（冶金行业）关于效用函数
及阿罗不可能定理的一个
猜想
关于效用函数及阿罗不可能定理的壹个猜想
唐跃志 1
华中科技大学经济学院，武汉，430074
摘要：本文讨论了“阿罗不可能定理”的逻辑问题。同时指出，如果将效用函数放在非欧空
间里考察，则“投票悖论”能够解决。本文给出了效用函数在空间里的壹个猜想模型，且证
明了这种可能性。以及如何利用模型，求“Edgeworth盒”的契约曲线及无差异函数。
关键词：效用函数，非欧空间，阿罗不可能定理，契约曲线，无差异函数，猜想模型
引言
1951年，阿罗(Arrow,)发表且证明了著名的“不可能性定理”。阿罗用公理化方法
和 5个著名的公理证明了，经济学上的效用函数(utilityfunction)是不存在的。这个定理
给从那以后的经济学，带来了极大的困难 2。许多人试图否定阿罗的结论，但都没有成功 3。
我们总结了前人的经验。且注意到阿罗证明成立的关键，是以下二个原因：
第壹，是因为公理化方法有如下逻辑：如果“猜想”不和公理相悖，那么该“猜想”就
有可能是对的；反之，如果“猜想”和公理相悖，那么该“猜想”就壹定是错误的。
第二，是因为“投票悖论”的问题。因为，“投票悖论”是由效用函数导出的。而“投
票悖论”又和阿罗公理相矛盾。所以，效用函数在阿罗公理条件下不存在 4。
由此可见，在阿罗的证明中，“投票悖论”是壹个非常重要的因素。但“投票悖论”是
怎样产生出来的呢？它源自阿罗假设中的“传递性公理”，它的标准假设是“A优于 B,B优
于 C,那么壹定 A优于 C”。因此，“传递性”，是“不可能定理”不可或缺的因素；如果证
明在“传递性假设”上出了问题，那么“不可能定理”就不会再成立。
经过分析，我们发现，“传递性公理”，其实和壹条欧氏定理“A>B,B>C,那么壹定 A>C”
等价；或者在某种意义上说，阿罗公理其实就是壹个欧氏公理；阿罗证明实质上要求，效用
的公理必须是欧几里德形的，阿罗证明也只在欧氏条件下才会成立。
但问题是，现实的效用体系是否就壹定是欧氏几何形的呢？或者说，选择的公理是否就
是要求，“如果 A优于 B,B优于 C，就壹定必须有 A优于 C!”？如果换成非欧几何，“阿罗
定理”在非欧条件“A>B,B>C,不壹定 A>C”下仍会成立吗？！
基于非欧几何的知识，我们知道，答案是否定的。“不可能定理”在欧氏条件下成立，
但在非欧条件却可能不成立！而且，现实的空间几何，非欧几何也要比欧氏几何合理。
因此，联系到公理化方法的逻辑，我们有壹个基本猜测：现实的效用的分析几何，也许
1研究领域：统计学，数量经济学，微观经济学；：(027)62589359；E-mail：tangyz_hust@；联系地址：武汉市华中科技
大学经济学院；邮政编码：430074。
2 甚至产生了对市场机制的歪曲。比如认为，既然市场解决不了市场的问题，所以应该由政府“独裁”，由政府在市场之上搞宏观调
控。再如在政治上搞“两党制”。…
3 Debreu 等人证明了：定义在商品空间 Rl 的非负卦限 Rl+上的偏好关系≳，如果满足完全性、自反性、传递性、连续性和强单调性，
则存在表达这个偏好关系的效用函数 u: Rl →Rl+。Debreu 本人也因此获得诺贝尔经济学奖。但是传递性会导致“投票悖论”；所以，
我们认为：Debreu 等人的结论，还不能从根本上否定“Arrow 不可能定理”。
4 由于阿罗公理与“投票悖论”存在矛盾。许多人选择重新构造公理来论证效用函数的存在性。如 Sen(1977,1979,1986,1992,1996)，
Gibbard(1973)、Satterthwaite(1975)等人从 “弱化”Arrow “完全理性” 假设的角度，来建立社会选择机制。他们的“弱化”方案是：仅要
求“优于关系”具有“传递性”，而不考虑其“无差异关系”是否具有“传递性”；或者是：不再要求所得到的集体选择规则具有自反、传
递、和连通的性质，而只是要求集体选择规则是拟传递的或者非循环的，将“完全理性”改成“相对理性”。但是这种“弱化”，并没有
从根本上摆脱不可能结论，相反还产生新的“不可能性”问题。
“投票悖论”
公理化方法
“传递性公理” “A 优于 B,B 优于 C,那
么 A 必定优于 C”
效用函数
不存在!
图 0－1 “Arrow 不可能定理”的内在逻辑关系
mailto:tangyz_hust@
应该是非欧几何，而不应是欧几里德几何！在此问题上，阿罗可能把问题的因果关系弄颠倒
了，“不可能性定理”且不是经济学的“有效”定理！而且我们仍发现，“投票悖论”能够
在非欧条件下得到印证。
本文的第壹部分，是公理化方法的数学准备；第二部分，是阿罗证明的逻辑讨论；第三
部分，是我们对效用空间的壹个几何猜想；第四部分，从等效角度证明效用的空间是非欧的；
第五部分，用变分法证明效用的传递是封闭的，以及我们对“独裁”的解释；第六、七部分，
是本文研究的壹个延伸，即如何求“Edgeworth盒”上的契约曲线及无差异函数。
§1，公理化方法和几何公理
，公理化方法
所谓的公理化方法，也叫演绎推理方法。它是从壹些初始概念（不定义的概念）和壹些
初始命题（不证明的命题、公理）出发，按壹定的逻辑规则，定义出所需要的概念，推导出
所需的命题（定理）来。这里的“推导”是壹种严格的证明，其依据，只能是初始命题或已
由它们证明了的命题，除了逻辑规定外，不得依赖其他任何东西。它是数学上构建严格数理
体系的基本方法。该方法的逻辑特点是：如果“猜想命题”不和公理相悖，那么该“猜想”
就有可能是对的；反之，如果“猜想”和公理相悖，那么该“猜想”就壹定是错误的。因此，“猜
想”的正确和否，和公理的构成有很大关系。同壹“猜想”，在不同的公理条件下，结论会
有很大不同。
数学上最基础的公理，是数的公理和形的公理。数的公理，有 Peano数公理、代数公理；
形的公理，则有欧氏几何和非欧几何（罗巴切夫斯基几何，黎曼几何）。任何公理，按笛卡
