随机决策模型简介
陈 羽
决策(Decision)是人们为了达到某一目标而从多个实现目标的可行方案中选
出最优方案做出的抉择.决策分析(Decision Analysis)是帮助人们进行科学决策的
理论和方法 .在现代管理中 ,管理的核心就是决策 ,正如诺贝尔奖金获得者
说过的“管理就是决策”，决策在管理中起着十分重要的作用.本专题主
要介绍随机决策的基本概念和基本方法,重点介绍风险型决策、不确定型决策和
效用理论.
第一节 决策的概念
一、实例
例 1 某医院决策者对“CT”室配置“CT”机进行决策.目的是在满足诊断需要的
同时取得最好的经济效益.他们设想的可行方案有三个,分别为配置一台、两台和
三台.根据资料,预计在今年内需用“CT”诊断的患者人数有三种可能:人多、一般、
人少.并且,出现这三种情况的概率分别为 、 和 .又计算得知,当配置一、
二、三台“CT”机时,如果病人多,则效益分别为 10、22、36(万元)；一般时，效益
分别为 10、20、18（万元）；而病人少时,效益分别为 10、16、10(万元).问应选
择何种方案,才能达到目标要求？
建立实际问题的数学模型,是运筹学解决问题的前提,在这里我们先引入决策
分析问题的精确数学描述,暂不考虑问题的解法.第二节将对该题给出解法.
很显然,本题中有三个方案可供选择,每种方案都有三个可能结果,即存在三
个自然状态:病人多、一般、病人少；因为状态是不可控制的,是随机事件,而每个
状态发生的概率已经分别给出；不同方案和不同的状态的效益值也不同.为了能
够给出问题的数学描述,我们先给出决策问题的一些基本概念.
二、决策的基本概念
1. 策略集 为实现预期目的而提出的每一个可行方案称为策略,全体策略构
成 的 集 合 , 称 为 策 略 集 (Strategies Set), 也 称 方 案 集 ， 记 作 ，
表示每一个方案.
2. 状态集 系统处于不同的状况称为状态,它是由人们不可控制的自然因素
所引起的结果,故称为自然状态.全体状态构成的集合称为状态集(States Set),记作
， 表示每一状态.
3. 状态概率 状态 的概率称状态概率(State Probability)，记为 .
4. 益损函数 益损函数(Opportunity Loss Function)是指对应于选取方案和可
能出现的状态,所得到的收益值或损失值,记为 .
显然, 是 与 的函数,益损函数值可正可负也可为零,如果认定正值表示
收益,那么负值就表示损失,益损函数的取值就称为益损值.
策略集,状态集,益损函数是构成一个决策问题的三项最基本要素.
5. 决策准则和最优值 决策者为了寻找最佳方案而采取的准则称为决策准
则(Decision Criterion),记为 .最优值(Optimal Number)是最优方案对应的益损值，
记为 ．
一般选取的决策准则往往是保证收益尽可能大而损失尽可能小，由于决策者
对收益、损失价值的偏好程度不同，对同一决策问题，不同的决策者会有不同的
决策准则．
三、决策的数学模型
一个决策问题的数学模型是由策略集 、状态集 、益损函数 和决策准则
构成的.因此我们可以用解析法写出上述集合、函数、准则来表示一个决策问
题 的 数 学 模 型 . 即 , 其 中 , ,
， 是方案 在状态 情况下的益损值.
例 2 给出例 9-1 问题的数学模型.
解 数学模型为: 策略集
}{ iaA
)3,2,1( nia i
}{ jsS )3,2,1( mjs j
js )( jsp
R
R A S
*R
A S R
ijrSARR ),( }{ iaA ni ...2,1 }{ jsS
mj ...2,1 ijr ia js
}{}{ 机台配制 CTiaA i 321 ，，i
状态集
状态概率
益损值
另外，决策的数学模型也可用表格法表示，风险型决策也常用决策树方法
表示.例 1 可由表 1 表示，决策树将于第二节详细介绍.
表 1 不同方案在不同状态下的益损值（万元）
自 然 状 态
方 案 (病人多) (一般) (病人少)
(配置一台) 10 10 10
(配置两台) 22 20 16
(配置三台) 36 18 10
四、决策的步骤与分类
一个完整的决策过程通常包括以下几个步骤：确定目标、拟定方案、评价方
案、选择方案、实施决策并利用反馈信息进行控制．决策按问题所处的条件和环
境可分为确定型决策、风险型决策和不确定型决策．
确定型决策(Certain Decision)是在决策环境完全确定的情况下作出决策．即
每种方案都是在事先已经确定的状态下展开，而且每个方案只有一个结果，这时
只要把各种方案及预期收益列出来，根据目标要求进行选择即可．尽管如此，当
决策可行方案很多时，确定型决策也非常复杂，有时可借助线性规划的方法，去
找出最佳方案．
风险型决策(Venture Decision)是在决策环境不完全确定的情况下做出的决
策．即每种方案都有几个可能的结果，而且对每个结果发生的概率可以计算或估
计，用概率分布来描述．正因为各结果的发生或不发生具有某种概率，所以这种
决策带有一定的风险．
}{}{}{ 321 病人多，一般，病人少，， ssssS j
)( 1 sp )( 2 sp )( 3 sp
}{ ijrR 3,2,1i 3,2,1j
11
10r 1012 r 1013 r 2221 r 2022 r 1623 r 3631 r 1832 r 1033 r
1s 2s 3s
)( 1 sp )( 2 sp )( 3 sp
1a
2a
3a
不确定型决策(Uncertain Decision)是在对将发生结果的概率一无所知的情况
下做出的决策.即决策者只掌握了每种方案可能出现的各个结果,但不知道各个结
果发生的概率.由于缺乏必要的情报资料,决策者只能根据自己对事物的态度去进
行抉择,不同的决策者可以有不同的决策准则,所以同一问题就可能有不同的抉择
和结果．这里我们只介绍风险型和不确定型两种决策．
第二节 风险型决策（有概率的决策）
风险型决策也称随机决策，是在状态概率已知的条件下进行的决策．本节主
要介绍风险型决策的条件和一些常用的基本决策准则及决策方法．
一、风险型决策的基本条件
在进行风险型决策分析时，被决策的问题应具备下列条件：
（1）存在决策者希望实现的明确目标；
（2）存在两个或两个以上的自然状态，但未来究竟出现哪种自然状态，决
策者不能确定；
（3）存在着两个或两个以上的可行方案(即策略)可供决策者选择,最后只选
一个方案；
(4)各种方案在各种自然状态下的益损值可以计算出来；
(5)各种自然状态发生的概率可以计算或估计出来.
