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基于 BD算法的多用户MIMO下行功率自适应
杨文谦，王亚峰，杨大成
北京邮电大学信息与通信工程学院，北京（100876）
摘 要：在多天线系统的研究中，目前的方向多数集中在通过预编码或者其他干扰消除技术
来提升系统性能，而对于功率控制和干扰消除技术相结合的研究较为有限，本文基于经典的
比特递增算法（Hughes-Hartogs 算法）提出了一种自适应功率分配算法，并将其创新性的应
用于基于 BD 算法的多用户 MIMO 系统中，该算法在尽量保证公平性的前提下，使系统总
功率最小化，并在此基础上提出混合业务最优化分配算法，将剩余功率应用于优先级较低的
业务，可以进一步提高系统的性能。
关键词：MU-MIMO；BD 算法；功率自适应
1. 引言
作为下一代无线系统关注的重要领域，MIMO 因其具备高信道容量的潜力、增强分集
度以及抑制干扰的能力。在无线局域网和蜂窝技术等实际应用中，由于单个基站必须同时和
许多用户通信，MIMO 系统将在这种环境中得到应用[1]。因此，多用户 MIMO（Multi-user
MIMO）系统最近成为了一个重要的研究课题。
递增分配方法非常适合比特速率自适应和功率余量自适应分配问题，其基本思想是每次
为能带来最大好处或付出最小代价的子信道分配 1bit。通常，递增分配算法也可以被称作贪
婪算法，所谓"贪婪"是指每一次分配只考虑当前最优，而不考虑对全局的影响。经典的
Hughes-Hartog 算法计算出所有子信道每增加 1bit 所需的能量，生成能量表，在初始时设定
全零的分配，每次在能量表中查找增加 1bit 所需能量最少的子信道，并为其分配 1bit 和所
需功率，直至超出总功率限制或目标比特速率为止。Fox 则在使吞吐量变化与 BER 变化的
比值最大的子信道上分配比特。Wyglinski 等人最初在所有子信道上都分配最大的比特数，
然后逐次在 BER 性能最差的子信道上减去一定的比特数，直到满足目标 BER 为止[2]。
参考经典的比特递增算法（Hughes-Hartogs 算法），本文提出了一种自适应功率分配算
法，并将其创新性的应用于基于 BD 算法的多用户 MIMO 系统中。
2. 多用户 MIMO 下行链路功率自适应
BD 算法简介
我们将主要研究包括在发射端的线性预处理和接收端的线性后处理的 MIMO 传输系
统，单用户 MIMO 模型如下：
ˆ ( )= +d D HMd n (1)
其中， d是任意m 维的数据向量，实际传输信号 =s Md是由在发射端包括所有信道预
编码的 Tn m× 维的调制矩阵M 形成的；接收信号 r通过利用 Tm n× 维的矩阵 D转化成对原
始传输数据的估计。这里，M 是一个波束成型矩阵，我们在传送信号之前用M 对其进行预
处理，这种技术就是所谓的波束成型技术[3]。
如果能够将多用户 MIMO 信道模型通过一定的处理转化成独立的单用户信道模型，则
可以直接应用单用户信道模型的各种算法。
为了消除所有多用户间的干扰，我们加了限制条件： 0( )i j i j= ≠H M 。用 SH 、 SM 表
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示网络信道矩阵和调制矩阵[4]
1 2[ ... ]
T T T T
S K=H H H H (2)
1 2[ ... ]
T T T T
S K=M M M M (3)
如果定义：
1 1 1[ ... ... ]
T T T T T
j j j K− +=%H H H H H (4)
其他用户对用户 j 零干扰要求 jM 是 j%H 的零空间，即 0j j =%H M 。为保证所有用户都满
足零干扰的条件，必须对 j%H 的维数做一定的限制。
M SH D
⊕1d
Kd
2d
1ˆd
2dˆ
ˆ
Kd
1M
2M
KM
(0)
1 1HV%
(0)
2 2H V%
(0)
K KH V%
1D
2D
KD
1n
Kn
2n
⊕
⊕
1s 1r
2s 2r
Ks Kr
图 1 采用 BD算法之后等效的单用户子信道模型
对 j%H 进行 SVD 分解，有
(1) (0) *[ ]j j j j j j j j= =% %% % % % % %H U Λ V U Λ V V (5)
令 ( )j jR rank= %H ，显然有 min{ , }j T RR n n≤ ，而 (1)j%V 表示 j%V 的前 jR 个奇异值向量， (0)j%V
表示 j%V 的后 ( )T jn R− 个奇异值向量，也就是 j%H 零空间的正交基。令
1 2
(0) (0) (0)[ , ,..., ]K=% % % %V V V V (6)
则有
(0)
1 1
'
(0)
0
0 0
0
0
0
S S
K K
⎛ ⎞⎜ ⎟= = ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