尔()的思想，都可化为数的公理和形的公理 5。联系数、形公理的桥梁，是坐标
空间、相函数。由坐标、相函数支撑起来的“相空间”，包含了该公理应具有的壹切性质。
比如，欧氏几何的“相空间”是“平直的”；非欧几何的“相空间”是“弯曲的”。阿罗公
理作为壹个代数公理，应和形的公理同态同构。
，几何公理的构成 6
按希尔伯特()的划分，几何公理的组成如下：
几何公理结构
几何公理 欧氏几何 罗氏几何 黎氏几何
公理Ⅰ 关联公理 关联公理 关联公理
公理Ⅱ 顺序公理 顺序公理 分隔公理
公理Ⅲ 合同公理 合同公理 运动合同公理
公理Ⅳ 欧氏Ⅳ公设 罗氏Ⅳ公设 黎氏Ⅳ公设
公理Ⅴ 连续公理 连续公理 连续公理
欧氏几何和罗氏几何的区别，是第Ⅳ公设；而黎氏几何和欧氏、罗氏几何的区别，除了
第Ⅳ公设外，仍得加上壹个在关联基础上的分隔公理。
关于第Ⅳ公设，是众所周知的：
欧氏第Ⅳ公设：又称平行公理。过直线 L外壹点 A，至多可作壹条直线和 L不相交。它
的等价描述是，△内角和等于π。
罗氏第Ⅳ公设：过直线 L外壹点 A，至少有俩条直线和 L共面而不相交。它是欧氏平行
公理的矛盾命题。它的等价描述是，△内角和小于π。
黎氏第Ⅳ公设：过直线 L外壹点 A的所有直线，都和 L相交。它的等价描述是，△内角
和大于π。
对于其它公理，了解它们是必要的。
的思想，现在被归纳为关系映射反演原则。其思想推动了坐标解析几何的产生与发展。
6本节的五组公理，其内容与 原文表示略有不同，但所表达的事实基本一致。本文侧重于其点、线、面的公理表达。
关联公理 7：也叫结合(从属)公理。过 A,B俩点，有且至多有壹直线 L；直线上至少有二
点，又至少有三点不在同壹直线上；过不在同壹直线上的三点 A,B,C，必有且至多有壹平面
S；每壹平面上至少有三点；如果直线的俩点在平面 S上，则该直线的每壹点都在 S上。
顺序公理：也称次序公理。若 C在 A,B之间，则 A,B,C三点共线，且 C在 B,A之间；对
于 A,B俩点，至少存在点 C，使 C在 A,B之间；在共线三点中，至多有壹点在其余俩点之间。
分隔公理 8：若 A,B,C为直线上任意三点，存在 D，A,B点分隔 C,D；若 A,B分隔 C,D，
则 B,A分隔 C,D，C,D分隔 A,B；共线四点 A,B,C,D，则 A,B分隔 C,D，A,C分隔 B,D，A,D分
隔 B,C，三种关系恰有壹种关系成立；若 A,B分隔 C,D，A,D分隔 B,E，A,B则分隔 C,E。
合同公理：也叫全合(全等)公理。若 A,B为 L上的点，A’是 L’上的点，则在 L’上 A’
的壹侧，恰有点 B’，使得 AB=A’B’；若 AB=A’B’,A”B”=A’B’，则 AB=A”B”；若 B
在 A,C之间，B’在 A’,C’之间，且且有 AB=A’B’,BC=B’C’，则 AC=A’C’。
运动合同公理：也叫等效公理。对俩个几何体 K、K’，通过运动变换 F，能够由 K’得
到 K，且且保持 K、K’共有的特征性质不变。
由合同或者运动合同公理，可导出：①自反性：AB=BA；②对称性：若 AB=A’B’，则
A’B’=AB；③传递性：若 AB=A’B’,A’B’=A”B”，则 AB=A”B”。同样，由顺序/分隔
公理，可定义出：④反对称：AB=-BA；⑤非对称：AB-BA。
之上公理的逻辑关系是：没有关联公理、顺序/分隔公理，就没有合同公理，也就不存
在自反性、对称性及传递性；自反性、对称性，以非自反、反/非对称的存在为前提。决定
非自反、反/非对称的因素，是关联公理和顺序/分隔公理。在同壹构造空间里，满足非自反
性、反/非对称性、传递性的几何关系，通常称为序关系 9。三种不同的公理，构造了三种不
同的序。三种序关系，分别代表三种不同的几何。开放的序，代表欧氏或者罗氏几何 10；封
闭的序，则代表黎氏几何 11。不同的几何，将导致不同的几何定理。
比如，在欧氏、罗氏几何条件下，由顺序公理有反对称 AB=-BA，于是
如果 C>B,A>C，则 A>B。
而在黎氏条件下，由分隔公理，有非对称 AB≠-BA 或者反对称 AB=-BA，
如果是反对称 AB=-BA，则 C>B,A>C，壹定有 A>B；
如果是非对称 AB≠-BA，则 C>B,A>C，不壹定是 A>B，而可能是 B>A。
关于连续公理，则从略。
，数和形的统壹
考虑壹个数序对(x,y)，且引入坐标系{0;1,i}；则这个数序对(x,y)，可见成复平面上
的壹个点 Z(x,y)；这个点通过坐标关系，可构造壹个数 z=x·1+y·i；则有点 Z和数 z的对应
关系
Z(x,y).z=x·1+y·i.
7 公理中的“点”应分别理解成“欧氏点，罗氏点，黎氏点”，“线”为“欧氏线，罗氏线，黎氏线”，“面”亦为“欧氏面，罗氏面，黎氏面”。
并且规定，如果把球面作“黎氏平面”典型面，球面上大圆作“黎氏直线”，“点”在大圆上，且球面上的对径点是一个点，则关联公理
就是黎氏关联公理。所以黎氏意义下的直线是封闭的。
8 “直线”上每一点都在平面 S 内，都具有相同的“面序”；在“直线” 上诸点的 “面序”都相同的基础上，比较该“直线”上诸点的序关系，
是平面上顺序公理与分隔公理成立的前提条件。
9满足自反性、对称性、传递性的几何关系，是一种等价关系，满足非自反性、反/非对称性、传递性的几何关系，是一种弱/强序。
序有点序、线序、面序之分。
10 对于开放的点序，如果其线空间是平直的，则代表欧氏几何；如果其线空间是弯曲的，则代表罗氏几何。
11 封闭的序关系，与圆拓扑同构。而圆的内禀几何就是黎氏几何。
图 1－2 运动合同过程 K’→K
B
A
0
F
A’
0’ B’
同时，Z的运动 Z(x,y)→Z’(x+dx,y+dy)，将构成线段 ZZ’，且且有
dz2=(dx·1+dy·i)2=dx2·12+2dxdy·1·i+dy2·i2.
于是，有线段 ZZ’和数 dz2的对应关系
ZZ’.dz2=dx2·12+2dxdy·1·i+dy2·i2.