对于一个风险型决策问题,首先要掌握决策所需的有关资料和信息,从而确定
状态集 ,以及状态概率 ,明确可供选择的策略集 ,进而计算出益损函数
.建立决策数学模型,根据决策目标选择决策准则,从而找出最优方案.
二、最大可能准则
由概率论知识可知,一个事件的概率越大,它发生的可能性越大.基于这种考
虑,在风险型决策问题中选择一个概率最大的自然状态进行决策,而其他状态可以
不管,这种决策准则称为最大可能准则(The Maximum Criterion).利用这种决策准
则进行决策时,把确定的自然状态看作必然事件，其发生的概率看作 1,而其他自
S )( jsP A
),( SAR
然状态看作不可能事件，其发生的概率看作 0,这样,认为系统中只有一种确定的
自然状态,从而将风险型决策转化为确定型决策.
例 3 某药厂要确定下一计划期内某药品的生产批量,根据以往经验并通过市
场调查和预测.现要通过决策分析,确定合理批量,使药厂获得效益最大,表 2 为不
同方案在不同状态下的益损值.
表 2 不同方案在不同状态下的益损值（万元）
药 品 销 路
方 案 (好) (一般) (差)
(大批量生产) 30 18 8
(中批量生产) 25 20 12
(小批量生产) 16 16 16
解 这是一个风险型决策问题,采用最大可能准则来进行决策.在药品销路中,
自然状态 出现的概率最大,即销路一般的可能性最大.现对这一种自然状态进
行决策,通过比较,可知药厂采用策略 (中批量生产)获利最大,所以选取中批量生
产为最优方案.
值得注意:在若干种自然状态发生的概率相差很大,而相应的益损值又差别不
大时,使用这种决策准则效果较好.如果在若干种自然状态发生的概率都很小,而
且相互很接近时,使用这种决策准则,其效果是不好的，甚至会引起严重错误.
三、期望值准则
期望值是指概率论中随机变量的数学期望.这里使用的是离散型随机变量的
数学期望,是将每个策略(方案)都看作离散型随机变量,其取值就是采用该策略时
各自然状态下对应的益损值.期望值准则(The Expected Value Criterion)就是选择
期望益损值最大(或最小)的方案为最优方案.用公式表达为:
(1)
或 (2)
1s 2s 3s
)( 1 sp )( 2 sp )( 3 sp
1a
2a
3a
2S
2a
)}({max)}({max j
j
ijiii
spraER
)}({min)}({min
j
jijiii
spraER
其中 是方案 在状态 情况下的益损值, 是状态 发生的概率.
例 4 用期望值准则解例 3.
解 根据表 2 所列各种状态概率和益损值,可以算出每个策略的期望益损值:
通过比较可知 = 最大,所以采用 也就是采取中批量生产,可能获得的
效益最大.
例 5 已知在过去的 200 天里,某药品在各种销售量下销售天数的记录如表 3
所示.设该种药品一旦生产出来需要及时推销出去,如当天不能推销出去,即全部
报废.该药品每件生产成本 8 元,销售价 10 元,假设今后的销售情况与过去的销售
情况相同,试确定最优的生产数量.
表 3 销售量与销售时间
每天销售量(件) 80 90 100 110
相应的销售天数 20 70 80 30
解 在本例中,自然状态是销售情况,设状态 、 、 、 分别表示销售量
为 80 件、90 件、100 件、110 件.策略也为 4 种,设方案 分别表示日生
产 80 件、90 件、100 件、110 件.
由表 3 可计算状态概率:
现在计算每个策略在各种自然状态下的益损值.
当 , 时,生产 80 件销售 80 件,每件收益 10-8=2 元,共收益 160 元,即
元,同理 ；
当 ， 时，生产 90 件，但只销售 80 件，报废 10 件．共收益
元．
依此类推，可算出所有的益损值，详列于表 4，利用（1）式计算出每种策
ijr ia js )( jsp js
)(
)(
)(
3
2
1
aE
aE
aE
)( 2aE 2a
1s 2s 3s 4s
4321 ,,, aaaa
1 sp 2 sp
3 sp 4 sp
1a 1s
16011 r 160141312 rrr
2a 1s
8010880221 r
略下的期望益损值进行比较，可以看出：
故选择方案 为最优策略，即日产 90 件，此时期望益损值为 170 元.
