回归预测
什么是回归预测
回归预测的常用方法
一元线性回归
一元非线性回归
二元线性回归
二元非线性回归
多元线性回归
多元非线性回归
回归预测概述（1）
回归预测以因果关系为前提，应用统计方法寻找一个适当的回归模型，对未来市场的变化进行预测。
回归分析具有比较严密的理论基础和成熟的计算分析方法；回归预测是回归分析在预测中的具体运用。
在回归预测中，预测对象称为因变量，相关的分析对象称为自变量。
回归分析根据自变量的多少分为一元回归分析、二元回归分析与多元回归分析，但有时候二元回归分析被并入到多元回归分析之中；回归分析根据回归关系可分为线性回归分析与非线性回归分析。
回归预测概述（2）
回归分析的基本步骤如下：
第一步：判断变量之间是否存在有相关关系
第二步：确定因变量与自变量
第三步：建立回归预测模型
第四步：对回归预测模型进行评价
第五步：利用回归模型进行预测，分析评价预测值
一元线性回归预测
一元线性回归预测是在一个因变量与一个自变量之间进行的线性相关关系的回归预测。
一元线性回归的基本步骤如下：
第一步：绘制散点图，观察自变量与因变量之间的相互关系；
第二步：估计参数，建立一元线性回归预测模型；
第三步：对预测模型进行检验；
第四步：计算与确定置信区间。
建立一元线性回归预测模型
一元线性回归预测的基本模型如下：
预测模型检验
相关系数检验
相关系数是描述两个变量之间线性关系能密切程度的数量指标。相关系数r的取值范围是[-1，1]。若r=1则说明完全正相关，若r=-1则说明完全负相关；r=0说明不相关；r的值在（0，1）之间则正相关，在（-1，0）之间则为负相关。
t检验
t检验是利用t统计量来检验回归参数a和b是否具有统计意义。
预测模型检验（相关系数检验）
相关系数的计算公式是：
另一个来自于方差分析的相关系数的计算公式是：
预测模型检验（t检验）
t检验使用的统计量计算公式是：
计算与确定置信区间
由于预测值与实际值之间存在有不确定的偏差，因而需要确定预测值的有效区间，即置信区间。
一元线性回归预测的置信区间有下述表达式确定：
一元线性回归预测案例研究（1）
例：x、y两变量的观察数据如下表所示，根据数据进行回归预测。
数据序号 x y x2 y2 xy
1
2
3
4
5
6
7
8
9
合计
一元线性回归预测案例研究（2）
根据前表可知：
一元线性回归预测案例研究（3）
相关系数检验。
根据前表数据以及相关系数计算公式可知本例为显著线性相关。
一元线性回归预测案例研究（4）
t检验。t检验的分析计算表如下：
数据序号 x y
1
2
3
4
5
6
7
8
9
合计
一元线性回归预测案例研究（5）
根据上表数据以及t统计量的计算公式有：
一元线性回归预测案例研究（6）
计算确定置信区间。计算得到置信区间为[,]，具体计算过程如下：
一元非线性回归预测
一元非线性回归预测的基本步骤
一元非线性回归预测的主要模型
指数曲线模型
双曲线模型
对数曲线模型
S型曲线模型
案例研究
一元非线性回归预测的基本步骤
一元非线性回归预测的基本步骤如下：
第一步：确定非线性回归模型的类型。
第二步：通过变换将非线性方程转化为线性方程。
第三步：用最小二乘法建立回归方程。
第四步：进行逆变换，将线性方程转换为需要的非线 性方程。
指数曲线模型
设有指数曲线如下：
双曲线模型
设有双曲线方程如下：
对数曲线模型
设有对数曲线方程如下：
S型曲线模型
设有S形曲线方程如下：
一元非线性回归预测案例研究（1）
根据下表资料预测2002年变量值。
观察年份 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001
时序(x) 1 2 3 4 5 6 7 8
观察值(y)
一元非线性回归预测案例研究（2）
根据上表可绘制出时间序列的散点图如下：
一元非线性回归预测案例研究（3）
所以在本例中，预测模型的类型应该是指数曲线。即有：
一元非线性回归预测案例研究（4）
由最小二乘法有：
多元线性回归预测
二元一次线性回归预测
多元线性回归方程的矩阵解法
二元一次线性回归预测（1）
二元一次线性回归的预测模型是：
二元一次线性回归的正规方程是：
二元一次线性回归预测（2）
例：根据下表进行二元一次线性回归预测。
时序 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 合计
516 557 641 682 736 813 824 901 1115 1410 8195
469
49 56 63 66 77 96 99 113 162 225 1006
220
133443
二元一次线性回归预测（3）
将有关数据代入到正规方程，得到：
多元线性回归方程的矩阵解法（1）
设有多元一次线性方程组如下所示：
多元线性回归方程的矩阵解法（2）
所以有：
多元线性回归方程的矩阵解法（3）
所以有：
多元线性回归方程的矩阵解法（4）
例：若有如下资料，请求回归方程。
时序 因变量(y) 自变量(x1) 自变量(x2)
1 10 2 1
2 12 2 2
3 17 8 10
4 13 2 4
5 15 6 8
6 10 3 4
7 14 5 7
8 12 3 3
9 16 9 10
10 18 10 11
多元线性回归方程的矩阵解法（5）
本例计算过程如下：
多元线性回归方程的矩阵解法（6）
相关系数检验表
1 11 21
2 12 22
3 13 23
4 14 24
5 15 25
6 16 26
7 17 27
8 18 28
9 19 29
10 20 30
