- 1 -
中国科技论文在线
适用于刚性边界的浸入边界算法研究现状#
杨青，曹曙阳**
基金项目：高等学校博士学科点专项科研基金资助（20100072110051）
作者简介：杨青（1985-），男，博士研究生，CFD 领域研究
通信联系人：曹曙阳（1966-），男，教授，桥梁抗风领域的研究
（同济大学土木工程防灾国家重点实验室，上海 200092）
5 摘要：浸入边界法经过几十年的发展，在实际工程的应用中不断改进形成了一个庞大的算法
体系。但前期的浸入边界法多集中弹性边界问题的研究，对适用于刚性边界的浸入边界算法
则只简略提及，然而后者已成为浸入边界算法体系中最具有应用前景的一环，本文即通过详
细介绍适用于刚性边界的浸入边界算法并提出该算法未来应用发展和完善的方向旨在促进
该算法应用于更广阔的结构工程绕流数值模拟。 10
关键词：刚性边界；浸入边界算法；算法体系
中图分类号：O368
Development of immersed boundary algorithm for rigid
boundary 15
YANG Qing, CAO Shuyang
(State Key Laboratory for Disaster Reduction in Civil Engineering, Tongji University, Shanghai
200092)
Abstract: The immersed boundary method is developed by modification and application to
algorithm system during several decades. But previous immersed boundary method is mainly 20
focused on the elastic boundary research. Few introduction of immersed boundary method for
rigid boundary is illustrated. However the latter method becomes the most promising aspect of
engineering application. In this paper, immersed boundary method for rigid boundary is illustrated
in detail. And then the future development and modification of this algorithm is proposed to
promote the algorithm to broad application of numerical simulation for flow around structure. 25
Key words: Rigid boundary; Immersed boundary method; Algorithm system
0 引言
物体绕流是工程领域中遇到的普遍问题，例如：桥梁建筑的空气绕流，水利输水设施的
绕流以及航空航天器的机翼绕流。研究具体的工程绕流问题可以有效地分析其动力性能，改30
进工程设计，提高和改善工程的可靠安全性。
随着计算机技术突飞猛进的发展，工程学界越来越倾向于利用计算数值模拟去研究流体
动力学问题。然而对实际绕流问题展开数值模拟研究时，结构构件通常对于具有复杂边界，
多需采用贴体网格或非结构网格。尤其涉及到流固耦合动边界问题时，除初始网格外，还需
在每个时间步重新建立网格以适应边界的变化，更是给计算带来了很大的负担。 35
Peskin
[1]在 1972年研究人工心脏的血液流动时，利用流体与物体边界相互作用的概念，
提出将物体的边界问题等化为力源引入到 Navier-Stokes动量方程中。这种方法称之为浸入
边界法，其优势即力源项可以在传统的笛卡尔网格下得到求解，避开了复杂边界贴体网格建
立及动边界网格重建问题，并能有效地保证算法的计算效率和精度。
浸入边界法经过几十年不断的发展完善，针对不同类型问题改进算法思路，形成了庞大40
的算法体系。但前期的浸入边界法多集中弹性边界问题的研究，例如：医学研究[2-9]，仿生
- 2 -
中国科技论文在线
学研究[10-12]，国内关于浸入边界算法体系的介绍也多只在弹性边界领域内展开分类介绍
[13-19]，对适用于刚性边界的浸入边界算法则只简略提及。然而后者已成为浸入边界算法体系
中最具有应用前景的一环，其可以应用至多具有刚性边界的结构工程绕流分析，极大地拓展
CFD 的应用领域。本文即通过详细介绍适用于刚性边界的浸入边界算法旨在促进此算法应45
用于更广阔的结构工程绕流研究领域。
1. 浸入边界算法经典数值模型
浸入边界算法的核心思想即为物体边界的数值拟化，将其代入具体方程求解。在该算法
体系中代替物体边界的点定义为拉格朗日点，其它网格点则称之为欧拉点。Peskin 在对浸入
边界算法体系的总结中，提出具有普适性的经典计算流程[13]： 50
首先将单个时间步分割为预处理时间步和修正时间步
然后找出拉格朗日点在预处理时间步的位置：
1
32 ( , , ) ( , , ) ( , , )
2
n
n n n
h
x gh
t
X q r s X q r s u x x X q r s h
(1)
式中 代表欧拉格子域。
通过拉格朗日点在预处理时间步的位置借助弹性能量函数 计算出拉格朗日点上的弹
性力： 55
1 1
' ' '2 2( , , ) ..... ( , , ) ....