因为，数 z、dz是基元(1,i)上的壹个线性表示；数 dz2是基元(1,i)的二次正定型；所
以当 1·i=0时，有 dz2=(dx·1)2+(dy·i)2，它表示引入的坐标系为直角坐标系；数 dz2的形式，
则忠实地反映了直角ZOZ’的“勾股弦”关系；且且，这种“勾股弦”关系，在任何直角三
角形中都严格成立。
显然，dz2为线段 ZZ’长度的平方，dz=|ZZ’|；
(dx·1)2为线段 ZO长度的平方，(dx·1)=|ZO|；
(dy·i)2为线段 OZ’长度的平方，(dy·i)=|OZ’|；
可是，当 i2=-1时，却有
dz2=(dx·1)2+(dy·i)2=dx2-dy2.
点 Z’的运动是弯曲的双曲线，其“线段 ZZ’”的几何为双曲几何 12。从几何的分类上，双
曲几何从属于罗氏几何。
而当 i2=0时，
dz2=(dx·1)2+(dy·i)2=dx2.
点 Z’的运动是平直的直线，其“线段 ZZ’”的几何为抛物几何。抛物几何从属于欧氏几何。
当 i2=+1时，
dz2=(dx·1)2+(dy·i)2=dx2+dy2.
点 Z’的运动是弯曲的椭圆线，其“线段 ZZ’”的几何为椭圆几何。椭圆几何从属于黎曼几
何。
可见，在保证△ABC“勾股弦”关系不变的前提下，基元(1,i)性质的变化，将使△的几
何形态发生较大的扭曲。而且其“△内角和定理”也被修正为
A+B+C=π+KS，
其中：K为空间曲率，S为△ABC面积。显然有
罗氏几何：等 dz的运动轨迹 BA为双曲线，K<0，有A+B+C<π；
欧氏几何：等 dz的运动轨迹 BA为平直的直线，K=0，有A+B+C=π；
黎曼几何：等 dz的运动轨迹 BA为椭圆线，K>0，有A+B+C>π；
所以，坐标基(1,i)的性质，对点、线的空间形态影响很大；基元(1,i)的性质，是区分
空间几何类型的重要标志。
通常，基元(1,i)的确定和基元(1,i)的算法，称为壹个变换群。这种变换群，在正交面
上共有三种 13；每壹种变换群对应着壹种几何 14。变换群的具体确定，和公理的构成有关。
每壹种公理构成，隐含着壹种变换群；同时也就隐含着壹种几何结构。
“·”算法和几何关系
双曲几何 抛物几何 椭圆几何
· 1 i · 1 i · 1 i
1 1 0 1 1 0 1 1 0
i 0 -1 i 0 0 i 0 1
12 点 Z 与点 Z’的运动，为一相对运动。在这个相对运动中，“线段 ZZ’”的运动，则是保 dz2 不变的运动。因此，观察 dz2 的组成形
式，就可知道 ZZ’的运动几何属于哪一种几何。
13 平面上的几何，实际有 9 种。在坐标系{0;m,i}中，dz2 = dx2·m2+2dxdy·m·i +dy2·i2.，m2={-1,0,+1}，i2={-1,0,+1}。
14 变换群与几何的对应关系、几何按变换群分类的理论，已由 建立。
图 1－4 罗氏几何、欧氏几何、黎曼几何的三角形内角和定理
dy
dx
0 C B
A
C
dy
dx0
A
B
dy
dx0
A
C B
由于已经证明，阿罗公理体系是壹个效用数序对；因此，阿罗公理必属于欧氏几何和非
欧几何中的壹种。
，A>B,B>C,不壹定 A>C!
几何“猜想命题”的“真伪”，和几何公理性质密切相关。它严密地证明了，仅凭直觉
而没有通过逻辑证明的“东西”，是靠不住的。许多在欧氏条件下，见起来直观而平凡的“真
理”，在非欧条件下就有可能成为“谬误”。比如，“△内角和等于π”这样壹个“猜想”。
该“猜想”只在欧氏几何条件下成立；在罗氏、黎曼几何条件下不成立。反之，如果“猜想”
换成“△内角和不等于π”，那么“猜想”在罗氏、黎曼条件下是成立的；而在欧氏条件下
不成立。再如“如果 A>B,B>C,那么壹定 A>C”之“猜想”，在欧氏几何、罗氏几何条件下是
严格成立的；而在黎曼几何条件下不成立。类似的例子仍能够举出许多。
所以，在不同的条件下，几何的基本元素和基本关系，不论是几何形态仍是几何计量，
都要发生根本性的改变。我们不能再用主观的思维，去推论壹些“想当然”东西。了解这些，
是解决“不可能定理”和“投票悖论”的基础。而且应该记住的是，“点”应严格区分“欧
氏点，罗氏点，黎氏点”，“线”分“欧氏线，罗氏线，黎氏线”，“面”应分“欧氏面，
罗氏面，黎氏面”；由“点、线、面”等基本元素支撑起来的空间，有“欧氏空间，罗氏空
间，黎氏空间”。其几何要素在空间里的表现，除“点”外，“欧氏线/面”在三维欧氏空
间里是平直的，而“罗氏线/面，黎氏线/面”在三维欧氏空间里却是弯曲的。“线，面”在
三维欧氏空间里是否弯曲，是欧氏几何和非欧几何的根本区别。而“黎氏线”则是“黎氏球
面”上的“大圆”，它是壹个封闭的“线元”；它通常也叫“测地线”。
§2，阿罗公理，“投票悖论”和不可能定理
，阿罗公理 15
对于备择对象 x和 y，考虑壹种偏好序关系“≳”；“≳”可见成符号“”，或者壹个算符“”；
用“x≳y”表示“x优于 y”；x和 y经“≳”作用后化成函数 ux和 uy）；如果 x≳y，则
ux≳uy。“≳”满足：
公理 1,连通且自反性 16。对任意的 x和 y，有 x≳y或 y≳x；且二者必居其壹。
公理 2,传递性。对任意的 x,y和 z，x≳y和 y≳z，则必有 x≳z。
公理 3,壹致性。若社会所有成员都认为，某种备选方案优于另壹种，那么社会亦应如此认为。
公理 4,独立性。比如，原来有俩名候选人，当下又添加壹名候选人，则人们对原来俩名候选
人的偏好序，不应受新添候选人的影响。
公理 5,非独裁性。即不应使个人的偏好总是自动成为社会偏好，而不管其他人的偏好和他是
如何地不同。
其中：公理 1,2为自然的理性基本条件 17；公理 3,4,5是阿罗及其支持者，为达合理要求所
15关于阿罗公理，各种文献的表述不一，有政治学的表述，有经济学的表述，也有对策研究表述。本文采用的是经济学的表述。
16 严格的说，阿罗的定义及这个公理只是定义了一种联络关系。它包扩无差异的等价关系和有差异的序关系。有差异的优于关系
是序关系，无差异的等价关系不是序关系，两者之间是有很大区别的。由于篇幅的关系，本文没有在此展开。
17 Arrow 的“完全理性” 假设，曾经导致质疑者强烈的批评。公共选择学派创始人 认为，完全理性假设是“（将）个体
特性的荒谬移植（至群）”，从而导致“整个 Arrow 框架的分析错误”。Sen，Gibbard、Satterthwaite 等人也持相同的观点。他们从 “弱
化”Arrow “完全理性” 假设的角度，来建立社会选择机制。如 Sen 等人的建立了“在个人主权基础上的社会选择机制”，
