关于效用函数及阿罗不可能定理的一个猜想
唐跃志 1
华中科技大学经济学院，武汉，430074
摘要：本文讨论了“阿罗不可能定理”的逻辑问题。同时指出，如果将效用函数放在非欧空间
里考察，则“投票悖论”可以解决。本文给出了效用函数在空间里的一个猜想模型，并证明了
这种可能性。以及如何利用模型，求“Edgeworth 盒”的契约曲线及无差异函数。
关键词：效用函数，非欧空间，阿罗不可能定理，契约曲线，无差异函数，猜想模型
引言
1951 年，阿罗(Arrow,)发表并证明了著名的“不可能性定理”。阿罗用公理化方法和 5
个著名的公理证明了，经济学上的效用函数(utility function)是不存在的。这个定理给从那以
后的经济学，带来了极大的困难 2。许多人试图否定阿罗的结论，但都没有成功 3。我们总
结了前人的经验。并注意到阿罗证明成立的关键，是以下二个原因：
第一，是因为公理化方法有如下逻辑：如果“猜想”不与公理相悖，那么该“猜想”就有可
能是对的；反之，如果“猜想”与公理相悖，那么该“猜想”就一定是错误的。
第二，是因为 “投票悖论”的问题。因为，“投票悖论”是由效用函数导出的。而“投票悖
论”又与阿罗公理相矛盾。所以，效用函数在阿罗公理条件下不存在 4。
由此可见，在阿罗的证明中，“投票悖论”是一个非常重要的因素。但“投票悖论”是怎样
1研究领域：统计学，数量经济学，微观经济学；：(027)62589359；E-mail：tangyz_hust@；联系地址：武汉市华中科技
大学经济学院；邮政编码：430074。
2 甚至产生了对市场机制的歪曲。比如认为，既然市场解决不了市场的问题，所以应该由政府“独裁”，由政府在市场之上搞宏观
调控。再如在政治上搞“两党制”。…
3 Debreu 等人证明了：定义在商品空间 Rl 的非负卦限 Rl+上的偏好关系Ⅰ，如果满足完全性、自反性、传递性、连续性和强单调
性，则存在表达这个偏好关系的效用函数 u: Rl →Rl+。Debreu 本人也因此获得诺贝尔经济学奖。但是传递性会导致“投票悖论”；
所以，我们认为：Debreu 等人的结论，还不能从根本上否定“Arrow 不可能定理”。
4 由于阿罗公理与“投票悖论”存在矛盾。许多人选择重新构造公理来论证效用函数的存在性。如 Sen(1977,1979,1986,1992,1996)，
Gibbard(1973)、Satterthwaite(1975)等人从 “弱化”Arrow “完全理性” 假设的角度，来建立社会选择机制。他们的“弱化”方案是：仅
要求“优于关系”具有“传递性”，而不考虑其“无差异关系”是否具有“传递性”；或者是：不再要求所得到的集体选择规则具有自反、
传递、和连通的性质，而只是要求集体选择规则是拟传递的或者非循环的，将“完全理性”改成“相对理性”。但是这种“弱化”，并
没有从根本上摆脱不可能结论，相反还产生新的“不可能性”问题。
“投票悖论”
公理化方法
“传递性公理” “A 优于 B,B 优于 C,那
么 A 必定优于 C”
效用函数
不存在!
图 0－1 “Arrow 不可能定理”的内在逻辑关系
mailto:tangyz_hust@
产生出来的呢？它源自阿罗假设中的“传递性公理”，它的标准假设是“A 优于 B,B 优于 C,那
么一定 A 优于 C”。因此， “传递性”，是“不可能定理”不可或缺的因素；如果证明在“传递性
假设”上出了问题，那么“不可能定理”就不会再成立。
经过分析，我们发现，“传递性公理”，其实与一条欧氏定理“A>B,B>C,那么一定 A>C”
等价；或者在某种意义上说，阿罗公理其实就是一个欧氏公理；阿罗证明实质上要求，效用
的公理必须是欧几里德形的，阿罗证明也只在欧氏条件下才会成立。
但问题是，现实的效用体系是否就一定是欧氏几何形的呢？或者说，选择的公理是否就
是要求，“如果 A 优于 B,B 优于 C，就一定必须有 A 优于 C!”？如果换成非欧几何， “阿罗
定理”在非欧条件“A>B,B>C,不一定 A>C”下还会成立吗？！
基于非欧几何的知识，我们知道，答案是否定的。“不可能定理”在欧氏条件下成立，但
在非欧条件却可能不成立！而且，现实的空间几何，非欧几何也要比欧氏几何合理。
因此，联系到公理化方法的逻辑，我们有一个基本猜测：现实的效用的分析几何，也许
应该是非欧几何，而不应是欧几里德几何！在此问题上，阿罗可能把问题的因果关系弄颠倒
了，“不可能性定理”并不是经济学的“有效”定理！而且我们还发现，“投票悖论”可以在非欧
条件下得到印证。
本文的第一部分，是公理化方法的数学准备；第二部分，是阿罗证明的逻辑讨论；第三
部分，是我们对效用空间的一个几何猜想；第四部分，从等效角度证明效用的空间是非欧的；
第五部分，用变分法证明效用的传递是封闭的，以及我们对“独裁”的解释；第六、七部分，
是本文研究的一个延伸，即如何求“Edgeworth 盒”上的契约曲线及无差异函数。
§1，公理化方法与几何公理
，公理化方法
所谓的公理化方法，也叫演绎推理方法。它是从一些初始概念（不定义的概念）和一些
初始命题（不证明的命题、公理）出发，按一定的逻辑规则，定义出所需要的概念，推导出
所需的命题（定理）来。这里的“推导”是一种严格的证明，其依据，只能是初始命题或已由
它们证明了的命题，除了逻辑规定外，不得依赖其他任何东西。它是数学上构建严格数理体
系的基本方法。该方法的逻辑特点是：如果“猜想命题”不与公理相悖，那么该“猜想”就有可
能是对的；反之，如果“猜想”与公理相悖，那么该“猜想”就一定是错误的。因此，“猜想”的
正确与否，与公理的构成有很大关系。同一“猜想”，在不同的公理条件下，结论会有很大不
同。
数学上最基础的公理，是数的公理与形的公理。数的公理，有 Peano 数公理、代数公理；
形的公理，则有欧氏几何和非欧几何（罗巴切夫斯基几何，黎曼几何）。任何公理，按笛卡
尔()的思想，都可化为数的公理和形的公理 5。联系数、形公理的桥梁，是坐标
空间、相函数。由坐标、相函数支撑起来的“相空间”，包含了该公理应具有的一切性质。比
如，欧氏几何的“相空间”是“平直的”；非欧几何的“相空间”是“弯曲的”。阿罗公理作为一个
代数公理，应与形的公理同态同构。
，几何公理的构成 6
的思想，现在被归纳为关系映射反演原则。其思想推动了坐标解析几何的产生与发展。
按希尔伯特()的划分，几何公理的组成如下：
几何公理结构
几何公理 欧氏几何 罗氏几何 黎氏几何
公理Ⅰ 关联公理 关联公理 关联公理
公理Ⅰ 顺序公理 顺序公理 分隔公理
公理Ⅰ 合同公理 合同公理 运动合同公理
公理Ⅰ 欧氏Ⅰ公设 罗氏Ⅰ公设 黎氏Ⅰ公设
公理Ⅰ 连续公理 连续公理 连续公理