表 4 不同方案在不同状态下的益损值（元）
市 场 可 销 售 量
方 案
期望益损值
160 160 160 160 160
80 180 180 180 170
0 100 200 200 145
-80 20 120 220 80
一般地，用期望值准则进行风险型决策的计算步骤是：
（1）根据统计资料计算各个自然状态的概率；
（2）计算每个方案在各个自然状态下的益损值；
（3）计算每个方案的期望益损值；
（4）根据期望益损值评价方案的优劣．若决策目标是收益，应选择期望益
损值最大的相应方案为最优方案；若决策目标是支出或损失，应选择期望益损值
最小的相应方案为最优方案．
四、决策树法(decision trees method)
应用期望值准则作决策，还可借助于一种名为“决策树”(decision tree)的图形
来进行，它将方案、状态、益损值和状态概率等用一棵树来表示，将期望益损值
也标在这棵树上，然后直接通过比较进行决策．图 1 就是例 6 中决策问题的决策
树．
170)()}(),(),(),(max{ 24321 aEaEaEaEaE
2a
1s 2s 3s 4s
)( 1 sp )( 2 sp )( 3 sp )( 4 sp
1a
2a
3a
4a
图 9-1 决策树
图 1 决策树
决策树是由决策点、方案节点、树枝、结果节点四部分组成，下面就图中符号做
一说明：□—表示决策点,从它引出的分枝称为方案分枝．
○—表示方案节点,其上方数字为该方案的期望益损值,从它引出的分枝称
为状态分枝,每条分枝上数字为相应的状态概率,分枝数就是状态数.
∣—表示结果节点,它后面的数字表示某个方案在某种状态下的益损值.
采用决策树法进行决策的步骤是：
（1）画决策树.一般是从左向右画,先画决策点,再画由决策点引出的方案分
枝,有几个备选方案,就要画几个分枝；方案分枝的端点是方案节点；由方案节点
引出状态分枝,有几个自然状态,就要画几个分枝；在每个状态分枝上标出状态概
率；最后,在每个状态分枝末梢画上“∣”,即结果节点,在它后面标上每个状态在其
方案的益损值.
（2）计算方案的期望益损值.在决策树中从末梢开始按从右向左的顺序,利
用决策树上标出的益损值和它们相应的概率计算出每个方案的期望益损值.
（3）根据期望益损值进行决策，将期望益损值小的舍去,而期望益损值大的
方案则保留,这就是最优策略.
决策树法是决策分析中最常用的方法之一,这种方法不仅直观方便,而且可以
更有效地解决比较复杂的决策问题.例中只包括一级决策,叫做单级决策问题
(Simple-Level Decision Problem).有些决策问题包括两级或两级以上的决策叫做
多级决策问题(Multiple-Level Decision Problem).这类问题采用决策树法进行决策
显得尤为方便简洁.下面举例说明决策树法的应用。
例 6 单级决策。单级决策是指决策问题子整个决策期中指进行一次决策，
就能选择满意方案的决策过程。
某企业准备市场某种产品，预计该产品的销售有两种可能：销路好，其概率
为 ；销路差，其概率为 ；可采用的方案有两个：一个是新建一条流水线，
需投资 220 万元；另一个是对原有的设备进行技术改造，需投资 70 万元。两个
方案的使用期均为 10 年，损益资料如表 5 所示，试对方案进行决策。
表 5 损益资料
投资 年收益（万元）
方案
（万元） 销路好（） 销路差（）
使用期
1．新建流水
线
2．技术改造
220
70
90
50
-30
10
10 年
10 年
绘制决策树 ，如图 2 所示。
图 2 单级决策树
然后计算期望值：结点∣的期望值为；［90×+（-30）×］×10-220=320
结点∣的期望值为；［50×+10×］×10-70=310
从期望收益值来看，方案一较高。因此，应采用此方案。
例 7 已知某企业有下表所示的情况，请选择所用策略。
表 6 不同方案在不同状态下的益损值（万元）
自 然 状 态
方 案 （畅销） （一般） （滞销）1s
1( ) s
2s
2( ) s
3s
3( ) s
决
策
点
方案 1
方案 2
—30
10
50
1
320
2
310
3
90
（方案甲） 40 26 15
（方案乙） 35 30 20
（方案丙） 30 24 20
决策树如下
路好 P(S1 )= ∣40
d1 =28 销路一般 P(S2 )= ∣26
销路差 P(S3)= ∣15
\\ d2 = 销路好 P(S1 )= ∣35
决 选乙方案 销路一般 P(S2 )= ∣30
策 销路差 P(S3)= ∣20
\\ d3 =25 销路好 P(S1 )= ∣30
销路一般 P(S2 )= ∣24
销路差 P(S3)= ∣20
图 3
例 8 多级决策。多级决策又称序列决策，是指面临的决策问题比较复杂，
非一次决策所能解决问题，而需进行一系列的决策过程才能选出满意方案的决策。
某厂为生产某种新产品设计了两个建厂方案，一是建大厂，二是建小厂。建大厂
需投资 300 万元，建小厂需投资 160 万元。两方案的经济寿命均为 10 年。估计
在 10 年内，前 3 年销路好的概率为 ；销路差的概率为 。同时预测投产后，
如果前 3 年销路好，后 7 年销路好的概率是 ；销路差的概率是 ；如果前 3
年销路不好，后 7 年销路也一定不好。在这种情况下，有人又提出第三方案，即
