n on ㈣ 。n
Designing Techniques of Posts and TelecommunJcalj0ns No 1 Jan 2001
高 炜
C,aOWei
摘 要 对在数字通信 系统中广泛使 用的前 向纠错(FEC)技
术进行 了较为详细的介绍 ，重点描述 了不同的编码方法，分析
了各种信道编码技术及其对 系统性能的影响
关键词 前向纠错技术 现代通信 系统 编码 方案 矩阵
一
、 刖 舌
。 }
薅嚷嚷蟹藩⋯ 一
日前的数字通信系统中，前向纠错(FEC1技
术得到 r广泛的应用 这一技术的 生目 发展源于
通信系统本身的需求 信号在备耕 体的传输过程
中总会产l牛畸变和非等时时廷，对数宁信号来说就
意味着产生误码和抖动 ．而抖动的最终结果就
映在系统的误码上。
FEC是指信号在被传输之前预先按一定
进行处理，在接收端则按规定的算法进行解码，
到找出错码并纠错的目的。
由于信道不可避免地会产生十扰．这些干
源于信号的传输过程或某些因素 ，如噪声 、无
二、纠错码韵基本概念
玺 ，：
一 茹≮电_暗 巍
1 码 距
在僵 个不同码组中对应位置上的不同码元
数量称为码距，又叫汉日月，，用 表示 其最小值称
号的衰落、cD上的擦痕等 依据干扰的性质 ，可将
信道分为3类，即随机差错信道(桓 参信道)、突发
差错信道(变参信道)和混合信遘j虽然在理论上单
一 差错干扰的信道并不存在，对套 分信道来说．
仍可近似地将其分类，例如，光传赣系统一般 认
为是随机差错信道，而短波通信系统则认为是突发
差错信道 r
对信源编码来说，不同的通信系统其编码方案
也不同。下面主要介绍各种编码方法及其在通信系
统中的运用：
讳 计艘 草I搠 2∞l 1月
一 15
路构成的 如要检测e个错误同时又要纠正 z个错
谋，应有
≥l+P州 誊
其 中e≥f。 ：t一
由上式可知，纠错能力的获得是需要付出代价
的．即需要加上额外的开销。一个较好的编码方案应
该用较小代价获得较高的纠错能力。
高 炜 中国网络通信有限公司i邮码：100032
运昔总裁挂术助理 高纽 ll程帅
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I iE"le.: Ommumcðtlon Tr <1l1 smiss山户
, 电健传输
口eSlgf'1ing Techniques 01 Posts and Teleoommunlcatlons No 1 Jan 2口口 1
噩噩噩噩弱毒草磊i蠢篝露露露露
高炜
GWJ \\rt-' i
摘 要 叶在软宇通信革玩中厂泛使用的前向纠错(FEC I技
韦进 ft 了较为详细的介绍.重点描过了不间的纳码才法， $]'祈
了各种 f;t适编码技术正其对革统性能的影响
关键词 前向纠错技韦，q1，代通信单纯编码方案矩阵
一、前言
啤与LJ去盖一-晶旷牛
在日前的数字通信系统中.前向纠结 (FECI技
术 i~ J'IJ r 广泛的应用=这 技卡的产生和发展陌于
通信系纯本守的需求 信号在各#幌体的传输过程
差错信i直
时(言j胃、编码来说. F同的通信系统其编码方案
也不同 F面主要介绍各种编码方法7:1.其在通信系
统巾的运用
邮电设计技术第 l 栩 2皿2 年 1 月 -15
二、纠错码的基本概念
τ呻埠二，叶幸吨?带咛#耻
1 码距
在悸椭 1、不同码组中，-t应 1主壁上的不同码元
~U要检测 r 1、错误同时 Z要纠正 f 于错
误，应有
n?::l+e+t 、
其中 e3t ， ..
由上式可知.纠错能力的获得是需要付出代价
的. an需要棚上额外的开销。一个较好的编码力案应
该用较小代价获得较高的纠错能力。
高 炜 中国网 tji通信古 rn t: "l ( 邮码 1酬'.3~ I
运肯i!.故技术助理 高地L程师
百宵节E刀函~~页7
ecem m unication Transm ission
电 信 传 辅
高 蚌：前向纠错技术及其在现代通信系统中的应用
3．有限域{Galois域)
若元素嚷∈A且有i≤ ，其中n为定值，且满足
和 q经规定的运算后，其结果 。仍有 a∈A，则域
l4称为有限域。
对于数字信号，当取模 进行运算时，可知满
足上述条件。例如，采用二进制时，元素仅有 0和 1，
按模 2作加和乘运算时其结果仍为 0或 1 可将其
记作有限域CF(2)。
对于 2^个元素所组成的域则可记为CF(2 )。
4．线性分组码
线性分组码有严格的数学定义，在此不想作过
多的讨论。简单的可 这样理解，在各种编码方案
中，有一类编码是可以用代数式来表达的，这类编码
便称为代数码。代数码如果和一组线性代数方程联
系在一起，便称这一类码为线性分组码。从编码角度
来说，即为将全部信息以^个信息位为一组，经编码
或映射处理后 ，变为长度为 n(n>k)的二进制码组
(参见 图 1)
兰堡 i鎏 竺
图1 编码格式举例
令R=k／n，R定义为编码速率，可知当 越大，
编码效率越高
5．码组的权
一 个码组中所含的 1的数 目定义为该码组的
权
三 、FEC编码
为说明清楚，先举一个例子。设有一通信系统在
传输过程中以4个比特为一组进行纠错，要求可纠
错一位码 可知此时k--4，n至少应为
n=2x1+1+4=7
记作(7，4)。我们用n6如a4啦啦Ⅱ。Ⅱ0表示一个序列，
且规定 as如弛az为信息码，用 s s!s 表示监督关
系，规定如表 1所示：
由表 1可得监督关系式
■毫纛 擅牛 薹 ；囊 明 摹l 16
表 1 信息码监督关 系表
011 吨 111 O0】
!01 100 000 元话
110 皿 010
SL=如0n40 n30啦!