欧氏几何和罗氏几何的区别，是第Ⅰ公设；而黎氏几何与欧氏、罗氏几何的区别，除了
第Ⅰ公设外，还得加上一个在关联基础上的分隔公理。
关于第Ⅰ公设，是众所周知的：
欧氏第Ⅰ公设：又称平行公理。过直线 L 外一点 A，至多可作一条直线与 L 不相交。它
的等价描述是，Ⅰ内角和等于π。
罗氏第Ⅰ公设：过直线 L 外一点 A，至少有两条直线与 L 共面而不相交。它是欧氏平行
公理的矛盾命题。它的等价描述是，Ⅰ内角和小于π。
黎氏第Ⅰ公设：过直线 L 外一点 A 的所有直线，都与 L 相交。它的等价描述是，Ⅰ内角
和大于π。
对于其它公理，了解它们是必要的。
关联公理 7：也叫结合(从属)公理。过 A,B 两点，有且至多有一直线 L；直线上至少有
二点，又至少有三点不在同一直线上；过不在同一直线上的三点 A,B,C，必有且至多有一平
面 S；每一平面上至少有三点；如果直线的两点在平面 S 上，则该直线的每一点都在 S 上。
顺序公理：也称次序公理。若 C 在 A,B 之间，则 A,B,C 三点共线，且 C 在 B,A 之间；
对于 A,B 两点，至少存在点 C，使 C 在 A,B 之间；在共线三点中，至多有一点在其余两点
之间。
6本节的五组公理，其内容与 原文表示略有不同，但所表达的事实基本一致。本文侧重于其点、线、面的公理表达。
7 公理中的“点”应分别理解成“欧氏点，罗氏点，黎氏点”，“线”为“欧氏线，罗氏线，黎氏线”，“面”亦为“欧氏面，罗氏面，黎氏
面”。并且规定，如果把球面作“黎氏平面”典型面，球面上大圆作“黎氏直线”，“点”在大圆上，且球面上的对径点是一个点，则
关联公理就是黎氏关联公理。所以黎氏意义下的直线是封闭的。
S S
B
D
图 1－1 顺序公理与分隔公理
黎氏分隔公理
A
CB
A
C
B
C
A
A
CB
欧氏/罗氏顺序公理
分隔公理 8：若 A,B,C 为直线上任意三点，存在 D，A,B 点分隔 C,D；若 A,B 分隔 C,D，
则 B,A 分隔 C,D，C,D 分隔 A,B；共线四点 A,B,C,D，则 A,B 分隔 C,D，A,C 分隔 B,D，A,D
分隔 B,C，三种关系恰有一种关系成立；若 A,B 分隔 C,D，A,D 分隔 B,E，A,B 则分隔 C,E。
合同公理：也叫全合 (全等)公理。若 A,B 为 L 上的点，A’是 L’上的点，则在 L’上 A’的
一侧，恰有点 B’，使得 AB=A’B’；若 AB=A’B’, A”B”=A’B’，则 AB=A”B”；若 B 在 A,C 之
间，B’在 A’,C’之间，并且有 AB=A’B’,BC=B’C’，则 AC=A’C’。
运动合同公理：也叫等效公理。对两个几何体 K、K’，通过运动变换 F，可以由 K’得
到 K，并且保持 K、K’共有的特征性质不变。
由合同或者运动合同公理，可导出：Ⅰ 自反性：AB=BA；Ⅰ对称性：若 AB=A’B’， 则
A’B’=AB；Ⅰ传递性：若 AB=A’B’,A’B’=A”B”，则 AB=A”B”。 同样，由顺序/分隔公理，
可定义出：Ⅰ反对称：AB=-BA； Ⅰ非对称：ABⅠ-BA。
以上公理的逻辑关系是：没有关联公理、顺序/分隔公理，就没有合同公理，也就不存
在自反性、对称性及传递性；自反性、对称性，以非自反、反/非对称的存在为前提。决定
非自反、反/非对称的因素，是关联公理和顺序/分隔公理。在同一构造空间里，满足非自反
性、反/非对称性、传递性的几何关系，通常称为序关系 9。三种不同的公理，构造了三种不
同的序。三种序关系，分别代表三种不同的几何。开放的序，代表欧氏或者罗氏几何 10；封
闭的序，则代表黎氏几何 11。不同的几何，将导致不同的几何定理。
比如，在欧氏、罗氏几何条件下，由顺序公理有反对称 AB=-BA，于是
如果 C>B,A>C，则 A>B。
而在黎氏条件下，由分隔公理，有非对称 AB≠-BA 或者反对称 AB=-BA，
如果是反对称 AB=-BA，则 C>B,A>C，一定有 A>B；
如果是非对称 AB≠-BA，则 C>B,A>C，不一定是 A>B，而可能是 B>A。
关于连续公理，则从略。
，数与形的统一
考虑一个数序对(x, y)，并引入坐标系{0;1,i}；则这个数序对(x ,y)，可看成复平面上的一
个点 Z(x ,y)；这个点通过坐标关系，可构造一个数 z = x·1 + y·i；则有点 Z 与数 z 的对应关系
Z(x ,y) . Ⅰ z = x·1 + y·i.
8 “直线”上每一点都在平面 S 内，都具有相同的“面序”；在“直线” 上诸点的 “面序”都相同的基础上，比较该“直线”上诸点的序关
系，是平面上顺序公理与分隔公理成立的前提条件。
9满足自反性、对称性、传递性的几何关系，是一种等价关系，满足非自反性、反/非对称性、传递性的几何关系，是一种弱/强
序。序有点序、线序、面序之分。
10 对于开放的点序，如果其线空间是平直的，则代表欧氏几何；如果其线空间是弯曲的，则代表罗氏几何。
11 封闭的序关系，与圆拓扑同构。而圆的内禀几何就是黎氏几何。
图 1－2 运动合同过程 K’→K
B
A
0
F
A’
0’ B’
同时，Z 的运动 Z(x ,y) →Z’(x+dx, y+dy)，将构成线段 ZZ’，并且有
dz2=(dx·1+dy·i)2= dx2·12+2dxdy·1·i +dy2·i2.
于是，有线段 ZZ’与数 dz2 的对应关系
ZZ’ . Ⅰ dz2 = dx2·12+2dxdy·1·i +dy2·i2.
因为，数 z 、dz 是基元(1, i)上的一个线性表示；数 dz2 是基元(1, i)的二次正定型；所以
当 1·i =0 时，有 dz2 = (dx·1)2 +(dy·i)2，它表示引入的坐标系为直角坐标系；数 dz2 的形式，则
忠实地反映了直角ⅠZOZ’的“勾股弦”关系；并且，这种“勾股弦”关系，在任何直角三角形中
都严格成立。
显然，dz2 为线段 ZZ’长度的平方，dz = |ZZ’|；
(dx·1)2 为线段 ZO 长度的平方，(dx·1) = |ZO|；
(dy·i)2 为线段 OZ’长度的平方，(dy·i) = |OZ’|；
但是，当 i2 =-1 时，却有
dz2 = (dx·1)2 +(dy·i)2= dx2 - dy2.
点 Z’的运动是弯曲的双曲线，其“线段 ZZ’”的几何为双曲几何 12。从几何的分类上，双曲几
何从属于罗氏几何。
而当 i2 =0 时，
dz2 = (dx·1)2 +(dy·i)2 =dx2.
点 Z’的运动是平直的直线，其“线段 ZZ’”的几何为抛物几何。抛物几何从属于欧氏几何。
当 i2 =+1 时，
dz2 = (dx·1)2 +(dy·i)2= dx2 + dy2.
