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常数阵实现开环系统对角优势的寻优算法
崔连杰，宋建锋，张敏*
作者简介：崔连杰（1983－），男，助理工程师，主要研究方向：多变量控制系统设计及应用
（中广核集团辽宁红沿河核电有限公司，大连 116001）
摘要：本文在详细分析用常数补偿矩阵在单点处实现对角优势的充分必要条件和用常数补偿5
矩阵在某频段内实现对角优势的充分条件的基础上，对上述两个条件做了工程应用方面的实
用化扩展，并给出了两种寻优算法。实例仿真结果表明：本文是计算在某频段上实现对角优
势的常数补偿矩阵更为有效的工程实用化算法。
关键词：常数补偿矩阵；对角优势；频段；充分必要条件
中图分类号：TP13 10
the Optimum Algorithms for Diagonal Dominance
Achieving with Constant Compensation Matrix
CUI Lianjie, SONG Jianfeng, ZHANG Min
(Liaoning Hongyanhe Nuclear Power Co., LTD, China Guangdong Nuclear Power Group, Dalian 15
116001)
Abstract: In this paper, both conditions, the necessary and sufficient condition of diagonal dominance
at the single point and the sufficient condition of diagonal dominance within a frequency band
achieving with constant compensation matrix, are done practical application expansion of engineering
applications based on a detailed analysis on that both conditions presented in [2]. Both improved 20
algorithms are proposed for the drawbacks of the algorithms presented in [2]. The simulation results
show that both proposed algorithms are efficient algorithms for diagonal dominance within a frequency
band achieving with constant compensation matrix.
Key words: constant compensation matrix; diagonal dominance; frequency band; the necessary and
sufficient condition 25
0 引言
在众多多变量控制系统的设计方法中，由 Rosenbrock 提出的 Nyquist 阵列的设计方法[1]
（正奈奎斯特阵列设计方法（DNA）和逆奈奎斯特阵列设计方法（INA））是一种有效的频
率域设计方法。能否有效使用 Nyquist 阵列设计方法对控制系统进行工程设计的关键在于如30
何用尽量简单的物理可实现环节设计预补偿器实现对象传递函数矩阵的对角优势，预补偿矩
阵最好是常数矩阵。
目前，有很多关于常数补偿矩阵的文献。针对常数补偿矩阵能否实现对角优势的条件问
题，文献[2]~[6]都给出了各自的结论，其中文献[2]不仅给出了用常数补偿矩阵在单点处实现
对角优势的充分必要条件，而且给出了用常数补偿矩阵在某频段内实现对角优势的充分条35
件，但它所给的用常数补偿矩阵在单点处实现对角优势的充分必要条件不够直观，从而导致
所给出的用常数补偿矩阵在某频段内实现对角优势的充分条件过于狭隘，本文针对这个问
题，提出了自己的见解。针对求解常数矩阵实现对角优势的问题，文献[1]~[10]给出了计算
方法，其中文献[2]、[7]分别给出了一种在某个频段上实现对角优势的算法。文献[2]所给出
的在某个频段上常数补偿矩阵实现对角优势的算法，过于保守，从而导致计算结果较差。在40
文献[2]中所给定理 1 的理论基础之上，文献[7]提出了一种以伪对角化方法为基础的对角优
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势寻优算法。
本文在详细分析文献[2]所提出算法的基础上，给出了两种更合理，更有效的寻优算法。
首先，详细分析了文献[2]所提出算法；其次，提出了两种寻优改进算法，并通过一个典型
实例，对本文所提出的算法和文献[2]所提出的算法进行了比较分析；最后，给出本文合理45
的结论。
1 计算原理
设对象传递函数矩阵为
11 12 1
21 22 2
1 2
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )
m
m
m m mm m m
g s g s g s
g s g s g s
G s
g s g s g s ×
