一、工序質量控制
二、過程能力的概念、度量、分析評價
三、過程能力指數與不合格品率
四、正態性檢驗
五、過程能力調查
六、正態總體假設檢驗
七、制程能力電腦分析
一、工序質量控制
通常要解決兩個問題:
— 一是過程狀態的穩定,即過程處於統計控
制狀態
— 二是過程具有生產合格品的保證能力
二、過程能力的概念、度量、分析評價
1. 過程能力概念
(1). 6M 或稱 5MIE 構成了過程的六大要,
其 綜合效果加以量化時,就構成過程能力
(2). 過程控制系統圖
人
機
料
法
環
量測
資
源
組
合
轉
換
中間產品
半成品
成品
零部件
……
行
動
統計方法
制程能力
量度σ2. μ
(3). 六大因素將各自對產品品質產生影響, 產品/
服務量化的結果綜合反應出:
σ2 —— 變量概率分布的方差→標準偏差
— 過程能力大小的度量基礎
μ —— 變量之平均值
(4). 正確理解 σ、μ 及 X、S
試 比 較 樣 本 與 群 數
Sample Population
Statistic
X — average
S — Sample stand deviation
Parameter
μ — Mean
σ— Standard deviation
-
(5). 正態分布之形成過程
Sample —— Population
標準測量: 少→多→ 群數
X → X → X → X →
X → X → X →
(6). 正態分布概率密度函數:
當收集到的數據為計量數據時,質量特性 X 會
是一個連續性隨機變量,變量的分布便是正態
分布,符合下式:
概率密度函數:
其中: π=
e =
Xi - μ
σ
Z =
ƒ (Z)
-3σ - 2σ σ μ σ 2σ 3σ
%
%
%
ƒ (Z) = e = e1
Z2
2
Z2
2
Z2
2
√ 2π
Z2
2
Z2
2
Z2
2
(7). 6 σ應用
概率正態分布之性質在 μ±3 σ 範圍之概率
為 , 幾乎包含了全部的質量特性值.
所以: 6 σ 範圍被認為是產品品質正常波動的
合理的最大幅度,它代表了一個過程所能達到的
質量水平,所以過程能力一般用 6 σ 來表示.
σ 越大 → 過程質量波動越大,過程能力越低
σ 越小 → 過程能力越高
?想一想: 6 σ之範圍,對我
們會有怎樣的意義,可以用
來作品質設計嗎?
小結:
所謂過程能力,就是過程處於統
計控制狀態下,加工品質正常波動的經
濟幅度,通常用品質特性值分布的 6 倍
標準偏差表示,記為6 σ
試問: 過程本身與公差有無關係?
2. 過程能力指數
比較評價 : 工序自身實際存在的能力( 質量水
平) 6 σ; 給定的技術要求 T ( 公差)
比值 — 衡量過程能力, 滿足工藝技術要求程度指
標 — Cp
Cp = = TU - TL6 σ
T
6 σ
TL TU
分布中心與公差中心重合
?想一想: 如果T 的中心( 公差中心 ), 與6 σ之中心不
重合時, CP會是一種怎樣的值, 不重合時CP該如何考
慮呢?
TL TUΣ
T/2
M μ
分布中心與公差中心不重合
—— 偏移量ε : ε =｜M-μ｜公差中心 M 與
分佈中心 μ 之差值 ?
偏移是過程中存在甚麼因素的影響?
CP 與不良率有
甚麼關係?
三、過程能力指數與不合格品率
1. 假定X≧TL為合格品, 那麼X<TL時為不合格品, 如圖示
- ∞ AreaT=
陰影部份的面積即為不合格品, 查表可求出
- ∞
TL μ
Area1 = Φ ( )
TL – μ
σ 即 PL = P( X < TL ) = Φ ( )
TL – μ
σ
μ – TL之不同值(可以用σ為單位來度量)不合格品率PL
也不同, 因此可定義過程能力指數
CPL =
μ – TL
3 σ
+ ∞
Area1
2. 假設X ≦ TU 為合格品,那麼 X > TU 時為不合格品
- ∞ Area1=
Area2 Area1 + ∞- ∞
μ TU陰影部份的面積查表可求:
Area1 = AreaT - Area2 = 1- Φ ( )
TU – μ
σ
不合格品率 PU = P( X > TU ) = 1 - Φ ( )
TU – μ
σ
由上可知: TU – μ 的不同值 ,會有不同的不合格品率PU,
因此,定義過程能力指數
CPU =
TU – μ
3 σ
+ ∞
3. 假設特性 X 規格為 ( TL , TU ), 當特性值X 在(TL , TU ) 為合
格, 那麼 X < TL 或X > TU 即為不合格品
4. 如圖示:
Area3
- ∞
- ∞
Area2 Area1
TL μ TU
陰影部份即為不合格品之率:
P = PL + PU = P( X < TL ) + P( X > TU )
a). 當公布中心 μ 與公差中心 M 重合時
M = μ PL = PU
b). 當M < μ 則: P( X < TL ) + P( X > TU ) 不合格品主要出現在
質量上限
T
- ∞
TL M μ TU
Area + ∞
c). 當M > μ 則: P( X < TL ) + P( X > TU ) 不合格品主要出現在
達不到規格之下限部份
所以可定義過程能力指數
CPK = min (CPU , CPL) = min ( , )
TU – μ
3 σ
μ – TL
3 σ
= min ( , ) μ – M +T/2
3 σ
M +T/2 - μ
3 σ
= + min ( , ) = - μ – M
3 σ
M - μ
3 σ
T
6 σ
T
6 σ
｜M-μ｜
3 σ
T
6 σ
= - =( 1-K ) Cp ( K = )
KT/2
3 σ
M - μ
T/ 2
K 即為偏移系數
T
- ∞
TL μ M TU
Area
小結:
由於在實際問題中,分布的參數往往是未知的,
為此常用樣本數估計值來代替.