%
% O
%
H V
H H V
H V
(7)
同时，从式（5）可以看出， (0)j%V 的维数为 T Tkn n× % ，其中
1,
max{0, }
K
Tk T Ri
i i k
n n n
= ≠
≥ − ∑% (8)
又因为有“独立同分布信道”和“式（8）成立”这两个充分条件，所以有
1,
K
Tk T Ri
i i k
n n n
= ≠
= − ∑% (9)
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即第 k 个用户的等效发射天线数目为 Tkn% [5]。
因此，原信道等效为K 个互相独立的单用户子信道，如图 1 所示。
多用户 MIMO 系统自适应速率控制
Hughes-Hartogs 算法
当采用 4 元以上的 QAM 调制并且0 30iγ≤ ≤ dB 时，各子信道的误码率近似表示为[6]
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
−−≈ 12
iR
ii
i
P
BER
γ
(10)
其中 iγ 为信噪比。若要求 i tBER BER≤ ，则有
2 1 1
ln(5 )
iR i i
i i
t
P P
BER
γ η γ≤ − = + (11)
其中 / ln(5 )tBERη = − 。那么子信道 i 增加 R∆ bits 需要增加的功率为 iP∆ ，则根据式
（11），并取等号，有
2 1
2 1 ( )
i
i
R
i i
R R
i i i
P
P P
η γ
η γ+∆
⎧ = +⎪⎨ = + + ∆⎪⎩ (12)
解此方程组可得到
2 (2 1) ( )iR Ri iP ηγ∆∆ = − (13)
若取 2R∆ = ，考虑 2 4 6iR = 、、的情况，分别采用 QPSK、16QAM、64QAM 调制解调。
此时， 2 (2 1) / /iR Ri i i iP Gηγ γ∆∆ = − = ，其中， iG 为常数。
表 1 多用户 MIMO 系统自适应速率控制
iR 2 4 6
Modem QPSK 16QAM 64QAM
iG
如果一个系统包含 1K > 个用户，而每个用户具有 1kN ≥ ( {1, })k K∈ = LK 个子信道，本
文将这种系统称为多用户多信道系统。基于 DMT 的多用户 DSL 系统以及这里介绍的多用
户 MIMO 系统都可以看作多用户多信道系统[7-9]。通常，我们可将多用户多信道的比特分配
问题分成两种情况：
（1）只要求达到系统指定的优化目标，而不限制单个用户的可用功率、分配比特等。
这种分配结果在全局上是最优的，但会出现信道条件较好的那些用户占用了大量的系统资
源，公平性很差。
（2）除系统指定的优化目标外，对单个用户的功率、比特数等也有限制。这种分配结
果在总体上不如第一种情况，但能够在一定程度上较为公平地分配资源。
多用户多信道系统的比特分配是一个非常复杂的问题。首先，不同的业务考虑的因素以
及优化目标不尽相同，我们应该根据具体业务的服务质量（QoS）要求确定优化目标，它往
往和调度联系在一起。其次，多用户多信道系统实际上是一个二维问题，它不仅包含各用户
之间的资源分配，而且包括每个用户子信道之间的资源分配。
这里将先脱离具体的系统，讨论比较常见几种的比特分配问题，进而给出一些目标准则
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下的分配算法，分别对应一些具体业务要求。在以下的讨论中，假设已知所有用户所有子信
道的信噪比 ,k iγ ( 1, )kk i N∈ = LK, , 。
系统总中断概率最小化问题
假设所有用户的目标比特速率为 target target,1 target,( , , )KR R= LR ，如果在某个时隙计算得到
的分配给用户 k 的比特数 target,k kR R< ，我们就称用户 k 产生一次中断（outage），那么用户
k 在这个时隙就停止发送数据。实际上，系统总中断率最小化问题就是在每个时隙尽量使最
多的用户满足目标比特速率。设一个时隙满足目标比特速率的用户集合为 ′K ，其元素数目
为 ( )n ′K ，该问题可以描述为
max ( )K n′ ′= K (14)
当 k ′∉K 时 0kR = 、 0kP = ；当 k ′∈K 时 target,k kR R= ，并且满足总平均功率限制和目标
误比特率要求
, total
1 1
kNK
k i
k i
P P
= =
≤∑∑ (15)
target,k kBER BER≤ (16)
下面给出解决该问题的实现算法，它基于递增分配算法。
（1）首先根据 ,k iγ （ 1,k K= L ， 1, ki N= L ）计算得到在用户 k 的子信道 i 上从 ,k iR 到
,k iR R+ ∆ bit 所需的功率差 , , , , , ,( ) ( ) ( )k i k i k i k i k i k iP R R P R R P R∆ + ∆ = + ∆ − 。