点 Z’的运动是弯曲的椭圆线，其“线段 ZZ’”的几何为椭圆几何。 椭圆几何从属于黎曼几何。
可见，在保证ⅠABC“勾股弦”关系不变的前提下，基元(1, i)性质的变化，将使 Ⅰ的几何
形态发生较大的扭曲。而且其“Ⅰ内角和定理”也被修正为
ⅠA+ⅠB+ⅠC=π+KⅠS，
其中：K 为空间曲率，S 为ⅠABC 面积。显然有
罗氏几何：等 dz 的运动轨迹 BA 为双曲线，K<0，有ⅠA+ⅠB+ⅠC<π；
欧氏几何：等 dz 的运动轨迹 BA 为平直的直线，K=0，有ⅠA+ⅠB+ⅠC=π；
黎曼几何：等 dz 的运动轨迹 BA 为椭圆线，K>0，有ⅠA+ⅠB+ⅠC>π；
12 点 Z 与点 Z’的运动，为一相对运动。在这个相对运动中，“线段 ZZ’”的运动，则是保 dz2 不变的运动。因此，观察 dz2 的组成
形式，就可知道 ZZ’的运动几何属于哪一种几何。
i
1
图 1－3 数与形的对应关系和“线”的几何关系
0
y
x
Z’
dz
Z Odx·1
dy·i
1
i
y
Z(x,y)=x1+yi
0
x
图 1－4 罗氏几何、欧氏几何、黎曼几何的三角形内角和定理
dy
dx
0 C B
A
C
dy
dx0
A
B
dy
dx0
A
C B
所以，坐标基(1, i)的性质，对点、线的空间形态影响很大；基元(1, i)的性质，是区分空
间几何类型的重要标志。
通常，基元(1, i)的确定与基元(1, i)的算法，称为一个变换群。这种变换群，在正交面上
共有三种 13；每一种变换群对应着一种几何 14。变换群的具体确定，与公理的构成有关。每
一种公理构成，隐含着一种变换群；同时也就隐含着一种几何结构。
“·”算法与几何关系
双曲几何 抛物几何 椭圆几何
· 1 i · 1 i · 1 i
1 1 0 1 1 0 1 1 0
i 0 -1 i 0 0 i 0 1
由于已经证明，阿罗公理体系是一个效用数序对；因此，阿罗公理必属于欧氏几何与非
欧几何中的一种。
，A>B,B>C,不一定 A>C!
几何“猜想命题”的“真伪”，与几何公理性质密切相关。它严密地证明了，仅凭直觉而没
有通过逻辑证明的“东西”，是靠不住的。许多在欧氏条件下，看起来直观而平凡的“真理”，
在非欧条件下就有可能成为“谬误”。比如，“Ⅰ内角和等于π”这样一个“猜想”。该“猜想”只在
欧氏几何条件下成立；在罗氏、黎曼几何条件下不成立。反之，如果“猜想”换成“Ⅰ内角和
不等于π”，那么“猜想”在罗氏、黎曼条件下是成立的；而在欧氏条件下不成立。再如“如果
A>B,B>C,那么一定 A>C”之“猜想”，在欧氏几何、罗氏几何条件下是严格成立的；而在黎曼
几何条件下不成立。类似的例子还可以举出许多。
所以，在不同的条件下，几何的基本元素和基本关系，不论是几何形态还是几何计量，
都要发生根本性的改变。我们不能再用主观的思维，去推论一些“想当然”东西。了解这些，
是解决“不可能定理”和“投票悖论”的基础。而且应该记住的是，“点” 应严格区分“欧氏点，
罗氏点，黎氏点”，“线”分“欧氏线，罗氏线，黎氏线”，“面”应分“欧氏面，罗氏面，黎氏
面”；由“点、线、面”等基本元素支撑起来的空间，有“欧氏空间，罗氏空间，黎氏空间”。
其几何要素在空间里的表现，除 “点”外，“欧氏线/面”在三维欧氏空间里是平直的，而“罗氏
线/面，黎氏线/面” 在三维欧氏空间里却是弯曲的。“线，面”在三维欧氏空间里是否弯曲，
是欧氏几何与非欧几何的根本区别。而“黎氏线”则是“黎氏球面”上的“大圆”，它是一个封闭
的“线元”；它通常也叫“测地线”。
13 平面上的几何，实际有 9 种。在坐标系{0;m,i}中，dz2 = dx2·m2+2dxdy·m·i +dy2·i2.，m2={-1,0,+1}，i2={-1,0,+1}。
14 变换群与几何的对应关系、几何按变换群分类的理论，已由 建立。
xx x
yy y
zzz
00
0
yyy
xxx
0
00
欧氏点 罗氏点 黎氏点
欧氏线－直线/抛物线 罗氏线－双曲线/拟圆 黎氏线－圆/椭圆
图 1－6 欧氏几何、非欧几何在常曲率条件下的空间表现
欧氏面－平面/抛物面 罗氏面－双曲面/拟球 黎氏面－球面/椭球
§2，阿罗公理，“投票悖论”与不可能定理
，阿罗公理 15
对于备择对象 x 和 y，考虑一种偏好序关系“Ⅰ”；“Ⅰ”可看成符号“Ⅰ”，或者一个算符
“Ⅰ”；用“xⅠy”表示“x 优于 y”；x 和 y 经“Ⅰ”作用后化成函数 ux和 uy）；如果 xⅠy，则
uxⅠuy。“Ⅰ”满足：
公理 1,连通且自反性 16。对任意的 x 与 y，有 xⅠy 或 yⅠx；且二者必居其一。
公理 2,传递性。对任意的 x,y 和 z，xⅠy 与 yⅠz，则必有 xⅠz。
公理 3,一致性。若社会所有成员都认为，某种备选方案优于另一种，那么社会亦应如
此认为。
公理 4,独立性。比如，原来有两名候选人，现在又添加一名候选人，则人们对原来两
名候选人的偏好序，不应受新添候选人的影响。
公理 5,非独裁性。即不应使个人的偏好总是自动成为社会偏好，而不管其他人的偏好
与他是如何地不同。
15关于阿罗公理，各种文献的表述不一，有政治学的表述，有经济学的表述，也有对策研究表述。本文采用的是经济学的表述。
16 严格的说，阿罗的定义及这个公理只是定义了一种联络关系。它包扩无差异的等价关系和有差异的序关系。有差异的优于关
系是序关系，无差异的等价关系不是序关系，两者之间是有很大区别的。由于篇幅的关系，本文没有在此展开。
其中：公理 1, 2 为自然的理性基本条件 17；公理 3,4,5 是阿罗及其支持者，为达合理要
求所加的限制性条件，它最直接的结果，是形成“少数服从多数”规则。
，不可能性定理与“投票悖论”
不可能性定理：阿罗认为，五个公理是不相容的，不可能存在满足上述五个条件的效用
函数；如果有的话，只可能是外界强加的或者是独裁的。阿罗用公理化逻辑，论证了他的论
点。给予他强烈支持的证据，是下面的“投票悖论”。
假设由甲、乙、丙三人组成的一个群体，必须在 A,B,C 三个方案中，进行排序与选择。
达成群体偏好尺度的自然方法，是少数服从多数；如果群
体中的大多数认为“第一方案Ⅰ第二个”，那么群体就认为“第
一方案Ⅰ第二个”。假定：若甲认为“AⅠB，BⅠC”，根据传递
性原则，从而有“AⅠC”；乙认为“BⅠC，CⅠA”，从而“BⅠA”；
丙认为“CⅠA，AⅠB”，从而“CⅠB”。因为有两票的多数(甲，丙；
甲，乙)认为“AⅠB，BⅠC”，根据传递性原则，应有群体序
“AⅠC”。但是，综合观察甲、乙、丙三个独立的序，发现也
同时存在两票的多数(乙，丙)认为“CⅠA”。显然，由传递性原
则导出的 “AⅠC”，与由少数服从多数推出的 “CⅠA”，两者是相互矛盾的。要消除这种矛盾，
只能在矛盾的序关系中两中择一。如果群体选择“AⅠC”，由于这也是甲的观点，所以等同
于甲“独裁”；如果群体选择“CⅠA”，则只能是“外界强加的”，因为它必须否定序的基本原则
－传递性。
于是，“投票悖论”导出了一种封闭的序循环关系：
AⅠBⅠCⅠA
它与“测地线”拓扑同构 18。
阿罗还罗列了，利用个人效用构造社会效用函数时，可有多种不同数学表达式的例子，
来佐证社会效用函数存在的“不可能性”。关于阿罗证明的过程从略。但其思想逻辑，已基本
反映在“投票悖论”中。
，不可能定理在逻辑上的问题
Ⅰ，判断一个函数存在与否？数学上只要两个条件。一是函数是连续的，用集的语言叫连
通且自反；二是自变量与因变量一一对应，用公理表达就是，自(因)变量必须满足关联、顺
