实践课：概率计算与决策
11．1 随机事件的概率（复习）
奉港高级中学 杨亢尔
教学目的
1、复习本节知识要点，进一步了解随机事件概率和等可能事件概率的意义；
2、通过对两种常见等可能事件概率的分析和解答，使学生掌握题型和解题方法，提
高综合运用概念分析问题和运用知识解决实际问题的能力；
3、进一步体会概率的思想方法，培养用概率意识来理解、处理实际问题的能力，培
养学习数学的兴趣和理性分析的精神。
重点、难点 让学生有意识地形成概率意识，并用这种意识来理解客观世界中的实际问题。
教学过程
师： （复习本节知识要点，多媒体演示）
1． 事件和事件的概率
（1） 必然事件：在一定条件下必然要发生的事件；
（2） 不可能事件：在一定条件下不可能发生的事件；
（3） 随机事件：在一定条件下可能发生也可能不发生的事件。
（4） 随机事件的概率：在大量重复进行同一试验时，事件 发生的频率总是接
近于某个常数，并在它附近摆动，这时就把这个常数叫做事件 的概率，记作
，特别地，必然事件的概率是 1，不可能事件的概率是 0.
（举例，加深理解）
2． 等可能事件的概率
我们把一次试验连同其中可能出现的每一个结果称为一个基本事件，如果一次
试验中可能出现的结果有 个，即此试验有 个基本事件组成，而且所有出现的可
能性都相等，那么每一个基本事件的概率都是 。如果某个事件 包含的结果有
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个，那么事件 的概率 ，显然 。
3． 从集合的角度看等可能事件的概率
在一次试验中，如果等可能出现的结果有 个，我们把这 个结果看成 个元
素组成的集合 ，包含 个结果的事件 对应于 中含有 个元素的子集 ，若
分别用 和 表示 和 中的元素个数，则 。
师：本节内容概念较多，能否掌握好本节内容，关系到高中概率和统计内容的学习。
我们在学习中不能只背条文，必须在理解上下工夫，加深对随机事件概率和等可能事件概
率的意义的理解和应用。
我们来看下面的问题：
假设你正在参加一项游戏节目。在你面前有三扇门，一扇门后面是丰厚的奖金
比如说是一台手提电脑，另两扇门后面是安慰奖 比方说是一支铅笔，不值多少钱。
你当然希望得到手提电脑，但是你并不知道手提电脑在哪扇门的后面。主持人先让你从三
扇门中选择一扇，在打开你选择的那扇门之前，他先打开另一扇放着铅笔的门。这总是可
以办到的，因为你面前的三扇门中有两扇门的后面是铅笔。现在再给你一次机会：你可以
坚持原来的选择，也可以改变主意换到另一扇未打开的门，这时你会怎么做呢？
（学生思考、讨论、交流）
生 1：我坚持原来的选择。
师：请说说你的理由。
生 1：因为当主持人打开放有铅笔的一扇门之后，选择余下任何一扇门的概率都为
，因此不必改变原来的选择。
师：赞同这位同学说法的请举手！
（多数学生举手）
师：说明我们多数同学同意这种观点。我们请没有举手的同学谈谈他们的想法。
（教师指定生 2、生 3 回答）
生 2：我也倾向于坚持原来的选择，又不敢确信，感觉内中似乎藏有“玄机”，但我说
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不清楚这样选择的理由。
师：这位同学不轻信自己的直觉，敢于怀疑，这种理性思维方式难能可贵！
生 3：我觉得应该改变选择，换到另一扇未打开的门。
师：事实上，你的选择是正确的！
众生：啊？！
师：能把你的想法跟同学们说说吗？
生 3：我是这样考虑的，首先把门编上号，1 号门，2 号门和 3 号门。假设最初选择的
是 3 号门，在主持人打开一扇有铅笔的门后，如果仍旧坚持原来的选择，那么只有一种情
况能获得手提电脑，即 3 号门后是手提电脑。而我们如果改变选择转移到另一扇门，那么
只要手提电脑不在 3 号门后，就会获奖，即当 2 号门或 1 号门后是手提电脑时，有两种情
况会获奖。由此，改变选择会使获得手提电脑的概率大一倍，所以我认为应该改变原来的
选择。
众生：哇！原来如此！
师：从大家的赞叹声中可以看出，改变原来的选择实在是一种明智之举。刚才我们讨
论的就是著名的蒙蒂-霍尔问题。蒙蒂-霍尔问题与美国 70 年代非常流行的一档电视节目“公
平交易”（Let’s Make a Deal）有关，节目主持人就是蒙蒂-霍尔（Monty Hall），他经常耍一
些戏法难为嘉宾。其中一个游戏的规则是这样的：几对夫妇共同参加一项比赛，比赛最后
