第三章 远期和期货价格的价格
一、预备知识
连续复利
卖空
假设
再回购利率
符号
连续复利
假设数额A以年利率R投资了n年。如果每年复利m次，当m趋近
于无穷大时（即连续复利），其终值为：
如果已知终值为A，以利率R按连续复利方式贴现n年，其现值为：
假设Rc是连续复利的利率，Rm是与之等价的每年计m次
复利的利率。
两边同时取对数可得
这些公式可以将复利频率为每年计m次的利率转换为连续复
利大的利率。同理，我们可以推算出任意两种复利方式下，
等价利率的相互转换。
例：
1.考虑一个年息为10%的利率，半年记一次息。
解：m=2，Rm=
定价的连续复利的利率为：2In（1+
2.假定债权人给出贷款利息为年率8%，按连续复利计息。
而实际上利息是一季度支付一次。
解：m=4，Rc=
每季度计一次息的等价年利率为：4（
即年利率为%。也就是说，对于1000美元的贷款，要求
借款人每季度必须支付美元的利息。
卖
空
卖空一般指做空（股票期货等的投资术语），理论上是先
借货卖出，再买进归还。预期未来行情下跌，将手中股票按目
前价格卖出，待行情跌后买进，获取差价利润。其交易行为特
点为先卖后买。实际上有点像商业中的赊货交易模式。这种模
式在价格下跌的波段中能够获利，就是先在高位借货进来卖出，
等跌了之后再买进归还。比如预计某一股票未来会跌，就在当
期价位高时借入此股票（实际交易是买入看跌的合约）卖出，
再到股价跌到一定程度时买进，以现价还给卖方，产生的差价
就是利润。
假设一位投资者于4月份卖空了500股IBM股票，每股价格是50
美元，7月份，当股票价格为30美元时，该投资者买回了这些股
票，结清了头寸。假设5月份每股股票支付了1美元的红利。计
算该投资者的收益。
投资者4月份建立空头头寸时，共收到：
500× $ 50＝ $25，000；
5月份红利使投资者需付出：500 × $ 1＝ $ 500
7月份投资者轧平头寸时，需付出：500 × $ 30= $15，000
投资者净收益为： $25,000 － $ 500－ $ 15,000＝$9,500
假
设
假定对部分市场参与者而言，以下几条全部都是正确的：
① 无交易费用
② 所有的交易净利润使用同一税率
③ 市场参与者能够以相同的无风险利率借入和贷出资金
④ 当套利机会出现时，市场参与者将参与套利
以上假设的意思是：市场价格就是无套利机会的价格。
因为投资者一旦发现套利机会就会进行套利，直至没
有套利机会。
再
回
购
利
率
再回购协议(repo or repurchase agreement)是指证券所有者同意将其证
券出售给另一方，之后再以稍高一些的价格将这些证券买回的协议。实
际上是以证券为抵押的贷款，这种贷款几乎没有风险，因为如果借钱的
公司不遵守协议的话，债权人只需保留证券即可。
再回购利率(repo rate)。在回购协议中，证券出售和购回的价差就是对方
的利息收益。以此计算的利率就是再回购利率率。再回购利率仅比短期
国库券利率稍高一点。对许多在期货市场上操作的套利者而言，其相关
的无风险利率就是再回购利率 。
最普通的回购类型：是隔夜回购(overnightrepo)，该回购协议每天都重
新商定。
符
号
本章中将要用到的符号如下：
T：远期合约到期的时刻(年)
S：远期合约标的资产的即期价格
K：远期合约中的交割价格
f：当前远期合约多头的价值
F：当前的远期价格
r：对T时刻到期的一项投资而言，当前以连续复利计算的无风
险利率
二、远期价格
I. 不支付收益的投资资产的远期价格
II.支付已知现金收益的投资资产的远期价格
III.支付已知红利率投资资产的远期合约
IV.远期合约估价
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例1：期限为3个月的股票远期合约的价格为43美元。3个月后到期的无风
险年利率为5%，股票当前价格为40美元，不付红利。
①判断： SerT=*3/12=<43
说明远期合约价格相对于现货价格被高估，应该卖出远期合约，买进现货。