序、合同以及连续公理中的阿基米德公理。价值、效用、序关系，作为不定义的概念，就象
17 Arrow 的“完全理性” 假设，曾经导致质疑者强烈的批评。公共选择学派创始人 认为，完全理性假设是“（将）个
体特性的荒谬移植（至群）”，从而导致“整个 Arrow 框架的分析错误”。Sen，Gibbard、Satterthwaite 等人也持相同的观点。他们
从 “弱化”Arrow “完全理性” 假设的角度，来建立社会选择机制。如 Sen 等人的建立了“在个人主权基础上的社会选择机制”，
Gibbard-Satterthwaite 等人则建立了“在防御策略基础上的社会选择机制”。Sen 等人的方案是：仅要求“优于关系”具有“传递性”，
而不考虑其“无差异关系”是否具有“传递性”；Gibbard、Satterthwaite 等人则是：不再要求所得到的集体选择规则具有自反、传递、
和连通的性质，而只是要求集体选择规则是拟传递的或者非循环的，将“完全理性”改成“相对理性”。但是他们这种“弱化”，并没
有从根本上摆脱不可能结论，相反还产生了新的“不可能性”问题。如“Sen 个人主权不可能性定理”，“Gibbard-Satterthwaite 防御
策略不可能性定理”。
18 我们后面将给出一个效用的“测地线”方程。这个“测地线”方程是封闭的。它与“投票悖论”拓扑同构。
B
C
图 2－1 封闭的循环序关系
A
A→B→C→A
平凡几何中的点、线、面一样，都是不证而自明的要素。其函数都由这些要素构成。它们均
满足上述的两个条件。因此，从这个意义上说，效用函数是肯定存在的 19。尽管效用函数，
可能存在多种数学表达式甚至没有表达式，但都不是效用函数不存在的理由 20。因为社会是
“经济人”群体，“经济人”懂得如何在多种表达式中选择最优。至于最优的表达式是什么，只
与经济系统的结构有关，而与存在多少种表达式无关。
Ⅰ，“AⅠB 和 BⅠC，从而 AⅠC”，只在欧氏条件下是成立的；而在黎曼条件下不成立。推
而广之，“效用函数不存在”作为一个“猜想”，在欧氏条件下是成立的，但不等于在黎曼条件
下也成立。关键是看效用所在的空间是否弯曲。按笛卡尔的思想，任何公理都可以化为几何
公理；阿罗公理当然也不能例外。阿罗传递性公理，其实就是欧氏顺序公理基础上的合同公
理。阿罗公理与欧氏几何公理同态同构。我们唯一需要证明的是，选择的公理，应该是非欧
的而不应是欧几里德的。即，在理想的情况下是罗巴切夫斯基几何，在大多数情况下是黎曼
几何。
Ⅰ，在黎曼几何条件下，任何序关系都是封闭的，“投票悖论”序拓扑结构，正是这种封闭
序关系的真实反映。在黎曼几何条件下，阿罗传递性（顺序）公理已经失效，要确定 A,B,C
三者关系，只能通过分隔公理来确认。根据分隔公理，必须首先确定 A,B 的关系，然后再
确定 C 是在 A,B 之间还是 A,B 之外。具体地说，就是一要统一确定 A,B,C 序的方向，二是
统一确定 A,B,C 序的起点和终点。可以认为，“投票悖论”封闭序的产生，其原因就是没有“统
一的效用观，统一的起点和方向”所致。而“一致性公理”，则是序关系统一之后的另一种表
现。这种统一序的方向、起点和终点的方法，其实就是“独裁”。但要注意的是，这种“独
裁”，是“社会独裁”而非“个人独裁”。
Ⅰ，阿罗把“投票悖论”中的“社会独裁”，直接等同于“一个人说了算的独裁”，而没有注意
两者间的区别。他颠倒了原因与结果的因果关系。一般而言，“社会独裁”是群体协商的结果，
是一种协商后的“社会准则，法规”；而“个人独裁”，则完全是“一个人说了算的个人强权”；
两者是不一样的。古语云：“鹤蚌相争，渔翁得利”。“投票悖论”中的“二择一”，其实是一种
“得利”的表现，它是一个“社会独裁”，只不过它与“某个人的意愿”巧合而已。
Ⅰ，当一种序的基本规则已定时，那么选择只能服从规则，而不能反过来甚至否定规则。
归纳起来，阿罗公理的矛盾，是“传递性”与“少数服从多数” 的矛盾。“传递性”与“少数服从
多数”，作为两个规则，在选择中应有优先次序。其优先次序的确定，应具体问题具体分析。
19 Ven Neumaan ＆ Morgenstem 在 1945 年用公理化方法严格证明了效用函数的存在。随后，Debreu 在 1954 年 、Rader 在 1963 年
也先后证明了效用函数的存在性。更早的工作是 Eilenberg 做出来的，Eilenberg 在 1941 年就证明了类似的结果。
20著名数学家辛钦也持相同的观点，见辛钦的《数学八讲》。
C C
A
图 2－2 封闭的序关系与“独裁”的序关系
封闭的序关系+“社会独裁”=传递性公理
A
B
B
一般而言，如果“传递性”是公理的基本规则，那么在选择中应处于绝对优先地位；“少数服
从多数”作为一个辅助规则，则只能处于次要位置。不能因为某种结果，而对它们的次序和
地位进行任意曲解。一个很好的例子，是“关于时间的确定”。大堂里挂着三个钟，三个钟都
用统一的原理计量时间，三个钟均没有误差，其中一个指住“9:00”，其余两个指住“10:00”。
但此时能不能按“少数服从多数”确定，当地时间一定是“10:00”而非“9:00”？显然是不能的。
因为，指住“9:00”的可能是“当地北京时间”，指住“10:00”的是“东京时间”。从时间的数值上
说，三个钟均没有指错。只不过“时间的起点”不一样。但是，这种“少数”钟的“独裁”，并不
是由“它”自己“专制”决定。它只能由当地的“环境，法规”决定。由社会的选择决定。
§3，我们的猜测
，几何猜想
由于，阿罗颠倒了问题的因果关系；因此，“不可能定理”可能并不是经济学的“有效”定
理！同时，效用函数存在性(猜想)是否与常理相悖，关键是看效用所在的空间是否弯曲。于
是，我们猜测：
如果效用是空间里的待定函数的话；那么由效用 u 与交换价值 v 张成的“曲面 S”，应能
嵌在具有坐标(x1,x2,x3)的欧氏三维空间里，并且满足
同时 x1、x2、x3 对 u，v 可微。
于是，在某个 r 投影变换下，“S 曲面”应映照成一个“Edgeworth 盒 D”。
“盒 D”的对角线 AB，是交换的契约曲线；契约曲线 AB，是“S 曲面”的“测地线 AB”在
“D”上的投影；“测地线 AB”，是“曲面 S”上的最短直线；AB 既与 u,v 的空间有关，同时也与
u×v 的空间有关 21；AB 上的每一点，都是一个“帕累托最优”；而 AB 的方向，则反映了无差
异交换的传播过程 22。
，模型
由于，市场是一个 u 与 v 的相互转换， “S 面”是一个 u,v 的组合； “S 面” 就代表市场，
市场就是“S 面”；u,v 满足 AB 曲线最短传播要求。因此，市场问题，就是一个几何问题。它
是 AB 曲线在“S”约束下求极值，是 AB 在“S”约束下求最优路径。它是 AB 在“S”约束下求“测
地线”。
但由于，“S 面”是嵌在 E3 空间里的，曲面上 AB 长度
21 传统的教科书认为，契约曲线是无差异曲线切出来的。我们认为，它存在逻辑上的矛盾。
22根据 在 1736 年所证明的一个定理。可以推断，在无外部作用时，无差异交换的传播，必定是沿测地线 A→B 运动的。
),(),(),( 332211 uvxxuvxxuvxx
r(v,u)
x2
图 3－1 E3 中的曲面 S 在 r 映射下为 E2 中的“Edgeworth 盒”
0
x3
x1
s
u 曲线
v 曲线
S 曲面
A
B
(v, u). r (x1(v, u),x2(v, u),x3(v, u)).