只留下一对夫妇，而奖品则放在三扇门中的一扇门后面，它们能否获得奖品，就要看他们
能否选择到有奖品的门。和上面提出的问题情境一样，主持人给嘉宾两次选择的机会。他
们或者坚持最初的选择，或者改变主意换到另一扇门，问题是采取哪种策略获得奖品的概
率更大？显然，前面提出的问题就是蒙蒂-霍尔这个戏法的翻版。为了表示对这位著名游戏
主持人的尊重，后来人们就用他的名字命名了这个问题。
为什么多数同学在这个问题上出现了失误呢？仔细分析不难发现，原因在于这些同学
没能理解主持人展示铅笔其实提供了重要的信息。我们注意到最初选择到手提电脑的概率
是 1/3，即使在主持人向你打开一扇有铅笔的门后，这个概率也不会变，因此另一扇未打
开的门后是手提电脑的概率就是 2/3，这样改变选择使你中奖的概率增加了一倍。事实上，
这样简单的一个概率问题曾使许多人陷入迷惘，其中竟然包括一些著名的数学家。蒙蒂-霍
尔问题的变式很多，我给大家准备了一个简单的变式，请同学们课后尝试。这个事例也告
诉我们，要仔细分析，积极参与对事件发生概率的感受和探索，丰富对等可能事件的体验，
增强对概率背景的感性认识，积累经验，进一步了解概率的意义和思想方法。
我们再来看下面的两个例题。
例 1 一袋中装有大小相同的 个黑球和 个白球，从中逐一取球，求第 次取出的球
恰为黑球的概率( )。
师：不妨设事件 “第 次取出的球恰为黑球”，请同学们思考，题中“从中逐一取球”应
如何理解？袋中每个球有无区别？是否将所有的球都取出？
（学生思考，分组讨论、交流，推选代表发言）
生 4： 我们认为应该将袋中每个球均视为有区别，且将球全部取出，以全部取得球确定的
编号顺序为一基本事件，则其基本件总数相当于 个球的全排列 ，而事件
表示在第 个位置放一个黑球，其余位置则是 个球的全排列，其包含的基本事件
数为 ，因此 。
生 5：我们组的解法与他们不同，视同色球间无区别，将球全部取出相当于将 个球
放入 个“格子”，这样本题的基本事件可看成 个格子中任意放入 个黑球，其
余都放白球，从而基本事件总数为 ，事件 则要求在第 个格子中放一个黑球，其
余 各 个 格 子 可 任 意 放 球 ， 因 此 事 件 包 含 的 基 本 事 件 数 为 ， 所 以
。
生 6：我们认为不必把所有的球都取出，只需考虑取前 次取球，如果把从 个球中
任取 个放在前 个位置作为一个基本事件，则基本事件总数为 ，而事件 包含的
基本事件数则为 ，所以 。
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生 7：我们的解法比他们更简单。由于每一个球都以同样的可能性被第 次取到，而且当
某个黑球在第 次出现时事件 发生，因此，只要以第 次取得的效果为基本事件，则基
本事件总数为 ，而事件 包含的基本事件数为 ，所以 。
师：好极了！以上四种解法虽然路径不同，但得出的结果却完全一致，可说是殊途同归。
这些同学分别以全部取出和部分取出、同色球按有区别和无区别进行分类， 构建了恰当
且比较简洁的基本事件空间，使我们能很快且准确地求得对应事件的概率。对于等可能事
件的概率，要善于把握基本事件及基本事件空间的不同构建，这一点需要我们在学习过程
中不断深入体会。
本题的结果也表明，取得黑球的概率与取球的先后顺序无关，这个结论与我们日常生
活的经验是一致的。如体育比赛中进行的抽签对各队的机会是均等的，与抽签的先后次序
无关；再如，如果我们把黑球看作有奖的奖券，把白球看作无奖的奖券，就得到了我们熟
悉的抽签、抓阄的数学模型，由于第 次摸出黑球的概率与 的值无关，因此，我们可以
说，“抽签有先后，但对每一个人都是公平的”。当然，如果后抽的人知道了先抽人抽出的
结果，那么抽签者中签的概率就不一样了。有关这方面的知识，同学们可以参阅本章第 145
页上的阅读材料“抽签有先后，对各人公平吗？”
例 2 现有 个不同的球，每个球都以相同的概率落入 个格子的某一格子中，
试求下列事件的概率：
（1） =“指定的 个格子中各有一个球”；
（2） =“恰有 个格子，其中各有一个球”；
（3） =“某指定格子中恰有 个球”。
(学生思考、交流、探讨，教师简要分析，引导学生解答)
分析：由于每个球均以相同的概率落入某一格子中，所以每一球落入格子是等可能的，即
每一球有 种不同的去向， 个不同的球，以相同的概率等可能地落入 个格子的某一