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
"
"
# # # #
"
常数补偿矩阵为 50
[ ]1 2 mK k k k• • •= "
则补偿后对象传递函数矩阵为
[ ]
[ ]
1 2
1 2
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
m
m
Q s G s K
G s k G s k G s k
q s q s q s
• • •
• • •
= ∗
= ∗ ∗ ∗
=
"
"
为了方便表述推导过程，需要定义一个映射矩阵，该映射矩阵如下所示：
2 2
0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 1 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 1 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0
j
m m
j
P
j m
×
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ←⎯⎯⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ←⎯⎯ +⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
… … …
# % # # # … # # # … #
… … …
… … …
… … …
# … # # # % # # # … #
… … …
… … …
… … …
# … # # # … # # # % #
… … …
第 行
第 行
55
jP 为 2m×2m 阵，并且 2 2
1
1) , 2) ,3)
m
T
j j j j j m
j
P P P P P I
=
= = =∑ 。
令 { }{ }
2
Re ( )
Im ( )
iT
i
i m m
G s
W
G s ×
⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎣ ⎦
， ( )Q s 阵的第 j列向量的第 h个分量的模可表示为：
( ) Thj i h i jq s PW k•=
定理 1 设实对称矩阵 2i Tj i j m iZ W P I Wα⎡ ⎤= −⎣ ⎦ ，其中 21
m
m
α≤ ≤− 为常数，
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1,2, ,j m= " 。则开环系统可由常数补偿器阵K在 is 点处实现对角优势的充分必要条件是60
max 0, 1, 2, ,
i
jZ j mλ ⎡ ⎤ > =⎣ ⎦ " 。
文献[2]在论证定理 1 时，直接从列对角优势的定义入手，其计算推导过程简述如下。
1
1
1
( ) ( ) ( )
( )
m
j i jj i hj i
h
h j
m
T T
j i j h i j
h
h j
m
j i
T
h j i j Th j
h i j
h
s q s q s
PW k PW k
s
PW k
PW k
θ
θ
β
=≠
• •
=≠
∗
= •≠ •
= −
= −
⎧ ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪= ⎨ ⎬⎪ ⎪+⎪ ⎪⎩ ⎭
∑
∑
∑
其中 65
2
2
2
2
( )
T
j i j T
j i h i j
h
T T
j i j m i j
T i
j j j
PW k
s PW k
k W P I W k
k Z k
θ β
α
•∗
•
• •
• •
= −
⎡ ⎤= −⎣ ⎦
=
此后，文献[2]将结论的论证转变为论证 ( )j isθ ∗ 的符号是否为正的问题。
设 j j jZ k kλ• •= 其中λ 为 jZ 的特征值，则 2( ) Tj i j j js k k kθ λ λ∗ • • •= = 。到此，定理
1 得证。
从上述论证过程中不难发现：要论证 ( )j isθ ∗ 的符号是否可以为正，只需论证 ijZ 是否有70
正的特征值，所以，定理 1 的结论还可以描述为：在 ijZ 的m个特征值 ( )1,2,i i mλ = " 中，
至少有一个的特征值 0jλ > ，因此，从定理 1 中得到一个推理，如下所示。
推 理 设 实 对 称 矩 阵 2i Tj i j m iZ W P I Wα⎡ ⎤= −⎣ ⎦ ， 其 中 21
m
m
α≤ ≤− 为 常 数 ，
1,2, ,j m= " 。则开环系统可由常数补偿器阵K在 is 点处实现对角优势的充分必要条件是
在 i jZ 的 m 个特征值 1, 2,i i mλ = " 中，至少有一个的特征值 0lλ > 。 75
从准确性的角度看，推论与定理 1 是等价，但推论所给出的结论更直接，更实用。本节
算法就是受此推理的启发而设计出来的。此外，文献[2]中给出了定理 2，表述如下：
定理 2 设系统在 [ ]0 ,i ns s s∈ 上均有 max 2 0ijZλ ⎡ ⎤ >⎣ ⎦ 成立，其中
2 21
i T
j i j m i
