风险与收益的度量
投资组合的风险与收益
有效投资组合分析
资本资产定价模型
第五章 风险与收益率
一、风险与收益的定义
风险与收益的度量
公司在经营活动中所有的财务活动决策
实际上都有一个共同点，即需要估计预期的
结果和影响着一结果不能实现的可能性。一
般说来，预期的结果就是所谓的预期收益，
而影响着一结果不能实现的可能性就是风险。
所谓收益（Return）是指投资机会未来收
入流量超过支出流量的部分。
可用会计流表示：如利润额、利润率等
可用现金流表示：如债券到期收益率、净现值等
所谓风险（Risk）是指预期收益发生变动
的可能性，或者说是预期收益的不确定性。
1. 风险是“可测定的不确定性”；
２．风险是“投资发生损失的可能性”
二、单项资产风险与收益的度量
假设一家公司现有100万美元的资金可供
投资，投资期限1年，现有下列四个备选
投资项目：
1. 国库券——期限１年，收益率８％；
2. 公司债券——面值销售，息票率９％，１０年期；
3. 投资项目１——成本１００万美元，投资期１年；
4. 投资项目２——成本１００万美元，投资期１年。
投资收益的概率分布
投资收益率投资收益率
经济经济
状况状况
发生发生
概率概率
国库券国库券
公司公司
债券债券
项目一项目一 项目二项目二
萧条萧条 %% %% %% %%
衰退衰退 %% %% %% %%
一般一般 %% %% %% %%
增长增长 %% %% %% %%
繁荣繁荣 %% %% %% %%
１．期望值——期望收益率的度量
ki----第i种可能的收益率
P(ki)----第i种可能的收
益率发生的概率
n----可能情况的个数
２．标准差——风险的绝对度量
标准差（Standard Deviation--SD）
是方差的平方根，通常用σ表示。
Ki---第i种可能的收益率
K---期望收益率
P(ki)---ki发生的概率
n --- 可能情况的个数
计算各项投资方案的标准差结果如下
1.国库券
2.公司债券
3.项目一
4.项目二
标准差提供了一种资产风险的量化方法，
对于这一指标，我们可作以下两种解释
第一种解释：给定一项资产（或投资）的期望收益率和
标准差，我们可以合理地预期其实际收益在“期望值加
减一个标准差”区间内的概率为2/3（约为%）。
第二种解释：根据标准差可以对预期收益相同的两种不
同投资的风险做出比较。一般来说，对期望值的偏离程
度越大，期望收益率的代表性就越小，即标准差越大，
风险也越大；反之亦然。
3．变异系数——风险的相对度量
变异系数（Coefficient of Variation--CV）
是指标准差与期望收益率之比，也被译作
方差系数、标准差系数、标准离差率。
σ——期望收益率的标准差
——期望收益率
计算各项投资方案的变异系数结果如下
1.国库券
2.公司债券
3.项目一
4.项目二
四种投资方案的风险与收益的度量小结
期望收益率或风期望收益率或风
险的度量险的度量
投资方案投资方案
国库券国库券 公司债券公司债券 项目一项目一 项目二项目二
期望收益率期望收益率(k) (k)
标准差标准差(SD(SD或或σ)σ) 00
变异系数变异系数(CV)(CV) 00
投资组合的风险与收益
投资组合（Portfolio）是指
两种或两种以上的资产组成
的组合。它可以产生资产多
样化效应从而降低投资风险。
一、投资组合收益的度量
投资组合的预期收益率是投资组合中单个
资产或证券预期收益率的加权平均数。
—投资组合的期望收益率
—第i种证券的期望收益率
—第i种证券所占的比重
—投资组合中证券的个数
举例：Supertech公司与Slowpoke公司
概率概率 经济状况经济状况 SupertechSupertech SlowpokeSlowpoke
萧条萧条
衰退衰退 10%10% 20%20%
正常正常 30%30% -12%-12%
繁荣繁荣 50%50% 9%9%
现构造一个投资
组合，
其中：
Supertech占
60%，
即w1=;
Slowpoke占
40%，
即w2=。
第一步第一步: : 计算组合中各项资产的期望收益率；计算组合中各项资产的期望收益率；
计算投资组合的收益