先建小厂，如果全年销路好，再扩建成大厂，这样更有把握。扩建需投资 140 万
元。各方案的年损益值如表 7，试问应如何决策？
表 7 各方案的损益值（万元）
销路好 销路差自然状态
方案
寿命 投资
销
1d
2d
3d
1．建大厂
2．建小厂
3．先建小厂后扩建
100
40
-20
10
10 年
10 年
300
160
140
根据题意，绘出决策树如图 4
100
-20
-20
100
-20
100
-20
图 4 决策树
根据决策树图计算各点期望收益值。先计算后 7 年的，后计算前 3 年的。
点∣EMV8=［×100+×（-20）］×7-140
差
616
差
差
好
6
好
差
差 1
好
476
-140
476
70
259
3
年
年
7
年
2
3
7
4
5
8
9
1
=476（万元）
点∣EMV9=［×40+×10］×7=259（万元）
这两点的期望收益值计算出来后，进行比较。由于 EMV8＞EMV9，故决定
选择扩建方案，把不扩建的方案剪掉，并把点∣的期望收益值移至∣点。
点∣EMV4=［×100+×（-20）］×7=616（万元）
点∣EMV5=［×（-20）］×7=-140（万元）
点∣EMV7=×10×7=70（万元）
点∣EMV2=×100×3+×616+×（-20）×3+
×（-140）-300=（万元）
点∣EMV3=×40×3+×476+×10×3+×
70-160=（万元）
因 EMV3＞EMV2，故选择先建小厂后扩建的方案。
决策树法具有许多优点，它用图形把决策过程形象地表示出来，使决策者有
顺序、有步骤地周密思考各有关因素，从而进行决策，对于较复杂的序贯决策问
题，可以画一个决策树挂在墙上，以便更多人了解决策的全过程，利于进行集体
讨论，集体决策．
五、完全情报及其价值
正确的决策来源于可靠的情报或信息。情报、信息越全面、可靠，对自然状
态发生的概率的估计就越准确，据此作出的决策也就越合理。
1、完全情报和不完全情报
能完全肯定某一状态发生的情报称为完全情报。否则，称为不完全情报。有
了完全情报，决策者在决策时即可准确预料将出现什么状态，从而把风险型决策
转化为确定型决策。
实际上，获得完全情报是十分困难的，大多数情报属于不完全情报。
2、完全情报的价值
为了得到情报，或直接从别入手中购买，或需要自己进行必要的调查、试验、
统计等。总之.要花费一定的代价。若决策者支付的费用过低，则难于得到所要
求的情报，若需支付的费用过高，则决策者可能难以承受且可能不合算。另外，
在得到完全情报之前，并不知道哪个状态将会出现，因此也无法准确算出这一情
报会给决策者带来多大利益。但为了决定是否值得去采集这项情报，必须先估计
出该情报的价值。
完全情报的价值等于因获得了这项情报而使决策者的期望收益增加的数值。
如果完全情报的价值大于采集该情报所花费用，则采集这一情报是值得的，
否则就不值得了。因此,完全情报的价值给出了支付情报费用的上限。
例 9 如前例 7 中的事例，假定花费 万元可以买到关于产品销路好坏的
完全情报，请问是否购买之?
假如完全情报指出产品销路好，就选取策略 d1,可获得 40 万元效益。
假如完全情报指出产品销路一般，就选取策略 d2 ,可获得 30 万元效益。
假如完全情报指出产品销路差，就选取策略 d2,或 d3 ，可获得 20 万元效益。
因为在决定是否购买这一完全情报时还不知道它的内容，故决策时无法计算
出确切的效益，只能根据各自然状态出现的概率求出期望效益值:
×40+×30+×20=31
该问题的决策树如图 5 所示。图中效益值的单位为万元。
40 d1 40
好 2 d2 35
路 d3 30
31 销 30 d1 26
1 销路一般 3 d2 30
d3 24
销 d1
路 20 d2 15
差 4 d3 20
20
图 5
对照例 7 的图可知，由于得到了完全情报，期望效益值增加了 万元。这
万元就是该完全情报的价值。因此，花费 万元购买该完全情报是合算的。
六、贝叶斯（Bayes）决策
1、先验概率和后验概率
在风险型决策中，有时不可能得到完全情报，有时为了得到完全情报花费的
代价太大而无法承受。在这种情况下，如果要改进原来的决策结果，可以采用抽
样检验、请专家估计等方法，采集不完全情报作为补充情报以此来修正原来的概
率估计。
先验概率：根据补充情报进行修正之前的各自然状态的概率。
后验概率：根据补充情报进行修正之后的各自然状态的概率。
一般来说，后验概率要比先验概率更加准确可靠。与完全情报相类似，获取
不完全情报也要付出一定的代价，也有一个是否值得的问题。
2、贝叶斯公式及贝叶斯决策
概率中的贝叶斯公式就是根据补充情报，由先验概率计算后验概率的公式。其公
式为：
,
式中：
事件 表示自然状态， 是所有可能出现的自然状态。
P 是自然状态 出现的情况下，事件 发生的条件概率。
是事件 发生的情况下，自然状态 出现的条件概率，即后验概率。
“发生了一次事件 ”作为补充情报，据此对先验概率加以修正，以得到后验
概率。
在风险型决策中，利用贝叶斯公式进行概率修正的决策方法，称为贝叶斯决
策。
例 10 公司有 50000 元多余资金，如用于某项投资，估计成功率为 96%，成
功时可获利 12%，若失败，将丧失全部资金。如果把资金存入银行，则可稳得利