格子中，相当于从 个元素中选取 个元素的重复排列，故基本事件总数为 。
生 8： 对于事件 ， 个不同的球落入事先指定的 个格子中，相当于 个球的全排列，
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所以事件 包含的基本事件数为 ，故 ；
生 9： 对于事件 ， 个格子可在 个格子中任意选取，有 种选法，对于每种选定
的 个格子又包含 个基本事件，故 ；
生 10： 对于事件 ，该指定格子中的 个球可从 个不同球中选取，有 种选法，另
外的 个球可落入 个格子，共有 种去向，因此事件 包含的基本事
件数为 ，故 。
师：很好！通过大家的共同努力，我们完美地解答了上述例题，请同学们观测 的
值，当 和 确定时， 恰好是二项展开式 的第 项，且有
，我们可以从概率意义出发给予
解释：对于某个指定的格子而言，落入格子的球数不外是 0，1，2，…， ，由于这
种情形的和事件为必然事件，所以其概率和为 1。顺便提一下， 叫 次独立重复试
验恰好发生 次的事件的概率，我们将在后面的学习中碰到。
【评注】虽然学生尚未学过独立重复试验概型和互斥事件的概率，作为教师，应该对教学
内容从整体加以把握，而不囿于书本知识的章节安排。这样处理，既能拓展学习内容、挖
掘例题功能，也为下一步学习作适当的铺垫，值得一试。
师：像这样，将 个球放入 个格子，是一种理想意义下的概率模型，常常称之为“入格
问题”，又称“分房问题”，即把 个人等可能地分到 间房中，处理此类问题的关键是将
球（或人）一个一个地往格子（房间）里放，在处理实际问题时，要分清什么是“人”，什
么是“房间”，切不可颠倒，此概率模型可帮助我们解决许多貌异质同的实际问题。如：
我们高二（9）班有 12 位女同学出生于 1988 年，请同学们就这 12 位同学“生日问题”
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编拟题目并加以解答（一年按 365 天计算）。
生 11：求 12 个人生日互不相同的概率，就是把 个人等可能地放入到 个“格
子”中，且每个“格子”中最多放一人，因此基本事件总数为 ， 由于 12 个人生日互不
相同，所包含的事件数为 ，故概率 。
生 12： 求 12 人中有 2 人生日在十月一日的概率，就是把 个人等可能地放入到
个“格子”中，其中某指定的“格子”（十月一日）恰有 个人，其概率为
。
师：很好！这两位同学实际上构建了例 2 中的事件 、 并计算其概率，如果本题某事件
的概率是 ，你能说说事件 表示的实际意义吗？
生 13：对照例 2 第（1）小题，事件 表示“某指定的 12 天各有一位同学生日”，比如说她
们分别出生在该年每月的第 1 天。
（全班同学笑）
师：大家的笑声是不是说这位同学的“比如”不太可能发生？
众生：对！
师：那么，如果我说这 12 位同学分别出生在 1 月 6 日、3 月 17 日、3 月 25 日、……（这
12 位同学的实际生日），你的感觉又如何呢？难道两者的概率不一样吗？当然这 12 位同学
的实际生日只能是这 种可能性中的一种。
众生：噢！
师：同学们，概率论是研究随机现象统计规律的一门学科，人类生存的自然与社会环境中，
普遍存在着两种相互依存的现象：决定性现象和随机现象；所谓决定性现象是指在一定的
条件下必然产生某种结果或必然不产生某种结果的现象，所谓随机现象是指在同样的条件
下，产生的结果不一定完全一样且实验之前无法预料其结果的现象，从表面看，对随机现
象作一次试验或观测，一般看不出明显的规律性，但若在同样的条件下作大量的重复试验
12n 365N
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或观测，其规律性就比较明显地展示出来，揭示这一规律性就是概率的任务．这一点，留
待我们在以后的学习中去慢慢体会．
另外，与例 2 类似的问题还有很多，如寄信问题，将 封信等可能地投入 只邮箱；
旅客到站问题，一列列车中的 位旅客在 个车站等可能下车；掷骰子问题，抛掷 次骰
子，观测向上点数相当于把 个球等可能地放入 个格子中；交通事故问题， 件交
通事故在一月 30 天中的分布，相当于将 个球放入 个格子中，等等。诸如此类的
问题很多，它们都可归入“入格问题”，大家要透过现象看本质，深入体会“多题一解”的奥
秘。