第二步第二步: : 计算投资组合的期望收益率；计算投资组合的期望收益率；
Supertech的预期收益率
Slowpoke的预期收益率
（一） 协方差与相关系数
（二） 两项资产组成的投资组合的方差
（三） 多项资产组成的投资组合的方差
二、投资组合风险的度量
（一） 协方差与相关系数
在证券投资中，这两个指标用
来度量两种金融资产未来可能收
益率之间的相互关系。
1. 协方差（Covariance）
协方差是两个变量（证券收益率）离差之积
的期望值。通常表示为Cov(R1,R2)或σ12。
证券1在经济状态i下收益率对期望值的离差
证券2在经济状态i下收益率对期望值的离差
经济状态i发生的概率
经济状态可能情况的个数
SupertechSupertech
收益率收益率 收益率离差收益率离差
-20%-20%
10%10%
30%30%
50%50%
预期收益率预期收益率%%
计算投资组合各项资产收益率的协方差
经济状经济状
况况
概率概率
SupertechSupertech SlowpokeSlowpoke
收益率离差之积收益率离差之积
收益率收益率 收益率离差收益率离差 收益率收益率 收益率离差收益率离差
萧条萧条 -20%-20% 5%5%
衰退衰退 10%10% 20%20%
正常正常 30%30% -12%-12%
繁荣繁荣 50%50% 9%9%
预期收益率预期收益率%% 预期收益率预期收益率%% 加权平均值加权平均值
SlowpokeSlowpoke
收益率收益率 收益率离差收益率离差
5%5%
20%20%
-12%-12%
9%9%
预期收益率预期收益率%%
第一步第一步: : 计算各项资产的期望收益率和离差；计算各项资产的期望收益率和离差；
第二步第二步: : 计算组合中各项资产的期望收益率；计算组合中各项资产的期望收益率；
经济状况经济状况 概率概率
萧条萧条
衰退衰退
正常正常
繁荣繁荣
加权平均值
收益率离差之积收益率离差之积
第三步第三步: : 计算协方差。计算协方差。
解释：协方差反映了两种资产收益的相互关系。
1. 如果两种资产的收益正相关，即呈同步变动态势，
2. 那么协方差为正数；
2. 如果两种资产的收益负相关，即呈非同步变动态势，
那么协方差为负数；
3. 如果两种资产的收益没有关系，那么协方差为零。
2. 相关系数(Correlation Coefficient)
相关系数等于两种资产收益率的协方差除
以两种资产收益率标准差的乘积。通常表
示为Corr(R1,R2)或ρ12。
—两种资产收益率的协方差
—资产1的标准差
—资产2的标准差
计算投资组合各项资产收益率的相关系数
第一步第一步: : 计算各项资产的期望收益率的标准差；计算各项资产的期望收益率的标准差；
第二步第二步: : 计算各项资产的期望收益率的相关系数。计算各项资产的期望收益率的相关系数。
解释：由于标准差总是正数，因而相关系数
的符号取决于协方差的符号。
1. 如果相关系数为正数，则两种资产的收益率正相关；
2. 如果相关系数为负数，则两种资产的收益率负相关；
3. 如果相关系数为零，则两种资产的收益率不相关。
最为重要的是，相关系数介于-1和1之间；
其绝对值越接近1，说明其相关程度越大。
（二） 两项资产组成的投资组合的方差
1. 投资组合的方差和标准差
—投资组合的方差
—投资组合的标准差
—投资组合在第i中经
济状态下的收益率
—投资组合的期望收益率
—第i中经济状态发生的概率
—经济状态的可能数目
预期收益率预期收益率
方差方差
标准差标准差
经济经济
状况状况
发生发生
概率概率
超级超级
技术技术
慢行慢行
公司公司
萧条萧条
衰退衰退
正常正常
繁荣繁荣
举例：计算投资组合的标准差
资产组合（6：4）
2. 投资组合方差的简化公式
公式表明：投资组合的方差取决于组合中各种
证券的方差和每两种证券之之间的协方差。每
种证券的方差度量两种证券收益的变动程度，
协方差度量两种证券收益之间的相互关系。
举例：计算投资组合的标准差
3. 投资组合的多元化效应
Ⅰ. 首先计算两家公司各自标准差的加权平均数
比较两个结果：投资组合的标准差小于组合中各
个证券标准差的加权平均数。而投资组合的期望