( , , )
n n
hF q r s q r s E X q r s
X q r s
(2)
通过 delta函数将拉格朗日点上的弹性力传播到周边的欧拉点上：
1 1 1
2 2 2
, ,
( , , ) , ,
n n n
h
q r s GH
f x F q r s x X q r s q r s
(3)
之后再对整个流体域上的 N-S 方程离散求解，求出预处理时间步的流场参数值。进而
在修正时间步求出拉格朗日点的新位置，并离散 N-S 方程求出 n+1步上的流场参数值。
上述浸入边界法的普适经典模型主要用来处理弹性边界问题。在此基础上，根据对60
Navier-Stokes方程中力源的不同定义，将浸入边界法分为连续力法(continuous forcing scheme)
和离散力法(discrete forcing scheme) [20]。两者的本质区别是连续力法中力源整体参与 N-S方
程离散求解，离散力法则是将力源直接代入离散后 Navier-Stokes 方程中求解[21]。但是之前
无论是连续力法还是离散力法的阐述都还只是在弹性问题领域的分类阐述，忽视了浸入边界
算法在刚性边界问题的延伸及其意义。下文在已详细介绍浸入边界算法经典模型的基础上，65
以理论演化为主线详细阐述适用于刚性边界的浸入边界算法。
2. 适用于刚性边界的浸入边界算法
在浸入边界法的普适经典模型的框架思想下，最初解决固体边界问题是通过刚性弹簧连
接边界单元来模化的，弹性边界或弹性体必须达到一个刚度极值以满足无滑移边界条件。这
使得力源的计算体系变得相当复杂，导致过长的计算时间。Holfer[22]提到刚度极值的选取，70
并指出这种算法具有不稳定性。为了更好地将浸入边界法应用到刚性边界问题的求解上，
Briscolini
[23]采用改进后的浸入边界法又称为遮蔽法(mask method)计算了雷诺数为 1000的圆
柱和方柱二维绕流，但模拟结果也不甚理想。
处理弹性边界的浸入边界法普适经典模型之所以不适用于将其直接应用到刚性边界计
算，原因在于弹性边界与刚性边界的本构关系差异。初期的处理方法除了将刚性边界拟化为75
刚度很大的弹性边界外，还有一种方法是设定弹簧的回复力用以构造物体的刚性边界[24]，
该回复力可以表示为：
ek k kF t k X X t (4)
式(4)中 k代表弹簧常数， 代表边界拉格朗日点 的平衡位置。
- 3 -
中国科技论文在线
式(4)中刚性浸入边界的实现需要设定很大的弹簧常数 k，然而这种情况会导致流动方程
刚性增大，其求解受到严格的稳定性限制。为保证方程求解收敛，时间步长和网格尺寸都会80
受到较大限制，进而导致计算效率的降低。反之如果采用较小的弹簧常数 k，方程求解又会
产生虚拟的弹性振动效应，出现边界的过度耗散现象。
通过上述阐述可以看出，Peskin[13]提出的普适经典模型已不能很好的用来直接解决刚性
边界绕流模拟中遇到的问题。必须重新从浸入边界算法的核心思想即数值拟化物体边界出
发，结合其它概念，重新构造力源函数。下面分别对两种具有代表性的适用于刚性边界研究85
领域的浸入边界算法进行阐述分析。
Virtual Boundary 方法
Virtual Boundary 方法又称之为反馈力源法（Feedback Forcing Method）。最初 Sivorch
提出由反馈循环控制力源这一概念[25-26]，Goldstein[27-28]借助这一概念将其应用到浸入边界法
中，发展出 Virtual Boundary 方法。这种方法主要思路是在无滑移边界条件下，对边界处附90