小结：这节课我们从分析蒙蒂-霍尔问题入手，继而详细研究了两类常见等可能事件概率的
计算，同学们要深入体会，认真学习，掌握典型概率问题的基本思想，体会用概率意识来
处理实际问题。
课外实践操作与作业：
1．请你和你的家人实践验证：准备三张纸片，在两张纸片上面写铅笔，另一张纸片上写
手提电脑。让你的家人随机抽一张，先不要打开这张纸条。你先从余下的两张纸条中拿走
一张写有铅笔的纸条。问你的家人是坚持原来的选择，还是改变主意。记下试验的总次数、
选择不变的次数及选择不变获得手提电脑的次数，同时记下改变选择的次数及改变选择后
获得手提电脑的次数，你将会发现什么？当试验做到十几次时，改变选择的优势可能就体
现出来了。
2．假设有四扇门，其中一扇门后面有巨额奖金，嘉宾先随机选择一扇，主持人在余下的
三扇门中打开一扇没有奖金的门。此时，还有三扇门，给你第二次机会，你可以坚持原来
的选择，也可以改变主意，从另两扇未打开的门中选择一扇。不管你怎样选择，主持人总
可以从未选择的两扇门中，再打开一扇没有奖金的门。现在还剩两扇门，最后再给你一次
n N
n N n
n 6N n
n 30N
机会，你可以坚持第二种选择，也可以改变主意换到另一扇门。每一次你怎么做呢？请计
算各种选择策略下获奖的概率并填入下表：
策略 第一次 第二次 第三次 获奖概率
1 选择 不变 不变
2 选择 改变 不变
3 选择 不变 改变
4 选择 改变 改变
（说明：本课中蒙蒂-霍尔问题的有关材料引自《数学通讯》2005 年第 7 期“蒙蒂-霍尔问
题”一文，在此谨表谢意！）
３．从概率的角度对你喜爱的我校某项体育比赛进行初步研究。
4． 参考教科书Ｐ145 阅读材料，解答下题，仔细体会“抽签有先后，真的公平吗？”
有 5 张彩票，其中 2 张是有奖的，五位同学依一定的次序每人抽一张，
（1） 求第 3 位同学抽到有奖彩票的概率；
（2） 若已知前两位同学没有抽到有奖彩票，求第 3 位同学抽到有奖彩票的概率；
（3） 若前两位同学中恰有一位抽到有奖彩票，求第 3 位同学抽到有奖彩票的概率；
教案说明：
1． 本节实践课安排于人教版普通高中《数学》第二册（下 B）第十一章 11．1“随机事件
的概率”之后，此前学生已初步掌握随机事件概率、等可能事件概率的有关概念和计算
方法，如何让学生有意识地形成概率意识，并用这种意识来理解客观世界中的实际问
题，是本节课的重点和难点。
２．概率知识的实践性要求我们学习本章知识时善于选择具有丰富现实背景的素材。随着
生活经验的不断丰富和认知水平的不断提高，高中学生对现实的感知范围进一步扩大，
他们会有意识地运用自己所学的知识去解决一些实际问题。因此，在本节课中，无论
是蒙蒂-霍尔问题，还是摸球问题、格子问题，或是由这些问题延伸至其它问题，它们
都与学生的现实生活密切相关，蕴涵着丰富的现实意义。这样的素材对于学生更好地
认识世界，对许多事情形成自己的看法，培养学生学习数学的兴趣和理性分析的精神，
无疑是十分有益的。
３．动手实践是本节实践课的又一特色。我们在课后给学生安排了四个实验操作题，鼓励
学生利用列表、做树图、制模型、做实验或应用简单的计算方法来获得一些事件的概
率，以帮助学生从具体、可操作的实物模型发展到基本事件空间的构建和图形、语言、
形象化符号的逐步形成。
４．本课设计的另一着眼点在于创设有利于学生自主活动的教学情景。经历具体的数据统
计过程，感受一些事件发生的可能性大小，体验事件发生的等可能性和游戏规则的公
平性，是学生从事概率知识学习的重要活动。因此，在本节课中，我们注意创设一个
有利于学生经历上述活动的教学情景，无论是小组讨论、代表发言，还是根据“模型”
编拟应用问题，或是课后的实践操作，都能使学生有充分的机会在活动的过程中做自
己力所能及的事情，通过活动去理解有关知识，并在活动中运用所学知识去解决一些
实际问题。
５．注意概率知识的前后联系及用多种方法求事件发生的概率。尽管此时学生尚未学习概
率的后续知识，作为一个整体，我们对于互斥事件的概率相加、相互独立事件的概率
相乘、对立事件的概率互补、独立重复试验的概率及简单的条件概率等，在例题和课
后实践操作题中都有所渗透，这样处理，既丰富知识内容，完善知识结构，又能挖掘
具有较深层次的知识，学生可从集合的角度加以揣摩。另外，通过对两个例题一题多
解、多题一解的设计，有助于学生掌握方法，丰富体验，提高解题能力，深入体会概
率的思想方法。