u B
r(v,u)
A v
r
D
D 平面
而 ds2=|dr|2=dx12+dx22+dx32。
又由于 x1、x2、x3 是 u，v 的可微函数，ds2=|dr|2，
因此，也有
ds2=|dr|2=|dr|Ⅰ|dr|=| rudu+ rvdv|Ⅰ| rudu+ rvdv|
=rurudu2+2rurv dudv+ rv rv dv2.
令 guu=ruru，guv=rurv，gvv=rvrv，则
ds2=guudu2+2guvdudv+gvvdv2.
于是，也有
因此，SAB 便是定义在集{u(v)}上的一个泛函。
则 AB 的最优路径问题，将转化为求 SAB 在“Edgeworth 盒”内的变分
具有 ds2=guudu2+2guvdudv+gvvdv2 形式的“S 面”，通常叫黎曼面。黎曼面上的 v,u 坐标，
叫曲坐标。ds2 叫黎曼距离。ds2 是 u,v 在“S”约束下的拉格朗日函数。ds2 应有极值。保 ds2 不
变的几何，叫黎曼几何。guu、guv、gvv 叫空间度规系数。
空间度规系数，决定曲面“S”的性质。
如果 guu、guv、gvv 是 u，v 的函数，则“S”就是曲面。 “S”为曲面，效用的空间就是弯曲
的。如果 guu、guv、gvv 是与 u，v 无关的常数，则“S”为平面。“S”为平面，效用的空间就是平
直的。平面是曲面的特殊形式。guv =0，表示 u，v 正交。
因此，市场问题，就是一个纯粹的黎曼几何问题。
它是 SAB 在“S”约束下求极值，是 AB 在“S”约束下求最优路径。是 AB 在“S”约束下求“测
地线”。它是 SAB 在“Edgeworth 盒”内的变分。
关于模型的解，见本文的第五、六、七部分。
§4，效用空间的非欧性证明
在 20 世纪初，德国数学家 曾经证明了一个非常有用的定理。这个非常有用
的定理，就是 Noether 对称。 证明了：在一个相互作用的力学系统里，有多少个
守恒量，就有多少个守恒律，守恒量与守恒律是高度对称的，对称性导致相互作用律。这里，
守恒量也叫不变元，对称性也叫对称性规则。Noether 对称的思想，可用图 4—1 表达。
B
AAB
dsS .
.dvrdurdv
v
r
du
u
r
dr vu
.)(2)(
.2
2
22
dvg
dv
du
g
dv
du
g
dvgdudvgdugS
B
A vvuvuu
B
A vvuvuuAB
.0))(2)(( 2 dvgdv
du
g
dv
du
gS
B
A vvuvuuAB
图 4－1 Noether 对称与相互作用律
几何图形对称性
坐标变换不变性
守恒定律
不变元
由于，交换是一个买者与卖者的博弈，交换过程是一个 u 与 v 的相互转换；因此，市场
也是一个相互作用的力学系统。在这个力学系统里，Noether 对称也是成立的。
根据 Noether 定理，我们可以考虑一个由 u 与 v 张成的“S 面”的运动。看看这个“S 面”的
运动过程中，存在什么样的不变元，以及跟这个不变元有关的变换是什么？如果这个守恒元
与欧氏几何有关，则效用的空间就是平直的；如果这个守恒元与非欧几何有关，则效用的空
间就是弯曲的。
，经济系统对称，等效律或无差异守恒律，ds、ds2；…
经济系统对称的存在，取决于我们对规律的本质认识。如果我们能从规律的本质出发，
那么，经济系统的对称性是能够证明的。
从本质上，所谓规律，就是与时间地点变化无关的现象；因此，市场的交换规律，应与
坐标系的运动（价值观的变化）无关；与采用什么坐标系（价值体系）无关；其运动的方向
（价值体系的演变），都是等效 23的或无差异的；…。只有满足这些要求的，才是规律；否
则，就不是规律。
那么，满足规律要求的运动变换是什么呢？
我们先观察“规律与坐标系的运动无关；其运动的方向，都是等效的或无差异的。”。看
看满足这一要求的几何变换是什么？
考虑坐标系 K’{0’;v’,u’}→K{0; v,u }的运动；跟这个运动相对应的变换为 A。
在 K’{0’;v’,u’}中，存在复数 ds’与标积 ds’2，
ds’= dv’·1’+du’·i’. ，ds’2=12·dv’2+2dv’du’·1·i +i2·du’2；
在 K{0; v,u }中，存在复数 ds 与标积 ds2 ，
ds= dv·1+du·i.，ds2=12·dv2+2dvdu·1·i +i2·du2。
由于 K’→K 与 K’→K 的过程是等效的；所以有
ds’=Ads ；dz=Ads’ ；
于是
ds’=Ads =AAds’=A2ds’ ；
从而
A2=1。
当 A=-1 时，几何变换为反演变换；而当 A=+1 时，几何变换为对称变换。
由于在平面上，对称变换可以定义为一个平移加一个旋转；而反演过程是一个 1800 的
23 这里的等效，不是指经济效用相等，而是指在运动合同公理下的效果相同；运动合同公理也叫等效公理。等效公理在 Hilbert
划分中为公理Ⅰ；至于其他公理的组成，我们下面的证明，是将其归纳为确定空间 i 的性质。
ds
图 4－2 运动合同过程 K’→K
i1
K
u
v
A
0
ds’
1
i
K’u’
0’ v’
旋转；因此，A2=1，证明了对称性的存在。
同时，等效的过程，带来反演对称规则；
ds’=Ⅰ1ds，→dv’=Ⅰ1dv，du’=Ⅰ1du，；
并同时带来 “保距”要求；
ds’2= ds2 。
ds’2 ds2，就是跟对称性对应的守恒元；ds’=Ⅰ1ds，表示运动的无差异律；A=+1，
表示无差异律在任意的系统里都是一样的；ds’=+1ds 是现实的无差异律的数学表示；
ds’2= ds2，代表无差异交换的形式不变，是一个等效交换律；守恒元与守恒律高度对称；
对称性决定守恒律；ds’2 ds2 的形式，则决定交换的空间类型。因此，在设计公理的构成时，
必须保持系统的对称。
满足“保距 ds’2= ds2”要求的变换 A，是反演、平移与旋转。从运动合同的要求上，可
以将平面内直角坐标系 K’→K 的运动，定义为
其中： {1，i}代表任意的复空间，i ={-1,0,+1}；Ⅰ为旋转角，Ⅰ与空间 i 的选择有关，a,b 为
平移常数。K’→K，是{1，i}空间加在 v,u 实轴上的平移与旋转过程。整个过程，保证空间
{1，i}的性质不变。
但是，当将 i = j，j2=-1 的空间加在 v,u 实轴上时，却有
也就是
ds(j)=dv+j du=(dv’cos-du’sin)+j(dv’sin+du’cos)
=(cos+j sin) dv’+ (j cos - sin) du’
=(cos+j sin) dv’+ (j cos+j2 sin) du’
=(cos+j sin) dv’+ j (cos+ j sin) du’
=(cos+j sin)(dv’+ j du’) = ejⅠ ds’(j).
