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基于小波变换和离散广义帕萨瓦尔定理的
信号奇异性描述#
牟怿，尤新革**
基金项目：高等学校博士学科点专项科研基金资助(20110142110060);国家自然科学基金(61272203)
作者简介：牟怿(1980年 8月-)，男，博士研究生，主要研究方向：小波分析，信号处理，模式识别
（华中科技大学电子信息与通信学院，武汉 430074） 5
摘要：给出了离散广义帕萨瓦尔定理的表达式，利用小波分析和广义帕萨瓦尔定理研究了信
号的奇异性。首先对信号做小波分解，将各个分量信号带入离散广义帕萨瓦尔定理中，获得
了分量信号随小波分解尺度变化的同步和异步信息。利用同步和异步信息可以有效地刻画信
号的奇异性。特别地，能有效刻画两个奇异性随尺度变化的先对加速度大小。 10
关键词：信息处理技术；小波变换；广义帕萨瓦尔定理；奇异性
中图分类号：
Signal Singularity Description Based on Wavelet Transform
and Two Dimensional Correlation Analysis 15
MOU Yi, YOU Xinge
(School of Electronic Information and Communications, Huazhong Unversity of Science and
Technology, Wuhan 430074)
Abstract: In this paper,the presentation of discrete general Parseval theorem is introduced.
Wavelet and discrete general Pasai Wahl theorem are employed to study the signal singularity. 20
Fisrt, the signal is decomposed into different subsignals;Second, we use discrete general Pasai
Wahl theorem to obtain the synchronous and asynchronous information of the
synchronous and asynchronous information can efficiently reveal the singularity of signals.
Especially, it can disclose the relative acceleration of two singularities according to the scale
change 25
Key words: signal processing; wavelet transform;general Parseval theorem;singularity
0 引言
几乎一切的信号都很难只根据原始观察数据来作解释，总是要提取它的某些特征来表
征它[1]。信号或图像中的急剧变化之处常常是分析信号特性的最关键之处。如脑电波信号，30
图像中的边缘等。用小波变换在个尺度上的综合表现来刻画信号的奇异性是一种有效的方
式。信号的跳变或边沿的不同表现，与这一性质有关。国际著名学者 Mallat 和他的研究生
做了很多工作[2,3,4]，取得了重要成果。但是，在不同尺度下的分量信号实际上是一个动态变
化过程，以前工作没有有效地阐述这种动态变化特性；其次实际中的信号往往很复杂，这种
奇异性随尺度变化之间往往存在相对的加速度，对于如何刻画这种相对变化的快慢，没有类35
似的报道。而信号奇异性在不同尺度下相对变化的快慢含有信号更丰富的信息。因此，需要
用一定的手段研究这种动态过程。
1 小波变换刻画信号奇异性
通常可以利用李氏指数 来刻画奇异性大小，信号 x t 在 0t 附近有下述性质：
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0 0nx t h P t h A h
， 1n n (1) 40
其中 h是一个充分小的量， nP t 是过 0x t 的 n次多项式，则称 x t 在 0t 处的李氏指数为
。于是斜坡信号，阶跃信号，冲击信号和白噪声的李氏指数 分别为 1，0，-1，
- ( 0 )。当 0 时，小波变换的极大值将随着尺度的增大而增大； 0 时随尺度
增大而减小，对于阶跃信号极大值不随尺度变化。如图 1所示[5,6]：
1 2 3 4 t
t
t
t
t
12WT x t
22WT x t
32WT x t
42WT x t
45
图 1 几种突变的小波变换极值随尺度变化
Several singularities varies with the scales of wavelets
2 广义帕萨瓦尔定理
广义帕萨瓦尔定理定义如下：
*1 2 1 2
max min
1
,X v v Y Y d
T T
(2) 50
其中 1Y 是 1y t 的傅里变换， 2Y 是 2y t 的傅里变换，*表示取共轭
[7,8]。离散情况
下：
( )
1 2
1 1
( ) ( , )[ ( ) ]
2
max
min
T
i t
T
max min
C y v t Y e d dt
T T
(3)
交换积分次序可得：
*
2
1
1
( ) ( ) ( )
2 ( )
i
max
C Y Y e d
T Tmin
(4) 55
令 0 有
*
2
1
1
(0) ( ) ( )
2 ( )max
C Y Y d
T Tmin
(5)
于是实部
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1 2 1 2
1
1
,
1
m
j j
j
v v y v y v
m
(6) 60
又函数的希尔伯特变换为：
1 ( )
( )
g t
h t pv dt
t t
(7)
Pv是柯西积分主值。
于是尔伯特变换的傅里叶变换为： 65
1 1
