第 25卷 第 2期
Vol_25 No．2
周 口师范学院学报
Journal of Zhoukou Normal University
2008年 3月
Mar．2008
股票价格遵循指数 。一u过程的变界障碍期权定价
刘娟芳 ，韩丽华。
(1．河南师范大学 数 学与信息科 学学院，河南 新 乡 453007；
2．济宁职业技术学院 基础部 ，山东 济宁 272037)
摘 要：障碍期权是与路径相关的期权，因而它的定价计算是非常复杂的．运用鞅方法和具有漂移布朗运动的
最大值 与其 终值 的联合分布理论对障碍期权 的定价问题进行 了简化 ，从 而最终得到 了指数 0一U过程下 变界
障碍期权 的定价公式．
关键词 ：期权定价；鞅方法 ；()一U过程 ；具有漂移的布 朗运动 ；障碍期权
中图分 类号 ：O211．6 文献标识码 ： A 文章编号：l67l一9476I2008)02—0044—03
近年来 ，国际金融衍生市场除交易人们广为熟
悉的欧式 、美式期权之外，还涌现出了各种各样的
新型期权 ，它们是由金融机构设计 以满足市场特殊
需求的产品．近年发展起来的障碍期权就是其中的
一 种．众所周知 ，期权价格依赖 于股票价格的波动
规律，著名的 Black—Scholes[1 期权定价模型是最
广泛的模型．该模型用几何布朗运动刻画股票价格
波动规律 ，在假定股票的预期收益率和波动率为常
数的情况下，获得了著名的B—s公式．但此模型具
有其局限性，股票价格随着时间的推移朝着同一方
向推移，这是与现实不符的．文献[2]提出了一种股
票价格所服从 Ornstein—Uhlenbaok过程(简称 0
一 U过程)模型，避免股价的这种局限．
在期权定价中主要有两种方法一一偏微分方
程方法和鞅方法．偏微分方程方法是构造一个衍生
证券价格所满足 的具有恰 当的边界条件的偏微分
方程，文献[1]所用的就是偏微分方程方法；而鞅方
法是把证券的价值写成在风险中性测度下的、贴现
支付的期望值，并使用概率方法计算它．文献[3]是
这方面的开创性论文，证明了如果等价鞅测度存在
且唯一，则市场是完备 的无套利市场 ，这 时任何衍
生证券都有唯一的合理价格，该合理价格为衍生证
券的贴现收益关于等价鞅测 度的数学期望．文献
[43对其深层次的随机分析基础进行了介绍．鞅方
法在解决复杂期权定价问题上是非常有效的．然而
在新型期权中，标的资产价格的表达式较标准期权
复杂，其密度函数不易直接获得，借助布朗运动最
大值 的有关 理论 可 以解 决此 问题 ．Harri S0nl_5
(1985)给 出 了布 朗运 动 最 值 的 理 论．2001年 ，
Robert等㈨ 利用 Harrison的结果详细给出了股票
价格服从几何布朗运动过程下 8种障碍期权的定
价公式．本文考虑将 Robert的结果推广到指数 0一
u随机过程 模型，同时考虑障碍是随时间变化
的情况．所得的结果更符合实际，更具实用性．
1 预备知识
1．1 具有漂移的布朗运动的最大值
命题[s] 设B(￡)是定义在(力，F，P)上的标准
布朗运动，t≥ 0，{F，}是 B(￡)生成的滤子流 ，记标
准正态分布密度函数为 (z)，及标准正态分布函
数为 (z)．
记 y(￡)一 maxY(￡)；y(t)一 minY(t)．类 似
地 ，下面有 S(t)，S(￡)等．
令 y(￡)一 + (￡)，则 y(t)和 y(￡)的联合
分布函数为
F(z， )一 P(y(T)< z，y(丁)< )：
( )--e o2 ( )．㈩
1。2 模型假设
在指数 。一u过程随机模型中，假定风险资产
(如股票)在 t时刻的价格 S(t)满足以下随机微分
方程 ：
dS(t)一 (“一 alnS(t))S(t)dt+ aS(t)dB(t)，
S(0)一 S。， (2)
其中，{B(t)l t≥ 0)是定义在概率空间(n，F，
{F } ，P)上 的标准 Brown运 动，滤子流 { )渤
满足通常条件(完备、单调递增、右连续)．a， ， 为
常数，且a> 0，S> 0， >0．常数a的作用在于当