近的流体施加力源以使靠近物体边界的流体速度等于物体边界的速度。二维问题的 Virtual
Boundary 方法基本控制方程组可以表达为：
2
1
Re
u
u u P u F
t
(5)
0U (6)
其中，t是时间，U(u，v)是速度，P是压力，Re是雷诺数，F即是力源项，通过回馈循
环控制物体刚性边界的形成。
Virtual Boundary 方法中力源表达式包含两个常数项，参照 Goldstein[27-28]和 Saiki[29]，力95
源表达式为：
0
, , , , ,
t
s f s s f s sf X t u X t V X t dt u X t V X t (7)
力源中， 和 即为常数项。 为物体边界速度，如果物体是运动的，物体表面
运动速度 将由 v=dXS/dt计算得出，物体表面附近的 U将逼近于 ；如果物体是
静止的，那么 =0，U将逼近于 0。 为在边界点上的流体速度。
在表达式中体现流体速度与物体表面速度的差异，表达式通过反馈机制回馈出力源以使得两100
者速度接近满足无滑移边界条件。当物体边界拉格朗日点和网格欧拉点很好的重合在一起
时，两者的值很容易确定；若两者之间不能很好的重合在一起，Goldstein[27-28]采用的是谱方
法来完成浸入边界点与网格点之间的转化，Saiki[29]则是利用双线性插值法通过网格点上的
速度插值出浸入边界点上的流体速度。
表达式中的第一个负常数 的值会随着速度差异的增大而持续变大，以消除差异。第二105
个负常数 可以理解为物体表面构件产生的抗力，这种抗力会影响到速度差异的消除。
为了更直观地理解力源项，方程(4)中仅保留左边第一项和右边最后一项（仅在 V=0或
者 V=C）简化后可表示为：
0
t
f f
dq
f qdt q
dt
(8)
式中 q=u-V表示速度差异。简化后的式(7)为质量为 ，弹簧常数为 的有阻尼简谐
振动速度方程，振荡频率为振荡频率为 ，阻尼比为 。第一项反馈积110
分可以形象地看成连接微观流体单元同物体表面的弹簧力，第二项 产生阻尼，控制响应
的振荡频率
较大的阻尼比意味着靠近表面的流体扰动产生较大的能量耗散。简化理解即为某流体单
元振荡的振荡效应传给周围的流体单元，造成该处流体单元振荡频率的减小。因此在非定常
流中， 必须要足够大使得方程振荡频率超过流体最大的振荡频率值，以弥补能量消115
耗，满足反馈力源和流场的变化保持一致。
Goldstein
[27-28]指出两个系数的取值并不是越大就愈能保持算法的稳定，对于不同的情况
都会有一个相应的系数取值范围，在这个范围内两个系数取值的不同对于结果的差异影响较
- 4 -
中国科技论文在线
小。
在反馈力源法中，时间步长限制的表达式可表示为： 120
2 2 k
t
(9)
式中可以看出，随着两个负常数越来越大，为了保证稳定性，计算每一步的时间步长将
会越来越短。这样对于工程中雷诺数较大的复杂物体绕流模拟，时间步长的限制会使得计算
耗时增加。
Goldstein
[27-28]同时也提到，力源从浸入边界点向网格点转化的过程会产生全域的空间数
值振荡，即使在瞬时稳态流也会存在这样的情况。它不同式(8)所说的振荡，而是由于谱方125
法中转化函数在浸入边界点与网格点之间的应用而造成的。
直接力法
直接力法，是由Mhod-Yusof[30-31]提出用来解决刚性边界问题的另一种算法。其力源表
达式不包含类似 Virtual Boundary 方法中力源的两个常系数，能够独立推导，离散力法的数
值模型如下： 130
2
1
Re
u
u u P u F
t
(10)
U q
(11)
对于 N-S 方程作离散化处理：
1
.
