ETF 被动套利中指数复制设计及套利成本设定
长城伟业期货公司特约研究员 王红兵
2007-05-10
指数基金 ETF 是投资股指期货的主
力机构。在美国资本市场，指数基金不到 3 年资产管理规模翻一番，约达 4500 亿美
元。2007 年第一季度，美国新上市指数基金 110 只。而同期新上市的全部传统型共
同基金仅 50 只。
在股指期货被动套利的现货选择上，交易型开放式指数基金组合比较合适，但众所
周知，指数基金 ETF 的流动性不尽如人意，那么目前 ETF 是否可以用来进行股指期
货被动套利？衍生的问题诸如 ETF 如何复制沪深 300 指数、在指数跟踪中发生哪些
影响套利收益的成本、这些成本的大小等，诸多细节在套利实务中十分关键，直接
影响着套利的成败。本文利用 ETF 进行被动套利的技术细节及相应的套利成本测定，
解决以下五方面问题。
一、套利了结时点选择：T+0 还是 T+1?
由于 ETF 可当天赎回操作，赎回的一揽子股票可当天出售，所以理论上利用 ETF 进
行股指期货套利可实现 T+0 交易，但因 ETF 存在最小申购赎回单位以及流动性不足
的限制，T+0 可能不成立。
按一般原则，当日申购的基金份额可同日卖出，但不得赎回；当日买入的基金份额
可同日赎回，但不得卖出；当日赎回的证券可同日卖出，但不得用于申购基金份额；
当日买入的证券可同日用于申购基金份额。
最小申购赎回单位指投资者进行 ETF 实物申购、赎回申报的基本单位，又称“创设
单位”（Creation Unit,CU）。每只 ETF 最小申购赎回单位不尽相同，其大小的确定
主要取决于目标指数成份股构成与基金跟踪误差控制目标的设定，但相对 ETF 的交
易单位而言普遍较大。深证 100ETF、上证 50ETF 最小申购赎回单位均为 100 万份
基金份额，上证 180ETF 最小申购赎回单位为 30 万份。
从换手率来看 ETF 的流动性，如图 所示：上证 50ETF 流动性最好，深证 100ETF
其次，上证 180ETF 最差。
图 三只 ETF 日均成交数量（－）
目前 ETF 的流动性还比较弱，尤上证 180ETF。为满足最小申购赎回单位，仅上
证 50ETF 流动性尚且满足。这样的流动性会导致巨大的冲击成本，套利过程中购买
最小赎回单位的 ETF 必须承担一定的冲击成本。用分笔数据测试其冲击成本，由于
流动性不足，最小赎回单位不可能一笔交易完成，连续的购买可能经历几种成交价
格，这里把购买过程中相对于购买开始时间多付出的累积交易成本称为冲击成本。
以 2007 年 2 月 15 日为例，配置最小赎回单位 ETF 的 CVaR（Conditional
ValueatRisk）值如图 所示，95％置信水平下上证 50ETF 最大损失平均值为
％，而上证 180ETF 最大损失平均值为 ％。
流动性问题是利用 ETF 进行股指期货套利的主要障碍，不过随着股指期货的发展会
逐渐改善，届时利用 ETF 进行股指期货套利比较合适。
图 配置最小赎回单位 ETF 的 CVaR（95％）风险值
受最小赎回单位的约束，T+0 套利中基金的配置不能以任意比例进行，否则将导
致套利规模过大，且如此局限的配置也将导致无法完全匹配期货头寸。以 2007 年 2
月合约为例，选取深证 100ETF 和上证 50ETF（因流动性问题暂不考虑上证
180ETF），ETF 组合配置的比例及该比例下的规模如下表 1 所示：
表 1 ETF 头寸匹配（以 2007 年 01 月 19 日收盘价计算）
以表 1 中 ETF 的配置权重配置 ETF 组合，并使用 2007 年 2 月合约期间五分钟交
易数据（20070122—20070115）观察其可能的累计跟踪误差风险大小。如图 所
示，当上证 50ETF 配置 25％时 ETF 组合的 CVaR 值最小，即套利头寸了结时，跟
踪误差导致的平均损失 95％的可能不会超过 ％。深证 100ETF 和上证 50ETF 进
行 1：1 配置时与期货的匹配最好，但跟踪误差导致的平均最大损失有 ％。