s2=n60n40 n30 }
=060如0az0Ⅱ0 J
当无误码时应有
S1：吗0啦0a30t／2=0 1
S2=060a40a30 =0}
s3=n60如0 0嘶=0 J
as=o~o0如0 n3
=n60啦0
as=as0m0a3
得 n3=n3
啦 n
如 =如
o6--n6
写成矩阵形式：
f 1 0 0 0；0 1 1
l 0 1 0 0；1 0 1
c_[n6如弛n3 ‘l 0 0 1 0 i1 1 0
1 0 0 0 1 j1 1 1
(2)
(3)
(4)
可写成 ： C=A-G=A· I j P I (5)
由式(5)可见，一个 n位码组可由信息码通过一
个变换矩阵来产生。G称为生成矩阵。当生成矩阵中
包含有单位矩阵时，则称 C为系统码
由式(3)或式(4)可得表 2所示的编码表。
根据上述编码方案，可 检测出一位错码。例
如，接收到一组码 1011101，由方程组 (2)可计算出
S，S 岛=l11，从表 1可知n3为错码。正确的码组应为
1010101。
上述编码方案为汉明码，其码长 n=2 一1，信息
位 k=2 一1一m，监督位 m= —k，且 m≥3，最小汉明距
离 d0=3，R=k／n=(n—m)／n=l—m／n，当 很大时 ， 接
近 1。本例中，m=3，n=7，k=7—3=4
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• elecommunication Transmission
, 电恤倚输
高 陪前向到锚技术且其在现代通信罪统中的应用
3 有限域(Galois 域)
若元素 a， EA 且有 i~n.莫中 n 为定值，且满足
αz 和吗经规定的运算后，其结果 α 仍有 aEA ， 则域
4 称为有限域μ
对于数字信号咱当取模 r 进行运算时.可知满
足上述条件例如，采用工进制时，元素仅有 0 和 l 咱
按模 2 作加和乘运算时其结果仍为 0 或 l 。可将其
记作有限域 CF(2) 0
对于 3 个元素所组成的域则可记为 CFI2') ，
4 续性分组码
线性分组码有严格的数学定义咱在此不想作过
多的讨论。简单的可以这样理解‘在各种编码方案
中，有一类编码是可以用代数式来表达的，这类编码
便称为代数码。 11;:数码如果和一组线性代数方程联
系在一起电便称这一类码为线性分组码。从编码角度
来说‘即为将全部信息以 k 个信息位为一组咱经编码
或映射处理后‘变为长度为 n(n>k) 的二进制码组 得
(参见图 1 ) 0
表 1 信息码监督关*表
5[=向@向EB a， EB吨 l
51=α.EB向EB a， EBα ， ~
53=α.EBα雪EB a， EBα\J J
当无误码时应有
S，=向@口，EBα飞 EBa，=O 1
S,=. EB电EBa，=O ~
SJ=向EBa，EB吨严o J
""司，EBα当 EB a，
α，=电@曲@冉
冉=向@曲@向
a，=α3
a.=向
) l (
(2 )
(3 )
π
as=a雪
a.=a.
豆亟 写成矩阵形式:世据
固 1 编码恪式举例 1 0 0 0:0 1 1
o 1 0 0: 1 0 1
'10010:110
000 1: 1 1 1
(4) C=: 岛屿曲 a，令 R动 定义为编码速率，可知当 R 越大.
编码吱率越高c
5. 码组的权
个码组中所含的 l 的数目定义为该码组的 可写成: CEA-G=A-l f j P| 15 )
权c 由式 (5)可见电 个 n 位码组可由信息码通过
?变换书E阵来产生 G 称为生rN..垣阵 a 当生rN..短阵中
包含有单位垣阵时，则称 C 为系统码c
由式 (3 )或式 (4 )可得表 2 所示的编码表。
根据上述编码方案，可以检测出一位错码 a 例
如，接收到一组码 1011101.由方程组 (2)可计算出
S, S, S，=I11 咱从表 l 可切向为错码。正确的码组应为
1010101 c
上述编码方案为汉~~码.其码长 n=2m-1 ‘信息
位 k=2m-1-m咱监督位 m=n-k 咱且 m~3.最小汉明距
离 do=3 .R=k In= 1 n-m )ln=l-m1n ‘当 n 很大时1 接
近 l。本例中 ，m斗 ， n=7 ， k=7-3=4 o
三、 FEC 编码
为说明清楚，先举一个例子c设有一通信系统在
传输过程中以 4 个比特为一组进行纠错咱要求可纠
错一位码c 可切此时 k斗 .n 至少应为
n=2x1+1+4=7
记作 (7.圳、我们用电曲曲电 α:2 al G(I表示一个序列，
且规定岛屿也向为信息码咱用 S， S, S3 表示监督关
系电规定如表 l 所示:
由表 1 可得监督关系式
".且最富士."，. ，蝇2IIJ!!筝'月 16 --ríTI'F可a. [J.'IllllIIIY王jj[
e n黜 ⋯ sion
高 炜：前向纠错技术爱其在现代通信系统中的应用
表2 编码表
■瞒量酎目I }糖嗣龋 Ⅻ ■mm 1日■ ■m 强明
o0o0 000 0110 011 l100 1l0
O001 l】1 01l1 l00 I101 001
0010 11O 1000 011 1110 000
001】 00l 1O0l 100 1l1】 l1】
0100 101 1010 101
Ol0l 010 l0l1 O10