②套利：借40美元即期购入股票现货，同时持有3个月后卖出股票的远期
合约。3个月后，交割股票得价款43美元，归还到期贷款美元，因此，
套利者在3个月后净盈利 =美元
不支付收益的投资资产的远期价格
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例2：期限为3个月的股票远期合约的价格为43美元。3个月后到
期的无风险年利率为5%，股票当前价格为40美元，不付红利。
①判断： SerT=*3/12=>39美元
说明远期合约价格相对于现货价格被低估，应该买进远期合约，
卖出现货。
②套利：即期卖空股票现货，将收益作3个月的投资，同时持有3
个月后买进股票的远期合约。3个月后，收回投资，本利和为
美元，交割远期合约得股票并支付价款39美元，将所得股
票用于现货空头的平仓。因此，套利者-在3个月后净盈利 -
39=美元
例：考虑购买一份4个月的远期合约，标的资产是从今
天开始一年后到期的贴现债券。债券的当前价格是930
美元（因为远期合约交割时，此债券据到期日还有8个
月的时间，所以将此债券看成8个月的贴现债券）。计
算远期合约交割价格。
解：我们假定4个月期的无缝隙那年利率（连续复利）
为6%，因为贴现债券不提供收益。用公式来计算远期
价格为F=SerT=*4/12=美元这就是今天议
定的远期合约交割价格。
支付已知现金收益的投资资产的远期价格
例1：一年后交割的息票债券远期合约的价格为930美元。
债券的即期价格为900美元。预期债券在6个月后以及12
个月后各支付40美元的利息。6个月期和12个月期的无风
险年利率分别为9%和10%。
例2：一年后交割的息票债券远期合约的价格为905美元。
债券的即期价格为900美元。预期债券在6个月后以及12
个月后各支付40美元的利息。6个月期和12个月期的无风
险年利率分别为9%和10%。
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例1.
①判断：
远期合约价格被高估，应该卖出远期合约，买进现货。
②套利：借入900美元（其中美元以9%的年利率借入6个月，另外
美元以10%的年利率借入1年）购买一份债券现货。同时建立一年后交割的远
期合约的空头。债券现货的首次利息支付40美元正好用来偿还6个月期美
元贷款的本利和。一年之后，收到第二次利息支付40美元，执行远期合约，交
割现货得到价款930美元，同时支付美元贷款的本利和
该策略的净盈利为：40美元+930美元美元=美元
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①判断：
远期合约价格被低估，应该买进远期合约，卖出现货。
②套利：卖空债券现货，得价款900美元，其中美元做6个月的无风险投资，
美元做1年期无风险投资。同时建立一份债券期货多头。此策略在6个月
和12个月后分别产生40美元和美元的现金流入。前面40美元用来支付6
个月后的债券利息；后面美元中40美元用来支付一年后的债券利息，
905美元用来交割到期的远期合约，所得的债券用来平仓现货空头。
该套利策略的净盈利为：
例：考虑一个股价为50美元的股票的10个月期远期合约。我
们假设对所有的到期日，无风险利率（连续复利）都是年利
率8%。同时我们假设在3个月，6个月以及9个月后都会有每
股美元的红利付出。计算远期合约价格。
红利的现值 I 为：
I=*3/12+*6/12+*9/12=美元
远期价格为 ： F=()*10/12=美元
如果远期价格低于美元，套利者可以买卖空股票购买
远期合约；如果远期价格高于美元，套利者可以卖出
远期合约购买即期股票。
支付已知红利率投资资产的远期合约
已知红利率（资产的收益率）的证券：假定在持有期内，该证券按照其价格
的某个比率q连续地支付红利。 如果将红利不断地再投资于该证券，则所持
有的证券资产的价值将按照q的比率连续增加。
假定投资者采用以下策略：
1.即期买入e-qT个其收益还可进行再投资的资产
2.卖空远期合约
持有现货的收益就是持有期货的成本（机会成本），而持有期货的总成本