图 不同配置下 ETF 组合的 CVaR 风险值
上证 50ETF 配置 25％时需 1000 万的套利资金。如套利期间现货下跌，无法匹配
的多余现货（
余”，现货部分中不匹配的比例为 K，则套利过程可用下表表示：
表 2 利用 ETF 进行股指期货套利
期末现金流可表示为各项现金流的和，如下式所示：
（1）
期货结算价一般收敛于现货价，如 ETF 与指数拟合良好，则 S0×（1+RS）与 PT 之
间的差异接近于零，期末现金流可表示为公式(2)，多余部分的市场风险暴露，且要
承担多余部分的资金成本。
（2）
二、最佳套利规模及规模下的套利成本设定
套利了结时点选择 T＋1 更为合适。由于套利资金规模较大，那么发现套利机会后
ETF 组合能否承受这些套利资金规模呢？
ETF 组合跟踪指数能力的衡量主要采用累计跟踪误差均值和跟踪误差导致的 CVaR，
累计跟踪误差均值主要衡量未来任一时点了结时现货头寸的平均损益，跟踪误差
CVaR 主要用来衡量在一定置信水平下未来任一时点了结头寸可能导致最大损失的
平均水平，假定 95％的置信水平，相应的跟踪误差 CVaR 简单来说指跟踪误差最大
的前 5％交易时点所发生的平均跟踪误差。
1.跟踪误差导致的成本
以 2007 年 2 月当月合约测试跟踪误差导致的成本，在未来累计 1 天和 2 天交易时间
内相机了结，在合约随机选取 20 个建仓点测算跟踪误差导致的 95％CVaR 值，结果
如图 所示。
可见未来 1 日和 2 日内了结在 80％（16 个随机交易时点）交易时点上跟踪误差导
致的最大平均损失基本可控制在 ％之内，未来 2 日了结的风险略大。
实际套利中可跟踪最近历史数据进行推算，以便判断套利机会时设定成本。
图 未来 1 日和 2 日内了结可能导致最大损失的平均水平
2.一定套利规模下的建仓成本
受 ETF 流动性限制，套利规模越大建仓时冲击成本也越大，这里的建仓成本指由于
冲击成本产生而导致现货和期货无法完全匹配，下面采用 2007 年 3 月 7 日 5 秒钟高
频数据进行建仓成本的模拟测算，套利规模分别为 1 至 10 份合约。
3.套利规模与限时建仓成功的概率
当上证 50ETF、深证 100ETF、上证 180ETF 数量配置比例为 :: 时，
当天建仓成功概率如图 。因 ETF 流动性不足，即使发现机会当天也不一定建仓
成功，随着套利规模增大，建仓成功概率也将不断下降。
从图 可见，当套利规模为 1 份合约时，当天建仓成功概率为 ％；套利规模
在 5 份以上时，此概率下降到 80％以下；套利规模为 10 份合约时，以 2007 年 3 月
7 日收盘价计算，套利规模大概为 万元，此时当天完成建仓的概率只有
％。
虽然套利规模越大可能未来绝对盈利也越多，但套利建仓失败的风险也越大。如果
要求建仓时间非常短（如一分钟内），则图 所示成功概率还要降低，图 为限
时建仓成功的可能性。
事实上，2007 年 3 月 7 日数据表明，一分钟几乎无法完成任何规模套利头寸的建仓，
即使 1 份合约规模的套利，成功建仓的可能性也只有 ％。
图 [::]配置时，当天成功建仓的可能性
图 [::]配置时，限时建仓成功的可能性
4.套利规模与建仓成本
发现套利机会后立即建仓买入 ETF 现货组合，但由于建仓时流动性不足引发冲击成
本，这就是建仓成本。
图 是 3 月 7 日当天完成建仓的建仓成本，套利规模越大建仓成本也越大，不过
增大的幅度不大。当套利规模为 1 份合约时，建仓成本的 CVaR(95%)为 ％，
5 份时建仓成本的 CVaR(95%)为 ％，10 份建仓成本的 CVaR(95%)为
％。平均建仓成本基本都在 ％以下。
建仓成本和当天行情关联较大，平衡市中成本可能较低，上涨行情中成本可能较高。
图 [::]配置时，建仓成本的 CVaR(95%)和平均建仓成本
5.配置比例与建仓成本
配置比例的不同也会导致建仓成本产生细微差异，不过最优配置比例一般在套利前
才能确定，所以这里只是给出 2007 年 3 月 7 日当天建仓成功且套利规模为 5 份的参
