风险厌恶
第
7
章
2022/4/11 《金融经济学》--王江 2
概述
作为偏好的一个基本性质，我们要求它是凸的，
偏好的凸性对参与者的最优消费/组合选择有重
要的影响。这一章我们将进行一些具体研究。
本章从上一章的效用函数出发，了解凸性的经济
意义，引出风险厌恶的概念及其度量。最后考虑
不同偏好所反应的风险厌恶之间的比较。
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本章内容框架
边际效用递减
风险厌恶的定义
风险厌恶的度量
风险厌恶的几个例子
风险厌恶的比较
一阶风险厌恶
本章小结
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边际效用递减
定义:对于函数u(·)，如果∀x, y 和
α∈[0,1]，有
u(αx+(1−α) y)≥αu(x)+(1−α)u(y)
（⇔ uE(x) ≥ Eu(x) ）
则我们称u(·)为凹的。
我们立即可以得到下面的定理：
定理:如果凸的连续偏好由()式中的期望效
用函数表示，那么相应的效用函数u(·)是凹的。
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边际效用递减(续)
证明：
我们只考虑如下的消费计划：[c0;c1]=[x;0]。
∀x>y以及α∈(0,1)，偏好的凸性要求：
u(αx+(1−α) y)>αu(x)+(1−α)u(y)
如果我们用不等式代替严格不等式，显然成立
而当α=0和α=1时也满足
u(αx+(1−α) y)≥αu(x)+(1−α)u(y)
再考虑x和y的关系。
综合以上α，以及x，y的取值情况。可知满足定
义的条件，易得：u是凹的
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边际效用递减(续)
定理:如果凹函数u(·)还是二阶可微的，那
么u” ≤0
证明：令x=z-δ,y=z+δ以及α=1/2,那么,u
是凹的意味着u(z) ≥1/2[u(z-
δ)+u(z+δ)],即：
0 ≥
如果u是二阶可微的，我们可以在上面的不等式
中取极限δ→0，从而得到u” ≤0。
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边际效用递减(续)
现在我们来考察式的期望效用函数为凹性的经
济含义，u(·)表示的是消费的直接效用，它的一
阶导数u′(·)表示的是消费的边际效用。不满足性
要求u′(·)>0，即边际效用始终为正。偏好的凸
性意味着u” (·) ≤0，也就是说边际效用是消费
的减函数。边际效用递减意味着当消费水平上升
时，一单位额外消费得到的效用递减。
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风险厌恶的定义
上一节我们讨论了期望效用函数u(·)的凹性的一
个重要含义是边际效用递减，这一节我们将继续
探讨期望效用函数的另一个重要含义，也就是当
偏好可以由期望效用表示时，凸性（凹函数）意
味着风险厌恶。
这节重点讨论风险厌恶的定义以及它与效用函数
的关系。
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风险厌恶的定义(续)
定义: 记 为一个不确定的支付。如果E[
]=0，则称 为一个公平赌博。
定义:
如果满足
则称效用函数u(·)的参与者是(严格)风险厌恶的
风险厌恶的定义十分清楚。在期望值相同
（⇔E(w+ )=E(w)）的不确定性支付和确定性
支付之间，一个风险厌恶的参与者总是选择后者。
Eg：
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风险厌恶的定义(续)
定理: 当且仅当u是(严格)凹函数是，参与者是(严
格)风险厌恶的。
证明:
风险厌恶⇒凹函数
∀w1,w2(w1>w2)以及p∈(0,1)，构造如下的伯努利
赌博 ，概率为{p,1−p}，且
很明显E[ ]=0。定义 那么有
w1= w+g1 ,w2=w+g2
风险厌恶意味着（由定义）
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风险厌恶的定义(续)