可见：保 ds’2= ds2 运动，并不一定有 ds’= ds，而是 ds’Ⅰ ds；特别是当将 i2=-1 的空
.cos'sin'
.sin'cos'
.cos'sin'
.sin'cos'
idudvidu
idudvdv
ibiuviu
aiuvv
.cos'sin'
.sin'cos'
jdudvjdu
jdudvdv
图 4－3 经济系统对称与等效、无差异律
经济系统对称性
坐标变换不变性
等效、无差异定律
不变元 ds2、ds
ds
图 4－4 等效的保距过程 ds’2= ds2，但 ds’ Ⅰds
ds’
Ⅰ
du du’
0’
Ⅰ
Ⅰ
dv
0 dv’
i
1
du’
dv’
ds’
间加在 v,u 实轴上时，ds= eiⅠ ds’，ds、ds’之间相差Ⅰ角。Ⅰ的决定，与 i 的选择有关。
，规律与坐标系的运动无关，与采用什么样的坐标系无关，与坐标系的原点选择无关。
我们前面考虑了坐标之间的运动，现在考虑坐标自身的变化。
由于规律在任意的坐标系里，都是等效的或无差异的。因此，坐标自身的变化，不应
该影响规律的性质；坐标自身的变化，也应是运动合同等效的，也应该具有坐标运动的一切
性质。于是，可假设：K’ {0’;v’,u’}为一个直角坐标系，K{0; v,u }为一个非直角坐标系；如
果 K’ →K, K’ →K 是等效的话，则 K’→K 的运动，也将由一个平移与一个旋转组成。它除了
保持 ds’2= ds2 外，还必须保持 ds’= ds。
于是，旋转矩阵
应该可以对角化，运动可以写成
Ⅰ1Ⅰ2 应是旋转矩阵 B 的特征根。
解特征方程
得Ⅰ=ejⅠ或 e-jⅠ。j2=-1。
这实际上是确定了复平面的性质。即 i=j，j2=-1。
显然，当Ⅰ1=ejⅠⅠ2=e-jⅠ时，运动 v’→ v 是正方向旋转Ⅰ角，u’→ u 是反方向旋转Ⅰ角；
而当Ⅰ1= e-jⅠ Ⅰ2= ejⅠ时，运动 v’→ v 是反方向旋转Ⅰ角，u’→ u 是正方向旋转Ⅰ角；
但不论哪一种情况，其 ds’2= ds2， ds’= ds 的联合运动，为复平面内分角。其所分角Ⅰ
为复角。旋转Ⅰ是复平面内转动了角 jⅠ。它等同于做了变换 i→j，Ⅰ→jⅠ ，v’→v’， v→v，
iu’→ju’，iu→ju。
因此，将复角 jⅠ代入旋转角，有分角变换
.
cossin
sincos
B
'.
'.
.'
.'
2
1
2
1
duiidu
dvdv
ibuiiu
avv
.0
cossin
sincos
.cos'sin'
.sin'cos'
jidujdvidu
jidujdvdv
图 4－6 平面上的两种分角行为
Ⅰ
Ⅰ
du’
0
dv
Ⅰ
Ⅰ
du’
dv
0 dv’
du
du
dv’
图 4－5 等效的自变过程, ds’2= ds2，ds’=ds.
0’
dudu’
Ⅰ
Ⅰ
dv
0 dv’
A
i
1
du’
0’ dv’
ds’ ds=ds’
利用 cosh Ⅰ=cos jⅠ，j sinh Ⅰ=sin jⅠ，i=j，j2=-1，则 v,u 实轴的变换就是
它是数序对(v,u)附予 i2=-1 空间后的普遍变换形式。它充分反映了交换几何的现实。它是个
市场变换，但却是个双曲旋转。
这个双曲旋转变换，有恒等式 dv2-du2. = dv’2-du’2.及 dvdu.= dv’du’.。
但是，dv’2 -du’2 是 K’ 直角坐标系的 ds’2=dv’2+i2du’2 在 i2=-1 时结果；由于 ds’2= ds2，于
是也有 ds2=dv2-du2。
由于 ds2、ds’2，既是 K、K’的不变元，同时又都具有双曲线的特征。因此，在平面内
要求“规律与坐标系的运动无关，且与采用什么样的坐标系无关，与坐标系的原点选择无
关”，则必然带来复平面内的“ds’2= ds2， ds’= ds”要求；而 “距 ds’2、ds2”的形式都为双曲
线，都与非欧几何有关；因此，交换的空间必为非欧几何。
特别是 ds2=dv2-du2=0 时，有 dv=du.，及 v= u+b；b 为积分常数，常取为 0。从“帕累托
最优”的定义上衡量，ds 代表无差异律；ds2 =0 满足无差异的最优要求。它是“Edgeworth 盒”
的 450 对角线。而当 ds2 Ⅰ0 时，“帕累托最优”则与 450 线产生了偏移。
，坐标变换，黎曼几何
在曲面内，继续推广 “规律与坐标系的运动无关，而且与采用什么样的坐标系无关，与
坐标系的原点选择无关” 要求；看看能不能通过坐标变换，将一个曲坐标化为一个平面坐标，
或者将一个平面坐标化为一个曲坐标，或者将一个曲坐标化为一个新的曲坐标，…；如果能
够，就意味着平直空间里发生的交换，与真实的黎曼空间里的规律，是一致的；就意味着可
以通过坐标变换，将复杂的空间里的规律，化为简单的双曲模型进行研究；就意味着我们在
平面内所导得的结论，具有高度的普适性。
可以证明，这种推广是成立的。直观的例子，是世界地图的形成。它是将球面上的陆地
经纬度坐标，共形投影到平面上，形成所需要的世界地图。
假设：K’ {0’;v’,u’}为平面坐标系，具有 ds’2=gu’u’du’2+2gu’v’du’dv’+gv’v’dv’2 形式，
gu’u’=-1，gu’v’=0，gv’v’=1；K{0; v,u }为曲坐标系，具有 ds2=guudu2+2guvdudv+gvvdv2 形式，
guu、guv、gvv 为 v,u 的函数。
如果 v’= v’(v,u)， u’= u’(v,u)；并且可逆，则只要
.cosh'sinh'
.sinh'cosh'
dudvdu
dudvdv
图 4－7 平面上的“帕累托最优”模型
du
dv0
A
450
B
du
dv0
A
450
B
dsⅠ0 ds=0
就一定有 ds’2= ds2。
于是，K’ →K, K’ →K 的运动，就一定是等效的。证明完毕。
既然 u,v 张成的“S 面”，普遍具有黎曼面的形式；那么，效用的空间必是弯曲的。效用
的空间几何必是非欧几何。
§5，效用方程，效用的传递特征，及“独裁”的数学解释
，效用方程
由于市场问题，是 SAB 在“S”约束下求极值或求“测地线 AB”。但在“Edgeworth 盒”中， SAB
是 ds 在 A→B 路径上的积分，其结果与 A→B 过程有关，SAB 是 u,v 的函数；因此，SAB 极值
或“测地线 AB”可由 S(u,v)的变分求出；即可通过
ⅠSAB= Ⅰ{Ⅰds}=0.