息 6%。为获取更多情报，该公司可求助于咨询服务，咨询费用为 500 元，但咨
询意见只能提供参考。该咨询公司过去类似的 200 例咨询意见实施结果如下表 8
所示。
表 8 咨询意见实施结果
实施结果
咨询意见
投资成功 投资失败 合计
( ) ( | )
( | )
( ) ( | )
i i
i
j j
P B P A B
P B A
P B P A B
1,2, ,i n L
iB 1 2, , nB B BL
( | )iP A B iB A
( | )iP B A A iB
A
可以投资 154 次 2 次 156 次
不宜投资 38 次 6 次 44 次
合计 192 次 8 次 200 次
问：该公司是否值得求助于咨询服务？应如何安排多余资金？
根据已知条件，有：
资金用于投资可获利： 50000×12% = 6000（元）
资金存入银行可获利： 50000×6% = 3000 （元）
设：E1：实际投资成功 E2：实际投资失败
T1：咨询意见为可以投资 T2：咨询意见为不宜投资
由表中数据知，各先验概率为：
实际投资成功： P（E1）= 192/200 =
实际投资失败： P（E2）= 8/200 =
咨询意见为可以投资 P（T1）= 156/200 =
咨询意见为不宜投资 P（T2）= 44/200 =
如果不考虑补充情报，仅根据投资成功与失败的先验概率进行决策，则决策树为
下图的上半部分。决策结果将是进行投资。如考虑补充情报，则要计算后验概率。
为此，先计算条件概率：
实际投资成功，咨询意见为可以投资： P（T1∣E1 ）= 154/192 =
实际投资成功，咨询意见为不宜投资： P（T2∣E1 ）= 38/192 =
实际投资失败，咨询意见为可以投资： P（T1∣E2 ）= 2/8 =
实际投资失败，咨询意见为不宜投资： P（T2∣E2 ）= 6/8 =
再根据 Bayes 公式计算各后验概率，即：
咨询意见为可以投资，实际投资成功： 咨询意见为可以投资，实际投资失败：
咨询意见为不宜投资，实际投资成功： 咨询意见为不宜投资，实际投资失败：
根据以上分析，可以完成决策树的全部内容。见图 6：
P（E1）=
3760 6000
投资 P（E2）=
3760 -50000
不咨询 存银行 3000
4272 P（E1∣T1）=
5272 P（E2∣T1）= 6000
咨询 5272 投资 -50000
4772 T1 存银行 3000
-1616 P（E1∣T2）= 6000
3000 投资 P（E2∣T2）= -50000
-500 T2 存银行 3000
图 6
本题的结论是，该公司应求助于咨询服务。如果咨询意见是可以投资，则将
资金用于投资；如果咨询意见是不宜投资，则将资金存入银行。
第三节 不确定型的决策(无概率的决策)
不确定型决策是在只知道有几种自然状态可能发生，但这些状态发生的概率
并不知道时所做出的决策，这类决策问题应具有下列条件：
(1)存在明确的决策目标；
(2)存在两个或两个以上的可行方案；
(3)存在两种或两种以上的自然状态，但各种自然状态的概率无法确定；
(4)可以计算出各种方案在各自然状态下的益损值．
如果各种自然状态的概率可以知道，不确定型决策就变成了风险型决策．在
实际中，会常常遇到不确定型决策问题，如新产品的销路问题、新股票上市发行
问题等．
例 11 某药厂决定生产一种新药，有四种方案可供选择：甲药、乙药、丙
药、丁药；可能发生的状态有三种：畅销、一般、滞销．每种方案在各种自然状
态下的年效益值如表 9 所示，为获得最大销售利润，问药厂应如何决策？
表 9 不同方案在不同状态下的益损值（万元）
自 然 状 态
方 案
（畅销） （一般） （滞销）1s 2s 3s
（生产甲药） 650 320 -170
（生产乙药） 400 350 -100
（生产丙药） 250 100 50
（生产丁药） 200 150 90
这是一个不确定决策问题，由于不知状态概率，无法计算每种方案的期望益
损值，这类问题在理论上没有一个最优决策准则让决策者决策，它存在着几种不
同的决策分析方法，这些方法都有其合理性，具体选择哪一种，主要靠决策人的
自身因素等．下面介绍几种不确定型决策准则．
—、乐观准则
乐观准则(Max-Max Criterion)是从最乐观的观点出发，对每个方案都按最有
利状态来考虑，然后从中选取最优的作为最优方案．这个准则可表示为：
（3）
具体步骤是：先找出各方案在不同自然状态下的最大效益值，再从中选取最
大值所对应的方案为决策方案．即先求 ，再求 ,则 所对
应的方案为决策方案．
下面按乐观准则解例 11.
解
最优方案应为 ,即生产甲药.这种决策是风险最大的决策.
注:若给出的益损值不是效益值,而是损失值,公式(3)应变为小中取小.
二、悲观准则（保守法）
悲观准则(Max-Min Criterion)是从最悲观的观点出发,对每个方案按最不利的
状态来考虑,然后从中选取最优的作为最优方案.这个准则可表示为:
1a
2a
3a
4a
}max{max* ijji
rR
ijji
rR max ii
RR max* *R
650
400
max
250
200
i ijj
R r
650max ii RR
1a
(4)
具体步骤是,先求 ,再求 ,则 所对应的方案为决策
方案.
下面按悲观准则解例 11.