收稿 日期 ：2007—12—12；修回 日期：2008—01—15
作者 简介 ：刘娟芳(198O一 )，女 ，河 南许 昌人 ，助教 ，硕士 ，研 究方向 ：金融数 学．
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第 25卷 第 2期 刘娟芳，等：股票价格遵循指数 O--U过程的变界障碍期权定价 45
股价上升到一定程度后，它使股价有下降的趋势．
模型(2)称为指数 O—U过程模型，当a一0时，(2)
即 Black—Scholes模型．可见 ，模型(2)相当于考虑
预期收益率依赖于股价 s( )的Black—Scholes模
型．对指数 O—u过程模型，文献E2]已经证明该
市场模型是完备的无套利市场．
引理 假设股票价格过程满足指数 ()一U
过程模型(2)，令
( )一 r一 + alnS(t)
若E [exp{吾 。(乱)d“}]<C×3，则存在唯一与
概率测度 P等价的概率测度Q，使得在概率测度 Q
下折现过程 S ( )一 e-"S( )是一个鞅过程；若令
BQ( )一B( )一l 0(“)du，则由Girsanov定理，在
概率测度 Q下，B。( )是一个 Brown运动 ，且
s㈤：==sexp{(r一 1 2) + )}．(3)
2 主要结果及证 明
欧式上升敲tP,看涨期权是一个常规看涨期权 ，
但如果资产价格达到了某个障碍水平 H，则该期权
作废，其中 H 大于当前资产价格 S，且大于执行价
格 K；而当 H ≤ K时 ，期权价值为零．通常假设障
碍为常数，但更一般的情况是障碍应当随时间而改
变．假设障碍为 Hd，其中 H 为常数且 H > S。，而
为参数 ，且 0≤ 卢≤ r．
定理 设股票价格满足模型(2)，在[o，明 内
股票无红利支付，敲定价为 K，障碍为 H 的欧式
上升敲tP,看涨期权的定价公式为
。(卜p+ )
：= =Soe-rT ，)_( )丁 ，)_
2( 2)
。，)+( ) 卜
2f 2 1
Ke- 。 一( ) ～ 3)+
2( 2)
( )一 }’
其中，
[，n H～(r一卢一譬)T]
6
[，n K一(r～ 0．2)T]
[，n 一(一 r]
一 — — 一
， [，n H一(r一卢+譬)T]
， [ H～(r一卢+譬)T]
， [，n K一(r+ 02)T]
一 二 墨
0-√T
证 令§( )：：：lns( )一pt，则s(f)一 f)T 且
在概率测度 Q下 ，dS(t)===(r—f1)dt+0-dB。( )．
设 r为 S( )首次与障碍 H 相碰的时间，即r
== = in{{t> 0，S( )一 H ，H> S。}，很容易推出 r
^
一 in{{t> 0，S( )===lnH，H > S。)．
由风险中性定价的鞅方法，欧式上升敲出看涨
期权的价值为
Vu0c—e--rTE。[(s(T)一K) I(r> T)] 一
e E0r(S(T)一K)I(S(T)> K ，S(T)< lnH)]
===e- E0[S(T)J(S(T)> lnK 一 ，S(T)<
lnil)]一Ke一 E0[J(s(T)> lnK一 ，s(T)<
lnH)]===U1+U2． (4)
^
因为在 Q下 ，dS( )一 (r一 )d +0-dB(￡)，所以
E。EI(s(T)> lnK一 ，s(T)< lnH)]一
pQEs(T)> lnK一 ，s(T)< lnH]一
pQEs(T)< lnH]一pQEs(T)< lnK一 ，
s(T)<lnH]一P。Es(T)<lnH，s(T)<lnH]一
po[s(T)< lnK一 ，s(T)< lnH]．
因为 S(￡)：==lnS(f)一 ，则
(r一卢一譬) + ( )<ln H；
§( )<lnH可化为
m a
≤
x (
、 、(r一卢一譬) + ( ))<ln S旦o；
§( )<InK一 可化为
(r一卢～譬) + ( )<ln K一 ．
由式(1)，上式等于
， ．
2( )
)一( )丁 z)一 3)+
( ) ⋯ ，
． 丁
一2
一
一
旦
h
一