收益于组合中各个资产期望收益的加权平均数。
这就是投资组合多元化效应的缘故。
Ⅱ.接下来考察组合多元化效应在什么情况下存在
根据前面的结论 ，只要
成立，组合的多元化效应就会存在，因而
所以
结论：在两种资产组成的投资组合中，
只要他们收益的相关系数小于1，组合
多元化的效应就会发生作用。
（三） 多项资产组成的投资组合的方差
1.多项资产组成的投资组合方差的矩阵演示
投资组合方差的计算公式可以表示为如下矩阵形式
1.多项资产组成的投资组合方差的矩阵演示
现在我们假设有N项资产，为此构造一个N阶矩阵。
N项资产组成的投资组合的方差
就等于N阶矩阵中各个数值相加。
2.多项资产组成的投资组合方差的公式归纳
我们以两项资产组成投资组合为例代入公式可得
3. 投资组合的多元化效应
为了研究投资组合分散风险的效果，
我们做出以下三个假设：
（1）所有的证券具有相同的方差，设为σ2；
（2）所有的协方差相同，设为Cov；
（3）所有证券在组合中的比重相同，设为1/N。
由此我们得到投资组合的方差
表明当投资组合中资产数目增
加时，单个证券的风险消失；
表明当投资组合中资产数目增加
时，证券组合的风险趋于平均值。
为此我们把全部风险分为两部分
公司特有风险
（Unique Risk）
(Diversifiable Risk)
(Unsystematic Risk)
市场风险
（Market Risk）
(Undiversifiable Risk)
(Systematic Risk)
通过投资
组合可以
化解的风险
投资者在持
有一个完全分散
的投资组合之后
仍需承受的风险
组合投资规模与收益风险之间的关系
组合收益
的标准差
组合中
证券个数
Cov
非系统风险
可分散风险
公司特有风险
系统风险
不可分散风险
市场风险
1 2 3 4 5
结论
随着组合中资产数量的增加，
总风险不断下降；当风险水平接近
市场风险时，投资组合的风险不再
因组合中的资产数增加而增加；此
时再增加资产个数对降低风险已经
无效了，反而只增加投资的成本。
有效投资组合分析
根据马克维茨的投资组合理论，有效
证券组合主要包括两种性质的证券或证券
组合：一种是在同等风险条件下收益最高
的证券组合，另一种是在同等收益条件下
风险最小的证券组合。这两种证券组合的
集合叫做有效集（efficient set）
或有效边界（efficient frontier）。
一、两项资产组成的投资组合的有效集
二、多项资产组成的投资组合的有效集
三、无风险资产与风险性资产的组合
资产或资产组合资产或资产组合
投资期望收益率投资期望收益率
（（%%））
组合的标准差组合的标准差
（（%%））
SupertechSupertech
Supertech & Supertech &
SlowpokeSlowpoke
SlowpokeSlowpoke
一、两项资产组成的投资组合的有效集
１．在一定的相关系数下投资组合的有效集
根据以上数据我们可以作出以下曲线
组合的期
望收益(%)
组合的标
准差(%)
Slowpoke
Supertech
Supertech:Slowpoke
=6:4
1
MV
2
3
说明：我们已经计算出两家公司以6：4的比例
组成投资组合的期望收益和方差，事实上，这
只是我们能够策划出的无限多个投资组合中的
一个，（因为w1 +w2=1的w1 与w2的组合有无
限多个）。这无限多个投资组合所形成的集合
表现为图中的曲线，我们称它为投资的机会集
（Opportunity Set）或可行集（Feasible Set）。
分析
1.投资者可以通过合理地构建这两种股票
2. 的组合而得到可行集上的任一点；
2.如果投资者愿意冒险，他可以选择组合3，
或者将所有资金投资于Supertech；
3.如果投资者不愿冒险，他可以选择组合2，
或者选择组合MV，即最小方差组合；
4.没有投资者愿意持有组合1。
结论：虽然从Slowpoke至Supertech的整段曲
线被称为可行集，但投资者只考虑从最小方差组
合至Supertech之段；正因为如此，我们把从
MV至Supertech这段曲线称为
“有效集”（Efficient Set）
