‥ + bmxkm+ek
yk = bo + b1xk1+ ‥‥‥ + bmxkm
k = 1,2,……,n, 即有n组数据取用。
由上两式，得，
ek = yk － yk = yk－bo－b1xk1－‥‥‥－bmxkm
按照一元线性回归方法,利用最小二乘法,求各系
数:
Q(bo,b1‥‥bm) = ∑(yk－bo－b1xk1－‥－bmxkm)2
为最小,求各系数的偏导数.
则 Q’b0 = -2 ∑(yk－bo－b1xk1－‥－bmxkm) = 0
:
Q’bj = -2 ∑(yk－bo－b1xk1－‥－bmxkm)xj=0
j = 1,2, ‥‥ ,=1,2,…n; 由此,共得m + 1个方
程,
求bo: ∑yk－nbo－b1 ∑xk1－ ‥ ‥ － bm ∑xkm=0
∴ bo = (1/n) ∑yk－(b1 1/n ∑xk1+ ‥ ‥ +bm 1/n
∑xkm)
令：y = (1/n) ∑yk, xj = (1/n) ∑ykj
有bo = y－(b1 +b2 +……+bm )
其余m个方程，可表示为矩阵解：
l11 l12 …… l1j l1m b1 l1y
l21 l22 …… l2j l2m b2 l2y
li1 li2 …… lij lim bi liy
lm1 lm2 ……lmj lmm bm lmy
=
其中: lij = ∑(xki － )(xkj － )
liy = ∑(xki － )(yk － )
i,j = 1,2, ‥ ‥ ,m; k=1,2…n;
判断y与某一自变量xj的相关显著程度采用t检验.
构造统计量 tj = bj/[S Cjj]
其中 S = Q/(n－m－1)
l11 l12 … l1m C11’ C12’ … C1m’
C’ = : : : = : : :
lm1 lm2 … lmm Cm1’ Cm2’ … Cmm’
Cii’就是C’中对角线元素.
如果 tj > ta/2, (n－m－1)
则对应的 xj对y 的影响程度大,否则影响小,应予排除.
-1
m维 线性相关显著性检验,采用F检验.
构造统计量
F = (U/m)/[Q/(n－m－1)]
当F >Fa (m, n－m－1) 为显著,
其中: U = ∑(yi－y)2
Q = ∑(yi－yi)2
回归思维在期，股市中的运用----------
-乖离率指标
由于任何性质的变动趋势，都有回归的性质，即
向均值回归，在股市市场，股票的股价均有向均值靠
近的性质。
一般地，描述这样性质的技术指标称乖离率BIAS，
定义为：{[C’－M(n)]/M(n)} ·100%
C’为当日股价或当日指数，M(n)为n日股价或n日指数
的移动平均值，
1.若当日股价剧烈上升或下跌，将使BIAS的绝对值加
大，回归愿望强烈。----------------应出货或补仓。
(1) (1)
(1)
2.若当日股价沿移动平均值前进，则BIAS在0值附近，
股价运行轨道不变，---------考虑继续持仓或减仓操
作，
的数值表明了股价与市场平均成本的盈利或亏
损的百分比，即大多数投资者所据有的盈利或亏损空
间。
投资策略： -3 ～ -5 为买入时机
+3 ～ +5 为卖出时机
-15～ -20 为最好时机
-10 ～ -15 为较好时机
-5 ～ -10 可买入
+15 ～ +40 选点卖出
短线BIAS(5)
BIAS(10)
支撑线
压力线
买入
卖出
卖出
买入
买入
,因政策和升幅过大下调至月开始上升，至日深成指
从2792至6103，升幅过3311点，因技术要求及97发行额度影响，
暴发性下跌，至日收盘5505，跌598点，BIAS(5) = ，
BIAS(10) =,日以5416开盘，探底5279引发反弹，收至
5622点， (周五)以2163点开盘，收至5125点，比前日降497点，
BIAS(5) = ，BIAS(10) = ，，略有反弹，日
因利空谣传再次下跌，日国务院证券委，中行等出台禁止国
企和上市公司买卖股票的几点规定出台，导致股市暴跌，
沪：BIAS(5) = ↓，BIAS(10) = ↓
深：BIAS(5) = ↓，BIAS(10) = ↓
第四节 非线性回归预测
两个变量之间的关系并非全是线性关
系，非线性关系也比较多。我们在作图
上估计趋势时，可利用标准曲线与之比
较，哪种曲线最合实际情况，若不是线
性关系，通常有几种典型的常用模型。
一. 指数曲线 y = a bx ( b>0)
取自然对数 ㏑y = ㏑a + x ㏑b
令 Y = ㏑y,A = ㏑a,B = ㏑b
则 Y = A + Bx
就构成一元线性方程。
利用原始数据 xi 及yi ㏑yi ，根据一元线性
回归公式，可以得到回归系数A，B。
同时考虑到A = ㏑a，a = eA
及B = ㏑b, b = eB
求出
故 a,b可定，预测方程 y = a bx 可定。
相关性：利用一元线性回归方程
Y = A + Bx
采用线性相关性判定，若x,y 线性相关，则y与x非线
性相关，且有规则y = f(x) = a bx
二. 双曲线：单调减，水平渐进线 y = a.
y = a + b(1/x) (a > 0, b > 0)
仿照指数曲线作法，令X = 1/x
有：y = a + bX
这仍然构成了一元线性回归方程。
三.倒数曲线：单调增，水平渐进线 y = 1/a
y = x/(ax + b) (a > 0,b > 0)
作以下处理：取倒数1/y = (ax + b)/x = a + b(1/x)
令X = 1/x Y = 1/y
得到 Y = a + bX
就转化为线性回归问题。
因此非线性回归问题均可以通过变量代换而转化
成线性回归，按照线性回归的方法解决预测问题。