Gibbard-Satterthwaite 等人则建立了“在防御策略基础上的社会选择机制”。Sen 等人的方案是：仅要求“优于关系”具有“传递性”，而
不考虑其“无差异关系”是否具有“传递性”；Gibbard、Satterthwaite 等人则是：不再要求所得到的集体选择规则具有自反、传递、和
连通的性质，而只是要求集体选择规则是拟传递的或者非循环的，将“完全理性”改成“相对理性”。但是他们这种“弱化”，并没有从
根本上摆脱不可能结论，相反还产生了新的“不可能性”问题。如“Sen 个人主权不可能性定理”，“Gibbard-Satterthwaite 防御策略不可
xx x
yy y
zzz
00
0
yyy
xxx
0
00
欧氏点 罗氏点 黎氏点
欧氏线－直线/抛物线 罗氏线－双曲线/拟圆 黎氏线－圆/椭圆
图 1－6 欧氏几何、非欧几何在常曲率条件下的空间表现
欧氏面－平面/抛物面 罗氏面－双曲面/拟球 黎氏面－球面/椭球
加的限制性条件，它最直接的结果，是形成“少数服从多数”规则。
，不可能性定理和“投票悖论”
不可能性定理：阿罗认为，五个公理是不相容的，不可能存在满足上述五个条件的效用
函数；如果有的话，只可能是外界强加的或者是独裁的。阿罗用公理化逻辑，论证了他的论
点。给予他强烈支持的证据，是下面的“投票悖论”。
假设由甲、乙、丙三人组成的壹个群体，必须在 A,B,C三个方案中，进行排序和选择。
达成群体偏好尺度的自然方法，是少数服从多数；如果群体中的大多数认为“第壹方案≳第
二个”，那么群体就认为“第壹方案≳第二个”。假定：若甲认为“A≳B，B≳C”，根据传递
性原则，从而有“A≳C”；乙认为“B≳C，C≳A”，从而“B≳A”；丙认为“C≳A，A≳B”，从而“C≳B”。
因为有俩票的多数(甲，丙；甲，乙)认为“A≳B，B≳C”，根据传递性原则，应有群体序“A≳C”。
可是，综合观察甲、乙、丙三个独立的序，发现也同时存在俩票的多数(乙，丙)认为“C≳A”。
显然，由传递性原则导出的“A≳C”，和由少数服从多数推出的“C≳A”，俩者是相互矛盾的。
要消除这种矛盾，只能在矛盾的序关系中俩中择壹。如果群体选择“A≳C”，由于这也是甲
的观点，所以等同于甲“独裁”；如果群体选择“C≳A”，则只能是“外界强加的”，因为
它必须否定序的基本原则－传递性。
于是，“投票悖论”导出了壹种封闭的序循环关系：
A≳B≳C≳A
它和“测地线”拓扑同构 18。
阿罗仍罗列了，利用个人效用构造社会效用函数时，可有多种不同数学表达式的例子，
来佐证社会效用函数存在的“不可能性”。关于阿罗证明的过程从略。但其思想逻辑，已基
本反映在“投票悖论”中。
，不可能定理在逻辑上的问题
⑴，判断壹个函数存在和否？数学上只要俩个条件。壹是函数是连续的，用集的语言叫连通
且自反；二是自变量和因变量壹壹对应，用公理表达就是，自(因)变量必须满足关联、顺序、
合同以及连续公理中的阿基米德公理。价值、效用、序关系，作为不定义的概念，就象平凡
几何中的点、线、面壹样，都是不证而自明的要素。其函数都由这些要素构成。它们均满足
上述的俩个条件。因此，从这个意义上说，效用函数是肯定存在的 19。尽管效用函数，可能
存在多种数学表达式甚至没有表达式，但都不是效用函数不存在的理由 20。因为社会是“经
济人”群体，“经济人”懂得如何在多种表达式中选择最优。至于最优的表达式是什么，只
和经济系统的结构有关，而和存在多少种表达式无关。
⑵，“A≳B和 B≳C，从而 A≳C”，只在欧氏条件下是成立的；而在黎曼条件下不成立。推而
广之，“效用函数不存在”作为壹个“猜想”，在欧氏条件下是成立的，但不等于在黎曼条
件下也成立。关键是见效用所在的空间是否弯曲。按笛卡尔的思想，任何公理都能够化为几
何公理；阿罗公理当然也不能例外。阿罗传递性公理，其实就是欧氏顺序公理基础上的合同
公理。阿罗公理和欧氏几何公理同态同构。我们唯壹需要证明的是，选择的公理，应该是非
欧的而不应是欧几里德的。即，在理想的情况下是罗巴切夫斯基几何，在大多数情况下是黎
曼几何。
⑶，在黎曼几何条件下，任何序关系都是封闭的，“投票悖论”序拓扑结构，正是这种封
能性定理”。
18 我们后面将给出一个效用的“测地线”方程。这个“测地线”方程是封闭的。它与“投票悖论”拓扑同构。
19 Ven Neumaan ＆ Morgenstem 在 1945 年用公理化方法严格证明了效用函数的存在。随后，Debreu 在 1954 年 、Rader 在 1963
年也先后证明了效用函数的存在性。更早的工作是 Eilenberg 做出来的，Eilenberg 在 1941 年就证明了类似的结果。
20著名数学家辛钦也持相同的观点，见辛钦的《数学八讲》。
C C
A
图 2－2 封闭的序关系与“独裁”的序关系
封闭的序关系+“社会独裁”=传递性公理
A
B
B
闭序关系的真实反映。在黎曼几何条件下，阿罗传递性（顺序）公理已经失效，要确定 A,B,C
三者关系，只能通过分隔公理来确认。根据分隔公理，必须首先确定 A,B的关系，然后再确
定 C是在 A,B之间仍是 A,B之外。具体地说，就是壹要统壹确定 A,B,C序的方向，二是统壹
确定 A,B,C序的起点和终点。能够认为，“投票悖论”封闭序的产生，其原因就是没有“统
壹的效用观，统壹的起点和方向”所致。而“壹致性公理”，则是序关系统壹之后的另壹种
表现。这种统壹序的方向、起点和终点的方法，其实就是“独裁”。但要注意的是，这种“独
裁”，是“社会独裁”而非“个人独裁”。
⑷，阿罗把“投票悖论”中的“社会独裁”，直接等同于“壹个人说了算的独裁”，而没有
注意俩者间的区别。他颠倒了原因和结果的因果关系。壹般而言，“社会独裁”是群体协商
的结果，是壹种协商后的“社会准则，法规”；而“个人独裁”，则完全是“壹个人说了算
的个人强权”；俩者是不壹样的。古语云：“鹤蚌相争，渔翁得利”。“投票悖论”中的“二
择壹”，其实是壹种“得利”的表现，它是壹个“社会独裁”，只不过它和“某个人的意愿”
巧合而已。
⑸，当壹种序的基本规则已定时，那么选择只能服从规则，而不能反过来甚至否定规则。
归纳起来，阿罗公理的矛盾，是“传递性”和“少数服从多数”的矛盾。“传递性”和“少
数服从多数”，作为俩个规则，在选择中应有优先次序。其优先次序的确定，应具体问题具
体分析。壹般而言，如果“传递性”是公理的基本规则，那么在选择中应处于绝对优先地位；
“少数服从多数”作为壹个辅助规则，则只能处于次要位置。不能因为某种结果，而对它们