0 w+g2 w w+g1
U(w+g2
)
U(w
)
U(w+g1)
pU(w+g1) +(1-
p)U(w+g2)
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风险厌恶的定义(续)
那么，
因此(据定义) ，u是凹函数。
凹函数⇒风险厌恶
因为u是凹函数，由Jensen不等式，我们有
因此，(据定义)易得参与者是风险厌恶的。
定理 证明了当偏好可以由期望效用表示时，
凸性（凹函数）意味着风险厌恶。
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风险厌恶的度量
给出了风险厌恶的一般定义以后，我们很自然的
考虑到如何量化，也就是说我们能否有一个风险
厌恶的度量，可以让我们比较不同参与者或者同
一参与者在不同情况下的风险厌恶程度？
我们应该很清楚，一切风险的度量都应该与风险
本身有关，对于不同的风险都应该有不同的风险
厌恶度量。
本章节主要是对小风险的情形进行度量，包括绝
对风险度量和相对风险度量。
风险测量指标
风险贴水
方差
举例：
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景气 不景气 期望 等价
A 3/18 1/10 2/14
B 4/20 0/0 2/10 1/10
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绝对风险厌恶(续)
风险厌恶的参与者偏好于确定性支付而不是不确
定性支付。这种偏好的强度可以用风险溢价来衡
量，其定义如下：
定义: 一个参与者参与一个公平赌博所要求的
风险溢价π，定义为
()
也就是说，风险溢价是参与者为了消除风险而愿
意放弃的财富值。
上式定义中的−π ，被称为风险赌博的确定性等
值CE，CE是一个完全确定的收入量，在此收入水
平上所对应的效用水平等于不确定条件下期望的
效用水平。
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绝对风险厌恶(续)
另外，我们也可以把它定义成参与者因为承担
风险而要求的最小财富值：
E[u(w+ + )]=u(w)
对于相同的风险而言， 和π不一定相同。但是
我们将看到，对于小风险而言，他们是一样的。
一般来说，风险溢价依赖于风险本身，也就是
赌博 的性质。当然，它也依赖于参与者的风
险厌恶程度。
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绝对风险厌恶(续)
考虑小风险：
定义:当随机变量 的取值范围很小时，称
为风险小的赌博。
一个随机变量的取值范围定义为它的最大值和最
小值之差。对于小风险，通过泰勒展开()式两
边，我们有等式：
因此小风险的风险溢价为
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绝对风险厌恶(续)
很容易验证，对于小风险而言，上面给出的风险
溢价的另一个定义 与π相同。
式()给出的风险溢价有一个很直观的解释：对
于小风险而言，方差是风险大小的度量。风险溢
价与风险的大小成正比，而比例系数反映了参与
者的风险厌恶程度。
除去客观因素var[ ]，仅留下反映个体主观因素
的部分，我们得到了风险厌恶的度量，记为A(w)
，它的定义如下：
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绝对风险厌恶(续)
因为 A(w)是与每单位绝对风险的风险溢价相联
系的，因此也被称为绝对风险厌恶。绝对风险厌
恶不仅依赖于效用函数，它也依赖于财富水平w。
因此我们在风险厌恶的定义中明确地标出其对财
富水平的依赖。通常把绝对风险厌恶的倒数称作
风险容忍系数：
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相对风险厌恶
Arrow-Pratt 风险厌恶度量是对于给定绝对大小
的风险而定义的。它并不考虑风险对于参与者的
总财富的相对大小。我们也可以考虑如下以总财
富作为基数的赌博和风险溢价：
这里，赌博的盈亏为 w ，是与总财富成比例的。
相应的风险溢价也如此。对于小规模的赌博，我