即 μ = X σ = S
綜上所述: 過程能力指數結如下:
1>. 單邊規格:
a. 規定上限X ≦ TU 時為合格
Cp = (TU-X) / 3S
b. 規定下限 X > TL 時為合格
Cp = ( X - TL) / 3S
2>. 雙邊規格 X → [ TL , TU] 為合格
用ε =｜M -X｜
ε
T/ 2
K = = T/ 2｜M -μ｜
CPK = ( 1 – K ) CP
重點說明:
討論過程能力指數,一定在如下兩個假定下
進行的:
1.過程是穩定的,即過程的輔出特性X 服從
正態分布 N (μ , σ 2 )
2. 產品的規格範圍( 下限規格TL和上限規格
TU ) 能準確反映顧客 ( 下道工序的工人、
使用者 ) 的要求.
如果不知道分布是否是正態分布, 則應進行
正態性檢驗來驗證過程分布是否服從正態
分布
四、正態性檢驗
Normality Tests — Shapiro Wilkes Test
觀察 Shapiro — Wilk Prob < W Value
如果: P Value ( 以 Prob < w 表示)
Prob < W 是大於, 則可以認為是正態分布,
如果: Prob < W 是小於 , 則不認為是正態分布,
需作計算機曲線擬合或圖形分析
五、過程能力調查
是基于過程處于穩定狀態下,科學計算μ σ, 常用
控制圖法和直方圖法
A. 直方圖:通過直方圖的分散範圍同公差範
圍比較簡便而又直觀地判斷過程能力是否滿
足品質要求
也可以按直方圖算得 X 及 S 計算CPK值
缺點,直方圖不能看出質量特性值隨時間變化
的情況不能反映生產過程的穩定. (樣本中包含
了特大或特小的樣品值 S 值較大 CPK降低)
B. 控制圖法
通過控制圖確認過程處於統計控制狀態下,以產
品質量正常波動的標準偏差σ. 計算數過程能力
6 σ.
σ通常用 R/d2 來計算 σ= R/d2
因為控制圖繪制過程中反映了較長時間內過程
處于穩定狀態的質量波動狀況,排除了系統因素
的影響.
六、正態總體假設檢驗
品管經常需要對兩個事物進行比較,如兩種工藝
方法生產的產品特性比較,兩批原材料的性能比
較,某時刻(批)產品質量與正常母體的差異等,但
是,差異是絕對存在的,品管講究的是有無“顯著
性差異” 顯著性檢驗就是借助“統計檢驗”的
方法判斷兩個事物是否存在差異的一種方法.
1. 顯著性檢驗的一般程序
1>. 設置原假設Ho 如Ho:μ> μo ; 則Ho 的
備擇假設H1:μ< μo
2>. 設定顯著水平α
顯著性檢驗的判斷是依據小概率事件原理的判
斷,所謂小概率α是判斷錯誤的概率( 風險度 ).
統計檢驗依據的是小概率原理,即“在一次實驗中
小概率事件實際上(不是理論上)是不會發生的”,如
果發生了,則應判定統計檢驗的結果存在顯著性差別:
例:在1000個零件中會有1件不合格品,現在從中隨
機抽取1件,則抽到不合格品的概率為, 因此在
1000件中只會有1件不合格的假設下, 從中抽取一
件就正好抽到不合格品, (不是理論上)實際上是不
可能的.
根據這個原理可以得到一個推理方法,即如果
在某假設成立的條件下,事件A是一個小概率事件,
現在只進行一次試驗,如果在這一次試驗中,事件A
就發生了,則自然有理由認為原來的假設不成立
所以,假設檢驗的核心問題是選取適當的統計
量,並找出其在假設成立的前提下的概率分布,對于
給定的顯著性水平α提出檢驗標準 — 小概率事件
發生的臨界值,進而對所提出的假設進行判斷.