mZ W P I W
m
⎡ ⎤= −⎢ ⎥−⎣ ⎦ ，
0,1, , , 1, 2, ,i n j m= =" " 80
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定义
{ }max 2 min 2 2min
0,1,2, , 1,2, ,
i i h i
j j j jh i
Z Z Z
i n j m
γ λ λ≠⎡ ⎤ ⎡ ⎤= + −⎣ ⎦ ⎣ ⎦
= =" "
若有
0
max 0i lj ji n γ γ≤ ≤ = > 成立，则系统可通过对应于 max 2ijZλ ⎡ ⎤⎣ ⎦的特征向量 l jk • 的K阵
在[ ]0 , ns s 上实现对角优势。
文献[2]所给算法就是基于该定理所给出的，它直接把计算结果锁定到满足定理 2 条件85
的 max 2ijZλ ⎡ ⎤⎣ ⎦ 对应的特征向量上，缺乏寻优的环节，因此导致了计算结果较差。另外，文
献[2]在其所给定理 1 的基础上对该定理的进行了论证，但不够详细，而且有点错误，在此，
在本节所给出推理的基础上重新给出了定理 2 的详细证明。
在证明之前，先简单介绍一下证明的思路。在某个频段内的所有点处都能使用常数矩阵
实现对角优势的前提下，如果根据某个点处所求取的 jk• 来实现整个频段内的对角优势，那90
么这个点必定要满足一定的条件，这个定理正是解决了这个问题。在理解了定理 2 所解决的
问题后，从何入手证明定理 2 的问题也就不难解决了。如果某点对应的 i jk • ，不仅能实现传
递函数矩阵在该点处，而且在此考虑频段内的其他各点处都具有对角优势的性质，那么该点
就是定理 2 所要找的点。即对于 1, 2, ,h n= " ，且h i≠ ， 2 0iT h ij j jk Z k• • > 。这就是该定理
的证明思路，详细证明过程如下所述。 95
证明：∵ 2 2 2 2iT h i iT i i iT h i ij j j j j j j j j jk Z k k Z k k Z Z k• • • • • •⎡ ⎤= + −⎣ ⎦
其中 i jk • 是矩阵 2i jZ 某个正特征值所对应的特征向量。
∵ 2hjZ ， 2ijZ 为实对称矩阵，
∴ 2 2h ij jZ Z− 也为实对称矩阵，
∴必存在正交矩阵 h jV 使得 100
( ) ( )
11
1 T 22
2 2 2 2
0 0
0 0
0 0
h
h
h h i h h h i h
j j j j j j j j
h
mm
V Z Z V V Z Z V
λ
λ
λ
−
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥− = − = ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
"
"
# # % #
"
其中 11 22, , ,h h hmmλ λ λ" 是 2 2h ij jZ Z− 的特征值。
∴ 2 2h ij jZ Z−
11
122
0 0
0 0
0 0
h
h
h h
j j
h
mm
V V
λ
λ
λ
−
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
"
"
# # % #
"
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11
T22
0 0
0 0
0 0
h
h
h h
j j
h
mm
V V
λ
λ
λ
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
"
"
# # % #
"
令 { }
1
minh hiii mλ λ≤ ≤= ， 2ijZλ ⎡ ⎤⎣ ⎦为 i jk • 所对应的矩阵 2ijZ 正特征值。 105
则
2
2 2 2
11
122
2
11 2
22 2
2
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
iT h i
j j j
iT i i iT h i i
j j j j j j j
h
h
iT i i iT h h i
j j j j j j j
h
mm
h i
j
h i
jiT h
j j
h i
mm j
k Z k
k Z k k Z Z k
k Z k k V V k
Z
Z
k V
Z
λ
λ
λλ
λ
λ λ
λ λ
λ λ
• •
• • • •
−
• • • •
•
⎡ ⎤ ⎡ ⎤= + −⎣ ⎦ ⎣ ⎦
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎡ ⎤= +⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
⎡ ⎡ ⎤+ ⎣ ⎦⎢⎢ ⎡ ⎤+ ⎣ ⎦= ⎢
⎡ ⎤+ ⎣ ⎦⎣
"
"
# # % #
"
"
"
# # % #
"
Th i
j jV k •
⎤⎥⎥⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎦
( ) T2
1 0 0
0 1 0
0 0 1
h i iT h h i
j j j j jZ k V V kλ λ • •