的次序和地位进行任意曲解。壹个很好的例子，是“关于时间的确定”。大堂里挂着三个钟，
三个钟都用统壹的原理计量时间，三个钟均没有误差，其中壹个指住“9:00”，其余俩个指
住“10:00”。但此时能不能按“少数服从多数”确定，当地时间壹定是“10:00”而非
“9:00”？显然是不能的。因为，指住“9:00”的可能是“当地北京时间”，指住“10:00”
的是“东京时间”。从时间的数值上说，三个钟均没有指错。只不过“时间的起点”不壹样。
可是，这种“少数”钟的“独裁”，且不是由“它”自己“专制”决定。它只能由当地的“环
境，法规”决定。由社会的选择决定。
§3，我们的猜测
，几何猜想
由于，阿罗颠倒了问题的因果关系；因此，“不可能定理”可能且不是经济学的“有效”
定理！同时，效用函数存在性(猜想)是否和常理相悖，关键是见效用所在的空间是否弯曲。
于是，我们猜测：
如果效用是空间里的待定函数的话；那么由效用 u和交换价值 v 张成的“曲面 S”，应
能嵌在具有坐标(x1,x2,x3)的欧氏三维空间里，且且满足
同时 x1、x2、x3对 u，v 可微。
于是，在某个 r投影变换下，“S曲面”应映照成壹个“Edgeworth盒 D”。
“盒 D”的对角线 AB，是交换的契约曲线；契约曲线 AB，是“S曲面”的“测地线 AB”
在“D”上的投影；“测地线 AB”，是“曲面 S”上的最短直线；AB既和 u,v 的空间有关，
同时也和 u×v 的空间有关 21；AB上的每壹点，都是壹个“帕累托最优”；而 AB的方向，则
反映了无差异交换的传播过程 22。
，模型
由于，市场是壹个 u和 v 的相互转换，“S面”是壹个 u,v 的组合；“S面”就代表市
场，市场就是“S面”；u,v 满足 AB曲线最短传播要求。因此，市场问题，就是壹个几何问
题。它是 AB曲线在“S”约束下求极值，是 AB在“S”约束下求最优路径。它是 AB在“S”
21 传统的教科书认为，契约曲线是无差异曲线切出来的。我们认为，它存在逻辑上的矛盾。
22根据 在 1736 年所证明的一个定理。可以推断，在无外部作用时，无差异交换的传播，必定是沿测地线 A→B 运动的。
r(v,u)
x2
图 3－1 E3 中的曲面 S 在 r 映射下为 E2 中的“Edgeworth 盒”
0
x3
x1
s
u 曲线
v 曲线
S 曲面
A
B
(v, u). (x1(v, u),x2(v, u),x3(v, u)).
r
u B
r(v,u)
A v
r
D
D 平面
约束下求“测地线”。
但由于，“S面”是嵌在 E3空间里的，曲面上 AB长度
而 ds2=|dr|2=dx12+dx22+dx32。
又由于 x1、x2、x3是 u，v 的可微函数，ds2=|dr|2，
因此，也有
ds2=|dr|2=|dr||dr|=|rudu+rvdv||rudu+rvdv|
=rurudu2+2rurvdudv+rvrvdv2.
令 guu=ruru，guv=rurv，gvv=rvrv，则
ds2=guudu2+2guvdudv+gvvdv2.
于是，也有
因此，SAB便是定义在集{u(v)}上的壹个泛函。
则 AB的最优路径问题，将转化为求 SAB在“Edgeworth盒”内的变分
具有 ds2=guudu2+2guvdudv+gvvdv2形式的“S面”，通常叫黎曼面。黎曼面上的 v,u坐标，
叫曲坐标。ds2叫黎曼距离。ds2是 u,v 在“S”约束下的拉格朗日函数。ds2应有极值。保 ds2
不变的几何，叫黎曼几何。guu、guv、gvv叫空间度规系数。
空间度规系数，决定曲面“S”的性质。
如果 guu、guv、gvv是 u，v 的函数，则“S”就是曲面。“S”为曲面，效用的空间就是弯
曲的。如果 guu、guv、gvv是和 u，v 无关的常数，则“S”为平面。“S”为平面，效用的空间
就是平直的。平面是曲面的特殊形式。guv=0，表示 u，v 正交。
因此，市场问题，就是壹个纯粹的黎曼几何问题。
它是 SAB在“S”约束下求极值，是 AB在“S”约束下求最优路径。是 AB在“S”约束下
求“测地线”。它是 SAB在“Edgeworth盒”内的变分。
关于模型的解，见本文的第五、六、七部分。
§4，效用空间的非欧性证明
在 20世纪初，德国数学家 曾经证明了壹个非常有用的定理。这个非常有
用的定理，就是 Noether对称。证明了：在壹个相互作用的力学系统里，有多
少个守恒量，就有多少个守恒律，守恒量和守恒律是高度对称的，对称性导致相互作用律。
这里，守恒量也叫不变元，对称性也叫对称性规则。Noether对称的思想，可用图 4—1表达。
由于，交换是壹个买者和卖者的博弈，交换过程是壹个 u和 v 的相互转换；因此，市场
也是壹个相互作用的力学系统。在这个力学系统里，Noether对称也是成立的。
根据 Noether定理，我们能够考虑壹个由 u和 v 张成的“S面”的运动。见见这个“S
面”的运动过程中，存在什么样的不变元，以及跟这个不变元有关的变换是什么？如果这个
守恒元和欧氏几何有关，则效用的空间就是平直的；如果这个守恒元和非欧几何有关，则效
用的空间就是弯曲的。
，经济系统对称，等效律或无差异守恒律，ds、ds2；…
经济系统对称的存在，取决于我们对规律的本质认识。如果我们能从规律的本质出发，
那么，经济系统的对称性是能够证明的。
从本质上，所谓规律，就是和时间地点变化无关的现象；因此，市场的交换规律，应和
坐标系的运动（价值观的变化）无关；和采用什么坐标系（价值体系）无关；其运动的方向（价
值体系的演变），都是等效 23的或无差异的；…。只有满足这些要求的，才是规律；否则，
就不是规律。
那么，满足规律要求的运动变换是什么呢？
23 这里的等效，不是指经济效用相等，而是指在运动合同公理下的效果相同；运动合同公理也叫等效公理。等效公理在 Hilbert 划
分中为公理Ⅲ；至于其他公理的组成，我们下面的证明，是将其归纳为确定空间 i 的性质。
图 4－1 Noether 对称与相互作用律
几何图形对称性
坐标变换不变性
守恒定律
不变元
我们先观察“规律和坐标系的运动无关；其运动的方向，都是等效的或无差异的。”。
见见满足这壹要求的几何变换是什么？
考虑坐标系 K’{0’;v’,u’}→K{0;v,u}的运动；跟这个运动相对应的变换为 A。
在 K’{0’;v’,u’}中，存在复数 ds’和标积 ds’2，
ds’=dv’·1’+du’·i’.，ds’2=12·dv’2+2dv’du’·1·i+i2·du’2；
