《数理经济学》参考习题 说明：以下习题主要在于帮助读者进一步理解和掌握相关的最优化方法。而对相关数学最优化定理推导的深入理解将非常有助于对该原理的掌握，因此相关定理的证明可以作为习题，鉴于篇幅，在习题中不再重复。另一方面，对经济学分析如何应用最优化数学方法，建议读者进一步阅读参考文献中的相关微观经济学和宏观经济学的高级教程。另，以下习题中相关定理和例题的编号为教材中的编号。 第一部分 非线性规划与应用 1. 如序中所提到的，目标函数和约束函数均为线性函数时称为线性规划问题，线性是非线性的一个特例，考虑以下的线性规划问题， Tmin: cx .: Ax≤0 x≥0 n其中x∈R，c为n维向量，A为m×n矩阵。导出该线性规划问题的Kuhn-Tucker最优性条件。 2. 当非线性规划问题中的目标函数为二次函数，约束函数为线性函数时，称为二次规划问题。导出以下二次规划问题的Kuhn-Tucker最优性条件。 1TTmin: a+cx+xHx .: Ax=b x≥0 其中a为常数，c为n维向量，H为n×n对称矩阵，A为m×n矩阵。 3. 考虑以下非线性规划问题： max: x−x .: −x+x≤0 21x−1≤0 1−x≤0 2画图分析该问题的最优解，并讨论在最有解点是否满足Kuhn-Tucker条件或Fritz John条件。 1
4. 求解以下非线性规划问题： 22min: x−2xx+x−3x .: −x+4x≤2 13x+4x≤6 12x≥0，x≥0 12*5. 分析点x=(4,3)是否为满足以下非线性规划问题的二阶条件的最优解： 22max: x−3+x−4 ()().: x+x≤25 12x+x≥7 12x≥0，x≥0 126. 考虑下述含参数的非线性规划问题： min: −x−ux .: x+x≤1−u 122用x(u)表示最优解，Φ(u)表示最优值函数，利用定理和定理的公式计算∇x(u)，∇Φ(u)在u=(1,0)和u=(0,0)的值。 ρρ1ρ7. 在例中，设某消费者效用函数为，u(x,x)=(x+x)，0<ρ<1，求出其需求函数1212x(p,p,y)，i=1,2，其中y为收入，p,p为价格。 i1212ρρ1ρh8. 参阅例，求效用函数为u(x,x)=(x+x)，0<ρ<1的希克斯需求函数x(p,p,v)，1212i12i=1,2，其中v为给定的效用水平，p,p为价格。并结合前题结论、验证例中的Slutsky12方程成立。 αβ9. 参阅例和例，对于柯布—道格拉斯形式的生产函数y=Axx，求其相应的条件要素12需求函数x(w,w,y)和成本函数c(w,w,y)，i=1,2其中w,w为生产要素价格。 i121212αρρρ10. 设生产函数为y=Ax+x，0<α<1，0<ρ<1，参阅例，求相应的需求函数()12x(p,w)，i=1,2，供给函数y(p,w)和利润函数π(p,w)，其中p为产品价格，w=(w,w)i12 2
为生产要素价格。并利用包络定理，证明： ∂π(p,w)∂π(p,w) =y(p,w)，−=x(p,w)，i=1,2 i∂p∂wi11. 考虑科斯模型中存在两个生产要素的情况。可假设例中要素L为劳动，在此基础上考虑生产还需另一要素――资本K的投入，考虑此时的最优化模型表示，证明在这种情况下例的结论还是成立的。 12．考虑隐含合同模型的修订。假设在例中，企业对劳动投入量的调整是通过对每个工人劳动时间的调整来实现，而不存在解雇（失业）的情况。此时例中的约束条件L≤N不存在（也i不存在N的选择）。假设每个劳动者是同质的，则厂商的劳动量投入选择实际上等同于选择每个劳动者的时间，因此此时的L为i情况下单个劳动者的劳动时间。