们有
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相对风险厌恶(续)
这样就可以得到参与者的相对风险厌恶，记作
R(w)，定义为
因此，如果参与者面临的风险是与他的财富成比
例的，相应的风险溢价作为其财富的一部分，是
与他的相对风险厌恶以及风险相对于财富的大小
成比例的。
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风险厌恶的度量(续)
风险厌恶的度量应该是与我们所考虑的风险本身相
联系的。
从他们的定义可以看到，上面引入的绝对和相对风
险厌恶都是相对于小风险而言的，可能不适合面临
大风险时的风险厌恶度量。
在定义风险厌恶度量的同时，我们也得到了对(小)
风险本身的一个度量，即方差。
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风险厌恶的几个例子
下面我们来看看几个关于效用函数及其风险厌恶
度量的例子。
1.线性或风险中性效用函数：u(w)=w
A(w)=R(w)=0
风险中性参与者的风险容忍是无穷的。
2.负指数效用函数： u(w)=-e-aw
A(w)=a， R(w)=aw
负指数效用函数具有常数绝对风险厌恶(CARA)
，对于一个CARA效用函数，相对风险厌恶随着
财富的增加而增加。
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风险厌恶的几个例子(续)
3.平方效用函数：
对于该效用函数而言，边际效用为u′(w)=1-aw。
当w>1/a时它就成了负值了，为了保证不满足
性，要限制w不能超过1/a。
另一个性质是绝对风险厌恶随财富的增加而增加。
也就是说，当参与者的财富越来越多是，对风险
就越来越不能容忍。
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风险厌恶的几个例子(续)
4.幂指数效用函数：
绝对风险厌恶随财富的增加而递减，相对风险厌
恶为常数。具有常数相对风险厌恶(CRRA)的偏
好。其风险容忍对财富是线性的。
5.对数效用函数： u(w)=logw
对数效用函数可以看成是当γ→1时幂指数效用的
极限。因此也属于CRRA类。
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风险厌恶的几个例子(续)
6.双曲线绝对风险厌恶(HARA)效用函数：直接
由它们的风险厌恶的度量定义
风险容忍为线性的。
这是较大的一类效用函数，包括前面例举的所有
类型。作为HARA偏好的特例，有：
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风险厌恶的几个例子(续)
1.风险中性效用函数：d=∞;
2.平方数效用函数：γ=-1且d=1/a;
3.负指效用函数：γ→ ∞且d=1/a;
4.幂指数效用函数：d=0,γ>0且γ≠1;
5.对数效用函数：d=0且γ→1。
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风险厌恶的几个例子(续)
给定某个偏好，若其绝对风险厌恶随财富增加
（减少）而增加（减少），即A′(w) > (<)0，则
我们称之为绝对风险厌恶递增IARA（递减
DARA）
如果其相对风险厌恶随财富增加（减少）而增加
（减少），即R′(w) > (<)0，则我们称之为相对
风险厌恶递增IRRA（递减DRRA）
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风险厌恶的比较
前面定义的风险厌恶度量反映了参与者对
风险的态度，并且由他们的偏好决定。
这一节我们将考虑如何使用这样的度量来
帮助我们比较不同参与者对风险的态度。
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风险厌恶的比较(续)
记u1(w)和u2(w)为两个递增的、二阶可微的效
用函数，A1(w)和A2(w)是它们的绝对风险厌恶
系数。
定理: 下面的命题等价(基于上面的假设)
(w)≥A2(w)， ∀w;
2. ;
3.