在 K{0;v,u}中，存在复数 ds 和标积 ds2，
ds=dv·1+du·i.，ds2=12·dv2+2dvdu·1·i+i2·du2。
由于 K’→K和 K’→K的过程是等效的；所以有
ds’=Ads；dz=Ads’；
于是
ds’=Ads=AAds’=A2ds’；
从而
A2=1。
当 A=-1 时，几何变换为反演变换；而当 A=+1 时，几何变换为对称变换。
由于在平面上，对称变换能够定义为壹个平移加壹个旋转；而反演过程是壹个 1800的旋
转；因此，A2=1，证明了对称性的存在。
同时，等效的过程，带来反演对称规则；
ds’=1ds，→dv’=1dv，du’=1du，；
且同时带来“保距”要求；
ds’2=ds2。
ds’2ds2，就是跟对称性对应的守恒元；ds’=1ds，表示运动的无差异律；A=+1，
表示无差异律在任意的系统里都是壹样的；ds’=+1ds 是现实的无差异律的数学表示；
ds’2=ds2，代表无差异交换的形式不变，是壹个等效交换律；守恒元和守恒律高度对称；
对称性决定守恒律；ds’2ds2的形式，则决定交换的空间类型。因此，在设计公理的构成
时，必须保持系统的对称。
满足“保距 ds’2=ds2”要求的变换 A，是反演、平移和旋转。从运动合同的要求上，
能够将平面内直角坐标系 K’→K的运动，定义为
其中：{1，i}代表任意的复空间，i={-1,0,+1}；为旋转角，和空间 i的选择有关，a,b
为平移常数。K’→K，是{1，i}空间加在 v,u实轴上的平移和旋转过程。整个过程，保证空
间{1，i}的性质不变。
可是，当将 i=j，j2=-1的空间加在 v,u实轴上时，却有
也就是
ds(j)=dv+jdu=(dv’cos-du’sin)+j(dv’sin+du’cos)
=(cos+jsin)dv’+(jcos-sin)du’
=(cos+jsin)dv’+(jcos+j2sin)du’
=(cos+jsin)dv’+j(cos+jsin)du’
=(cos+jsin)(dv’+jdu’)=ejds’(j).
可见：保 ds’2=ds2运动，且不壹定有 ds’=ds，而是 ds’ds；特别是当将 i2=-1
的空间加在 v,u实轴上时，ds=eids’，ds、ds’之间相差角。的决定，和 i的选择有
关。
，规律和坐标系的运动无关，和采用什么样的坐标系无关，和坐标系的原点选择无关。
我们前面考虑了坐标之间的运动，当下考虑坐标自身的变化。
由于规律在任意的坐标系里，都是等效的或无差异的。因此，坐标自身的变化，不应该
ds
图 4－2 运动合同过程 K’→K
i1
K
u
v
A
0
ds’
1
i
K’u’
0’ v’
影响规律的性质；坐标自身的变化，也应是运动合同等效的，也应该具有坐标运动的壹切性
质。于是，可假设：K’{0’;v’,u’}为壹个直角坐标系，K{0;v,u}为壹个非直角坐标系；
如果 K’→K,K’→K是等效的话，则 K’→K的运动，也将由壹个平移和壹个旋转组成。它
除了保持 ds’2=ds2外，仍必须保持 ds’=ds。
于是，旋转矩阵
应该能够对角化，运动能够写成
12应是旋转矩阵 B的特征根。
解特征方程
得=ej或 e-j。j2=-1。
这实际上是确定了复平面的性质。即 i=j，j2=-1。
显然，当1=ej2=e-j时，运动 v’→v 是正方向旋转角，u’→u是反方向旋转角；
而当1=e-j2=ej时，运动 v’→v 是反方向旋转角，u’→u是正方向旋转角；
但不论哪壹种情况，其 ds’2=ds2，ds’=ds 的联合运动，为复平面内分角。其所分角
为复角。旋转是复平面内转动了角 j。它等同于做了变换 i→j，→j，v’→v’，v→
v，iu’→ju’，iu→ju。
因此，将复角 j代入旋转角，有分角变换
利用 cosh=cosj，jsinh=sinj，i=j，j2=-1，则 v,u实轴的变换就是
它是数序对(v,u)附予 i2=-1空间后的普遍变换形式。它充分反映了交换几何的现实。它是个
市场变换，但却是个双曲旋转。
这个双曲旋转变换，有恒等式 dv2-du2.=dv’2-du’2.及 dvdu.=dv’du’.。
可是，dv’2-du’2是 K’直角坐标系的 ds’2=dv’2+i2du’2在 i2=-1时结果；由于
ds’2=ds2，于是也有 ds2=dv2-du2。
由于 ds2、ds’2，既是 K、K’的不变元，同时又都具有双曲线的特征。因此，在平面内
要求“规律和坐标系的运动无关，且和采用什么样的坐标系无关，和坐标系的原点选择无关”，
则必然带来复平面内的“ds’2=ds2，ds’=ds”要求；而“距 ds’2、ds2”的形式都为双
曲线，都和非欧几何有关；因此，交换的空间必为非欧几何。
特别是 ds2=dv2-du2=0时，有 dv=du.，及 v=u+b；b为积分常数，常取为 0。从“帕累托
最优”的定义上衡量，ds代表无差异律；ds2=0满足无差异的最优要求。它是“Edgeworth
盒”的 450对角线。而当 ds20时，“帕累托最优”则和 450线产生了偏移。
，坐标变换，黎曼几何
在曲面内，继续推广“规律和坐标系的运动无关，而且和采用什么样的坐标系无关，和
坐标系的原点选择无关”要求；见见能不能通过坐标变换，将壹个曲坐标化为壹个平面坐标，
或者将壹个平面坐标化为壹个曲坐标，或者将壹个曲坐标化为壹个新的曲坐标，…；如果能
够，就意味着平直空间里发生的交换，和真实的黎曼空间里的规律，是壹致的；就意味着能
够通过坐标变换，将复杂的空间里的规律，化为简单的双曲模型进行研究；就意味着我们在
平面内所导得的结论，具有高度的普适性。
能够证明，这种推广是成立的。直观的例子，是世界地图的形成。它是将球面上的陆地
经纬度坐标，共形投影到平面上，形成所需要的世界地图。
假设：K’{0’;v’,u’}为平面坐标系，具有
ds’2=gu’u’du’2+2gu’v’du’dv’+gv’v’dv’2形式，gu’u’=-1，gu’v’=0，gv’v’=1；
K{0;v,u}为曲坐标系，具有 ds2=guudu2+2guvdudv+gvvdv2形式，guu、guv、gvv为 v,u 的函数。
如果 v’=v’(v,u)，u’=u’(v,u)；且且可逆，则只要
就壹定有 ds’2=ds2。
于是，K’→K,K’→K的运动，就壹定是等效的。证明完毕。
既然 u,v 张成的“S面”，普遍具有黎曼面的形式；那么，效用的空间必是弯曲的。效
图 4－5 等效的自变过程, ds’2= ds2，ds’=ds.