（期货价格与机会成本之和）应该等于持有现货的成本。否则就会导致套利。
所以：Se-qT=Fe-rT 即 F=Se(r-q)T
若F<Se(r-q)T时，套利者可以买进远期合约，卖出股票，获得无风险收益；
若F>Se(r-q)T时，套利者可以买入股票，卖出远期合约来锁定无风险收益。
例：一个6个月期远期合约，标的资产预期提供年率
为4％的连续红利收益率。无风险利率(连续复利)为
每年10％。股价为$25，交割价格为$27。求远期合
约的价值和远期价格。
解：S=25，K=27，r=，q=,T=。
远期合约多头的价值f为：
f=××=美元
远期价格F为:
F= × =美元
远期合约估价
对所有远期合约，远期合约多头的价值有个一般结论。设合约签署初始的交割价
格为K，当前远期价格为F，则：
例：假设一个6个月的远期合约多头，标的资产为不支付红利的股票。无风险利
率（连续复利）为10%，股票价格为25美元，交割价格为24美元。
解：S=25，r=，K=24
远期价格为F=*=美元
远期合约价值f=（-24）*=美元
f=（F-K）e-rT
三、远期价格和期货价格相等吗
远期价格和期货价格相等吗
当无风险利率恒定，且对所有到期日都不变的时候，两个交割日相同
的远期合约和期货合约有同样的价格。有效期仅为几个月的远期期货合
约与期货合约价格之间的理论差异在大多数情况下是小得可以忽略不计
的。但实际上有很多可以引起两者价格差异的因素是没有考虑在内，包
括税收、交易成本和保证金。由于交易所和结算所的存在，期货合约对
方违约的风险要小于远期合约对方违约的风险，而且，有些时候期货合
约的流动性要比远期合约好得多。但尽管这样，在本书的 大多数情况
下，我们还是可以假定远期和期货价格相等。
股票指数期货
股票指数反映了一个假象的股票自合的价值变化。每种股票在组合中
的权重等于组合投资中该股票的比例。通常定义一个很小的时间段里股
票指数价值的上升百分比等于同一时间段内组成该组合的所有股票总价
值的上升百分比。股票指数不因派发现金红利而调整。如果假象组合中
的股票保持不变，则组合中中个股的权重就不会保持不变。如果组合中
某一股票的价格比其他股票上涨快得多，该股票的权重就会自动的增大。
以股价为权重就相当于保持组合不变，还有一种做法比较流行即以总市
值（股价*在外流通股数）为权重。这样，当股票分割、分红或扩股时，
投资组合会自动调整。
股票指数
S&P500指数（标准普尔500）：包括400种工业股。40种公用事业股、20种交通事业股和
40种金融机构股。在任一时间股票的权重为该股票的总市值（=股价*流通的股票数）。
日经225股票平均指数：基于东京股票交易所TSE家交易额最大的股票的组合。根据股价进
行加权。在芝加哥商品交易所CME交易的该指数期货合约为指数乘以5.
所有普通股股价指数：反映澳大利亚股票组合价值的指数。
NYSE综合指数：在纽约股票交易所上市的所有股票组成的组合，权重为股票市场价值。
MMI指数：在纽约股票交易所上市的20个蓝筹股的组合按价格加权。
GSCI指数期货合约，标的资产是Goldman Sach商品指数，它是一个范围广泛的商品价格
指数包括所有的主要商品，如能源，家畜，谷物，视频，纤维，金属等。
股票指数的期货价格
支付红利的投资资产就是计算指数的股票组合，投资资产所支付的红利就
是该组合的持有人收到的红利。设q为红利收益率，则期货价格为 F=Se（r-
q）T
例子：一个S&P500指数的3个月期期货合约。假设用来计算指数的股票的
红利收益率为每年3%，指数现值为400，连续复利的无风险利率为每年
8%。求期货价格。
解：r=，S=400，T=，q=
期货价格F为: F=400e（）*=（美元）
指数套利
如果F>Se（r-q）T，可以通过立即购买指数中的成分股票，同时卖空指数期
货合约而获利； 如果F<Se（r-q）T，则可以通过相反操作，即卖出指数中
的成分股票，同时买进指数期货合约而获利。这些策略就是指数套利。
当F<Se（r-q）T时，指数套利操作通常由拥有指数成分股票组合的养老基金