（2）从全零的初始分配开始，每次查找增加 R∆ bit 所需功率最少的子信道，并为其增
加 R∆ bit 和相应的功率。如果 target,k kR R= ，那么此后就不对用户 k 分配比特和功率了。
（3）重复步骤（2）直到所有用户都满足目标比特速率为止。用户 k 的分配结果为
target, , ,1 1( )k k
N N
k k i k k ii iR R P P= == =∑ ∑， 。此时，整个系统的分配结果是当系统满足 targetR 时使用
的总功率最小的结果。
（4）如果 , total1kN k ii P P= ≤∑ ，说明在总功率 totalP 限制下所有用户都达到了目标比特速率，
没有用户发生中断，算法结束。
（5）否则，必须中断至少一个用户，设集合
o total
1
| ,
K
k i
i
k P P P k
=
⎧ ⎫⎪ ⎪= > − ∈⎨ ⎬⎪ ⎪⎩ ⎭∑C K (17)
如果 o ≠ ∅C ，那么只需要中断集合 oC 中的任何一个用户就可以在 totalP 限制下使其他用
户满足目标比特速率。选择中断的用户时，本算法遵循如下准则：
首先中断 oC 中的目标比特速率最少的用户，即
o
o target,arg min k
k
k R
∈
=
C
(18)
其次，如果 oC 中的所有用户具有相同的目标比特速率时，就中断使用功率最大的用户，
此时
o
o arg max k
k
k P
∈
=
C
(19)
那么用户 ok 被中断就可以使总功率最小，此时 o{ }k′K = K \ ，分配的总功率为 k kP′∈∑ K ，
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算法结束。
（6）如果 o = ∅C ，说明只中断一个用户还不足以满足总功率限制，至少中断两个用户，
集合 oC 变为
1 2o 1 2 total 1 2 1 2
1
( , ) | , , ( , )
K
k k i
i
k k P P P P k k k k
=
⎧ ⎫⎪ ⎪= + > − ≠ ∈⎨ ⎬⎪ ⎪⎩ ⎭∑C K (20)
如果 o ≠ ∅C ，只要中断两个用户即可，选择中断用户对首先选择目标比特率最小的用
户对
1 2
1 2 o
o,1 o,2 target, target,
( , )
( , ) arg min( )k k
k k
k k R R
∈
= +
C
(21)
如果所有用户对的目标比特速率之和都相等，那么就选择所用功率之和最大的用户对
1 2
1 2 o
o,1 o,2
( , )
( , ) arg max( )k k
k k
k k P P
∈
= +
C
(22)
那么中断用户为 o,1 o,2( , )k k ， o,1 o,2{ , }k k′K = K \ 。
（7）如果 o = ∅C ，依此类推，直至符合要求或所有用户都必须中断。
由此可见，本算法在满足总功率限制条件下，首先尽量使最多的用户达到目标比特速率，
在此基础上使吞吐量最大，最后使用的总功率最小，最终实现的目标是系统总中断概率达到
最小。如果某个用户在一段时间内的中断概率很大，说明该用户的信道情况比较差，一方面
可以通过调度降低该用户的中断概率，另一方面系统可以降低该用户的速率等级——目标比
特速率。
混合业务最优化问题
上节讨论了系统总中断概率最小化问题，最终分配的总功率为 k kP′∈∑ K ，那么很可能
还有一部分剩余功率 r total k kP P P′∈= −∑ K 。当一个用户具有一种固定速率要求的业务和其他
多种对时延要求不高的业务时，这些剩余功率就可以被利用以提高系统吞吐量。我们首先用
系统总中断概率最小化算法使最多的用户达到目标比特速率后，在其分配结果上按照多用户
比特速率最大化的方法利用剩余功率 rP 获得更大的吞吐量。
3 仿真结果及讨论
对系统（6,[1,2,3]）、（6,[2,2,2]）进行仿真，即发射端有 6 根天线。并且，这里取
310tBER
−= ，为方便同时又不失一般性，取 2R∆ = ，考虑 2 4 6R = 、、的情况，分别采用 QPSK、
16QAM、64QAM 调制解调。
此时， 2 (2 1) / /iR Ri i i iP Gηγ γ∆∆ = − = ，其中， iG 为常数，对应于 2 4 6R = 、、的值参考表 1。
应用 BD 算法，并用 SVD 检测，则 2 2/i iγ λ σ= 。
利用经典的 Hughes-Hartog算法计算出所有子信道每增加 2bit 所需的能量，生成能量表，
在初始时设定全零的分配，每次在能量表中查找增加 2bit 所需能量最少的子信道，并为其分
配 2bit 和所需功率，直至超出总功率限制或目标比特速率为止。
多用户比特速率最大化问题
对系统（6,[1,2,3]）进行仿真。给定系统最大功率限制 total 6P = ，以最大化用户比特速