解
最优方案应为 ,即生产丁药.
注: 若给出的益损值不是效益值,而是损失值,公式(9-4)应大中取小.
三、折衷准则
折衷准则(Compromise Criterion)是从折衷观点出发,既不完全乐观也不完全悲
观,准则中引入一个表达乐观程度的乐观系数 .这个准则可表示为:
(5)
显然,若 ,折衷准则就变成乐观准则.若 ,会变成悲观准则.
下面取 ，按折衷准则解例 11.
解
最优方案应为 ,即生产甲药.
注:若给出的益损值是损失值,公式(5)中取大改为取小,取小改为取大.
四、等可能准则(拉普拉斯准则)
}min{max jiji
rR
jiji
rR min ii RR max
R
90
50
100
170
min ijji rR 90max
ii
RR
4a
10
}min)1(max{max ijjijji
rrR
1 0
max (1 ) mini ij ijjj
R r r
650 170 404
400 100 250
250 50 190
200 90 167
max 404ii
R R
1a
等可能准则(Laplace Criterion)是在假定各种自然状态发生的概率总是相同的
情况下，选择期望益损值最优的方案为最优的方案．决策准则可表示为：
（6）
下面按等可能准则解例 11．
解
所以，选取方案 为最优方案，即生产甲药．
注：若益损值为损失值时，公式（6）改为取最小值．
五、后悔值准则（最小遗憾法）
后悔值准则(Regret Criterion)是从后悔值考虑，希望能找到一个这样的策略，
以使在实施这个策略时能产生较少的后悔．所谓后悔值是指每种状态下最大益损
值与此状态下其它益损值之差．在所有方案的最大后悔值中选最小者，此时对应
的方案为最优策略．决策准则可表示为：
（7）
其中 ．
这种策略的具体步骤主要是：
（1）找出各种自然状态下的最大收益值；
（2）分别求出各自然状态下各个方案未达到理想的后悔值；
后悔值=最大收益值-方案收益值
（3）把后悔值排成矩阵，称为后悔矩阵；
（4）把每个方案的最大后悔值求出来，选取其中最小者所对应的方案为最优
策略．
下面按后悔值准则解例 11．
解 首先根据表 9 计算在状态 下方案 的后悔值，然后计算最大后悔
}
1
{max*
j
iji
r
m
R
1
j
iji rm
R
* ii
RR
1a
}max{min* jiji
RVR
jijiiji
rrRV max
js ia
值．计算结果如表 10 所示．
所以，选取方案 为最优方案，即生产乙药.
注:若益损值为损失值时,公式(7)中,后悔值 .
表 10 不同方案在不同状态下的益损值（万元）
自 然 状 态
方 案
0 30 260 260
250 0 190 250
400 250 40 400
450 200 0 450
第四节 效用理论在决策中的应用
一、“效用”的提出
例如有一家投资为 200 万元的酒店，该店发生火灾的可能性是 %，酒店的
决策者面临的问题是：要不要保险。若保险，每年应支付 3000 元保险费。一旦
发生火灾，保险公司可以偿还全部资产。若不保险，就不需要支付保险费，但发
生火灾后，酒店的决策者就要承担全部资产损失。决策者面对这个决策问题时，
若仍按最大期望益损值准则即最小期望损失值准则进行决策，他的结论是不保险。
因为酒店发生火灾的损失期望值是：200×% = (万元)，即小于保险费。可
250
450
400
250
260
min}max{min
jiji
RVR
2a
jiijiji
rrRV min
1s 2s 3s
j
jiRVmax
1a
2a
3a
4a
是作为酒店的决策者而言，一般是愿意参加保险的。
从上例可以看出，如果决策者面临着同一决策只使用一次，而且包含较大
的风险，这时最优期望益损值准则就失效了。在这种情况下，应根据效用理论进
行决策分析。
二、效用与效用曲线
为了进一步说明效用的含意，看一个例子。
设有一个投资机会，有两个方案可供选择。方案一是投资 10 万元，有 50%
的可能获得 20 万元利润，50%的可能损失 10 万元；方案二是投资 10 万元，有
100%的可能获得 3 万元利润。
方案一的利润期望值为: 20×50% + 10×50% = 5（万元）
方案二的利润期望值为： 3×100% = 3（万元）
如用期望值准则，最优方案为方案一。如果是两个不同的投资者面临这种
情况，一个是资本雄厚的投资者甲，另一个是资金单薄的投资者乙。对于甲来说：
一旦失误，损失掉的 10 万元投资对他来说后果不算严重，很可能他会选择方案
一；而对于乙来说，选择方案一风险太大。一旦失误，后果非常严重。这样他只能采
取方案二进行投资.
由此可见，不同的决策者，由于他的处境、条件、个人气质等因素的不同，
对于相同的期望值会有不同的反应和估价。随着处境和条件等变化。即使是同一
决策者，对同一期望值的反应和估价也会变化。这种决策者对于利益或损失的反
应和估价称为效用(utility)。“效用”是决策者的一种“主观价值”。它对决策的选取
有着重大的影响.