设此时劳动者的效用函数为i′′′U(w,L)=UwL−g(L)，g>0，g>0。其他设定和例相同，写出此时的厂商最优[]化问题，分析相应的最优性条件的意义，特别是证明此时不存在工资刚性。 第二部分 动态优化与应用 1、 求泛函 π22 J(x,y)=x+2xy+ydt ()∫0在边界条件 ππ⎛⎞⎛⎞x(0)=0，x=1，y0=0，y=−1 ()⎜⎟⎜⎟22⎝⎠⎝⎠下的极值曲线。 2、 证明例中的等周问题。 3、 利用含微分方程约束的变分法求解以下最优控制问题， 222min:u+udt ()12∫0 .: x=x+u, x(0)=1, x(2)=0 12111 x=u, x(0)=1 222∂L（以上x(2)无约束，则对应的横截性条件为=0，其中L为上述问题的Lagrange函数） 2∂x2t=2 3
4、求解最优控制问题： 1max: x(t)dt ∫0 .: x(t)=x(t)+u(t)，x(0)=0，x(1)自由 u(t)≤1 5、求解终端时间可变的最优控制问题： T2min: u(t)dt ∫01 .: x(t)=x(t)，x(0)=0，x(T)= 121141 x(t)=u(t)，x(0)=0，x(T)= 2224u(t)∈[−1,1] 其中T是可变的。（提示：主要观察Hamilton函数关于u的特征，实际上可用H=0替代对最大u值条件的分析。） 6、利用逆向递归，求解以下离散最优化问题。 222min: βx(t)+γu(t) ()∑t=.: x(t+1)=ax(t)+bu(t)，t=0,1,2 x(0)=x 0 7、在第4章的Ramsey增长模型中考虑闲暇的效用。此时增长模型表示如下： ∞−θt max: U(c,l)edt ∫ 0 .: k= f(k,l)−c−nk，k(0)=k 0其中l表示劳动时间，设总时间为1，则1−l为闲暇时间，因此在效用函数中考虑闲暇的效用时可用U(c,l)表示（此时也可理解为劳动的负效用）。显然以上问题也可表示成变分法问题，利用Euler方程或最大值原理推导以上的最优性条件，并分析其经济学含义。 8、 分析比较劳动收益税在第7题的增长模型中和在第4章的Ramsey增长模型中对经济的影响。 9、考虑以下财产规划问题。设某消费者有初期财产x(0)=S，其收入只有财产利息收益，其财产配置方程如下， 4
x(t)=rx(t)−c(t) 12其中x(t)为财产存量，c(t)为消费，消费效用函数为U(c)=c。其贴现后的从现在（0时刻）到将来T时刻的消费效用总值为 T12−θtc(t)edt ∫0设该消费者希望到T期将资产全部消费完，即x(T)=0。利用最大值原理求最优消费路径c(t)。 10、考虑以下含人力资本的增长模型， 1−σ ∞C−1−θtmax: edt ∫ 01−σα1−α .: K=AK(uH)C，K(0)=K 0 H=B(1−u)H，H(0)=H 0这里C表示消费量，K为物质资本存量,u是在物质生产部门的投入时间，H表示人力资本水平，uH则表示考虑到劳动的质和量的有效劳动，1−u表示用于提高人力资本的时间，A,B,σ,θ,K,H为正的参数。第一个微分方程表示物质产品的生产和配置，第二个微分方程00表示人力资本的提升过程，也可理解为知识产品的生产和配置。 推导最优性条件，求稳定状态的K，H和C的增长率，分析相关的经济学含义。（这里的稳定状态是指消费、物质资本、人力资本的增长率和劳动-学习的时间分配比例为常数的状态。） 11、参考例，对例中的Bellman方程展开分析，讨论相关经济学含义。 12、第三章的例在离散的模型中讨论了消费税的影响，试在第四章的§的连续型模型中讨论消费税的影响（同样考虑消费税收入也将转移给消费者的情况）。 5