4.π1≥π2，对所有的w和公平赌博成立。
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风险厌恶的比较(续)
证明：
1⇒2：
因为u′(w)>0 ，立即可以得到f是凹的，也就是
f’’≤0，如果A1(w)≥A2(w) 。
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风险厌恶的比较(续)
2⇒3：
因为u2是递增的， 存在。定义f(z)=
。那么，f(u2(w))=u1(w)可以当成3的f(·)，这
与上面定义的函数f(·)完全相同。可以验证一
阶导大于零且二阶导小于零，这就证明了结论。
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风险厌恶的比较(续)
3⇒4：
对于任意的赌博 ，我们有
因为f是凹的，由Jensen不等式就能推出要证明
的不等式成立。注意u1(w-π2)=f(u2(w-π2))，
我们有π1≥π2。
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风险厌恶的比较(续)
4⇒1：
对于小赌博而言，有π1≥π2 ，这就意味着
A1(w)≥A2(w)。
如果对于∀w，A1(w)>A2(w)，那么我们就称参
与者1“总体上”比参与这2更为厌恶风险。
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一阶风险厌恶
第六章中谈到了效用函数的不可微性与对风险的
态度之间的关系。这一节将对其进行补充。
本章的前几节对风险厌恶度量的讨论中，都假设
了效用函数是可微的，在此基础上来考虑小风险，
引入风险度量。
如果效用函数是不可微的，则要将前面的讨论进
行修正。
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一阶风险厌恶(续)
仍用第六章的效用函数例子来考虑：
u(w)= a->a+>0
显然，u(w)在 处不可微。
假设财富水平恰好是 。我们来看一个公平的
Bernoulli赌博：输赢概率相等，其值为δ。相应
的风险溢价为：π=½(a--a+)δ
这个博弈的方差是δ2 。
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一阶风险厌恶(续)
从前面可知，当效用函数可微时，风险溢价和方
差成比例（π∝A(w)δ2）。而在其不可微时，
风险溢价和方差的平方根成比列，即与风险的规
模（以δ来衡量）成线性关系。
在δ很小时，它要比可微时大得多，即高一阶。
这也意味着相应的风险厌恶系数要大得多，且要
高一阶。因此，也称之为一阶风险厌恶。
前景理论
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本章小结
期望效用函数的两个重要含义：
边际效用递减
凸性意味着风险厌恶
风险厌恶的度量
绝对风险厌恶
相对风险厌恶
风险厌恶的几个例子
风险厌恶的比较
一阶风险厌恶
1.风险中性效用函数
2.负指数效用函数
3.平方效用函数
4.幂指数效用函数
5.对数效用函数
6.双曲线绝对风险厌恶效用函数
(w)≥A2(w)， ∀w;
2. ;
3.
4.π1≥π2，对所有的w和公平赌博成立。
效用函数可微时，风险溢价和方差成比例。
不可微时，与风险的规模成线性关系。
δ很小时，它要比可微时大得多，即高一阶。
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伯努利赌博
伯努利提供了一个这样的例子：有两个人，每人有100枚
硬币，他们决定进行一场公平的赌博。例如掷硬币，这样
他们输赢的比率是50 : 50，筹码不会被赌场抽头，也不
会有其他的减少。掷硬币时，每人下注50，这意味着在赌
博结束时他们最终有150枚硬币和有50枚硬币的机会是相
同的。
伯努利的效用理论揭示了一种不对称，它可以解释为什么
人们对这种势均力敌的赌博不感兴趣。输家输掉50所受的
痛苦要比赢家赢得50所得到的快乐大。从数学的角度看，
当根据效用来评估时，零和博弈是输家的游戏。最好的决
定是双方都拒绝这个游戏。
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Jensen不等式（琴生不等式）
设f(x)为凸性函数，则f[(x1+x2+……+xn)/n]<=[f(x1)+f
(x2)+……+f(xn)]/n(下凸); f[(x1+x2+……+xn)/n]>=[f
(x1)+f(x2)+……+f(xn)]/n(上凸),称为琴生不等式（幂
平均）。
加权形式为：
f[(a1x1+a2x2+……+anxn)]<=a1f(x1)+a2f(x2)+……+a
nf(xn)(下凸) ;
f[(a1x1+a2x2+……+anxn)]>=a1f(x1)+a2f(x2)+……+a
nf(xn)(上凸),
其中ai>=0(i=1,2,……,n),且a1+a2+……+an=1.
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前景理论
心理学家丹尼尔-卡尼曼在2003年以“前景理论”获得了
2002年度诺贝尔经济学奖后，美国最大、最有影响的经
济系哈佛大学经济系开辟了新的经济学的基础课程行为经
济学。
前景理论是由期望值理论和期望效用理论发展而来的。前
景理论有三个基本原理：一是大多数人在面临获得时是风
险规避的；二是大多数人在面临损失时是风险偏爱的；三
是人们对损失比对获得更敏感。因此，人们在面临获得时
往往是小心翼翼，不愿冒风险；而在面对失去时会很不甘
心，容易冒险。人们对损失和获得的敏感程度是不同的，
损失时的痛苦感要大大超过获得时的快乐感。