n nu u
P v u F
t
(12)
1 .n n su u t P v u F V
(13)
由式(11)转化可得：
1
1
n n
n n u uF RHS
t
(14)
式(13)中， 是物面的实际运动速度 ， 是上一时间步计算得到的物面处流体的速
度。该附加力场能保证物面处的边界条件在每一时间步都能得到准确的满足。式(14)表示力
源作用范围： 135
21
Re
0
nV u
H P u
F t
(15)
以 Li[32]为例介绍直接力法，其将直接力法同时间分步法(fractional step method)结合使
用。所谓时间分步法(fractional step method)类同 Peskin[13]在经典普适模型中提到的将单一时
间步 计算过程分成多步计算，具体计算步骤可以总结如下：
1. 通过对 N-S 方程的离散写出体力表达式
2. 整个计算过程 分成几大部分，求得每一部分流场参数值 140
3. 通过压力泊松方程修正速度变量以满足连续性
4. 代入体力表达式求出体力项
Li
[13]将计算过程 分为四个主要步骤：对流步(advection step)，扩散步(diffusion step)，
压力传播步(pressure propagation step)，体力步(body force step)，具体形式如下：
1）对流步，针对X方向动量方程的对流步可以用有限差分写成： 145
1/ 4
, , , ,
, ,
0
n n
i j k i j k
i j k
u u u u u
u v w
t x y z
(16)
在这里（i,j,k）为网格点的坐标，反向特征法(backward characteristics method)被应用于
求解上述方程[33]。假设方程的空间变量（例如，速度分量）可以被分解为一系列傅立叶波
动分量，反向特征法可以产生较好精度解，也可以将反向特征法与lax-wendroff方法结合在
一起使用[34-35]。
- 5 -
中国科技论文在线
2）扩散步,扩散过程是在对流步计算完成以后才开始计算的。X方向的动量方程扩散步150
的有限差分形式如下：
1/ 42 / 4 1/ 4
, , , ,
, ,
0
nn n
i j k i j k yxxx zx
i j k
u u
t x y z
(17)
式中：
,
ji
i j t
j i
uu
x x
(18)
上式在差分过程中，空间采用二阶中心差分，时间采用向前差分。
3）压力传播步，压力传播步主要用来求解压力梯度和附加源项，不能用来求解体力项。
投影法(projection method)被应用到此过程中用来计算压力和速度场以保证在施加了连续性155
条件后，更新后的速度场可以满足自由收敛的条件。最终的压力泊松方程如下所示：
2 / 42 2 2
2 2 2
, ,
n
i j k
P P P u v w
t x y zx y z
(19)
这里要用到两种计算流体力学中经常使用到的网格体系:同位网格和交错网格。在传统
的同位网格中，由于压力速度变量的同位布置和压力震荡,压力泊松方程的求解和连续性条
件的满足存在一定的困难。其中一个改进方法就是使用完全交错布置的速度变量与压力变
量。然而，这样一来靠近隐含边界网格的差分就会变得很复杂。另一种方法就是继续使用同160
位网格，但是网格上压力导数值的求解需要用到线性插值法。
这种方法会有效地削减压力上的振荡，但是这种方法并不是严格意义上的能量守恒。然
而这种误差十分微小并不显著影响整个算法的计算精度。
此种方法的主要优势就是网格系统十分简单，并且这种数值方法包括其中的针对边界网
格点的插值十分容易结合使用。 165
根据上一步得出的压力导数值代入速度修正方程得出更新后的速度：
2 / 4
3/ 4 2 / 4
, , , ,
, ,
n
n n
i j k i j k x
i j k
t P
u u tg
X
(20)
Y方向和Z方向的动量方程推导求解同上述可以类似得出[33]。
4）体力步，IBM 方法在这一步得到最终的实现，方程如下：
1 3/ 4
, , , ,
n n
i j k i j k
i
u u
f
t
(21)
式中 取 ，即物体边界速度。
力源通过压力传播步求得的速度 和边界上的速度 定义出来。直接力法最大的特170
点即为将边界速度直接施加在公式中得出力源项。
通过上面两种典型适用于刚性边界的浸入边界算法介绍，可以看出直接力法的力源计算
公式不包含类似Virtual Boundary 方法中的常系数，能够忽略流场变化的问题，并且可以有
效地避开计算时间步长的限制，与Virtual Boundary 方法比较其更适合高雷诺数问题的求解。
但运用直接力法模拟物体绕流时需要施加压力边界条件，Virtual Boundary 方法则不需要。175
直接力法的一个缺陷就是不能很好地满足物体边界处的连续性条件，需要通过加入质量源项
来加以改善，导致其不能很好地应用于刚性边界物体动态绕流问题。