0’
dudu’
dv
0 dv’
A
i
1
du’
0’ dv’
ds’ ds=ds’
用的空间几何必是非欧几何。
§5，效用方程，效用的传递特征，及“独裁”的数学解释
，效用方程
由于市场问题，是 SAB在“S”约束下求极值或求“测地线 AB”。但在“Edgeworth盒”
中，SAB是 ds在 A→B路径上的积分，其结果和 A→B过程有关，SAB是 u,v 的函数；因此，SAB
极值或“测地线 AB”可由 S(u,v)的变分求出；即可通过
SAB={ds}=0.
求出效用方程。
令 du=dui，dv=duk，guu=gii，gvv=gkk，guv=gik，且 u,v 互换，则 ds2可缩且成
ds2=gikduiduk.
则有
因此，
第二项等于零，因为在积分限上，。且 l=i,k。
在积分号内的第二项中，可用 l来代替 k。由于在积分限上，亦有任意的，由变分法引
理 24，可有
注意到第三项能够写成以下形式：
引入克里斯托非尔符号
则得
乘以，且注意到 25和，m=i,k.，便得效用方程
l=i,k；且 i,k可互换。
其中，s是质点的空间运动轨迹，它既是壹条过 v,u 交点的测地线，同时也是 u,v 之间的关
系函数；是空间的联络系数，它是坐标的函数，和空间的曲率有关 26。表示空间是平直的，
表示空间是弯曲的。
仿射联络公式为
l=i,k.；m=i,k.
且 i,k可互换。
因此，获得壹个具体效用方程的前提是：必须已知联络系数，且了解空间的性质；具言
之，就是已知空间度规 guu，gvv，guv，因为只有它们才和有关。
，效用的传递特征，及“独裁”的数学解释
由于“测地线”是封闭的。于是，效用传递的“循环性”得证。它说明：“投票悖论”
能够在非欧条件下推得；效用函数和系统的空间结构有关。
又由于“测地线”方程的解条件是
,且 i,k可互换。
这说明，要打破“循环”，其要求就是确定效用的起点和方向。而非阿罗所言的“个人
独裁”。
§6，求“Edgeworth盒”的契约曲线方法
，契约曲线
由于，契约曲线，是“曲面”上的“测地线”在“Edgeworth盒”上的投影；“测地线”
对应着契约关系方程。因此，由“测地线”方程解出 u,v 且消掉 s，就可求出 u,v 间的契约
曲线。契约曲线，和空间的度规有关。
当时，契约曲线方程组为
24 xxdx.=0.的条件是：在积分的边界上x.=0 时，x.0。
25 这里 代表 Kronecker 的记号，当 i=m 时， =1，im 时， =0。
m
i
m
i
m
i
26 是空间的联络系数，它是坐标的函数，与空间的曲率有关。从经济学意义上讲，它可以看成市场的场强。
i
kl
解得du=adv.，u=av+b；取积分常数a=1，b=0，有u=v，则契约曲线如图6－1左。它是“Edgeworth
盒”的 450对角线。
显然，典型面 ds2=±du2+dv2上的契约曲线 u=v，是黎曼面上的最短直线。其度规系数 guu=
±1，guv=0，gvv=1；有。此时的黎曼面，其实是壹个平面。
如果，则契约曲线的求取比较复杂。但能够预计，其图形应该比较复杂。其契约曲线，
将和 450线发生偏离。如图 6－1右。
下面是壹个在特殊曲面上，求“Edgeworth盒”契约曲线的例子。
，约束在“单位球面”上的质点运动方程
“单位球面”的 E3坐标为(x1,x2,x3)=(sinvcosu,sinvsinu,cosv)。
于是 ds2=|dr|2=dx12+dx22+dx32.=dv2+sin2vdu2.。
从而 gvv=1，guv=gvu=0，guu=sin2v。从而 gvv=1，guv=gvu=0，guu=1/sin2v。
由仿射联络公式，可有vuu=sinv·cosv，uuv=uvu=cotv。其余为 0。
于是，约束在“单位球面”上的质点运动方程为
，“单位球面”上的契约曲线
将方程组的第二式，俩端同除以 ds/du，则有
即
则
其中，lnC为积分常数。且由此得
将其代入 ds2=dv2+sin2vdu2.→1=(dv/ds)2+sin2v(du/ds)2，可导得
将 du/ds和 dv/ds式相除，消去 ds，则
令 a2=1/C2-1，则
俩边积分，且取积分常数为π/2，则有
这正是 u，v 在边长为π的“Edgeworth盒”上的契约曲线。
它是“曲面”上的 u，v 关系曲线，平铺到“平面”上的结果。且且，该曲线有 2个稳
定的不动点(0,0)，(π,π)和 1个不稳定的不动点(π/2,π/2)。
当 v[0,π/2时，交换是保守的；而当 vπ/2,π]时，交换却是冒险的。这确实反映
了交换的心理变化过程。这从另外的意义上说明，我们平常用心理实验获的契约曲线，实际
上是且不是它的真实情况，而是曲面上的关系在平面上的壹个变形 27。
§7，求“Edgeworth盒”的无差异函数方法，无差异曲线性质
，无差异函数
无差异函数，是等 s的 u,v 关系方程。由§6可知：契约曲线和“测地线”方程的积分常
数有关；契约曲线是“测地线”方程积分常数的函数；但这个积分常数却和 s有关。因此，
由“测地线”方程解出 u,v 且消掉积分常数，就可求出 u,v 的无差异函数。无差异函数，也
和空间的度规有关。
当时，从典型黎曼面 ds2=±du2+dv2的“测地线”方程，有
解得契约关系方程
及
联立方程
消去积分常数 a，则得典型黎曼面的无差异曲线
它是有条件凸向原点的变形双曲线或者变形椭圆。
27 比如平面地图上的国境线，并不是真正地理上的国境线；平面地图上的国境线形状，也不是真正地理上的国境线形状；真正地
理上的国境线及国境线形状，必须到真实的地球空间去观察；平面地图上的国境线及国境线形状，只不过是球面地理在这个平面
上的投影。
0 0
l=0
850
450
图 7－1 有条件凸向原点的无差异曲线
u
v
u
v
l0
特别是积分常数 l=0时，双曲线绕轴发生旋转。有
(s-h)2=u2+v2.
