基于奇异值低阶近似的 OFDM 信道估计方法
史留成，阙大顺
武汉理工大学信息学院，湖北武汉(430063)
摘 要：本文给出了一种利用奇异值低阶近似进行 OFDM信道估计的方法，将 LS信道估
计的结果利用奇异值进行近似估计，从而减少了运算量，并针对 16QAM OFDM 系统进行
了地板效应和误码率的分析，试验结果证明了本算法的有效性及优越性。
关键词：奇异值，低阶近似，信道估计，OFDM
中图分类号：TN92
1. 引言
采用多幅度调制的无线数字通信系统，比如正交幅度调制(QAM)，需要对衰落信道进
行跟踪和估计。一般来说，这意味着在接收端要有比差分调制比如差分相移键控(DPSK)
更复杂的接收器。在正交频分复用系统(OFDM)中，DPSK适用于相对较低的数据速率，比
如用在欧洲数字音频广播(DAB)中[1]，而为了更有效的利用 OFDM的频谱，常常采用相干
调制。
OFDM 的信号映射结构决定了信道估计不仅需要使用时间相关性还要使用频率相关
性，而这样的两维的信道估计器在实际设计中一般比较复杂，所以为了减少复杂度，经常
将时频分离，形成两个在时间和频率方向分别为一维的 FIR-Wiener滤波器[2]。
在本文中，我们提出的信道估计器只利用了频率相关性，所以可以将时间相关用在本
文算法中，从而改进试验结果。
2. OFDM系统及信道模型
系统模型
典型的 OFDM 系统模型如图 1 所示[4]，OFDM 系统由于循环前缀的引入，致使信号
( )x n 与信道冲激响应 ( )h n 的线性卷积转化为循环卷积，当循环前缀持续时间 cpT 满足：
maxcpT τ> （ maxτ 为信道最大时延扩展），并且系统中的收发部分严格同步，则有[3，5]：
( ) ( ) ( ) ( ),y n x n h n w n= ⊗ + 0 1n N≤ ≤ − （1）
其中，⊗表示循环卷积， ( )y n 为接收信号， ( )w n 为系统和信道噪声（通常假定为零均值
的高斯平稳过程）的时间采样， N 为子载波数。上式的频域表示为：
( ) ( ) ( ) ( ),Y k X k H k W k= + 0 1k N≤ ≤ − （2）
其中， ( )H k 表示信道转移函数， ( )Y k 、 ( )X k 和 ( )W k 分别表示接收信号、发送信号以
及噪声的傅里叶变换。
-2-
图 1 OFDM系统基带模型
信道模型
将信道冲激响应看作是时域有限的冲击串，则它有以下形式[11]：
,
1
(2 )( , ) ( )
p
D p p
N
j f t
p p
p
h t a e π ϕτ δ τ τ
−
+= −∑ （3）
其中： pa 、 ,D pf 、 pϕ 、 pτ 分别为第 p条路径的幅度、DOPPLER频移、相位和延迟。并且
max0 pτ τ≤ ≤ ，即：所有的冲击响应位于保护间隔内。现选取 OFDM 符号持续时间小于信
道相干时间，这样信道 ( , )h tτ 在 t时刻就可以等效为一线性时不变系统。对 ( , )h tτ 作关于τ
的傅里叶变换并在频域对其进行等间隔采样得到第u个 OFDM 符号的第 k子信道频率特性
为：
'
, 1
'
, 1 1
1
(2 ) 2
( , )
p
D p s p p
k u
N
j f uT j kf
p
p
H H kf uT
a e eπ ϕ π τ
−
+ −
=
= ∑ （4）
其中 '1T 为一个实际的 OFDM持续时间， 1f 为子载波间隔。
3. 基于 SVD-MMSE的信道估计
MMSE信道估计算法
MMSE估计器的数学表示如下式[6，7，8]：
1
2 1 1
ˆ ˆH R R H
ˆR (R (XX ) ) H
ls ls lsmmse HH H H ls
H
HH HH n lsσ
−
− −
=
= +
（5）
其中： { }R HHHHH E= ， { }ˆR H Hls HHH lsE= ， { }ˆ ˆR H Hls ls HH H ls lsE= ， 2nσ 是信道加性
噪声的方差。为了减少计算量，首先对上式作简化[7]，将 1(XX )H − 用其期望 1(XX )HE − 代替，
这样不必在每次X变化时都重新计算 1(XX )H − 的值。其次，假设在所有的导频信道上都使
用相同的星座图调制并且所有星座点有相同的出现概率，则得到 21(XX ) 1 IH kE E x− = ，
这里 I是单位矩阵。定义平均信噪比（SNR）为 2 2SNR k nE x σ= ，由此得到一个简化的
估计器：
1
SNR
ˆ ˆH R (R I) Hmmse HH HH ls
β −= + （6）
-3-
这里 2 21k kE x E xβ = 是取决于调制方式的常数，如在 16－QAM调制方式中 179β = [9]。
至此，在R HH和 SNR 已知或设定为某一值时， 1SNR(R I)HH β −+ 只需要计算一次，所以每个
导频信道只需要 N 次的复数乘法。
基于 SVD的MMSE信道估计算法
为了进一步的减少复杂度，用奇异值分解来低阶近似这个简化了的估计器[7]。信道相关
矩阵的奇异值分解如下式所示[6]：
R U UHHH = Λ （7）
这里U的各列 0 1 1u , u ,..., uN − 相互正交，Λ为一 N 阶对角矩阵，各奇异值在其对角线上从
大到小依次排列，即 0 1 1... 0Nλ λ λ −≥ ≥ ≥ ≥ 。所以估计器可写为如下形式：
Hˆ ˆH U U Hmmse ls= ∆ （8）
这里∆是一个对角矩阵且其对角线上的值为：
SNR
k
k
k
β