3. 适用于刚性边界的浸入边界算法应用及发展方向
最初适用于刚性边界的浸入边界算法的研究主要集中于其力源构造，形成上文所提到的
Virtual Boundary 方法和直接力法。后期针对其算法中插值函数的构造依次展开研究，Saiki180
错误！未找到引用源。在 Goldstein 的基础上，利用高阶中心差分构造插值函数，应用到 Virtual
Boundary 方法中以抑制谱方法产生的边界数值振荡，并将 Virtual Boundary 方法应用于动
态圆柱绕流。Fadlun[36]则在比较直接力法与 Virtual Boundary 方法的基础上，直接采用直接
力法研究活塞内流体流动，这也是浸入边界算法首次应用到三维高雷诺数刚性动边界问题研
- 6 -
中国科技论文在线
究，其意义重大。之后 Li 采用 LES 同直接力法结合，求解高雷诺数下不同风攻角的桥梁绕185
流。国内有代表性的是邓见[37]和钟国华[38]均采用 Virtual Boundary 方法模拟圆柱绕流，其中
邓见进一步模拟了串联双圆柱绕流详细地描述了圆柱间距与流场特征之间的联系，具有一定
的工程实用意义。
从对适用于刚性边界的浸入边界算法的应用介绍可以看出，此种浸入边界算法虽然具有
较高的工程实用前景，但限于其提出时间较晚，目前鲜有文献将其应用到工程研究领域，仍190
有许多方面需要进一步展开研究并完善，列举如下：
1.构造更为高效实用的插值传递函数。确定系统实用的插值传递函数，以便 Virtual
Boundary 方法和直接力法得到更为精确的数值模拟结果，提高其工程实用性。
2.提高 Virtual Boundary 方法计算效率。其力源常系数影响数值模拟的计算效率。如果
常系数选取过大，则时间步长受到限制，计算耗费增加。常系数选取过小，则影响计算精度。195
若使用动态力源常系数模拟非定常流场绕流能够大大提高其计算效率，但是需要首先针对其
力源常系数展开系统科学的研究，确定其选取准则。
3.展开三维工程绕流研究。目前无论是适用于弹性边界的浸入边界算法还是适用于刚性
边界的浸入边界算法，往往只开展二维绕流研究[39-43]，对于工程中三维绕流展开较少，算法
适用范围较小。Virtual Boundary 方法和直接力法作为具有广阔工程应用前景的浸入边界算200
法，更应很好地开展此类研究。
4.探讨其开展高雷诺数绕流研究的可行性。目前浸入边界算法的研究大多还集中在低雷
诺数绕流研究，其开展高雷诺数流动模拟存在较大困难。之前解决此类问题的方法主要有虚
拟网格有限差分法[44-45]和切割网格有限体积法[39-43]，但是对于三维绕流模拟由于切割产生的
复杂网格使流场控制方程的离散变得困难。目前将浸入边界法同其它模型结合使用以解决高205
雷诺数问题成为主流方法[46-47]，也应是未来 Virtual Boundary 方法和直接力法开展此类研究
的指导方向。此外，在高雷诺数绕流问题中需要对边界处或漩涡集中处展开更为细致的分析，
传统均距笛卡尔网格不能适应这种情况，可以借鉴 Roma[48]将自适应网格同浸入边界法结
合，在浸入边界上加密网格提高计算精度，节省效率。
除此之外，适用于刚性边界的浸入边界算法应针对不同工程应用，寻找更多的研究需求，210
改进完善算法模型，以形成高效实用的算法体系，并将这个体系在应用到更广阔的工程领域，
4. 结语
适用于刚性边界的浸入边界算法在结构绕流领域具有广阔的应用前景，特别是针对结构
工程中细部构件的精确模拟，能够摆脱传统 CFD 方法在此方面的不足，提高绕流计算模拟
精度。其采用不同的方法构造力源已形成两种典型代表方法，为之后的工程应用打下了坚实215
的理论基础体系。但是其应用实例较少仍是较为突出的问题，系统性不够，缺乏对实际工程
的拓展性研究，仍只集中在理论基础性数值模拟，亟需在此基础上发展出更加实用完善的浸
入边界算法程序，以充实 CFD 应用领域。
致谢
十分感谢高等学校博士学科点专项科研基金（20100072110051）对本课题的支持，在该220
项基金资助下购置的计算服务器很好地展开了课题中流体演化程序的调试与运算，极大地提
高了该课题项目的科研效率。
[参考文献] (References)
[1] Peskin C S. Flow patterns around heart valves [J]. Journal of Computational Physics, 1972, 10(2):214-221 225
[2] McQueen D M and Peskin C S. Shared-memory parallel vector implementation of the immersed boundary
method for the computation of blood flow in the beating mammalian heart [J]. J. , 11(3): 213-236.