效用的数量用效用值 u 来表示。效用值是一个相对量，无量纲。它的大小
可规定在 0 与 l 之间，也可规定在 0 与 l00 之间。在一个决策问题中，通常将决
策者可能得到的最大收益值相应的效应值定为 1 或 100，而把可能得到的最小收
益值（或最大的损失值）相应的效用值定为 0。如在上面提到的例子中，有
u(20 万元) = l， u(-10 万元) = 0
最大收益值与最小收益值之间的收益值对应的效用值如何确定呢？即上例
中 20 万元与 10 万元之间的收益的效应值如何确定呢？我们可以利用两个已知
点的效用值，并借助于确定事件与随机事件的等效关系来实现。如图 7 所示。
P1=
20 万元（u=1）
P2=
A1 -10 万元（u=0）
～
A2 P=
多少万元（u=?）
图 7
图中节点□表示其右面的方案分枝都是等效的。
然后，让决策分析人员向决策者提出一系列的询问，根据决策者的回答来
确定不同收益值的效用值。下面以上例提到的投资者乙为例，询问他：以 50%的
概率获得 20 万元收益和以 50%的概率获得-10 万元的收益的方案 A1 与多少万
元收益的确定事件 A2 等效。如果投资者乙回答为 2 万元，则可计算出收益值为
2 万元相应的效用值：
u(2 万元) = ×1 + ×0 =
把图 7 中的-10 万元换成 2 万元，如图 5 所示，继续询问：
P1=
20 万元（u=1）
P2=
A1 2 万元（u=）
～
A2 P=
多少万元（u=?）
图 8
以 50%的概率获得 20 万元收益、以 50%的概率获得 2 万元收益的方案 A1，
与多少万元的确定事件 A2 等效。若回答为相当于 9 万元收益，则可计算出收益
值为 9 万元相应的效应值：
u(9 万元) = ×1 + × =
再进一步将图 7 中的 20 万元换成 2 万元，如图 9 所示，询问投资者乙：以
%的概率获得 2 万元和以 50%的概率亏损 10 万元的方案 A1 与多少万元收益
的
P1=
2 万元（u=）
P2=
A1 -10 万元（u=0）
～
A2 P=
多少万元（u=?）
图 9
确定性事件 A2 等效。若回答为：相当于损失 5 万元，则：
u(-5 万元) = × + ×0 =
为了求得其它没有进行询问的收益的效用值，以便作进一步的决策分析，
可以以收益值为横坐标，效用值为纵坐标，根据已取得的效用值进行曲线拟合，
画出效用曲线。简单地用光滑曲线将收益值和效用值的坐标点连接也可得效用曲
线。
如本例中，在坐标系中标出点(10,0)、(5,)、(2,)、(9,)和(20,1)，并
连以光滑曲线，就得到决策者(投资者乙)的效应曲线。如图 10 所示。这条效用
曲线是向下凹的。
效用图（u）
(20,1)
*
* (9,
(-5,) (2,)
*
(-10,0)
-10 0 5 20
图 10
一般说来，图 11 中的甲、乙、丙三条线代表三种不同类型决策者的效用曲
线。
效用值（u）
-------------------- A
甲
乙
丙
收益值
最小收益值 最大收益值
图 11
曲线甲代表的是一种谨慎小心、不求大利、避免风险的保守型决策。其效
用曲线开始时的斜率较大，以后逐渐减小。这表明每增加单位收益时效用的增加
量递减。这种决策者对损失比较敏感，而对收益的反应比较迟钝。曲线甲属于凹
函数。
曲线丙代表的决策者的特点上述决策者相反。这种人对收益反应敏感，是
一种不怕风险，谋求大利的冒险型决策者。曲线丙属于凸函数。
曲线乙代表中间型决策者。他们完全根据期望益损值来决定自己的行动。
曲线乙属于线性函数。
三、最大期望效用值决策准则
最大期望效用值决策准则，就是根据效用理论，算出各个策略的期望效用
值，以期望效用值最大的策略为选定策略。
例 12 某企业正考虑两种可能的改革方案 d1 与 d2 ,有关数据见下表 11。表
中损益值的单位为万元。
表 11 各种情况下的损益值
产品销路好
P=
产品销路一般
P=
产品销路差
P=
改革方案 d1
改革方案 d2
10
8
8
6
-1
1
已知反映该企业决策者的效用观念的资料如下：
1、肯定地得到 8 万元等效于：以 的概率得到 10 万元和以 的概率损
失 1 万元。
2、肯定地得到 6 万元等效于：以 的概率得到 10 万元和以 的概率损
失 1 万元。
3、肯定地得到 1 万元等效于：以 的概率得到 10 万元和以 的概率
损失 1 万元。
试用最大期望效用值准则进行决策。
解：令：U（10 万元）= 100，U（-1 万元）= 0
则： U（8 万元）= U（10 万元）×+U（-1 万元）×=100×+0=90
U（6 万元）= U（10 万元）×+U（-1 万元）×=100×+0=80
U（1 万元）= U（10 万元）×+U（-1 万元）×=100×+0=25
因此，方案 d1 的期望效用值为：100×+90×+0×=65
方案 d2 的期望效用值为：100×+80×+25×=
由以上分析可知，按最大期望效用值准则决策的结果是：选择改革方案 d2 。
习题
1.某药厂要确定下一计划期内某药品的生产批量,根据经验并通过市场调查,
已知药品销路好、一般和较差的概率分别为 、 和 ,采用大批量生产可能
获得的利润分别为 20 万元、12 万元和 8 万元,中批量生产可能获得的利润分别
为 16 万元、16 万元和 10 万元,小批量生产可能获得的利润分别为 12 万元、12
万元和 12 万元.试用最大可能准则和期望值准则进行决策.