適常選擇α= , , 等,一般情況下若
小概率事件的發生可能導致重大損失時,應選取數
值小的α值,反之可以選大一些, 適常α取
3>. 求臨界值
在給定的顯著性水平下, 通過查表求得臨界值
4>. 判斷
將統計量與臨界值比較,作出拒絕原假設Ho或接
受原假設Ho的判斷,當拒絕原假設Ho時,一般應
接受備擇假設H1.
5>. 結論, 做出顯著性判斷的結論
2. 正態總體假設檢驗: t 檢驗和U 檢驗
設總體X~N(μ, σ2) ; X1,X2…, X n 是總體 X 的隨機
樣本μo 和σo 是已知數值
則 U = t = X – μo
σo n√
X – μo
S n√
σ= σo 已知 , 用 U 檢驗
σ 未知 , 用 t 檢驗
情形
假 設 基本假設Ho之否定域
Ho H1 σ= σo已知 σ未知
1 μ= μo μ≠ μo { | U |≧Uα} { | t |≧ tα, n-1}
2 μ≦ μo μ> μo { | U |≧U 2α} { |t ≧ t 2α, n-1}
3 μ≧μo μ<μo { U ≦U 2α } { t ≦- t 2α, n-1}
表中Uα是標準正態分布水平α的雙側分位數, tα,v是自由度為
v = n – 1 的 t 分布水平的雙側分位數
(1). U檢驗舉例
某料號的電鍍鋅層厚度在正常情況下,服從正態分布N
( , )某日抽測五批產品,其厚度分別為 ,
, , ,,若標準偏差設有變化,現需檢驗分
布中心有列顯著性差異
a. 設置原假設Ho
Ho: μ= μo即當日產品鋅層度分布中心正常
b. 計算統計量
均值: X =
U = = = - – μo
σo n√
–
5√
n - 為樣本大小μo σo分別為原總體分布中心和標準
偏差
c. 查表(求臨界值)
d. 設置顯著性水平α=
e. 查正態分布表或正態雙側位分數(uo)表,得到 =
=
d. 判斷
e. 若| u | ≦ uα則接受原假設Ho
f. | u | > uα則拒絕原假設Ho
g. 現| u | = > ,故應拒絕原假設Ho
e. 結論:
f. 當日產品厚度已發生顯著變化,必須從工藝上爭取糾正
措施,使生產產品的分布中心恢復到原有水平.
如果已知兩個母體分別服從正態分布 N (μ1 ; σ o)和(μ2 ; σ
o),它們有和同的標準偏差σ o, 現需檢驗這兩個母體分布中
心μ1 和μ2是否存顯著結果,仍可用U檢驗,
μ= X1 – X2
σ o √ 1 1n1 n2
(2). t 檢驗舉例
標準偏差未知時, 應采用 t 檢驗方法解決問題
如: 某一彈簧壓縮到某一高度后之彈力服從正態分布,
某一規格的標準彈力為,從某日生產的產品中抽
取9個樣品檢驗彈力分別為
No. 1 2 3 4 5 6 7 8 9
X
試用 t 檢驗的方法檢驗當日生產的彈力是否正常.
a. 設置原假設 Ho
b. Ho : μ= μo 當日產品彈力正常
b. 求統計量
c. 均值 X 偏差 S
d. X = S =
e. 計算統計量時,由於總體標準偏差未知, 用樣本標準偏差
f. S代替.
X – μo
S / n√
t = =
c. 查表( 求臨界值 )
d. 若μ= μo 為真實時, t 變量服從自由度為 n – 1 的分布
e. 本例自由度 f = n – 1 = 8 設α= 查t 分布表
f. 查得臨界值為:
f = 8
t α = =
d. 判斷
e. 若 | t |≦ t α時判斷接受原假設Ho
f. | t | > t α時判斷拒絕原假設Ho
g. 現有t = <
h. 則應接受原假設 Ho :μ= μo
e. 結論
f. 當日生產彈簧彈力無顯著變化 ( 正常)
與U 檢驗相同, t 檢驗也可以檢驗兩個母體的分布中心
是否相同, 其計算公式是:
√
X1 – X2t =
( n1 – 1) S12 + ( n2 - 1) S22
n1 + n2 – 2
√ 1 1
n1 n2
七、制程能力電腦分析(略)
t 檢 驗 臨 界 值 表
P( | t |> t α) = α
- t α, n -1 0 t α, n -1
α / 2α / 2
正態分布的雙側位數( uα)表
- μ α 0 μ α
1/2α1/2α
α = 1- ∫e – – d μ
μ α
-μ α√ 2π
1 μ2
2