求出效用方程。
令 du=dui，dv=duk，guu= gii，gvv= gkk，guv= gik，且 u,v 互换，则 ds2 可缩并成
ds2= gik duiduk.
则有
因此，
第二项等于零，因为在积分限上， 。且 l=i,k。
在积分号内的第二项中，可用 l 来代替 k。由于在积分限上，亦有任意的 ，由
变分法引理 24，可有
注意到第三项可以写成以下形式：
24 ⅠⅠxⅠxdx.=0.的条件是：在积分的边界上Ⅰx.=0 时，Ⅰx.Ⅰ0。
.)
'
()
'
(
).
'
)(
'
()
'
)(
'
(
.)
'
()
'
(
2
''
2
''
''''
2
''
2
''
v
u
g
v
v
gg
u
v
v
v
g
v
u
u
u
gg
u
v
g
u
u
gg
uuvvvv
vvuuuv
vvuuuu
.2
.2
)(22
ki
ik
l
l
ikki
ki
ikik
ki
ki
ik
uddugu
u
g
dudu
duduggdudu
dudugdsdsds
,})(
2
1
{
}
2
1
{
k
i
ik
k
i
ik
l
l
ik
ki
ki
ik
l
l
ik
ki
u
ds
du
gdsu
ds
du
g
ds
d
u
u
g
ds
du
ds
du
ds
ds
ud
ds
du
gu
u
g
ds
du
ds
du
sS
0ku
0lu
0
2
1
)(
2
1
2
2
k
il
kii
ill
ik
ki
i
ikl
ik
ki
u
g
ds
du
ds
du
ds
ud
g
u
g
ds
du
ds
du
ds
du
g
ds
d
u
g
ds
du
ds
du
m
i
m
i
m
i
i
kl
引入克里斯托非尔符号
则得
乘以 ，并注意到 25和 ，m= i,k.，便得效用方程
l= i,k；且 i,k 可互换。
其中，s 是质点的空间运动轨迹，它既是一条过 v,u 交点的测地线，同时也是 u, v 之间的关
系函数； 是空间的联络系数，它是坐标的函数，与空间的曲率有关 26。 表示空间
是平直的， 表示空间是弯曲的。
仿射联络公式为
l= i,k.；m= i,k.
且 i,k 可互换。
因此，获得一个具体效用方程的前提是：必须已知联络系数 ，并了解空间的性质；
具言之，就是已知空间度规 guu，gvv，guv，因为只有它们才与 有关。
，效用的传递特征，及“独裁”的数学解释
由于“测地线”是封闭的。于是，效用传递的“循环性”得证。它说明：“投票悖论”可以在
非欧条件下推得；效用函数与系统的空间结构有关。
又由于“测地线”方程的解条件是
, 且 i,k 可互换。
这说明，要打破“循环”，其要求就是确定效用的起点和方向。而非阿罗所言的“个人独
裁”。
§6，求“Edgeworth 盒”的契约曲线方法
，契约曲线
由于，契约曲线，是“曲面”上的“测地线”在“Edgeworth 盒” 上的投影；“测地线”对应着
契约关系方程。因此，由“测地线” 方程解出 u,v 并消掉 s，就可求出 u,v 间的契约曲线。契约
曲线，与空间的度规有关。
当 时，契约曲线方程组为
25 这里 代表 Kronecker 的Ⅰ记号，当 i=m 时， =1，iⅠm 时， =0。
26 是空间的联络系数，它是坐标的函数，与空间的曲率有关。从经济学意义上讲，它可以看成市场的场强。
.)(
2
1
ds
du
ds
du
u
g
u
g ki
i
kl
k
il
).(
2
1
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ik
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kl
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il
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g
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g
u
g
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2
ds
du
ds
du
ds
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g ml g gml il i
m g ml l ik ik
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2
2
ds
du
ds
du
ds
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kl
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i
kl 0
i
kl
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).(
2
1
m
kl
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l
mkimi
kl u
g
u
g
u
g
g
i
kl
i
kl
000 ;: ds
du
ds
du
uuss
ki
ii
0 ikl
解得 du=adv.，u=av+b；取积分常数 a=1，b=0，有 u=v，则契约曲线如图 6－1 左。它是
“Edgeworth 盒” 的 450 对角线。
显然，典型面 ds2=±du2+ dv2 上的契约曲线 u=v，是黎曼面上的最短直线。其度规系数
guu=±1， guv=0， gvv=1；有 。此时的黎曼面，其实是一个平面。
如果 ，则契约曲线的求取比较复杂。但可以预计，其图形应该比较复杂。其契
约曲线，将与 450 线发生偏离。如图 6－1 右。
下面是一个在特殊曲面上，求“Edgeworth 盒”契约曲线的例子。
，约束在“单位球面”上的质点运动方程
“单位球面”的 E3 坐标为(x1,x2,x3) =(sinvcosu,sinvsinu,cosv)。
于是 ds2=|dr|2=dx12+dx22+dx32.= dv2+sin2v du2.。
从而 gvv=1，guv= gvu=0，guu= sin2v。从而 gvv=1，guv= gvu=0，guu= 1/sin2v。
由仿射联络公式，可有Ⅰvuu=sinv·cosv，Ⅰuuv=Ⅰuvu=cotv。其余为 0。
于是，约束在 “单位球面”上的质点运动方程为
，“单位球面”上的契约曲线
将方程组的第二式，两端同除以 ds/du，则有
即
则
.0
.0
2
2
2
2
ds
vd
ds
ud
0 ikl
0 ikl
.sin
.cossincossin
.sinsincoscos
33
3
22
2
11
1
vdvdu
u
x
dv
v
x
dx
uduvvdvudu
u
x
dv
v
x
dx
uduvvdvudu
u
x
dv
v
x
dx
.0cot2
.0sincos
2
2
2
2
ds
dv
ds
du
v
ds
ud
ds
du
ds
du
vv
ds
vd
.0cot2
2
2
ds
dv
v
du
ds
ds
ud
.0].sinln2[ln v
ds
du
ds
d
0 ikl
0 ikl
0 ikl
0 ikl
0 ikl
0 ikl
图 6－1 各种空间条件下契约曲线
0
u
v0 45
0
u
v
450
其中，lnC 为积分常数。并由此得
将其代入 ds2=dv2+sin2v du2.→1=(dv/ds)2+sin2v (du/ds)2，可导得
将 du/ds 与 dv/ds 式相除，消去 ds，则
令 a2=1/C2-1，则
两边积分，并取积分常数为π/2，则有
这正是 u，v 在边长为π的“Edgeworth 盒”上的契约曲线。
它是“曲面”上的 u，v 关系曲线，平铺到“平面”上的结果。并且，该曲线有 2 个稳定的
不动点(0,0)，(π,π)和 1 个不稳定的不动点(π/2, π/2)。
当 vⅠ[0,π/2时，交换是保守的；而当 vⅠπ/2,π]时，交换却是冒险的。这确实反映了交换
的心理变化过程。 这从另外的意义上说明，我们平常用心理实验获的契约曲线，实际上是
并不是它的真实情况，而是曲面上的关系在平面上的一个变形 27。
§7，求“Edgeworth 盒”的无差异函数方法，无差异曲线性质
，无差异函数
无差异函数，是等 s 的 u,v 关系方程。由§6 可知：契约曲线与“测地线” 方程的积分常数
有关；契约曲线是“测地线”方程积分常数的函数；但这个积分常数却与 s 有关。因此，由“测
27 比如平面地图上的国境线，并不是真正地理上的国境线；平面地图上的国境线形状，也不是真正地理上的国境线形状；真正地
理上的国境线及国境线形状，必须到真实的地球空间去观察；平面地图上的国境线及国境线形状，只不过是球面地理在这个平
面上的投影。
..sin 2 C
ds
du
v
.
sin 2 v
C
ds
du
.)
sin
(1 2
v
C
ds
dv
.