可将式(2)写成如下矩阵表达式
0 l 1 1 1 0 0
1 0 1 1 i0 1 0
1 1 0 1 i0 0 1
(6)
式(6)可写成
H·Ar=0~ (7)
发送码为 C，接收码为 ，无误码时，C=R。当有
误码时，可以认为所接收的码组 =C坩 。由式(7)可
知 ，此时有
H· Htc+E ：H·Cc+H·El：H·E =sl (81
且 S=( )I-(日· ) =E·Hr (9)
由式(8)和式(9)可以看出纠错的步骤：
步骤一：将接收码组和日相乘，求出sT。
步骤二：如SS=0，所接收的码组正确，如不为0，
则按步骤 三。
步骤三：根据所得到的s，可求出 ，但满足式
(9)的 可以有 2 个，只有权值最小的才是真正的
。
步骤四；实际解码凡 应为
R =^R+
举例：由于误码，发出的码组 1010101到接收端
成为
R=10l1 101
由 s=H· 南
一 17
0 l 1 1 1 0 0
l 0 l 1 0 1 0
1 l 0 l 0 0 1
即S(1 1 1)，易知满足S的权最小的 序列为
00010o0，则
R =眉+ =1011 101+0001000=1010101=C·A
被正确纠错。
1．循环码
目前在实际工程中，运用得最广泛的 BCH码和
RS码都是循环码。一个线性分组码的任意码组，经
过任意次移位后，所得到的码组如仍是该分组码的
另一个码组，则称该线性码为循环码。线性码通常用
多项式来描述
对于码组
C=(c L C c 3 c ，·--，C2c L C0)
可表示成
C )二c l 。+c 托 +c +⋯+c +clx+c0
当c为一个码字时，则称 c )为码多项式。
对于k个信息码元，在 2‘个码字中选取前 k一1
位都是 0的n一 次码多项式：
g(x)=l+gl +g +g3x +g 4+⋯+笛 。+
则g(z)，xg(x)， ( )，⋯， 一 ( )都是码字，且这些
码字线性无关。g( )称为码的生成多项式，且可以证
明 g )是 2 个码字中唯一 的
此时生成矩阵G的多项式可表示为
G=
x 。g(x)
●
：
( )
xg(x)
g(x)
(10)
在模运算下，对于(n， )线性码中码字多项式与
码字移位循环关系有
C )二A·G=-g(x)(oo+al +⋯+啦． 。+吼tx )
对于 位信息码元，当a(x)取不同值时，可得 2 个
1 0 1 l l O l
O 0 0
¨
西 m m m 珊
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, 电值倍输
高 睛:前向到描技术且其在现代通信罩统中的应用
表2 编码表
∞l
∞10 I 110 1000 I 011 1110 1 俱JO
∞11 ∞1 l∞ 111
I l l -
1∞1
。\00 I \0\ 1010 I 101
0101 010 1011 I 010
可将式(2)写成如下短阵表达式:
α6
) fo (
、‘‘
lllIII-lllIII-III-
，，，，
。υnunu
ftIll-IIlli--ltt
飞、
lIll--」「lljll
南向电吨ι
叫
.
、、
ι1III-AEE
『
IIII-tllIII--
，，
J
OVOO--。υ1inu--nunu ll-'Etioυ 110υ1i oυ1it
且
fllIII-Illi--e
『tt
飞
向
式(6)可写成
I'=O' (7)
发送码为 C.接收码为 R.无误码时嘈C=R， 当有
误码时.可以认为所接收的码组 R=C+Eo 由式 (7 )可
知咽此时育
H'R'f=H( C+E)"=H. C'+'==S' (8)
S=( S')τ=(H. E')T=E. [ff
由式 (8 )和式 (9 )可以吾出纠错的步骤:
步骤一.将接收码组和 H 相乘咱求出 S'，
步骤二:如 S'=O咽所接收的码组正确咽如不为 O.
则按步骤三口
且 (9 )
步骤三:根据所得到的 S咱可求出 E咽但满足式
(9 )的 E 可以有 2叶个咱只有权值最小的才是真正的
E,
步骤四:实际解码 RA 应为
R ,=R+E
举例由于误码咽发出的码组 1010101 到接收端
成为
R= I011101
由 S='f 有
"巍黄咀睛，JII"'IUI阻暨且 1-17
0
1111l0011l|1
1 0 1 1 0 1 0 ,., 1 i=' 1
1101001111111
。
/
即 S (1 I 1).易如满足 S 的权最小的 E 序列为
∞01000.则
RA=R+E= 10 11 101 +00010∞=1010101=C'A
被正确纠错。
1. 循环码
目前在实际工程中 J~用得最广泛的 BCH 码和
RS 码都是循环码J 一个线性分组码的任意码组咽经
过任意次移位后，所得到的码组如仍是该分组码的
另 个码组咱则称该线性码为循环码飞线性码通常用
多项式来描述己
对于码组
C=(Cn-L Cn_~C II-_3 -4.... .C~CL co)
可表示成
C(x )=c配 1X Il--I+C'!-:扩-2+c II-_JX'''--':''+c "....ttIl---4 +.. . +c jt~+c卢+co
当C为一个码字时，贝IJ称 G(x)为码多项式C
对于 k 个信息码元咱在 2 个码字中选取前 k-l
位都是 0 的 n-k 次码多项式.