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率为目标，系统 QoS 要求 3target 10BER −= 。分别检验系统以及各用户在 0-40dB 之间的平均
功率分配和平均比特率。
而从图 2 中可以看出， 随着系统信噪比的提高，各用户的比特速率都是逐渐增加的，
并最终趋于饱和。饱和的原因是我们对各用户的最高比特速率作了一定限制所造成的。如，
用户 2 有两根天线，而我们已开始假设每根天线最多能支持的比特速率为 6，故在功率一定
的情况下，随着信噪比的提高， 用户 2 将达到最大比特速率 6×2＝12。同理可知其他用户
以及整个系统的情况。
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0
6
12
18
24
30
36
42
SNR(dB)
平
均
比
特
率
系统平均比特率
用户1平均比特率
用户2平均比特率
用户3平均比特率
图 2 多用户 MIMO 系统比特速率最大化的平均比特速率
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2
3
4
5
6
SNR(dB)
平
均
分
配
功
率
系统平均分配功率
用户1平均分配功率
用户2平均分配功率
用户3平均分配功率
图 3 多用户 MIMO 系统比特速率最大化的平均分配功率
而各用户所需功率则是一个随着系统信噪比的提高先增后减的过程（图 3）。这是因为
限定的总功率 total 6P = ，而我们的比特分配是离散化的，这里是以 2R∆ = 为步长增加，一开
始系统信噪比比较低，相应的功率 P∆ 比较大，因而功率利用极不充分；随着信噪比的提高，
P∆ 愈来愈小，功率利用越来越充分，因而使用的功率开始慢慢增长；当信噪比高到一定程
度的时候， P∆ 很小，以致系统所需的功率 P 越来越小， total 6P = 已经完全能够满足系统的
要求。
多用户总中断概率最小化问题
对系统（6,[2,2,2]）进行仿真。给定系统最大功率限制 total 6P = 以及各用户比特速率目
标，由于这里各用户基本对称，故取相同的速率目标。其中，系统 QoS 要求 3target 10BER −= 。
分别检验系统以及各用户在 0-30dB 之间的平均中断概率、平均功率分配和平均比特率。这
里，我们在保证系统总中断概率最小的前提下，对功率余量进行最大化的利用，并观察两者
之间的关系。假设系统总中断概率最小化问题应用于业务 1，功率余量比特速率最大化问题
应用于业务 2。
从图 4 可以看出，不管各用户的目标速率是多少，系统中断概率（Outage）都是逐渐减
小的，并且是先快再慢，并最终趋于零。趋于零是因为系统的信噪比已经足够高，使得限定
的功率完全能够满足各用户的目标速率要求。假设要求系统达到相同的中断概率，则当目标
速率越低时，对信噪比的要求也就越低。
实际上，我们经过分析还发现，即使各用户的信道情况不对称，其对应于相同 SNR 的
中断概率都是基本一致的。因此，根据该仿真图，各接收端可以根据信道的 SNR 以及系统
中断概率的要求，来确定最大的传输速率。
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5
10
15
20
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30
SNR(dB)
平
均
O
ut
ag
e(
%
)
目标速率2
目标速率4
目标速率6
目标速率8
目标速率10
目标速率12
图 4 多用户 MIMO 系统不同速率要求的中断概率
图 5 和图 6 给出了系统不同速率要求的最优化功率分配趋势和比特速率趋势。以目标速
率 target [6,6,6]=R 为例进行说明（图 7）。
首先看两种业务的功率分配之间的关系。由于限定了系统总功率，故随着系统信噪比的
提高，业务 1 的功率分配将有一个峰值出现。这是因为满足系统速率要求的功率从大于系统
限定总功率 total 6P = ，逐渐变化到小于系统限定总功率，并且随着信噪比的提高继续减少。
只是由于目标速率的不同，所需功率不同，故功率分配出现峰值位置也就不同。
由于业务 2 的功率所用功率是业务 1 功率的剩余量，故两者呈现互补趋势，即当信噪比
较低时，业务 2 的功率有一个小峰值，当业务 1 的功率达到峰值的时候，业务 2 的功率达到
低谷。而随着信噪比的提高，业务 1 所需的功率逐渐变小，业务 2 的功率相应增大。当信噪
比大到一定程度的时候，业务 2 的比特速率达到我们人为设定的上限，此时所需功率又开始
减小，故业务 2 的功率出现两个峰值。
由于系统的功率分配跟系统达到的速率有对应关系，故可以对照看系统功率分配的情
况。不过，两种业务由于条件不同，情况也会略有不同。
先看业务 1。当分配的功率达到峰值时，对于各用户目标速率要求较低的，此时已达到
目标速率，随着系统信噪比的提高，将保持此速率不变；而目标速率要求较高的，由于此时