)(sinsin 222
2
Cvv
C
dv
du
.
cot
csc
22
2
dv
va
v
du
.
2
)
cot
arcsin(
a
v
u
0 0
a=145
0
450
效用分布密度
图 6－2 球面条件下效用分布密度及契约曲线
du
dv
u
v
契约曲线
地线” 方程解出 u,v 并消掉积分常数，就可求出 u,v 的无差异函数。无差异函数，也与空间的
度规有关。
当 时，从典型黎曼面 ds2=±du2+ dv2 的“测地线”方程，有
解得契约关系方程
及
联立方程
消去积分常数 a，则得典型黎曼面的无差异曲线
它是有条件凸向原点的变形双曲线或者变形椭圆。
特别是积分常数 l=0 时，双曲线绕轴发生旋转。有
(s-h)2 = Ⅰu2 + v2.
如图 7－1 右。
，“单位球面”上的无差异函数
由§6 有：
式中 C 为积分常数。
令 a2=1/C2-1，从而有
0 ikl
.1
.
.0
.0
2
2
2
2
2
ab
ds
dv
a
ds
du
ds
vd
ds
ud
.. lv
b
a
u
b
a
dv
du
.. h
a
u
s
a
du
ds
.
1
.
2
lv
a
a
u
h
a
u
s
).)(()1( 2222 uhs
u
l
v
.)
sin
(1 2
v
C
ds
dv
.
cos
1
)(cos
cos)1(
)(cos
csc1 2
2
22222
v
a
a
vd
vC
vd
vC
dv
ds
0 0
l=0
850
450
图 7－1 有条件凸向原点的无差异曲线
u
v
u
v
lⅠ0
解得
又因为
所以有 u，v 契约关系曲线
联立方程组
消去 a，则得“单位球面”上的无差异函数
cos2(h-s)=sin2(v)Ⅰcos2(l-u).
也就是
它是“Edgeworth 盒”上部分凸向原点的曲线。
“Edgeworth 盒”的参数 vⅠ[0, π] ，uⅠ[0, π]。
如果考虑 v, u 的周期性，则无差异函数应修正为
值得注意的是：这个修正公式，我们可以用来解释“Giffen 产品”的成因，以及“Giffen 产
品”与“Keynes 陷阱” 的关系 28。
，无差异曲线的性质
由于典型黎曼面是黎曼面的一个特例。因此，典型黎曼面上的无差异曲线，
应该是无差异曲线的一个标准形式。
也就是说，我们可以通过曲面变换，将任何无差异曲线，变换成典型黎曼面上的无差异
28 “Keynes 陷阱”的宽度与|s-h|有关。在周期内，“Keynes 陷阱”的宽度随|s-h|增加而逐渐减小。
.)cos
1
arcsin(
2
hv
a
a
s
.
cot
csc
22
2
dv
va
v
du
.)
cot
arcsin( l
a
v
u
.)
cot
arcsin(
.)cos
1
arcsin(
2
l
a
v
u
hv
a
a
s
.)
sin
)cos(
arccos( l
v
sh
u
.|)
sin
)cos(
arccos(| l
v
sh
u
).)(()1( 2222 uhs
u
l
v
lⅠπ/2+2nl=π/2+2n
图 7－2 部分凸向原点的无差异曲线
v0
300
u
v0
300
u
曲线形式。预了解无差异曲线的性质，只要了解典型黎曼面上的无差异曲线性质即可。典型
黎曼面上的无差异曲线，其性质应该具有高度的普适性。
(1)、典型黎曼面上的无差异曲线的标准变换
通过坐标变换，可将无差异曲线，压缩到一个“Edgeworth 盒”里去。这样做的目的，是
为便于对无差异曲线进行观察和标准分析。
令 u=(s-h)u*，v=(s-h)v*，d=l/(s-h)，则典型黎曼面上的无差异曲线，将化为
依然用 u*→u，v*→v，则无差异曲线的特征方程为
对 u 求一阶导和二阶导，有
显然，无差异曲线并不是绝对地向下偏斜和无条件凸向原点，而是有条件的。
(2)、无差异曲线的偏斜条件与“Giffen 产品”的成因
当无差异曲线为变形的双曲线时，
如果 0<u<(-d)1/3，则 v’(u)<0，无差异曲线是向下偏斜的；如果 u>(-d)1/3，就有 v’(u)>0，无
差异曲线是向上偏斜的，即此时出现了“Giffen 产品”；如果 u=(-d)1/3，则 v’(u)=0，无差异曲
线有极值。
当无差异曲线为变形的椭圆线时，
如果 0<u<(d)1/3，则 v’(u)<0，无差异曲线是向下偏斜的；如果 1Ⅰu>(d)1/3，就有 v’(u)>0，无
差异曲线向上偏斜，“Giffen 产品”出现；如果 u=(d)1/3，则 v’(u)=0，无差异曲线有极值。
).*1()
*
1(* 222 u
u
d
v
).1()1( 222 u
u
d
v
.
)1(
2)3(
)(''.
1
)('
32
2
22
3
uu
dduu
uv
uu
ud
uv
).1()1( 222 u
u
d
v
).1()1( 222 u
u
d
v
d<0 d<0
d>0
0 0
450
650
v
u
v
u
d>0
0 0
dⅠ
0
450 250
图 7－3 无差异曲线的偏斜条件与“Giffen 产品”的成因
u
v
u
v
dⅠ
0
(3)、无差异曲线的性质
无差异曲线的偏斜程度与 d 有关。而 d 又 l/(s-h)与有关。当 l 固定时，(s-h)越大，d 越小，
无差异曲线的偏斜变化愈强烈，此时“Giffen 产品”就比较容易观察到；反之，(s-h)越小，d
越大，无差异曲线的偏斜变化愈小，此时“Giffen 产品”就基本不会出现。传统的经济学认为，
“Giffen 产品”的出现与产品的“奢侈”程度有关。我们认为是缺乏逻辑依据的。
§8，小结
本文讨论了“阿罗不可能定理”的逻辑问题。同时指出，如果将效用函数放在非欧空间里
考察，则“投票悖论”可以解决。本文给出了效用函数在空间里的一个猜想模型，并证明了这
种可能性。以及如何利用这个模型，求“Edgeworth 盒”的契约曲线及无差异函数。模型的结
果表明：效用函数与系统的空间结构有关；传统的“阿罗定理”诠释是不完备的。我们从模型
上给出了“阿罗不可能定理”的新解。特别是对“独裁性”的诠释，以及 “Giffen 产品”的成因，
本文的观点与传统经济学略有不同。
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The Conjecture in Utility function and Arrow Impossibility Theorem
Yuezhi Tang
School of Economics,Huazhong University of Science and Technology
Wuhan,China
(430074)
Abstract：This paper discusses the Logic of Arrow Impossibility Theorem. It indicate that the
Condorcet Paradox can be worked out if the Utility function is introduced into the Non-Euclidean
space. The paper gives a conjectural model of Utility function on Non-Euclidean space, and proves
this possibility, as well as a solution of Edgeworth contract curve and indifference function by
means of model.
Keywords： Utility function, Non-Euclidean space, Arrow Impossibility Theorem, Edgeworth
contract curve, indifference function, conjectural model.