( ) ( ) ( )i t i t i tH h t e dt e dt g t e dt
t
(8)
可得
( ) ( ) 0
( ) ( ) ( ) 0 0
( ) ( ) 0
Im Re
Im Re
G iG if
H isgn G if
G iG if
(9)
希尔伯特变换使得函数的傅里叶变换超前 ( 0)
2
或滞后 ( 0)
2
,也就是说函数和
它对应的希尔伯特变换正交。是一个相移
2
的全通网络。 70
( ) ( ) 0g t h t dt
(10)
令：
2
2
( , )1
( , )
y v t
z v t pv dt
t t
(11)
定义正交相关函数：
1 2
1
( ) ( , ) ( , )min
max
T
T
max min
D y v t z v t dt
T T
(12) 75
于是
*
2
1
1
( ) ( ) ( )
2 ( )
i
max min
D Y Z e d
T T
(13)
由于 2 2( ) ( ) ( )Z isgn Y
*
1 2( ) ( ) ( ) ( )
2 ( )
i
max min
i
D sgn Y Y e d
T T
(14)
sgn(.)是奇函数，由奇偶对称性可得： 80
*
1 2
0
1
(0) ( ) ( )
( )max min
D Y Y d
T T
(15)
于是虚部
1 2 1 2
1 1
1
,
1
m m
j jk k
j k
v v y v N y v
m
(16)
其中 m分量信号数量，
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0
1/ other
jk
j k
N
k j
(17) 85
基本性质
+
+
+
+
+
+
-
-
A
B
C
D
+
+
-
- +
-
+
-
波数 波数
波数波数
图 2 同步和异步信息示意图
synchronous and asynchronous
90
(1)同步自相关峰：对角线上的峰（A，B，C，D）大于零，表明样本对外部扰动的敏感
性；
(2)同步互相关峰：非对角线上的峰，表明不同位置的信号强度的同步变化，同时变大
或同时变小为正，反之为负。
(3)异步互相关峰：异步互相关峰的产生是由于信号强度变化存在相对的加速度。 95
3 基于小波和广义帕萨瓦尔定理的信号奇异性
信号分解后不同尺度下的信号根据广义帕萨瓦尔定理的求实部和虚部信息。于是可得下
面的结论：
(1) 同步自相关峰：对角线上的峰（A，B，C，D）大于零，只要有奇异性就会出现同步
自相关峰； 100
(2) 同步互相关峰：随尺度变大而变大的连个不同的奇异信息，会在同步相关光谱中出
现正峰。比如：图 2中的位置 1和位置 4的两处奇异性，随着尺度变大而变大，那么在同步
相关光谱中位于点(4,1)和(1,4)处必分别定出现两个正峰。比如：图 2中的位置 1和位置 3的
两处奇异性，随着尺度变大位置 1在变大而位置 3在变小，那么在同步相关光谱中位于点(3,1)
和(1,3)处必分别定出现两个负峰； 105
(3) 异步互相关峰：位置 1 和位置 4 的两处奇异性都随着尺度变大而变大，如果两者变
化的加速度不同，那么在异步相关峰中就会在(4,1)和(1,4)分别出现一正，一负的峰，若(1,4)>0
表明在尺度变大时位置 1的奇异性变大的速度要快于位置 4。(4,1) <0表明在尺度变大时位
置 4的奇异性变大的速度要慢于位置 1。
例子 110
假定图3是某信号小波分解后模极大的三维图，现在用2维相关法研究奇异性的变化规律。
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图 3 信号小波分解后模极大的三维图
Fig 3. 3D plot of the maximum of module of signal
115
图 4 信号小波分解后模极大二维图
Fig 3. 2D plot of the maximum of module of signal
(1) 在 10,30,50,80出都有奇异性，在同步光谱中(10,10)，(30,30)，(50,50)，(80,80)出必120
然有正峰，如图 5所示。4个绿色圈表示的就是对角线上的正峰。
图 5 同步信息
synchronous information
125
(2) 图 3中看以明显看出在 30和 50处，奇异性是同时增大的，于是在同步相关光谱中
(30,50)和(50,30)出会出现正峰，图 6中所示。其他位置的正峰也是同样的分析。
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图 6 绿色圈表示(30,50)和(50,30)出现的正峰
Green circles represent the positive peaks at(30,50) and (50,30) 130
(3) 图 3中看以明显看出在 80和 60处，两个信号完全相等，即两者增大过程没有相对
的加速度，所以在异步相关光谱中(80,60)，(60,80)处没有峰值，图 7所示。
圆圈表示的是(80,60)，(60,80)。没有峰值。
135
图 7 (80,60),(60,80)无峰值
No peaks at(80,60) and (60,80)
(4) 图 3中可以看出，30处奇异性变化快于 50处，所以异步相关光谱中(50,30)处是一
个负峰，表明变化过程的加速度快慢。紫色圈表明(50,30)峰值为负，说明原信号小波分解后140
在个尺度上的模极大值变化情况是 30处快于 50处。
图 8 (50,30)处的负峰值
Negative peak at(50,30)
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4 结论 145
本文给出了一种新的信号奇异性提取方法。利用得到的结果可以刻画信号的动态变化。
当信号的两个奇异性变化存在相对的加速度时会在异步信息中产生峰值。对于实际的复杂信
号的奇异性还需要进一步研究。
[参考文献] (References)150
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