[3] McQueen D M and Peskin C S. A three-dimensional computational method for blood flow in the heart.
fibers [J]. Journal of Computational Physics, 1989, 82(2):289-297.
[4] Fogelson A L. Continual models of platelet aggregation：Formulation and mechanical properties [J]. SIAM J 230
Appl Math, 1992, 52(4):1089- 1110.
[5] Dillon R, Fauei L J, Fogelson A L, Gaver D. Modeling biofilm processes using the immersed boundary method
- 7 -
中国科技论文在线
[J]. Journal of Computational Physics, 1996, 129(1):57-73．
[6] Dillon R, Fauci L J. A micro-scale model of bacterial and biofilm dynamics in porous media [J]. Biotechnol
Bioengt, 2000, 68(5):536-547． 235
[7] Eggleton C D, Popel A S. Large deformation of red blood cell ghosts in a simple shear flow [J]. Phys Fluids,
1998, 10(8):1834-1845.
[8] Beyer R P. A computational model of the cochlea using the immersed boundary method [J]. Journal of
Computational Physics, 1992, 98(1):145-162.
[9] Givelberg E, Bunn J. A comprehensive three-dimensional model of the cochlea [J]. Journal of Computational 240
Physics, 2003, 191 (2):377-391.
[10] Heysa J J, Gedeonb T,.Knotta B C, Kimc Y. Modeling arthropod filiform hair motion using the penalty
immersed boundary method [J]. Journal of Biomechanics, 2008, 41(5):977-984
[11] Zhu L. Simulation of a flapping _lament in a flowing soap _lm by the immersed boundary method [D]. PhD
Thesis, New York University, 2001. 245
[12] Zhu L and Peskin C S. Simulation of a flapping filament in a flowing soap film by the immersed boundary
method [J]. Journal of Computational Physics, 2002, 179(2):452-468.
[13] Peskth C S. The immersed boundary method [J]. Acta Numerica, 2002, 11:479-517.
[14] Peskin C S. Numerical analysis of blood flow in the heart [J]. Journal of Computational Physics, 1977, 25(3):
220-252 250
[15] McQueen D M, Peskin C S. A three-dimensional computer model of the human heart for studying cardiac
fluid dynamics [J]. Compute Graphic, 2000, 34(1):56-60.
[16] Peskin C S, McQueen D M. Fluid dynamics of the heart and its valves [C]. In Case Studies in Mathematical
Modeling: Ecology, Physiology, and Cell Biology, Prentice-Hall, Englewood Cliffs, NJ, USA, 1996:309-337.
[17] Lai M C, Peskin C S. An immersed boundary method with formal second order accuracy and reduced 255
numerical viscosity [J]. Journal of Computational Physics, 2000, 160(2):707-719.
[18] 宫兆新,鲁传敬,黄华雄.浸入边界法及其应用[J].力学季刊, 2007, 28 (3): 353-362.
[19] 陈晓明,赵成璧,林慰. 浸入边界法的发展现状及其应用[J].广东造船, 2009, 1:44-47.
[20] Mittal R, Iaccarino G. Immersed boundary method [J]. Annu Rev Fluid Mech, 2005, 37(1):239-261.
[21] Mittal R, Dong H, Bozkurttas M, Najar F M, Vargas A, von Loebbecke A. A versatile sharp interface 260
immersed boundary method for incompressible flows with complex boundaries [J]. Journal of Computational
Physics, 2008, 227(10):4825-4852.
[22] Holfer K, Schwarzer S. Navier-Stokes simulation with constraint forces: Finite-difference method for
particle-laden flows and complex geometries [J]. Phys. Rev. E. 2000, 61(6):7146-7160.
[23] Briscolini M and Santangelo P, Development of the mask method for incompressible unsteady flows [J]. 265
Journal of Computational Physics, 1989, 84(1):57-75.
[24] Mohd-Yusof J. Combined immersed-boundary/B-spline methods for simulations of flow in complex
geometries [C]. CTR Annual Research Briefs, Center for Turbulence Research, NASA Ames/Stanford Univ,
1997:317-327.
[25] Sirovich L. Initial and boundary value problems in dissipative gas dynamics [J]. , 1967, 270
10(1):24-34.
[26] Sirovich L. ,1968, 11:1424.