或“有效边界”（Efficient Frontier）。
２．相关系数变化时投资组合的有效集
组合的期
望收益(%)
组合的标
准差(%)
Ρ＝－１
Ρ＝－０．１６３９
Ρ＝０
Ρ＝０．５
Ρ＝１
Slowpoke
Supertech
说明：上图表明了在ρ12＝－时投资组
合的可行集；当相关系数变化时，投资组合的
收益和方差之间的曲线随之不同。相关系数越
小，曲线的弯曲度越大。
二、多项资产组成的投资组合的有效集
组合的期
望收益(%)
组合的标
准差(%)
MV
X
1
2 3
说明：上图的阴影部分表示在组合中资产种数
很多的时候，组合的机会集或可行集。显然，
组合实际上是无穷无尽的。
1. 所有可能产生的组合都会落在一个有限的区域内；
2. 该区域上方从MV到X这一边界是多项资产组成的
投资组合的有效集（有效边界）。
三、无风险资产与风险资产的组合
无风险资产的标准差为0（σ=0）；
也就是说，它的未来收益率没有不
确定性，实际报酬率永远等于期望
报酬率。（通常以国库券为代表）
1. 无风险资产与风险性投资组合构成的组合
Rf
N
（1）根据
计算得σ1=0,
所以σp=(1-W1)σ2
总投资组合所对应的点，总会形成一条直线，
从无风险资产伸向所选定的风险性投资组合。
（2）选择最佳风险性投资组合
在无风险资产Rf 与风险性
投资组合可行集中的各点
组成的总投资组合中，哪
一种组合能提供相同风险
下的最高收益或相同收益
下的最小风险呢？
Rf
N
M
最佳风险性投资组合应使各总投资组合对应点
的连线与有效边界相切，即图中Rf与M的连线。
2. 无风险借贷与有效投资边界
在由M和无风险资产构成的投资组合模型中，
W1是无风险资产的投资比例， W1+ W2=1。
当W1<0时，相当于投资者在以无风险利率借钱
投资于风险投资组合M。
当W1 >0时，表明投资者除了用自有资金投资
风险性投资组合M外，还将其中一部分投资于
无风险资产；
无风险借入
无风险贷出
Rf
M
Rm
σm
E
F
X
0
CML Rf代表投资者将资金全部投资
于无风险资产（W1=1）；
M代表投资者将资金全部投资
于风险投资组合（W1=0）；
Rf-M代表投资者对无风险资产
有所投资，即贷出（W1>0）；
M-X代表投资者以无风险利率借
钱投资于M，即借入（W1<0）；
M点的两侧体现了投
资者的不同风险态度。
W1+W2=1
练习：假设M投资组合RM=14%, σM=;
政府债券σf=0。若投资者自有资本1000美元，
他以无风险利率借入200美元投入M，由此形
成的投资组合期望收益与标准差各是多少？
(1) 资本市场线（Capital Market Line--CML）
如果投资者对所有资产收益的概率分布
预期是一致的，那么投资者面临的有效
组合就是一致的，他们都会试图持有无
风险资产和投资组合M的一个组合；或
者说任何一个投资者都会在直线RfM上
选点。直线RfM是所有投资者的有效组
合，通常称为资本市场线。
假设投资者构造了一个两部分资金的证券组合，
投资都无风险资产中的比率为Wf，投资到组合
M部分的比例为Wm，且Wf+Wm=1，或Wf=1-Wm。
则组合的期望收益率为
组合的标准差为
所以
即为CML表达式
该等式表明：任意有效投资组合的期望收益率
等于无风险收益率与风险补偿率之和。其中
(Rm-Rf)/σm为CML的斜率，它表明每单位市场
风险的报酬，决定了为补偿一单位风险变化所
需的额外收益，有人称之为风险的市场价格。
(2) 市场投资组合（Market Portfolio）
假设所有的投资者都能获得相似的信息源，
他们将绘制出相同的风险资产有效集；由
于相同的无风险利率适用于每一个投资者，
因而他们都认同M点所代表的风险投资组
合。常识告诉我们：这个组合就是由所有
现存证券按照市场价值加权计算所得到的
组合，称为市场组合。
资本资产定价模型
资本资产定价模型
（Capital Assets Pricing Model----CAPM）
是一种描述风险与期望收益率之间关系的模型。
在这一模型中，某种证券的期望收益率等于无
风险收益率加上这种证券的系统风险溢价。
一、CAPM的假设条件
1. 所有的投资者对未来的预期相同；