考数据。
当上证 50ETF、深证 100ETF、上证 180ETF 配置比例为[::]、
[::0]、[::0] 、[::0]时，平均建仓成本及其套利建仓成本 95％CVaR
值如下图 所示。显然，在 ETF 组合中，流动性最好的上证 50ETF 配置越多建仓
成本就越低。
图 不同配置比例下平均建仓成本及其 95％CVaR 值（5 份套利规模）
三、ETF 组合构建方法的设计与比较
目前来看，利用 ETF 进行股指期货的被动套利存在流动性方面的局限，使大规模的
套利行为充满风险，不过随着 ETF 流动性的改善，未来还是可行的。那时涉及的问
题就是如何构建 ETF 组合使其跟踪指数的能力满足套利者的风险控制需求，从而降
低套利失败的概率。
优化是 ETF 组合构建中用到的主要方法，即利用历史数据在特定目标下优化出 ETF
的配置权重，优化可以有不同的目标，不同的优化目标下权重的配置有差异，从而
导致不同的指数跟踪能力，这里我们设计了五种优化方法：
1.定量配置权重，时点跟踪误差最小
证券组合中各证券的数量权重为 W，使得投资组合在历史观察期内每个观察时点上
时点跟踪误差的均方根最小，这种优化目标对于较大跟踪误差的证券权重进行压缩。
2.定量配置权重，累计跟踪误差最小
证券组合中各证券的数量权重为 W，使得投资组合在历史观察期内每个观察时点上
累计跟踪误差的均方根最小，这种优化目标对于较大跟踪误差的证券权重进行更为
严厉的压缩。
3.规避过大风险
证券组合中各证券的数量权重为 W，使得投资组合在历史观察期内每个观察时点上
超过阀值的累计跟踪误差的均方根最小，这种优化目的一般需采用遗传算法等比较
复杂和耗时的算法工具。
4.协整均衡
即认为 ETF 组合与标的指数存在协整关系（cointegration），ETF 的配置权重根据这
一协整关系进行设定。
5.以上几种方法的组合
不同优化方法不可能在所有时点均保持最优的指数跟踪能力，同时采用上述方法计
算权重后再次进行加权可能更为稳健，不过不同配置方法的权重分配较难确定，一
般可根据历史模拟进行。
四、市场不同阶段下 ETF 组合构建方法的优劣
上述 5 种方法在指数跟踪上哪个更为优秀呢？考虑四个当月合约
—、—、—、
—，以前一个合约期五分钟数据为历史数据构建 ETF 组合，以随
后一整个合约期五分钟数据进行对比验证。
1.较长周期的套利
以 0612 合约期为例：
整个合约期表现为强势的牛市行情。以 — 间数据构建期配置现
货头寸，— 为验证期，通过计算表明在整个合约期“累计跟踪
误差最小”为最优方案，跟踪误差均值为 %，95%的 CVaR 值为%，即最大
平均损失 95％概率不会超过 ％。
以上结论假定合约期起点建立头寸，但套利机会的出现是随机的。那么在随机建仓
时优化方法的指数跟踪效果如何？
在合约期内随机选取 10 个建仓点，从建仓点到合约结束为套利期，进一步分析各种
方法的优劣。这里着重比较可能发生最大损失的平均水平，即 CVaR 值的大小。由
于“规避过大风险”方法需使用遗传算法耗时较长，故不考虑使用。通过计算可发现
不同建仓时点，没有那种配置方法能始终最优，而采用综合加权方法指数跟踪效果
可能更稳健些。
以上方法对整段历史数据进行优化，潜在假设不同时点的历史数据对计算结果的贡
献同样，一般来说，越临近的数据越能解释未来，那么需要对历史数据采用分段数
据加权的办法。接下来比较三种加权方法的指数跟踪效果，即一段加权、二段加权
和四段加权，也就是把历史数据分一段数据、两段数据和四段数据分别优化，然后
对分段权重进行加权。
通过综合优化方法在 10 个随机建仓时点上分别采用三种加权方法计算指数跟踪的
CVaR 值。可以发现“四段加权”在指数跟踪上效果最优，大多数时点上能有效降低
指数跟踪最大损失的平均水平。
以 0701 合约期为例：
合约期 A 股市场表现为行将见顶，以 — 的数据构建期配置
现货头寸，— 为验证期，四个方案跟踪效果较接近，无最优方
案。跟踪误差均值位于％至％之间，95％的可能性下最大平均跟踪误差也不
超过%。