g(x ) = 1 +g，x+g""'+g"，'+g，，，4+… +gn-k-L:tll--i-I+g，叶俨4
则 g( 吟唱xg(x) .x'g(x) •... .x" 'g(川都是码字咱且这些
码字线性无关og(x)称为码的生成多项式，且可以证
明 g(x)是 2'个码字中唯一的 c
此时生成矩阵G的多项式可表示为
X>-'g(x)
G=I x'g(x)
xg(x)
g(x)
飞
在模运算下.对于忡.k)线性码中码字多项式与
码字移位循环关系有
c( x)=A 'G=g(.~)(向+α阿+... +"，.，x>-'+α:1r_LX~-L )
对于 k 位信息码元，当时叫取不同值时，可得去个
(10 )
百贡市有'Õ.T丁~-言而T
n on sm -on
高 炜 ：前向纠错技术及其在现代通信系统中的应用
不同的码元。
为得到系统码的形式，可作如下处理。
口( )=g( )g( )+r( )
c( ) Ⅱ( )+r( )=g( )g( ) (11)
由上式可知，只要将信息码乘上 ，再除以
g(x)所得到的余式 r( )作为监督元，加在 乘上
信息码之后即可得编码字，则
g(x)·h( )=0模(1¨ ) (12)
由此可方便地得到
g )·h( )=1¨
从而计算出g( )和h( )。
例：求(7，3)循环码。
l+x =(1+X)(1+x ¨ )(1+ “ )．n=7，7_4=3
有 g(x)=(1““ )，h( )=(1“ )(1¨ )
或 g )=(1+x + )，h( )=(1¨ ’)(1¨ )
则 G )为
G 1
+1
f +x‘+*
¨ “ +1
+ +1
与分组码相同，先从接收信息经由H计算得到
S矩阵，根据结果进行检测和纠错。
循环码电路实现简单，理论分析可以证明，对于
(n，k)循环码来说，最多可纠正不大于 —k+1个突
发错误及 (n 一1)／2的单个错误和大量的混合错
误 I11J—T在许多建议 中采用了冗余循环校验
(CRC)码 ，如 ITU—T G 703，G．704建议的 2 Mbit／s
PCM复帧结构所采用的 CRC一4，ITU—T G．783中
SDH复帧结构追踪字节J0，J1，J2采用的 CRC一7．在
移动通信中，该技术也得到了广泛的应用
2．BCH码
将循环码的迦罗华域从 GF(2)(二进制)推广到
GF(2~)( 进制)可得 BCH码。GF(2~)内应有 个
元素，分别用0，1，0，n2，⋯， 表示 而每个元素又
可用二进制 3重表示。应注意，此时运算对每一位数
来说为模 2运算，因此和一般二进制运算不同。如
GF(23)中 ，0(000) 1(001)0(010)a2(100)Ⅱ3
(011) (1lO) (111) (101)。
鼙鲁曩 熏1撼 1月 一 18
由此可见，l+a．=a3，1 ， ·a4=OlO=a等。
从有限域理论可以证明，GF(2 )中的2—1个元
素一定是方程 +1=0的根。当循环码生成多项式
形式为
g(x)=LCM[~rtl( )，m3( )，⋯，m¨ ( )J
式中：
％( )——本原多项式
卜一 可纠错数
LCM——取最小公倍式
由此生成的码为 BCH码。当g(x)为本原多项
式时，生成的码称为本原 BCH码，否则为非本原
BCH码。要判别一个多项式是否为本原多项式涉及
较多的数学知识，工程上一般用查表法。
通常先确定性能要求，根据要求选定生成多项
式，然后优选那些易于实现的多项式。
3．里德一所罗门(RS】码
BCH码的码元取值为 0和 1，即在 GF(2)中取
值，而其生成多项式则在 GF(2 )中取值。当码元和
生成多项式均在 GF(2 )中取值时即为 RS码
由于 RS码在 G兀2 )中取值 ，因此 ∈GF(2 )
q=0，1，⋯，2 )必是该域内的本原元 当距离为 d
时．g(x)必须有 1个连续根。当根从 ：n开始时，
则
g(x)=( 一。)(X--a )(x一 )⋯(x一 )
得到 RS(2~-I，2一d，d)，其中d为最小距离。由
分组码的性质可知，其最大距离 d=n +1，因此 RS
码有最大最小距离。这类码称为 MDS(Maximum
Distance Separable)码。
RS码生成矩阵产生的方法和 BCH码相同。先
确定性能指标，根据要求可得到生成多项式 g( )，
再根据式(11)可求得 ( )，即可得到生成矩阵 G。
例如要构成 RS(23_1，23-3，3)即RS(7，5，3)码，
由g )=( 一0)( 一 ) +n3，可得生成矩阵为
1 0
0 l
0 0
0 0
0 0
0 0 0 a4 Ⅱ
0 0 0 0
l 0 0 a6
0 1 0 1
0 0 1 n4
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罔应的中挠事信通代
川现旧在白其mUM MMm TUι m·
嗣
-m
传
#m
n m偏离时电e 案'
不同的码元。
为得到系统码的形式嘈可作如r处理。
x"-<a(x )=q (x)g忡忡r(x)
c(兀 )=x""""a(x)+T(X)=q(X)g(X) (11)
由上式可知，只要将信息码乘上 X"-k 再除以
g(元)所得到的余式 T(叫作为监督元嘈加在 x"--<'- 乘上
信息码之后即可得编码字咽则
g(x).h忡忡。模 (1+.<") (121
由此可方便地得到
g(x'!'h(x)=I+x"
从而计算出g(川和h(x) ，
例:求 ( )循环码
l+x'=(I+川(1甘、+.<')( 1甘忖') .0=7 ,7-4=3
有 g(x)=( 1 何忖')咽h (x)= (1 +x'+扩 )(1柑)
或 g(川=( 1 +x'+x巧 .h(x)=(l忖+x') (1 +x)
则 G(x)为
x3+立 +1
"、x+x~+x
G(x)=
xj+x~+，χ+1
x 6+x:!+1
与分组码相同嘈先从接收信息经由 H汁算得到
S垣阵，根据结果进行检测和纠错。
循环码电路实现简单，理论分析可以证明，对于
忡 ， k)循环码来说咱最多可纠正不大于 n-k+l 个突
发错误及 (n-k-l )/2 的单个错误和大量的混合错
误 c lTU-T 在许多建议中采用了冗余循环校验
(CRC) 码咽如 IπJ-T 嘈 建议的 2 'lIbit/s
PCM 复帧结构所采用的 CRC-4 嘈 ITU-Tι783 中
SDH 复帧结构追踪字节 I，J2 采用的 CRC-7.在
移动通信中‘该技术也得到了广泛的应用 D
码
将循环码的迦罗华域从 GF( 2) (工进和tlJ推广到
GF(2m ) (少进制)可得 BCH 码 GF( '2;叮内应有少?