功率尚未能满足系统所有用户的要求，随着信噪比的提高，速率将继续增大，直到满足目标
速率要求为止，然后也保持不变。
再看业务 2。仍然与功率相对应。相对与功率的第一个峰值和第一个低谷，比特速率也
出现一个峰值和一个低谷；而当功率出现第二个峰值之后，业务 2 的将达到我们设定的上限
而保持不变。
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2
3
4
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业务1平均分配的功率
系统SNR(dB)
平
均
分
配
的
功
率
目标速率2
目标速率4
目标速率6
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2
3
4
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业务2平均分配的功率
系统SNR(dB)
平
均
分
配
的
功
率
目标速率8
目标速率10
目标速率12
图 5 多用户 MIMO 系统不同速率要求的最优化功率分配
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业务1平均比特速率
系统SNR(dB)
平
均
比
特
速
率
目标速率2
目标速率4
目标速率6
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18
24
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业务2平均比特速率
系统SNR(dB)
平
均
比
特
速
率
目标速率8
目标速率10
目标速率12
图 6 多用户 MIMO 系统不同速率要求的最优化平均比特速率
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两种业务的平均分配功率
SNR(dB)
平
均
分
配
功
率
系统
业务1
业务2
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0
6
12
18
24
两种业务的平均比特速率
SNR(dB)
平
均
比
特
速
率
图 7 多用户 MIMO 系统速率要求为[6,6,6]的最优化平均功率分配和比特速率
多用户混合业务最优化问题
当一个用户具有一种固定速率要求的业务和其他多种对时延要求不高的业务时，这些剩
余功率就可以被利用以提高系统吞吐量。我们首先用系统总中断概率最小化算法使最多的用
户达到目标比特速率后，在其分配结果上按照多用户比特速率最大化的方法利用剩余功率
rP 获得更大的吞吐量。多用户混合业务最优化，即是多用户总中断概率最小化问题（业务 1）
以及功率余量进行比特速率最大化问题（业务 2）的综合。
前面已经分析了多用户总中断概率最小化问题以及功率余量进行比特速率最大化问题
的功率和比特速率关于信噪比的总趋势，下面结合两种情况进行具体分析。对系统（6,[1,2,3]）
进行仿真。给定系统最大功率限制 total 6P = ，目标速率 target [2,6,12]=R ，系统 QoS 要求
3
target 10BER
−= 。这里的目标速率是在 20dB 时，根据多用户比特速率最大化算法求得的各
用户平均的最大比特速率。分别检验系统以及各用户在 18-22dB 之间的平均比特率和中断概
率。
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SNR(dB)
平
均
比
特
速
率
(b
it/
s)
业务1的平均比特速率
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3
SNR(dB)
平
均
比
特
速
率
(b
it/
s)
业务2的平均比特速率
用户1平均比特速率
用户2平均比特速率
用户3平均比特速率
图 8 多用户 MIMO 系统混合业务最优化的平均比特率
图 8 所示为平均比特速率的分布情况。先看业务 1，由于目标速率是以 20dB 为基准的
得到的，故 18dB、19dB 各用户速率都达到不到目标，而从 20dB 开始基本能达到目标，但
总体上看都差不多；对于业务 2，用户 1 和用户 2 的比特速率都是递增的，而用户 3 的则是
先减后增。这是由于用户 1 和用户 2 的目标速率较低，在 18-20dB 的区间内业务 1 都基本能
达到目标速率，因此，随着信噪比的提高，两种业务所需功率都越来越小，业务 2 能够分到
的比特速率也就越来越多。而对于用户 3，由于其目标速率较高，在 18dB、19dB 的时候，
达不到目标（18dB 的时候速率不到 10bit/s），因此剩余的功率较多，业务 2 的比特速率也
较高；在 20dB 的时候，业务 1 基本达到目标速率，功率利用也更充分，因此留给业务 2 的