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46 周 口师范学院学报 2008年 3月
其中￡l，￡2，￡3，￡4如上．所以
一 ，一( ) 一
+( ) }_ ㈣
为求U ，定义概率测度 Q的等价鞅测度
R(A)一l 1’dQ，V A(==F，
其中 —e4Br— ．
由 Girsanov定理可知，R也是一个概率测度 ，
且随机过程{B (￡)，0≤ t≤ T}是概率空间(n，F，
R)上的布朗运动，B ( )一B。( )一at．那么在测度
R下 ，股票价格 S(￡)的动态过程为
s( )一Soexp((r+号2) + ( ))．
S(￡)的动态过程为
s( )一Soexp((r一卢+等) + ( ))．
下面来求 U ．
Ul—e-，rE。Es(丁) (S(丁)>lnK一 ，S(丁)<
lnH)]一s。er汀E。[exp( 1’一专丁) (s(T)>
lnK一 ，S(丁)< lnH)]一S。e一汀E尺[ (S(丁)>
lnK一 ，S(丁)< lnH)]一
S。e- P Es(丁)> lnK一 ，S(丁)<lnH-]．
与前面的推导相似，很容易得到
2(r_ )
u em汀 ，)_( ) )一
+( ) ，}． ㈤
其中 ￡l ，￡2 ，￡。 ，￡ 如上．由式(4)～ (6)可以得到
定理的结论．
推论 1)当 a一 0 ， 一 0时定理的结果与
Robert的结果是一致的；
2)期权价格与 无关，即欧式变界障碍期权值
与股票预期收益率的线性漂移项无关；
3)当股票价格过程在t时刻以瞬时红利率JD(￡)
， r 了’ 、
支付红利时，只需用Sexp{一l JD(s)ds}代替定理
～ J 0 ，
中的S即可得到有红利支付时的变界障碍期权定
价公式 ；
4)完全类似的方法可得广义指数 0一U过程
模型下变界障碍期权的定价公式．
3 结束语
本文将有限[0，丁]时间段的具有漂移布朗运
动的最大值与其终值的联合分布的有关结果应用
到障碍期权 ，考虑了指数 0一U 随机过程模型．通
过Girsanov定理、鞅理论及变量代换的方法给出
了在指数 O—U过程下变界障碍的上升敲出看涨
期权的定价公式．
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M aximun of brownian motion and barrier option
‘ LIU Juan—fang ．HAN Li-hua
(1．Department of Mathematics，Henan Normal University，Xinxiang 453007，China；
2．Department of Basic，Jining Vocational Technology College，Jining 272037，China)
Abstract：Barrier options is path—dependent option，SO it’S difficult to calculate．The martingale methods and the joint
distribution of the maximum with the terminal value of its underlying Brownlan motion with drift were applied to varied bar-
rier option driven by Ornstein—Unlenback process，thus a simple and effective piecing expressions was derived．
Key w0rds：option pricing；martingale methods；Ornstein—Uhlenback process；Brownian motion with drift；barrier op—
tions (责任编辑 ：段广森)
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