λδ λ= + ， 0,1,..., 1k N= − （9）
由以上分析可知，可通过去掉最小的基向量而将 N 阶矩阵降为 p阶，这时式（8）表示
为
0ˆ ˆH U U H
0 0
p H
p ls
∆⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎣ ⎦
（10）
因此，奇异值分解的信道估计算法示意图如图 2所示。Hˆ p表示对式（8）中 Hˆmmse进行
p阶近似， p∆ 为∆矩阵左上角的 p p× 子矩阵。
⊗
⊗
⊗
⊗
UH U
0δ
0Hˆ
1HˆN−
0
0
1pδ −0
Y
1YN−
1
1XN
−
−
1
0X
−
图 2 m阶信道估计器
令q uk k kδ= ，其中 uk为奇异向量，式（10）可以写成如下形式：
1
0
ˆ ˆH (u H )q
p
H
p k ls k
k
−
=
= ∑ （11）
与式（8）比较可知，对每个导频信道的计算从原来的 N 次减少了为现在的2 p次，而 p
通常比 N 小得多。如果循环前缀长度为 L，奇异值从 1L + 开始迅速下降，所以一般选取
1p L> + [10]。由以上分析可知：估计器的框图如图 3所示：
-4-
,0Hˆls
, 1Hˆls N−
⊗
⊗
⊗
⊗
UH U
0δ
0
0
1pδ −0Y
1YN−
1
1XN
−
−
1
0X
−
0Hˆ
1HˆN−
图 3 本文算法框图
算法步骤如下：
1) 对接收数据进行 LS估计，得到在导频信道的估计值 ,0 ,1 , 1ˆ ˆ ˆ, ,....ls ls ls NH H H − ；
2) 对 1）所得的结果，根据式（11）进行奇异值低阶近似，得到估计值 0 1 1ˆ ˆ ˆ, ,... NH H H − 。
地板效应分析
由式(10)，并由 �(p)=mse E H H− 得到:
$
�
�12 2( ) (1 )
N
k k k m
m p
mse p
SNR
βλ δ δ λ−
=
⎡ ⎤= − + +⎢ ⎥⎣ ⎦∑ ∑ （12）
这里 kδ 如式(9)所给定， �kλ 是 HhhUR U 的第 k阶对角线上的元素，它代表了在信道不相关匹
配的情况下，第 k个对角元素所包含的信道能量。如果信道估计器与实际完全匹配，那么在
式（12）中有 � k kλ λ= ， �SNR SNR= 。这时有：
�1( ) ( )
N
m
m p
mse p mse p λ−
=
≥ ∑� （13）
我们将 ( )mse p 的值称作低阶近似的地板(MSE－floor)。
MSE－floor是利用奇异值低阶近似时的主要局限。在仿真条件为：系统带宽为 500KHz，
子信道个数为 64，循环前缀为 4，信道为典型 Rayleigh 信道并假设多径全部位于循环前缀
持续时间中，信号为 16-QAM调制，图 4给出了几种不同近似阶数时的地板误差。
图 4 低阶近似的地板效应
由上图可见，随着近似阶数的增大，地板误差越来越小，当 7p = 时，地板已经相当小
了，可以预见，当 p N= 时，地板将消失。
4. 算法仿真及实验结果分析
本文采用仿真条件与图 4相同，并进行阶数为 8的低阶近似。均误码率仿真结果如图 5
-5-
所示。
图 5 误码率比较图( 8p = )
如上图中看到的，8 阶奇异值近似比 LS 估计的估计结果会有几个 dB 的改善，而与信
道在接收端是已知的极限情况相比，8阶近似估计也只有 1dB的损失，而对每个估计信道只
需要 2 16p = 次乘法运算，比近似前大大减少。
5. 结论
本文提出了一种基于奇异值分解的低阶近似MMSE信道估计算法，LS算法的估计结果
经过奇异值分解算法对信道转移矩阵函数进行低阶近似。仿真结果说明了本算法在大量减少
计算量的前提下，其性能比 LS算法有了可观的提高，其估计质量已经接近与在信道已知的
情况下的估计。
-6-
参考文献
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[11] 谢显中等. 基于 TDD的第四代移动通信技[M].北京:电子工业出版社,2005.
OFDM Channel Estimation Method Based on SVD Low
Rank Approximation
Shi Liucheng, Que Dashun
School of Information engineering, Wuhan university of technology, Wuhan ( 430063)
Abstract
In this paper, a OFDM channel estimation method based on SVD low rank approximation is
proposed ,which reduce the computing cost by reducing the LS estimation outcome in a low rank, then
this paper analysis the MSE-floor and symbol error rate in 16 QAM OFDM system, and the
experimental results show the superior performance.
Keywords: SVD, low rank approximation, channel estimation, OFDM
作者简介：
史留成，男，硕士研究生，主要研究方向为无线通信与数字通信；
阙大顺，男，博士，副教授，主要研究方向为信息传输与处理。