功率也就变少；随着信噪比的继续提高，两种业务所需功率都越来越小，业务 2 能够分到的
比特速率也就越来越多。
4 结论
本文首先介绍了应用于多用户 MIMO 系统的迫零的块对角化（BD）算法。BD 算法利
用反馈到发射端（基站）的信道状态信息（CSI），通过块对角化消除信道之间以及同信道
的天线之间的相关性，使得多用户 MIMO 系统信道等效为各个独立的单用户系统信道，从
而可以应用单用户 MIMO 系统的各种成熟算法。
参考经典的比特递增算法（Hughes-Hartogs 算法），本文提出了一种自适应速率控制算
法，并将其应用于基于 BD 算法的多用户 MIMO 系统中，该算法在尽量满足更多用户速率
需求的前提下，最小化系统总功率，且使系统有较小的总中断概率。在此基础上提出混合业
务最优化分配算法，将剩余功率应用于其他多种对时延要求不高的业务，可以进一步提高系
统的吞吐量。
所有介绍的算法都要求发射机知道部分或者全部信道信息[10]。过于对单用户信道的研
究表明在发射端获得这些信息收益往往很小，特别是在高信噪比的时候。但是，对于多用户
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的情况，性能差别大多了，而且它随着 SNR 变大或者发射天线的增加提高了而非减少。这
将使得在发射端获取信道信息付出的潜在的高代价更加值得。
然而，我们的算法复杂度虽然性能不错，但是复杂度较高。下一步工作的重点将是在尽
量不降低性能的情况下，最大程度的减少算法的复杂度。
参考文献
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33:149-160, Jan. 2000
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MIMO downlink[J]. Communications Magazine, (). 2004:60-67
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Block Diagonalization Algorithm Based Downlink
Multi-user MIMO Power Allacation
Yang wenqian，Wang yafeng，Yang dacheng
Beijing University of Posts and Telecommunications，Beijing （100876）
Abstract
In multi-user MIMO system, most of researches are focused on interference cancellation utilizing
precoding or other technology, and the power allocation in these researches just pursue the
performance optimization in theory. In practical, the power allocation in multi-user system needs to be
considered in radio resource management layer and the fairness of each user is also concerned. In this
paper, we propose an adaptive power allocation method based on the classical
“bit-increment-algorithm”（Hughes-Hartogs algorithm）. When Block diagonalization (BD) algorithm
is also adopted in multi-user MIMO system, the proposed power allocation method can minimize the
total power of the system with the fairness guarantee. Based on above results, we further propose an
optimal power allocation method in hybrid traffic scenario, the remainder power is allocated to the
traffic which has lower priority. The system performance is improved further.
Keywords：MU-MIMO；BD algorithm；power allocation
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