2. 资本市场是有效率的；
3. 所有的投资者追求单期财富最大化；
4. 所有投资者都以给定的无风险利率借贷；
5. 所有资产可以完全细分，可完全变现；
6. 所有的投资者都是价格的接收者；
二、β系数：系统风险的度量
Rf
M
A
D
C
B
σm
Rm
CML可以衡量市场风险与收益
之间的关系，但它不能用来测
度投资组合内部的非有效证券
（或证券组合）。
在非有效证券的标准差与收
益率之间不存在唯一的对应
关系，因而我们必须找出更
好的风险度量指标。
一种证券最佳的风险度量是该证券的β系数。
CML
1. 概念
Β系数是一个系统风险指数，它用于衡
量个股收益率的变动对于市场投资组合
变动的敏感性。或者说，贝塔系数是度
量一种证券对于市场组合变动的反应程
度的指标。
状状
态态
经济经济
类型类型
证券市场证券市场
收益收益
（（%%））
某公司收益某公司收益
（（%%））
ⅠⅠ 牛市牛市 1515 2525
ⅡⅡ 牛市牛市 1515 1515
ⅢⅢ 熊市熊市 -5-5 -5-5
ⅣⅣ 熊市熊市 -5-5 -15-15
2.举例：个股收益率与市场收益率的关系
假设每种经济状况
出现的概率相同
经济经济
类型类型
证券证券
市场市场
收益收益
某公司某公司
股票收股票收
益益
牛市牛市 15%15% 20%20%
熊市熊市 -5%-5% -10%-10%
我们计算该公司的股票是如何因市场变动而变动的
市场收益在牛市下比在熊市下高出20%，
而公司股票的收益在牛市下比在熊市下高
出30%；由此可见公司股票收益变动对市
场收益变动的反映系数是。
10
20
-10
-20
-5-15 5 15
（-10%，-5%）
（20%，15%）
SCL
证券的特征线（Security Characteristic Line----SCL）
特征线是描述单个
证券的收益率和市
场投资组合收益率
之间相互关系的一
条直线，该直线的
斜率等于β。
证券回报率
市场
回报率
大多数股票的β值在之间
证券回报率
市场
回报率
β>1
β=1
β<1
(1)若β=1，则个股收益
(2)率的变化与市场组合收
(3)益率的变化幅度相同；
(4)即该股票于整个市场具
(5)有相同的系统风险；
(2)若β>1，则个股收
益率的变化大于市场
组合收益率的变化；
称为进攻性股票；
(3)若β<1，则个股收益率的变化小于市
场组合收益率的变化；称为防守性股票；
3. 公式
结论：由于任意证券组合的β系数是各证券
β系数的加权平均值， β系数很好地度量了
它对投资组合风险的贡献，因而成为该股
票风险的适当度量指标。
三、证券市场线：资本资产定价模型
1.概念
证券市场线（Security Market Line---SML）
是一条描述单个证券（或证券组合）的
期望收益率与系统风险之间线性关系的
直线。
2. 公式
这个公式就是资本资产定价模型，它表明某种
证券的期望收益与该种证券的β系数线性相关。
期望
收益率
β系数
Rf
Rm M
SML
1
(1)假设β=0，则Ri=Rf。
(2)说明β为零的证券是无风
(3)险证券，因而它的期望收
(4)益应等于无风险收益率。
(2) 假设β=1，则Ri=Rm。
说明β为1的证券的期望收
益等于市场的平均收益率。0
证券市场线SML的斜率是(Rm-Rf)，它
反映了证券市场总体的风险厌恶程度。
（1） 证券市场线的移动
3. 说明
根据资本资产定价模型，
要求的收益率不仅取决
于β衡量的系统风险，
而且还受无风险收益率
Rf和市场风险补偿率
（Rf-Rm）的影响。
期望
收益率
Rf
SML1
0 β系数
当无风险收益率变动时，SML发生平移；
当风险厌恶程度变动时，SML发生旋转。
Rf’ SML3
SML2
首先，CML的横轴表示 标准差σ，
而SML的横轴表示β系数；
（2） SML与CML的区别
其次，CML只对有效投资组合才成立，
而SML对任意证券或组合都成立；
（3） 证券市场的均衡
在SML上的个别证券或证券组合，是就
风险和收益而言的一种均衡状态。或者
说在均衡条件下，所有证券都将落在一
条直线上，而不论组合是否有效，此时
的证券价格称为均衡价格。