如图 7－1右。
，“单位球面”上的无差异函数
由§6有：
式中 C为积分常数。
令 a2=1/C2-1，从而有
解得
又因为
所以有 u，v 契约关系曲线
联立方程组
消去 a，则得“单位球面”上的无差异函数
cos2(h-s)=sin2(v)cos2(l-u).
也就是
它是“Edgeworth盒”上部分凸向原点的曲线。
“Edgeworth盒”的参数 v[0,π]，u[0,π]。
如果考虑 v,u的周期性，则无差异函数应修正为
值得注意的是：这个修正公式，我们能够用来解释“Giffen产品”的成因，以及“Giffen
产品”和“Keynes陷阱”的关系 28。
，无差异曲线的性质
由于典型黎曼面是黎曼面的壹个特例。因此，典型黎曼面上的无差异曲线，
应该是无差异曲线的壹个标准形式。
也就是说，我们能够通过曲面变换，将任何无差异曲线，变换成典型黎曼面上的无差异
曲线形式。预了解无差异曲线的性质，只要了解典型黎曼面上的无差异曲线性质即可。典型
黎曼面上的无差异曲线，其性质应该具有高度的普适性。
(1)、典型黎曼面上的无差异曲线的标准变换
通过坐标变换，可将无差异曲线，压缩到壹个“Edgeworth盒”里去。这样做的目的，
是为便于对无差异曲线进行观察和标准分析。
令 u=(s-h)u*，v=(s-h)v*，d=l/(s-h)，则典型黎曼面上的无差异曲线，将化为
依然用 u*→u，v*→v，则无差异曲线的特征方程为
对 u求壹阶导和二阶导，有
显然，无差异曲线且不是绝对地向下偏斜和无条件凸向原点，而是有条件的。
(2)、无差异曲线的偏斜条件和“Giffen产品”的成因
当无差异曲线为变形的双曲线时，
如果 0<u<(-d)1/3，则 v’(u)<0，无差异曲线是向下偏斜的；如果 u>(-d)1/3，就有
v’(u)>0，无差异曲线是向上偏斜的，即此时出现了“Giffen产品”；如果 u=(-d)1/3，则
v’(u)=0，无差异曲线有极值。
当无差异曲线为变形的椭圆线时，
如果 0<u<(d)1/3，则 v’(u)<0，无差异曲线是向下偏斜的；如果 1u>(d)1/3，就有
v’(u)>0，无差异曲线向上偏斜，“Giffen产品”出现；如果 u=(d)1/3，则 v’(u)=0，无差
异曲线有极值。
(3)、无差异曲线的性质
无差异曲线的偏斜程度和 d有关。而 d又 l/(s-h)和有关。当 l固定时，(s-h)越大，d
越小，无差异曲线的偏斜变化愈强烈，此时“Giffen产品”就比较容易观察到；反之，
28 “Keynes 陷阱”的宽度与|s-h|有关。在周期内，“Keynes 陷阱”的宽度随|s-h|增加而逐渐减小。
(s-h)越小，d越大，无差异曲线的偏斜变化愈小，此时“Giffen产品”就基本不会出现。
传统的经济学认为，“Giffen产品”的出现和产品的“奢侈”程度有关。我们认为是缺乏逻
辑依据的。
§8，小结
本文讨论了“阿罗不可能定理”的逻辑问题。同时指出，如果将效用函数放在非欧空间
里考察，则“投票悖论”能够解决。本文给出了效用函数在空间里的壹个猜想模型，且证明
了这种可能性。以及如何利用这个模型，求“Edgeworth盒”的契约曲线及无差异函数。模
型的结果表明：效用函数和系统的空间结构有关；传统的“阿罗定理”诠释是不完备的。我
们从模型上给出了“阿罗不可能定理”的新解。特别是对“独裁性”的诠释，以及“Giffen
产品”的成因，本文的观点和传统经济学略有不同。
参考文献：
[1]阿罗，社会选择和个人价值(中译本)，成都，四川人民出版社，1987年
[2]Arrow,K,(2nd.).NewHaven:yaleUniversityPress,1963.
[3]D.希尔伯特，几何基础(中译本)，北京，科学出版社，1958年
[4]:,1973.
[5]高鸿业，西方经济学，北京，中国人民大学出版社，2000年
[6]И.М.雅格龙，九种平面几何(中译本)，上海，上海科学技术出版社，1985年
[7]李楚霖等，微观经济的数理导引，武汉，华中理工大学出版社，1985年
[8]罗云峰等，社会选择的理论和进展，北京，科学出版社，2003年
[9]彭旭麟等，变分法及其应用，武汉，华中理工大学出版社，1983年
[10]苏步青等，微分几何，北京，高等教育出版社，1979年
[11]:are-examination,Econometrica,1977.
[12]-proofnessandArrow’sConditions:existenceandcorrespondencetheor
emsforvotingproceduressocialchoicefunctions,JournalofEconomicTheory,1975.
[13]田国强，现代经济学和金融学前沿发展，北京，商务印书馆，2002年
[14]V.诺依曼，博弈论和经济行为(中译本)，北京，科学出版社，1963年
[15]VenNeumann&,secondedition,Princetonuniv,pesee,1
947.
[16]王则柯等，经济学拓扑方法，北京，北京大学出版社，2002年
[17]W.仑德勒，相对论精义—狭义、广义和宇宙相对论(中译本)，合肥，安徽科学技术出版社，1986年
[18]赵跃宇等，力学系统的对称性和不变量，北京，科学出版社，1999年
[19]张尧庭等，效用函数及优化，北京，科学出版社，2000年
[20]唐跃志，基于非欧几何的效用函数及契约曲线的解法（待发）
TheConjectureinUtilityfunctionandArrowImpossibilityTheorem
YuezhiTang
SchoolofEconomics,HuazhongUniversityofScienceandTechnology
Wuhan,China
(430074)
Abstract：
hepapergivesaconjecturalmodelofUtilityfunctiononNon-Euclideanspace,andprovesthi
spossibility,aswellasasolutionofEdgeworthcontractcurveandindifferencefunctionby
meansofmodel.
Keywords：
Utilityfunction,Non-Euclideanspace,ArrowImpossibilityTheorem,Edgeworthcontractc
urve,indifferencefunction,conjecturalmodel.