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎡ ⎤≥ + ⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
"
"
# # % #
"
而 ( ) T2
1 0 0
0 1 0
0 0 1
h i iT h h i
j j j j jZ k V V kλ λ • •
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎡ ⎤+ ⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
"
"
# # % #
"
( )
( ) ( )
1
2
2
2 2
1 0 0
0 1 0
0 0 1
h i iT h h i
j j j j j
h i iT i h i i
j j j j j
Z k V V k
Z k k Z k
λ λ
λ λ λ λ
−
• •
• • •
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎡ ⎤= + ⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
⎡ ⎤ ⎡ ⎤= + = +⎣ ⎦ ⎣ ⎦
"
"
# # % #
"
110
即
( ) 22 2iT h i i h ij j j j jk Z k Z kλ λ• • •⎡ ⎤≥ +⎣ ⎦
所以只要 2 1 ,min 0
i h
j h m h i
Zλ λ≤ ≤ ≠⎡ ⎤ + >⎣ ⎦ ，则系统可通过对应于 2ijZλ ⎡ ⎤⎣ ⎦的特征向量 i jk • 的常
数补偿矩阵在[ ]0 , ns s 上实现对角优势。到此，定理得证。
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从上述证明中，本文修改了文献[2]中的定理 2 中的结论，即文献[2]中是取矩阵 2i jZ 的115
最大特征值，而本文取矩阵 2i jZ 某个正特征值。这样一来，就放宽了所要寻找点的约束条件，
从而扩大了求取常数补偿矩阵的范围，因而使得找到比文献[2]中所给算法更优解成为可能。
修改后的定理 2 描述如下：
定理 3 设系统在 [ ]0 ,i ns s s∈ 上均有 max 2 0ijZλ ⎡ ⎤ >⎣ ⎦ 成立，其中
2 21
i T
j i j m i
mZ W P I W
m
⎡ ⎤= −⎢ ⎥−⎣ ⎦ ， 120
0,1, , , 1, 2, ,i n j m= =" "
定义
{ }2 min 2 2min
0,1, 2, , 1, 2, ,
i i h i
j j j jh i
Z Z Z
i n j m
γ λ λ
≠
⎡ ⎤ ⎡ ⎤= + −⎣ ⎦ ⎣ ⎦
= =" "
其中 2ijZλ ⎡ ⎤⎣ ⎦是 2i jZ 某个正特征值。
若有 0i jγ > 成立，则系统可通过对应于 2ijZλ ⎡ ⎤⎣ ⎦的特征向量 l jk • 组成的K阵在125
[ ]0 , ns s 上实现对角优势。
2 算法实现与实例
本节所提出的两种常数补偿矩阵的计算方法都属于寻优算法，它们有别于文献[2]所给
算法，因此，需要引入了优势度目标函数，优势度目标函数定义如下：
对于传递函数矩阵 ( )G s ，设 [ ]0 ,i ns s s∈ 是满足定理 3 所给条件的一个点，由其求得的130
常数补偿阵为 i jk • ，相应的 ( ) i jG s k • 的优势度曲线为 ( )i jf s ，其数值计算公式如下所示：
1
( ) 1, 2, ,
n
i i
j j p
p
J f s j m
=
= =∑ "
本节所给出两种优化算法在计算步骤上有一定的相似性，这种相似性如流程图 1 所示。
两者主要的差别在于如何基于所存储的相关数据寻找某种意义上的最优常数补偿矩阵，在下
面的论述中，主要针对这个问题对两种优化算法进行讨论。 135
优化算法一
该算法是以优化文献[2]所给算法为目的而提出的一种算法。其计算原理简单描述如下：
文献[2]中的算法是基于定理 2 而给出的，而该算法是基于修改后的定理 2（即定理 3）
给出的，即在满足定理 1 的判断条件的前提下，寻找满足定理 3 所给条件的点。然后，通过
对这些点所对应的常数补偿矩阵的优势度目标函数值的比较，搜寻最佳优势度的常数补偿矩140
阵。
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图 1 算法流程图
The algorithm flow chart
145
优化算法二
该算法是基于进一步改进优化算法一的目的而给出的一种算法。其计算原理简单分析如
下。
在证明定理 3 时，使用了如下的不等式：
( )
2
2
2 2 2
2
2
iT h i
j j j
i i iT h i i
j j j j j j
i h i
j j
k Z k
Z k k Z Z k
Z k
λ
λ λ
• •
• • •
•
⎡ ⎤ ⎡ ⎤= + −⎣ ⎦ ⎣ ⎦
⎡ ⎤≥ +⎣ ⎦
(1) 150
不等式 1 决定了定理 3 给出的只是一个充分条件，即满足条件
{ }2 min 2 2min 0