[27] Goldstein D, Handler R, and Sirovich L. Modeling a no-slip flow boundary with an external force field [J].
Journal of Computational Physics, 1993, 105(2):354-366.
[28] Goldstein D, Handler R, and Sirovich L. Direct numerical simulation of the turbulent flow over a modeled 275
riblet covered surface [J]. Journal of Fluid Mechanics, 1995, 302:333-345.
[29] Saiki E M and Biringen S. Numerical simulation of a cylinder in uniform flow: Application of a virtual
boundary method [J]. Journal of Computational Physics, 1996, 123(2):450-465.
[30] Mohd-Yusof J. Development of immersed boundary methods for complex geometries [C]. CTR Annual
Research Briefs, Center for turbulence Research, NASA Ames/Stanford Univ, 1998:325-336. 280
[31] Mohd-Yusof J. Interaction of massive particles with turbulence [D]: PhD. thesis. Cornell University, 1996.
[32] Li C W, Wang L L. An immersed boundary finite difference method for LES of flow around bluff shapes [J].
International Journal for numerical methods in fluids, 2004, 46(1):85-107.
[33] Zhu L, Li C W. Error study on numerical approximation of radiation boundary condition for one-dimensional
wave equation [J]. Communications in Numerical Methods in Engineering, 1993, 9(2):475-482. 285
[34] Li C W. Advection simulation by mini max-characteristics method [J]. Journal of Hydraulic Engineering
(ASCE), 1990, 116 (9):1138 -1144.
[35] Lin P, Li CW. A ɞ-coordinate three-dimensional numerical model for surface wave propagation. International
Journal for Numerical Methods in Fluids, 2002, 38(9):1045 -1068.
[36] Fadlun E A, Verzicco R, Orlandi P, Mohd-Yusof J. Combined immersed-boundary finite-differerence 290
methods for three dimensional complex flow simulations. Journal of Computational Physics 2000, 161(1):35-60.
[37] 邓见, 任安禄, 邵雪明. 虚拟边界法研究正交双圆柱及串联双圆球绕流 [J]. 力学学报, 2005, 37(5):
399-402.
[38] 钟国华 梁岸 基于浸入式边界的流固耦合的非定常数值模拟研究 [J]. 工程热物理学报,2005, 28(3):
542-550. 295
[39] Mittal R, Seshadri V, Udaykumar H S. Flutter, tumble and vortex induced auto-rotation [J]. Journal of
Theoretical and Computational Fluid Dynamics, 2004, 17(3):165- 170.
[40] Ye T, Mittal R, Udatjynar H S and Shyy W. An accurate Cartesian grid method for viscous incompressible
- 8 -
中国科技论文在线
flows with complex boundaries [J]. Journal of Computational Physics, 1999, 15(2)6:209-240.
[41] Mittal R, Bonilla C, Udaykumar H S. Cartesian grid methods for simulating flows with moving boundaries 300
[C]. Computational Methods and Experimental Measurements XI, 2003.
[42] Mittal R, Utturkar U, Udaykumar H S. Computational modeling and analysis of biomimetic flight
mechanisms [C]. 40th Aerospace Sciences Meeting and Exhibit, Reno, NV, 2002.
[43] Utturkar Y, Mittal R. Sensitivity of synthetic jets to the design of the jet cavity [C]. 40th Aerospace Sciences
Meeting and Exhibit, Reno, NV, 2002. 305
[44] Majumdar S, laccarino G, Durbin P A. RANS solver with adaptive structured boundary non-conforming grids
[C]．Annu Res Briefs. 2001(2):353-366．
[45] Ghias R, Mittal R, Lurid T S. A non-body conformal grid method for simulation of com pressible flows with
complex immersed boundaries [C]．Jan 42nd AIAA Aerospace Science Meeting and Exhibit, 2004.
[46] Peskin C S. Vortex dynamics of the aortic sinus [J]. In Mathematical Aspects of Physiology, Applied 310
Mathematics, AMS, Providence, RI, pp. 1981, 19(1):93-104.
[47] McCracken M F and Peskin C S. A vortex method for blood flow through heart valves [J]. Journal of
Computational Physics, 1980, 35(2):183-205.
[48] Roma A M, Peskin C S and Berger M J. An adaptive version of the immersed boundary method [J]. Journal of
Computational Physics, 1999,153(2): 509-534. 315