来进行，而当F>Se（r-q）T时，套利操作操作则通常由拥有短期资金市场投
资的公司来进行。
日经指数期货合约
F=Se（r-q）T对日经225指数的期货合约无效。原因很微妙：
设SF代表代表日经225指数值，这是用日元衡量的组合的价值。
而在芝加哥商品交易所CME交易的日经225指数期货和与的标的
变量是价值为5 SF的美元值的变量。也就是说，期货合约的变量
用日元计算，但却把它视作美元来处理。
四、货币的远期和远期合约
日经指数期货合约
F=Se（r-q）T对日经225指数的期货合约无效。原因很微妙：
设SF代表代表日经225指数值，这是用日元衡量的组合的价值。
而在芝加哥商品交易所CME交易的日经225指数期货和与的标的
变量是价值为5 SF的美元值的变量。也就是说，期货合约的变量
用日元计算，但却把它视作美元来处理。
五、货币的远期和期货合约
利率平价关系
用于外汇远期合约定价的两个组合如下：
• 组合A：一个远期多头加上Ke-r(T-t)金额的现金（K的单位为本币美元）
• 组合B： e-rfT金额的外汇（单位为外币，如英镑）
两个组合在T时刻都等于一个单位的外汇，因此在t时刻也应相等：
f+Ke-rft=Se-rft即f=Se-rft — Ke-rft当f=0时，F=K时得
F=Se（r-rf）T
S：代表以美元表示的一单位外汇的即期价格；
F：为远期汇率；
X：是远期合约中约定的交割价格。外汇的持有人能获得货
rf：为外汇的无风险利率，连续计复利。
r：为本币利率。
若外汇利率大于本国利率，则该外汇的远期汇率应小于即期汇率；若外汇利率小于本国利率，
则该外汇的远期汇率应大于即期汇率。
注意
F=Se（r-rf）T
(1)以上等式是国际金融领域著名的利率平价关系。在合理近似的情况下，F大致上也是外汇
期货价格。
(2)货币远期和期货的定价模型与与支付已知红利收益率的证券是一致的。
(3)当本币利率>外汇利率时，持有外汇的成本高于收益，F大于S，并且T越大，F越大；当本
币利率<外汇利率时，持有外汇的成本低于收益，F小于S，并且T越大，F越小。
(4)期货的价格用单位外汇的美元价值来标价而大部分外汇的即期价格和远期价格的标价方式
有所不同，它们通常是用每单位美元若干数额的外汇来标价。
六、商品期货
黄金和白银
（1）如果不考虑储存成本，则远期价格为 F=SerT
（2）如果考虑储存成本，则它可视作负收益，设U为期货合约有效期间所有
储存成本的现值。则远期价格为 F=(S+U)erT
若任何时刻的储存成本与商品价格成一定的比例，存储成本可看作是负的红利
收益率。在这种情况下，F=Se（r+u）T其中，u是每年的存储成本与现货价格的
比例。
［例］考虑黄金的一年期货合约。假设黄金的存储成本是每年每盎司2美元，
在年底支付。假设现价为450美元，无风险利率始终为每年7%。
即：r=，S=450，T=1，且U==
期货价格为 F=(450+)*1=美元
若 F>美元，套利者可以买入黄金，卖空一年期黄金期货合约来锁定收；
若 F<美元，已持有黄金的投资者可以卖出黄金，买入黄金期货合约增
加收益。
无套利定价证明：
（1）当 F>(S+U)erT 时存在套利机会。
可能通过以下策略套利：
①以无风险利率借金额为S+U的资金，用来购买一单位的商品和
支付存储成本；
②卖出一单位商品的期货合约。
套利结果：S将上涨，而F将会下跌，直到以上不等式不再成立。
结论：上式不能维持很长时间。
（2）当 F<(S+U)erT 时,存在套利机会
可能通过以下策略套利：
①卖出商品，节约存储成本，以无风险利率将所得收入进行投资；
②购买期货合约。
套利结果：F 将上涨，而S将会下跌，直到以上不等式不再成立。
结论：上式不能维持很长时间。则一定有F=(S+U)erT 。
其他商品
以消费为目的而持有的商品，其期货不能精确定价，而只能确定一个合理价格的范围。
当 F>(S+U)erT 时，与作为投资品一样进行套利，套利的结果使这一关系不能维持很长
时间。
当 F<(S+U)erT 时，个人或公司保留商品的库存是因为其有消费价值，而非投资价值。