2.某农场种植了价值 10000 元的中药材,但目前因害虫的侵袭而受到严重的
威胁,场长必须决定是否喷洒农药.喷洒农药将耗费 1000 元.如果他决定喷洒农药,
只要一周内不下雨,就可以挽救全部药材；而如果一周内有雨,就只能挽救 50%的
药材.反之,如果他决定不喷洒农药,只要一周内不下雨,就将损失全部药材；若一周
内有雨,就能自动救活 60%的药材.试用最大可能准则和期望值准则进行决策.假
设场部气象站估计一周内下雨的概率为 .
3.某药厂决定某药品的生产批量时,调查了这一药品的销路好、销路差两种自
然状态发生的概率，和大、中、小三种批量生产方案的投资金额,以及它们在不
同销路状态下的效益值,如表 12 所示.试用决策树法进行决策.
表 12 不同方案在不同状态下的益损值（万元）
药 品 销 路
方 案 投 资 金 额 (销路好) (销路差)2s
)( 2 sP
3s
)( 3 sP
(大批量生产) 10 20 -15
(中批量生产) 8 18 -10
(小批量生产) 5 16 -8
4.某厂在产品开发调查研究中取得如下有关资料:一开始就有引进新产品和
不引进新产品两种方案.在决定引进新产品时,估计需投入科研试制费 7 万元,估
计其它企业以相同产品投入市场参与竞争的概率为 ,无竞争的概率为 .在无
竞争的情况下,该厂有大规模生产、一般规模生产和小规模生产三种方案,其收益
分别为 20 万元、16 万元和 12 万元.在有竞争的情况下,该厂和竞争企业都有上述
三种规模的生产方案,有关数据如表 13 所示.试用决策树法进行决策.
表 13 不同方案在不同状态下的益损值（万元）
竞争企业生产规模 大 一般 小
大
概率
收益(万元) 4 6 12
一般
概率
收益(万元) 3 5 11
本厂
生产
规模
小
概率
收益(万元) 2 4 10
5.某地有 10 万人口,当地卫生机构拟对人群的某种疾病作一次检查.现在，需
要就采用哪种检查方式的问题作出决策.有三种方式可供选择:第一,全体人口普
查；第二,只检查高危人群；第三,所有的人都不检查.假设人群的疾病分布状况和
预期的检查结果以及检查治疗费用的有关资料如表 14、15 所示.为了使总费用最
少,应选择哪种方案?试用决策树来分析.
表 14 不同人群的检查结果
实 际 情 况
检查 高 危 险 组 低 危 险 组
结果 阳性 阴性 合计 阳性 阴性 合计
阳性 1900 3600 5500 3040 15360 18400
阴性 100 14400 14500 160 61440 61660
合计 2000 18000 20000 3200 76800 80000
1a
2a
3a
表 15 检查和治疗费用（元/人）
项目 费用
全人口普查 3
重点检查 4
真阳性病人早期治疗 10
假阳性病人早期治疗 5
晚期治疗 100
6.某医院制剂室生产某种药品有三种方案,大批量生产、中批量生产、小批量
生产；该药品治疗的疾病情况也有三种:大流行、局部流行、不流行．出现哪种
概率全然不知，获利情况如表 16 所示．试用乐观准则、悲观准则、折衷准则
（ ）、后悔值准则进行决策．
表 16 不同方案在不同状态下的益损值（元）
自 然 状 态
方 案
（疾病大流行） （局部流行） （不流行）
（大批量生产） 600 400 -200
（中批量生产） 400 250 -100
（小批量生产） 100 150 50
7．实施某一卫生服务计划，有 4 个可供选择的方案 ， ， ， ，每个
方案都面临三种可能的自然状态 ，各相应的益损值如表 17 所示，假定不
知道各自然状态发生的概率．试用各种准则进行决策．（折衷系数 ）
表 17 不同方案在不同状态下的益损值（万元）
自 然 状 态
方 案
1s 2s 3s
1a
2a
3a
1a 2a 3a 4a
321 ,, sss
1s 2s 3s
50 45 60
25 75 50
105 10 25
20 100 40
8．某决策问题的最大和最小益损值分别为 120 元和-40 元，所对应的效用值
分别为 1 和 0，其他益损值所对应的效用值如表 18 所示．试画出效用曲线，并
利用效用值准则说明下列两种方案中哪一种较优： （成功概率为 ，获利 70
元；失败概率为 ，损失 20 元）， （成功概率为 1，获利 30 元）．
表 18 效益值（元）和效用值
10 20 50 80 90 100
9．某厂要决策是现在还是明年扩大生产规模问题．由于可能出现的市场需
求情况不一样，预期利润也不同．已知市场需求有高（ ）、中（ ）、低（ ）
三种自然状态，各状态下的概率及不同方案时的预期利润如表 19 所示．对该厂
来说损失 1 万元效用值为 0，获利 10 万元效用值为 1，对于以下事件效用值无差
别：∣肯定得 8 万或 概率得 10 万和 概率失去 1 万；
∣肯定得 6 万或 概率得 10 万和 概率失去 1 万；
∣肯定得 1 万或 概率得 10 万和 概率失去 1 万．
求：（1）建立效用值表；（2）分别根据效益值和效用值按期望值法确定最优策
略
表 19 不同方案在不同状态下的益损值（万元）
自 然 状 态
方 案
（现在扩大） 10 8 -1
（明年扩大） 8 6 1
1a
2a
3a
4a
1s
2s
R
U
1s 2s 3s
1s 2s 3s
)( 1 sp )( 2 sp )( 3 sp
1a
2a