元素，分别用。咱 ， α2 咽-. .al"-2 表示 c 而每个元素E
可用二进制 3 重表示。应注意.此时运算耐每一位数
来说为模 2 运算嘈因此和一般二进制运算不同 ο 如
GF(2') 中 .0 (000) 1 (00 1) α (010) a' (100) α3
(011) a'(IIO) <<'(111) a'(10 I),
…..赞1t#-:I!I l. :JI画4 年U- 18
由此可见嘈 1+a=a' , 1 +a'=α飞 α"a'=0 1O司等υ
从有限域理论可以证明 ， GF(2m ) 中的少-1 个元
素一定是方程 J 】 +1=0 的根ζ 当循环码生成多项式
形式为
g(x)=LCM[m ,(x) ,m ,(x) .... .m>_，( 元)J
式中:
m,(x) 卒原多项式
t一一可纠错数
LCM 取最小公倍式
由此生成的码为 BCH 码 n 当 g(x)为卒原多项
式时嘈生成的码称为卒原 BCH 码咽否则为非卒原
BCH 码。要判别一个多项式是否为丰原多项式涉及
较多的数字知识，工程.t-般用查表法ι
通常先确定性能要求，根据要求选定生成多项
式嘈然后优选那些易于实现的多项式 l
3. 里德一所罗门 (RS)码
BCH 码的嗣元取值为 0 和上即在 GF(2) 中取
值嘈而其生成多项式则在 GF(2m ) 中取值。当码元和
生成多项式均在 GF(2m ) 中取值时即为 RS 码 c
由于 RS 码在 GF(2m) 中取值‘因此 d E GF(2m )
(j=0 ‘ I 嘈... .2m-')必是该域内的卒原元已当距离为 d
时 . g(x)必须有在1 个连续根ο 当根从 Fα 拜始时，
则
g(x)=(x-α) (x-a') (x-α')... (x-æ-')
得到 RS() 咽其中 d 为最小距离 c 由
分组码的性质可知嘈其最大距离 d=n-k+1 嘈因此 RS
码育最大最小距离。这类码称为 MDS ( Maximum
Di,tance Separahle) 码、
RS 码生成矩阵产生的方法和 BCH 码相同 3 先
确定性能指标‘根据要求可得到生成多项式 g(x) ‘
再根据式 (11 )可求得 T.(X).ep可得到生成矩阵 Go
例如要构成 RS(2'') 即 RS()码咽
由 g(x)=(x-α)(轩的 ;;;;;X 2+a4X+矿，可得生成矩阵为
l 。 。 。 。 α 4 U
。 。 。 。 a' α
G=I 。 。 。 。 α h a'
。 。 。 I 。 α 3
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ecem m unication Transm ission
电 1謇 传 辅
高 蚌 ：前 向纠错技术夏其在现代通信 系统 中的应用
校验矩阵
f l 1 0 1
日 I 8Ⅱ Ⅱ3 0 1 l
和 BCH码类似，解码时先计算出误码字 ，当判
断有误码时，先找出误码字位．然后计算出修正值
在实际通信系统中，如用二进制 GF(2)代替 GF( )
行设置，并且在太洋中有人岛屿之间的距离往往很
长。对于超长距离，虽然可通过降低光纤衰减，增大
激光器发射功率来达到，然而受光纤的非线性限制，
激光器的发射功率不能太高，而对于目前的石英光
纤来说，进一步降低光纤衰减目前也难以做到 作为
一 种解决方法 ，rrU—T于 1996年颁布的 G．975建议
中的元素，RS码可表示为(m(2m一1)，m( 一d)，d)的 采用了FEc功能作为海缆通信标准的一部分。在
二进制码。
RS码具有很强 的纠错能力 ，((2 一1)，( 一d)，
d)码可纠正r个 ,ql进制码，而与之相应的二进制码
则可纠正长度为 的突发错误。
四、FEC的应用
FEC在现代通信工程中得到了广泛的运用 rru
在许多建议中采用了CRC码 在ITU-T G．704建议规
定的用于同步复用设备复帧结构中，对于2048kbit／s
的设备，其复帧结构采用了 CRC-4，生成多项式为
“+1；对于 l 554 kbit／s系列，采用了CRC一6，生成
多项式为 +1；而对于6 312 kbit／s第 2级设备，
则采用了CRC一5，生成多项式为 + +1。在 ITU—
TG．783建议中规定，SDH复帧结构追踪字节 ，I，『．
采用的是 CRC一7。
在光纤通信系统中，FEC首先应用于海缆通
信。与陆缆不同，海缆受海洋水文地质条件的限制，
其再生站不能像陆地光缆通信系统那样较自由地进
2000年4月通过的新草案中，新增了 10Gbit／s系
统的 FEC功能作为选项
rru—T所建议的 RS编码格式为 (255，239．
17)，其有限域 GF(2 )，生成多项式为
( ) + +1
RS(255，239，17)最多可纠正 8个字节的错误，
交织后 ，可纠正 16个字节计 1 024个突发 比特的误
码以及 8个字节的个别误码
G．975所提出的FEC方案，采用了独立的帧结
构，其中在附录中提出的STM一16的 FEC帧结构如
图2所示 由图2可以看出，每个帧由8个子帧组
成，每个子帧长度为 256个比特，帧长为 256字节。
每 236个字节将增加 20个字节来进行 FEC编码 ，
字节 I为哑字节，用于线路的公务通信和监控信道。
字节 2～4为 FEC同步字 ，实际上是线路有效信号的
一 部分，包含在 239个字节内。字节 5～240为STM一
16有效信息字节，字节 241～256为RS编码的监督
字节。这样，对于2．5 Gbit／s系统来说，此时线路码
速为 2．488 32x256~236=2．699，约为 2．7 Gbit／s。对于
子帧长度=256 bit
第2列
第2列
第 241列
图 2 STM一16的 FEC帧结构
19
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维普资讯
• elecommunicatîon Transmlsslon
, 电幢倚蝙
高炜 1前向纠错技术及其在现代通信革统中的应用
校验短阵
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H=|a G dd 旷 o 1 I
租 BCH 码类似，解码时先ìt算出误码字，当判
断有误码时.先找出误码字位.然后计算出修正值 t
在实际通信系统中，如用二进制 GF( 2)代替 ιFI2叫
中的元素，RS 码可表示为 (mI2m-l l. mI2咆 -d) ， d)的
二进制码「
RS 码具有很强的纠错能力 ， ((2m-n , 12m-dl ,
d)码可纠正 t 'j'-- m 进制码，而与之相应的二进制码
则可纠正长度为 t 的突发错误。
四、 FEC 的应用
FEC 在现代涵信工程中得到了广泛的运用o rrU-T
在许多建议中采用了 CRC 码c在 lTU-T 建议规
定的用于同步复用设备复帧结构中，对于 2048kbitls
的设备咽其复帧结构某用了 CRC-4，生成多项式为
x-1+x+l ; 对于 1554 kbiν$ 系列.采用了 CRC-6 ，生成
多项式为 xb+x+1 ~而对于 6 312 kbit/s 第 2 级设备，
则采用了 CRC-5 ，生成多项式为川+儿4+X2+ 1 、在 ITU
T 建议中规定咽SDH 复帧结掏追踪字节 Jo ， J"
L 采用的是 CRC-7 o
在光纤通信系统中 ， FEC 首先应用于海缆通
信。与陆缆不同.海缆受海洋水文地质条件的限制咽
其再生站不能像陆地光缆通信系统那样较自由地进
行设置，并且在大洋中有人岛屿之间的距离往往很
长。时于超长距离.虽然可通过降低光纤衰减.增大
激光器发射功率来达到咱然而受光纤的非线性限制.