随后在 — 随机选取 10 个建仓点，并利用建仓点以前一个月的数
据进行现货构建，从建仓点到合约结束为套利期。通过对比指数跟踪的 CVaR 值，
可以发现不同建仓时点，仍没有始终最优的配置方法。
接下来通过综合优化方法采用三种加权构建的 ETF 组合从建仓点到合约到期期间
的指数跟踪效果。可以发现合约前期建仓点跟踪误差导致的损失较大，而四段加权
甚至会恶化指数跟踪效果，说明这段时间内行情发生了较大的变异，更加复杂。针
对这些行情特征，将在本文第五部分进行分析。
以 0702 合约期为例：
合约期 A 股市场大幅波动，在这种市场环境下仍以 — 为构建期
配置 ETF 组合，— 整个合约期为验证期，计算发现“累计跟踪误
差最小”为最优方案，跟踪误差均值为%，95％的可能性下最大平均跟踪误差也
不会超过%。
继续在合约期 10 个不同时点进行随机套利建仓，从建仓点到合约结束为套利期，“累
计跟踪误差最小”也并非总是最优方案。
通过比较综合优化方法在 10 个随机建仓时点上采用三种加权方法的指数跟踪
CVaR 值，可以发现，较多套利时点上“四段加权”在指数跟踪上效果较优，在大多
数时点上比“一段加权”能略微降低指数跟踪最大损失的平均水平，不过优势并不大。
以上三合约结果表明：在 2007 年 1 月和 2 月合约期，不同优化方法和加权方法构建
的 ETF 组合在随机套利点均无突出表现，一是需要对优化方法和加权方法进一步改
进，二是针对这些复杂多变行情需要 ETF 组合进行再平衡，在套利过程中定期调整
ETF 配置权重。
2.较短周期的套利
一般情况下套利周期可能并不长，有可能短期内就进行了结。这里延续上面研究方
法，随机选择 10 个建仓点，着重比较 1 天、2 天和 5 天套利期内 ETF 组合跟踪误
差 95％的 CVaR 值。
比较结果发现，不同的方法并不能导致明显的改善，所以综合法是比较适合的。另
外直观地从 3 个合约期 30 个随机建仓点的跟踪误差来看，进行 1 天时长的套利需预
留 ％的成本以覆盖最大该跟踪误差的发生，进行 2 天时长的套利需预留 ％的
成本，进行 5 天时长的套利需预留 ％的成本。
五、较长周期套利中，ETF 组合的再平衡问题
组合的再平衡
指数跟踪过程中，当跟踪效果开始恶化，ETF 组合就需被动进行权重调整，而主动
进行定期调整可能避免一些恶化情况的发生。以 2007 年 1 月当月合约期为例，考察
主动再平衡对指数跟踪效果的改善效应，采用“累计跟踪误差最小”优化方法和二段
加权方法，一周调整一次 ETF 权重，再平衡和未再平衡下 ETF 组合的累计跟踪误差
分布如图 所示：
图 累计跟踪误差分布
可以发现，再平衡能明显改善 ETF 组合的指数跟踪能力，因为再平衡使 ETF 组合
的配置更适合行情的演绎，尤适合较长周期的套利。不过再平衡会导致组合中 ETF
持有数量的变化，产生冲击成本。一周调整一次 ETF 权重后的配置情况如图 所
示：
图 ETF 组合再平衡后的 ETF 配置数量比重
以 5 个沪深 300 指数期货合约规模计，首次配置和每次调整后的 ETF 配置数量如
下表 所示。首次调整幅度较大，受限于 ETF 的流动性，产生的冲击成本可能较
大。从另一角度看，利用 ETF 进行股指期货套利将受到套利规模的约束，规模越大
套利过程中遭遇的冲击成本也越大。
表 ETF 组合再平衡后的 ETF 配置数量（手）
2.随机建仓时再平衡对指数跟踪的改善效果
在 3 个当月合约期分别随机选取 10 个建仓时点上采用综合优化方法四段加权构建
ETF 组合，比较指数累计跟踪误差的 CVaR 值。从对比结果看，组合再平衡至少不
会恶化跟踪效果，且对周期较长的套利有效。再平衡后 ETF 组合的 CVaR 值相对要
小一些。
定期再平衡方法在不同合约期发挥的作用有大有小，在 0701 合约期效果最好，再平
衡对降低指数跟踪误差非常显著；其余两个合约期收效甚微，故可能更需进行主动
再平衡。不过由历史推知未来的行情演绎本身具有一定的局限性，需进一步研究，
同时也说明在指数跟踪过程中风险控制非常重要。