因此他们不会积极主动地出售商品购买期货合约，因为期货合约不能消费。因此此式
得以存在下去。
所以，一定有：F≤(S+U)erT
若存储成本用现货价格的比例u来表示，则有 F≤Se（r+u）T
便利收益
商品使用者会感到持有实实在在的商品比持有期货合约的好处：从暂时的当地
商品短缺中获利或者具有维持生产线运行的能力。这些好处被称为便利收益。
如果存储成本可知，且现值为U，便利收益y可定义为：FeyT=(S+U)erT
若每单位的存储成本为现货价格的固定比例u，则y定义为 FeyT=Se（r+u）T则
FeyT=Se（r+u-y）T
便利收益反映了市场对未来商品可获得性的预期。在期货合约有效期间，商品
短缺的可能性越大，则便利收益就越高。若商品使用者拥有大量的库存，则在
不久将来出现商品短缺的可能性就很小，从而便利收益会比较低。
七、持有成本
远期(期货)合理价格=现货价格+净持有成本
1、对不支付红利的股票，持有成本是r，无储存成本无收益；
2、对一个股票指数，资产的收益率为q，持有成本为r-q；
3、对货币而言，持有成本为r—rf；
4、对商品而言，若其存储成本占价格的比例为u，则持有成本为r+u。
①设持有成本为c。对投资性资产，期货价格为：
F=Se cT
②对消费性资产，期货价格为：
F=Se (c-y)T
这里，y为便利收益。
八、交割选择
期货合约到期日的选择
与远期合约一般正式规定了交割的具体的特定日期不同，期货合约允许空头方选择
在一个特定时间段里的任一天进行交割(一般空头方应提前几天给出其打算交割的
通知)。这使得期货定价更加复杂。
如果期货价格为到期时间的增函数，则由F=Se (c-y)T可知，由持有资产所获得的好
处(包括便利收益和净存储成本)小于无风险利率。因此空头方越早交割越有利，因
为收到的现金所获得的利息超过了持有资产的好处。作为一般规则，这种情况下
的期货价格的计算应以交割发生在交割期开始时刻为基准。
若期货价格随到期时间的增长而降低，则应相反：空头方越晚交割越有利，作为一
般规则，期货价格的计算应建立在交割发生在交割期的末尾时刻的基础上。
九、期货价格和预期将来的现货价格
风险和收益
一般来说，一项投资的风险越高，投资者要求的期望收益将越高。
非系统风险高度分散化的组合来消除，因此投资者承担非系统风险不应要求更高
的收益。系统风险不能通过分散化消除。它由投资收益与股票市场整体收益的相
关性决定。
因此，若承担的系统风险为正值，投资者通常要求高于无风险利率的收益。同样，
若承担的系统风险为负值，投资者也会接受低于无风险利率的收益。
期货头寸的风险
一个期货多头的投机者，他认为资产的价格在到期日时能高于期货价格。
假设投机者将期货价格的现值在时刻以无风险利率投资，同时买入期货合约。
设期货合约与远期合约运作方式相同，交割日期为T。无风险投资的所得将在
交割日用来购买资产，然后立即以市场价格将该资产卖掉。
对投机者而言，其现金流为：
时刻t：-Fe-rT
时刻T：+ST （时刻T时资产的价格）
此次投资的现值： -Fe-rT +E（ST）e-kT
k为与此项投资相对应的贴现率(即它是投资者对该投资的期望收益率)，E代表期望值。
假设证券市场上所有的投资机会的净现值均为0:
-Fe-rT +E（ST）e-kT = 0
即： F = E（ST）e ( r -k )T k值取决于投资的系统风险。
若ST与股票市场整体水平不相关，则该投资的系统风险为0，K=r, F= E（ST）；
若ST与股票市场整体水平正相关,则该投资的系统风险为正,这时，K>r，则F< E（ST
）
若ST与股票市场整体水平负相关,则投资的系统风险为负,这时，K<r，则 F> E（ST）
实证检验
当 F= E（ST）时，长期持有期货合约多头头寸的平均利润应为0.
当 F<E（ST） 时，期货价格应上涨，交易者长期持有期货合约多头头寸将会
带来正的利润；
当 F> E（ST）时，交易者长期持有期货合约空头头寸价格将带来正的利润。
但是期货的实际价格却是含糊不清的。
谢谢