激光器的发射功率不能太高.而对于目前的石英光
纤来说，进一步降低光纤衰减目前也难以做到己作为
种解决方法，ITU-T 于 1996 年颁布的 建议
采用了 FEC 功能作为海缆通信标准的→部分古在
2α)() 年 4 月通过的新草案中，新增了 10 Gbiνs 系
统的 FEC 功能作为选项…
ITU-T 所建议的 RS 编码格式为 (255 ， 239 ，
171 ，其有限域 GF(2' 1.生成多项式为
glx )=x"+旷+xJ+.τ2+1
RS1255 ， 239 ， 17)最多可纠正 8 t字节的错误咽
交织后.可纠正 16 个字节汁 1024 个突发比特的误
码以及 8 t字节的个别误码 3
G.叨5 所提出的 FEC 方案.采用了~立的帧结
构.其中在附录中提出的 STM-16 的 FEC 帧结构如
图 2 所示 c 由图 Z 可以看出.每个帧由 8 t子帧组
成.每 F子帧长度为 256 个比特，帧长为 256 字节〉
每 236 卡字节将增加 20 t字节来进行 FEC 编码.
字节 1 为哑字节，用于线路的公务通信和监控信道」
字节 2-4 为 FEC 同步字.实际上是线路有效信号的
一部分.包含在 239 t字节内 e 字节 5-240 为 STM-
16 有效信息字节，字节 241-156 为 RS 编码的监督
字节巳这样.对于 Gbit/s 系统来说，此时线路码
速为 32x256.,.236= , t~为 Gbiνs ，对于
于帧长度二256 bil
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固 2 STM-16 的 FEC 帕结构
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高 炜：前向纠错技术及其在现代通信系统中的应用
10 Gbit／s系统来说，此时码速则约为 10．08 Gbit／s。
这种带外运用方式虽然增加了码速，然而与带
内FEC相比，由于保持了SDH帧结构的独立性，其
可靠性较高。此外，在实际运用时，为了在有限域内
运算的简单 ，使 FEc的集成电路(Ic)制造容易实
现，G．975建议将FEC帧结构划分为 8个子帧，这样
只要用移位寄存器就可简单地实现电路功能。
关于正在制定的 IEEE 802．3中的 10 Gbit／s路
由器的以太网接口，即 1OGE标准中，是否应包含
FEC功能则有争议。由于FEC已经成为同步光网络
(SONET)的 10 Gbit／s标准，赞成者认为该功能也
应包含在 10GE中。反对者则认为，由于局域网
(LAN)并未采用 FEC，当广域网(WAN)采用 FEC
时．则在接口界面上产生了裂缝，破坏了以太网的无
缝连接性。且在WAN的运用中将增加成本 ，意义不
大，有 CRC一16作循环校验即足够了。如有要求进行
长距离传输时，可直接采用 SONET标准 OC192。
?dcatel在其 1686WM波分复用设备中采用了
FEC以及RS码，编码格式为 RS(255，239)，与 G．975
相同，所不同的是由于波分复用有专用 OSC波长，
故无须安排专用字节。这样字节 1就作 FEC帧同步
用。因此其码速为2．488 32×256／238=2．665，标称码
速为 2．66 Gbit／s。Lucent的Wave Star渡分复用系统
采用的FEC与 Alcatel类似，但 400 Gbit／s系统可支
持 10Gbit／s接口，编码格式为 RS(255，239)，本原
多项式为 + +1
目前，宽带无线接人(BWA)是通信 的热点之
一
。 从 IEEE 802．16宽带无线接人工作组所提供的
建议标准来看，在媒体访问控制层(MAC)和物理层
(PHY)均采用了FEC技术。图3为 Mitsubishi Elec．
1ricITA公 司于 1999年 11月 向 IEEE 8o2．16所提
出的PHY层编码模型。
该建议包括两套编码方案，信号首先进行串并变
图3 PHY层编码模型
●堪量廿攮毒 纂1囊 卸 一 20
换(Bit—Byte)，再进行Rs编码，其编码格式为(204，
188)。该码由RS(255，239)截去 51个字节而得到，
但其纠错能力不变 然后进行交织，在有突发误码发
生时，由于交织的作用，可以将短周期内的大突发误
码扩散到长周期内的小突发误码，实际上就是将系
统无法处理的大误码化为系统可承受的小误码。其
后则是网格码(Trellis)编码调制器，该电路 的作用
是将编码器和调制器综合考虑，使系统在多电平正
交幅度调制(QAM)下欧几里德距离和汉明距离达
到最佳 ，使系统编解码做到最优化。最后对信号进行
滤波和调制后送至发射机的数据接口。对调制器和
编码的数学分析结果表明，这种组合方式对于无线
电波传播过程中，多径衰落所引起的长周期信号误
码具有强大的纠错能力 LSI LOGIC公司向 IEEE
802．16 BWA工作组提交的PHY层的与比特交叉存
取编码调制 (BICM)联合运用 的正交频分复用
(OFDM)建议标准文稿中，也采用了 RS(204．188)
作为 FEC。
2000年 2月，美国 Ensemble通信 、Nokia、以色
列 Breezeeom公司和 Siemens联合 向 IEEE 802．16
工作组提交了BWA物理层建议，在空中接 口部分
(16．1)，文件建议采用 QAM一4，16和 64，上行为时