0,1,2, , 1,2, ,
i i h i
j j j jh i
Z Z Z
i n j m
γ λ λ≠⎡ ⎤ ⎡ ⎤= + − >⎣ ⎦ ⎣ ⎦
= =" "
的点对应的的常数补偿矩阵 i jk • 一定可以使得第 j列在[ ]0 , ns s 上实现对角优势，但是
对于不满足上述条件的点所对应的常数补偿矩阵 l jk • 也可能使得第 j列在[ ]0 , ns s 上实现对
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角优势，而且由这些点所得到的常数补偿矩阵可能更优，因此，导致更好的结果被排除在寻155
优过程外。
这个问题可以通过减小不等式 的两侧表达式之间差距的方法来解决，或者索性把
2 0
iT h i
j j jk Z k• • > 作为算法中判断的依据。优化算法二就是基于这种思想而得到的。
令 { }2 0, 1,2,...,iT h ij j jP i k Z k h n h i• •= > = ≠且
则可选取 [ ]0 ,D ns s s∈ ，使得
0
( ) min ( )
n n
D i
j N j Ni PN N
f s f s∈=
⎧ ⎫= ⎨ ⎬⎩ ⎭∑ ∑ ，D P∈ 。这样一来，由相应160
的 D jk • 组成的常数补偿矩阵就可以实现传递函数矩阵在频段[ ]0 , ns s 上具有最佳的优势度。
计算实例
文献[2]以传递函数矩阵
2
2
1 2
10 100 2 1( )
4 1
6 5 5 1
s
s s sG s
s
s s s
+⎡ ⎤⎢ ⎥+ + += ⎢ ⎥+⎢ ⎥⎢ ⎥+ + +⎣ ⎦
在[ ]0,10 上的实现对角优势作为实例。为了便于比较，本节也以此传递函数矩阵在[ ]0,10 上165
的实现对角优势作为计算实例。
上述两种优化算法及文献[2]所给算法对应的计算结果如表 所示。若定义
1,
( ) ( ) ( )
m
j hj jj
h h j
J s q s q s
= ≠
= ∑ 为第 j列的优势度，实例传递函数矩阵在上述三种算法对应的
常数矩阵补偿后的优势度曲线如图 2 所示。
表 1 各个算法的计算结果 170
Table 1 Results of all algorithms
实现对角优势的所取点 常数补偿矩阵 K
文献[2]所给算法 1 20, 10s s j= =
− −⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦
优化算法一 1 20, s j= =
⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦
优化算法二 1 , j s j= =
⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦
结 果 算 法
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0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0
|q
21
(j
)|/
|q
11
(j
)|
ω
ω
对角优势度曲线
文献[40]所给算法
优化算法一
优化算法二
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0
1
(rad/s)ω
|q
12
(j
)|/
|q
22
(j
)|
ω
ω
(a) 第一列
(b) 第二列
图 2 常数矩阵补偿后的实例传递函数矩阵优势度曲线
Column dominance curve of example system after compensating with constant matrix 175
算法比较
在第 2 节中，已经对文献[2]所给算法做了相关的分析，在此不再赘述。总之，文献[2]
中所给算法简单易行，计算量小，但是计算逻辑过于狭隘，从而导致其计算结果较差，这点
可以从图 2 的优势度曲线的比较中得到印证 180
与文献[2]所给算法相比，优化算法一克服了文献[2]所给算法计算结果较差的缺点，这
可以从图 2 的优势度曲线的比较中得到印证。而且计算思路清晰，同时，由于优化算法一前
后步骤息息相关，即保存前面步骤计算中相关的数据，在后续步骤中直接使用这些相关的数
据，从而减少了计算量，提高了算法的寻优效率。
与优化算法一相比，优化算法二的计算结果更优，同样，这可以从优势度曲线的比较中185
得到印证，但计算量较大。同样，优化算法二的计算思路清晰，同时，前后步骤息息相关，
从而减少了计算量，提高了算法的寻优效率。
这里需要指出本节所给的两种优化算法都属于寻优算法，而文献[2]所给算法只是给出
一个可行性结果，并没有寻优的环节，因此，在计算量方面，本节所给的两种优化算法与文
献[2]所给算法没有可比性。 190
3 结论
本文所给的两种常数补偿矩阵算法克服了文献[2]所给算法计算结果过差的缺点，并极
大限度的提高了算法的计算效率。实例计算结果表明这两种方法是计算某频段上实现对角优
势的常数补偿矩阵的更有效的工程实用化算法。
195
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