分多址(TDMA)，下行为 TDMA或时分复用(TDM)，
PS(Ptlysical Slots)技术 ，适用于诸如 LMDS，MMDS
这一类无 线接 入系统 。对 于 LMDS其 频谱 为
27．500-31．225 GHz，可支持时分双工(TDD)和频分
双工(FDD) PHY和 MAC的传输控制数据 FEC采
用 RS码加 CRC校验 ，RS采用 (138，128)，CRC长
度为 16bit。
目前所推出的大部分 BWA技术 ，如 MMDS、
LMDS以及起草中的用于个人无线通信的 IEEE
802．15有关 BLUETOOTH建议，均带有 FEC功能，
且大多采用 RS码加交织码。
FEC编解码既可以用硬件实现也可用软件实
现，具体方法可以从 Bedekamp—Massey或 Euclid算
法得到。Euclid算法由于较简单而得到了较广泛的
应用。Berlekamp-Massey算法在软件和硬件中都得
到了应用，同时可采用 Chien搜索算法，寻找错码的
值。另一种广泛运用的方法是采用Forney算法来求
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同应的南T撬罪信通代
m
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自其m
相
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技
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10 Gbit/s 系统来说，此时码速则约为 Gbitls o
这种带外运用方式虽然增加了码速嘈然而与带
内 FEC 相比，由于保持了 SDH 帧结构的独立性，其
可靠性较高产此外，在实际运用时咽为了在有限域内
运算的简单咽使阻C 的集成电路(jC) 制造容易实
现咽 建议将 FEC 帧结构划分为 8 个子帧，这样
只要用移位寄存器就可简单地实现电路功能。
关于正在制定的 IEEE 中的 10 Gbitls 路
由器的以太网接口，即 10 GE 标准中.是否应包含
FEC 功能则有争议。由于 FEC 已经成为同步光网络
(SONETI 的 10 Gbitls 标准唱赞成者认为该功能也
应包含在 10 GE 中 ο 反时者则认为咱由于局域网
(L!也N) 并未采用 FEC咽当广域网 (WAN) 采用 FEC
时，则在接口界面上产生了裂缝，破坏了以太网的无
缝连接性且在 WAN 的运用中将增加成本咽意义不
大咱有 CRC-16 作循环校验即足够了。如有要求进行
长距离传输时咱可直接采用 SONET 标准 0C192 、
t\.lcate! 在其 1686币'M 波分复用设备中采用了
FEC 以及 RS 码咽编码格式为 RS (255 .239).与
相同、所不同的是由于波分复用有专用 OSC 波长.
故无须安排专用字节。这样字节 I 就作阻C 帧同步
用 3 因此其码速为 32x256/238= ，标称码
速为 Gbi tl s , Lucent 的 ~rave Star 波分l:用系统
采用的 FEC 与 Alcate! 类似，但 400 Gbit/s 系统可支
持 10 Gbitls 接口，编码格式为 RS(255 咽 239 1.丰原
多项式为川甘斗t甘2+1 c
目前咽宽带无线接人 (BWA)是通信的热点之
从 IEEE 宽带无线接人工作组所提供的
建议标准来看、在媒体访问控制层(MAC) 和物理层
(PHY)均采用了 FEC 技术。图 3 为 Mitsubishi E!ec
tric ITA 公司于 1999 年 11 月向 IEEE 所提
出的 PHY 层编码模型「
该建议包括两套编码方案.信号首先进行串并变
圄 3 PHY 层编码模型
.电量计擎拿第，.....擎'"一→ 20
换 (Bit-Bytel.再进行 RS 编码，其编码格式为 (204 咱
1881 0 该码由 RS(255 嘈 239)截去 51 个字节而得到咱
ii3.其纠错能力不变 c然后进行交织，在有突发误码发
生时，由于交织的作用，可以将每周期内的大突发误
码扩散到长周期内的小突发误码.实际上就是将系
统无法处理的大误码化为系统可承受的小误码。其
后则是网格码 (Trellis 1编码调和j器.该电路的作用
是将编码器和调制器综合考虑，使系统在多电平正
交幅度调制 (QAM)下欧几里德距离和汉明距离达
到最佳咽使系统编解码做到最优化。最后对信号进行
嘘波和调制后送至发射机的数据接口 3 对调制器和
编码的数学分析结果表明，这种组合方式对于无线
电波传播过程中.多径衰落所引起的长周期信号误
码具有强大的纠错能力. LSI LOGIC 公司向 IEEE
BWA 工作组提交的 PHY 层的与比特交叉存
取编码调制 (BICM) 联合运用的正交顿分复用
(OFDM)建议标准文稿中咱也采用了 RS(
作为 FECo
20ω 年 2 月咽美国Ens炮rnble 通信、Nokia、以色
列 Breezecom 公司和 Siemens 联合向 IEEE
工作组提交了 BWA 物理层建议，在空中接口部分
(16. 1) .文件建议采用 QAM-4 ， 16 和 64.上行为时
分多址 (TDMA) ，下行为 TDMA 或时分复用(τ'DM 1.
PS (Physica1 S!ots) 技术，适用于诸如 LMDS ， MMDS
这一类无线接入系统」对于 LMDS 其频谱为
-3 GHz、可支持时分双工 (TDD)和顿分
双工(FDD) 0 PHY 和 MAC 的传输控制数据 FEC 采
用 RS 码加 CRC 校验、 RS 采用( 138 ， 128) 嘈 CRC 长
度为 16bit ，
目前所推出的大部分 BWA 技术咽如 ~IMDS ‘
LMDS 以及起草中的用于个人无线通信的 IEEE
有关 BLUETOOTH 建议.均带有 FEC 功能唱
旦大多采用 RS 码加交织码。
FEC 编解码既可以用硬件实现也可用软件实
现，具体方法可以从 Berlekamp-Masse-y 或 Euclid 算
法得到U ， Euclid 算法由于较简单而得到了较广泛的
应用 Ber!ekamp-Massey 算法在软件和硬件中都得
到了应用咽伺时可采用 Chien 搜索算法.寻找错码的
值。另一种广泛运用的方法是采用 Forney 算法来求
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ecom munication Transmission
电 信 信 糖
高 蚌 ：前向纠错技术爱其在现代通信系统中的应用
解瞬态方程组。硬件方法如 MPEG中就有商用化的
RS编解码 Ic。此外，考虑到批量关系，也有采用固
件方式的。至于软件方式，据 4i2I公司报道，该公司
用软件实现时，速度大致如表 3所示。
表3 RS函数和码速关系表
采用 FEC技术可较好地改善误码性能，这可以
用提高等效信噪比来表示，图4为实验结果。
簪
宦
习
辑
BCH一1=BCH忸191，81781
BCH 2=BCH f8191．81651
BCH 3=BCH(8191 8l52)
RS一4-RS(225．247)
RS 8= (225 239)
RS一16=RS(225，223)
图 4 各 种单 兀 编 码 的性 能
虽然 FEC技术可大大改善传输质量 ，但一般来
说，对于不同的系统在工程上应作不同的考虑。
对BWA来说 ，其信道为变参信道。对电磁波传
播损耗留有一定余量后，主要考虑衰落的影响，FEC
不失为一种较好的解决方法。但在光纤传输系统这
样的恒参信道中，考虑角度就有所不同。在工程设计
中，一般应考虑留有维护余量，这包括线路和设备余
量 此外，对任何一种 FEC来说，其纠错性能均有一
定的限制。当突发性误码很长，超出其纠错能力时，
FEC将无能为力 而由于电源、线路故障等所产生
的误码往往属于这种情况。实际新装系统由于余量
较大，FEC所带来的好处并没有看出来。而在设备
终期，如激光器的老化在其寿命周期终点时是个突
变量，因此，用 FEC来替代维护余量并非上策 此
外，采用较复杂的算法虽然可得到较好的纠错性能，
但一般来说，对于交织编码和卷积编码，在译码过程
中将有较大的绝对时延。因此，除了海缆系统外，陆
地光传输系统应将 FEC视为一种非常有用的辅助
手段，而不应占用设计余量。
由以上论述可知，不同的系统其要求和编码方
案并不相同。对一些新运营商来说，由于缺少接人资
源，在网络建设上“最后一公里”的多样化将不可避
免。研究各种信道编码技术及其对系统性能的影响，
对于选用设备和组织网络有着重大的意义。
参 考 文 献
l K D Shiral1．D Dablri．Ting Y Chen An OFDM based tmnseelver
for Broadband Wireless Access． IEEE 802．16 Broadband Wirde硒
A~essWorkingGroup，l999—10—29
2 J lOein，LLindh，C Eklund．P Bergholm，N．Chayat，P BaldoPHY
laye p。s for BW A， IEEE 802．16 B『0adband Wireless Access
Workitlg Group，2000-02-25
3 郭梯云．刘增基，王新梅 数据传输(修订奉)北京 ：^ 民邮电出版
社 ．1998
4 吴伟陵 信息处理与编码 北京 ：^ 民邮电出版社，1999
收稿日期：2000-10—3I (编辑 李薇薇)
●¨ 坤羹毒 整 l算 钠啤_尊 胃 ～ 21
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• elecommunication Transmission
, 电倩传输
高炜前向纠错技术及其在现代通信革统中的应用
解瞬态方程组。硬件方法如 MPEG 中就在商用他的
RS 编解码 IC 此外嘈考虑到批量关系.也有采用固
件方式的。至于软件方式，据 4i21 公司报道，该公司
用软件实现时.速度大致如表 3 所示二
表 3 RS 函数和码速关票去
RS(255 ,2l91
RS\ 255 .223 )
采用 FEC 技术可较好地改善误码性能，这可以
用提高等效信噪比来表示.图 4 为实验结果。
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BCH-2"'BCH (8191, 8]65) RS-ß=RS (225 , 239)
BCH-3=.BCH (8IQ1. 3]52) RS-]6=RS 1225. 2~3)
固 4 各种单元编码的性能
10
虽然 FEC 技术可大大改善传输质量嘈但一般来
说.对于不同的系统在工程上应作不同的考虑。
对 BWA 来说咱其 i言道为变参{言道。时电磁t皮传
播损挺留有 定余量后，主要考虑衰落的影响，FEC
不失为一种较好的解决方法。 但在光纤传输系统这
样的恒参信道中嘈考虑角度就在所不同q在工程设计
中，一般应考虑留有维护余量，这包括线路和设备余
量 c 此外，对任何 种 FEC 来说咱其纠错性能均在
定的限制。当突发性误码很长，超出其纠错能力时
FEC 将元能为力 D 而由于电源、线路故障等所产生
的误码往往属于这种情况。实际新装系统由于余量
较大， FEC 所带来的好处并没在看出来。而在设备
终期嘈如激光器的老化在其寿命周期终点时是个突
变量嘈因此嘈用 FEC 来替代维护余量并非上策 此
外嘈采用较复杂的算法虽然可得到较好的纠错性能.
但一般来说，对于交织编码和卷积编码，在译码过程
中将有较大的绝对时延c 因此嘈除了海缆系统外嘈陆
地光传输系统应将 FEC 视为一种非常在用的辅助
手段唱而不应占用设计余量。
由以上i~述可知嘈不同的系统其要求和编码方
案并不相同、对 些新运营商来说，由于缺少接入资
源，在网络建设上"最后一公里"的多样化将不可避
免。研究各种信道编码技术及其对系统性能的影响.
可于选用设备和组织网络有着重大的意义。
参考文献
I(, D. Shirali 唱 D. Dabiri 嘈 Ting y , Chen An QFDM based tnmsceiver
I町 Broa晶 and Wireles心 Acce导~. lEEE Broadband Wirf11俨H
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3 郭棉云， ~Jj曾草，王新梅敏据传输(修订本1. jt亘 k民邮电出版
主士， 1998
4 吴伟陵信息耻理与编码北亘 k民邮电出版桂 1999
段f收稿日期 :2胁10-31 (编辑李被截)
Abslract It introduces forw田-d error cOITI"Ction in detail? which is widely used in digital
communicatÌon 町stem? makes emphasis on describing different encoding methods. and ana-
lyzes ，"a口ous channel encoding technology and their effeets on 町stem penormance
Keywords Fornrard error correction Modern communication system Encoding plan
"atrix
.电说静篝本篝'.组阳停 E 局 -21 一节lYf可-0.- 1 J4IWalJ>- 2001
