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作者简介：张曙光（!=>;:）男，安徽淮北人，副教授，博士，主要从事随机分析和金融数学的研究。
中国?股市场指数长程参数的估计及其应用
张曙光， 雷 娜， 马 王君
（中国科学技术大学 统计金融系，安徽 合肥")((">）
摘 要：本文通过对中国?股市场指数"((!年"年前后历史数据的处理，给出了指数维数的-!1估计。所得结
果显示3@-1/维数是用来反映时常波动的合理的数理指标，但通常所用的数学模型不足以研究国内市场指数
运行规律。
关键词：-!1估计；3@-1/维数；扩散过程
中图分类号：7A)"BCD*"!" 文章标识码：. 文章编号：!((;:)""!（"(()）(!:((>!:(<
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( 引言
为完善国内金融市场体系，以各种期权、期货为代表的衍生资产的设计和完善并进行风险控制和管理
就被提到经济理论界和实业界的面前，成为是一个大势所趋的研究热点。实际上，金融指数作为反映特定
金融市场发展变化的技术性指标，在金融市场的完善和发展、风险管理、以及宏观调控等方面都有着重要
的应用，国内综合指数的衍生工具已经是呼之欲出。但历史表明，各种衍生产品在防范金融风险和降低交
易成本的同时也可能由于高杠杆作用对金融市场产生风险放大的效应，甚至会影响到金融市场的稳定性，
因此必须首先在理论上探讨相关的定价、风险管理、投资决策等问题，而这样做的一个基本前提就是要对
证券指数进行数学建模。当前的主要研究工作均在马尔可夫的框架下进一步假设这些指数服从连续扩散
模型［!］，但经验分析表明这时的理论结果往往和实际数据有着较大的系统偏差［"］。这表明现有的常用的
数学模型不足以描述实际指数的动态规律。本文将对中国4股市场指数的实际数据进行统计处理，从实
际角度说明当前的研究存在的问题和几种可能的改进方向。
本文通过系统介绍我国4股的发展现状，从而探讨影响4股市场的因素，并对4股市场的风险作了
分析。基于4股市场政策市的特点，本文还用数理化的方式，提出用概率统计中分形理论的5!’分析
法，利用赫斯特指数3的变化对股票的走势进行研究。通过分析4股市场在"月!=日前后市场的赫斯
特指数3 的变化来进一步研究4股市场。
万方数据
! !股指数若干长程参数的估计与检验
以下是"月!#日前后，中国!股指数随时间演变的曲线：
"月!#日前!股开盘
"月!#日后!股开盘
上图表明，!股的指数变化应该满足某种类型的随机模型。在数量经济学中，一些变量的采样数据
可以看作布朗运动驱动的扩散过程的轨迹。在这样的数理模型下可以综合利用随机积分以及通常的线性
和非线性时间序列模型进行数据的分析和处理。但这样做的前提是数据过程的轨道维数和标准布朗运动
相同。由于曲线的维数实际上反映了变化的激烈程度，所以我们通过对证券市场指数的维数估计可以完
成两个任务：一是可以判断能否可以用扩散模型作为研究基础；二是可以通过对维数的转变点的估计来判
断市场的活跃程度。但由于这些变化过程往往又都不是具有独立增量过程，因此我们将用"!#分析拟合
出赫特指数$，从而求出分数维维数%$。
理论基础
自然界中的所有形状和人类迄今所考虑的一切图形，大致可分为两种。一种是具有特征长度的图形，
其共同的性质是几乎任何位置都是可微的，即近似平滑的。另一种则是不具有特征长度的图形，它否定平
滑程度，任何地方都不能用微分定义，其重要性质是自相似性（或统计自相似）。我们把这种没有特征长度
"% 运 筹 与 管 理 "$$&年第!"卷
万方数据
的图形、构造以及现象通称为分数维。
描述分数维的一个重要参数是分数维维数（分维），它主要描述分形的不平滑、不规则、复杂或混乱程
度，即分维值越大，分形的不平滑、不规则和复杂混乱程度越大。
通常，可把分维统一定义为!次的信息量维数（或!"#$%维数）。
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（’）
其中：!为标度；%$为概率；!是参数
当!&+时，"!&"+为容量维数或称盒子维数、豪斯道夫（,-./#012344）维数；当!&’时，"!&"’为
信息维；当!&5时，"!&"5为关联维数。
作为自仿射分数维的一个典型例子就是布朗运动（67）轨迹。布朗运动过程是具有独立平稳增量，并
且具有有限方差的过程。其样本函数经常被当作“典型的”随机函数。但对于其他多种目的来说，它的局
限性太大了，还需要扩展其他形式的随机函数。曼德尔布洛特等人已把（8）式中的&推广为+#&#’，其
随机函数记’(（)），这种布朗运动称为分数布朗运动（,67）。分数布朗运动过程是增量服从正态分布，
但不再是相互独立的过程。而布朗运动就成了分数布朗运动在&&’!5时的特例，上节中的’（)）为’’!5
（)）。
一维分数布朗运动随机函数的精确定义为：
’&（)）(’&（)+）& ’"（&9’!5）$(:*（)();）1’’!5（);）
其中："（+）是</**/函数，+#&#’，’&（)+）给定。
可以证明一维布朗样本函数的赫斯特指数&与其分数维维数"+之间有如下关系：
"+&5(& （5）
那么一维布朗运动（&&!5）的"+&’-=；一维分数布朗运动当&%’!5时，’#"+#’-=；当&#’!5
时，’>=#"+#5。
由于分维"+表示运动轨迹的不平滑和运动的激烈程度，所以对于一维布朗样本函数，随着& 的减
小，"+的增大，其运动轨迹的平滑程度越差，变化越激烈。
对任意一个具体布朗样本函数要想求分维值"+，必须先知道其赫斯特指数&。下面介绍一种求&
指数的方法。
!"! ,!-分析
,!-（3"0?/)"13/#<"/#/)$0%0）是赫斯特（.-@）于’C8=年提出的一种时间序列统计方法，它在分
形理论中有着重要的作用，基本原理和方法如下：
考虑一个时间间隔均匀的时间序列｛#（)$）｝，$&’，⋯，.对于任间)/&｛)$’$&5，⋯，.｝定义其均值为
#)/&
’
)"
)/
)$&)’
#（)$） （D）
累积离差为
’（)$&)/）&"
)/
)$&)’
（#（)$）(#)/） （$&’，⋯，/） （E）
极差为
,（)/）& */F)’()$()/
’（)$，)/）( *%#)’()$()/
’（)$，)/） （=）
标准差为
-（)/）&
’
)/
"
)/
)$&)’
（#（)$）(#)/）（ ）5
’!5
（8）
对于｛#（)$）是相互独立，方差有限的随机序列，即布朗运动，赫斯特和费勒（,"))"3）证明了如下结果：
D8第’期 张曙光，等：中国6股市场指数长程参数的估计及其应用
万方数据
!（"#）!$（"#）!
!"#（ ）"
%
（#）
其中%!$!"。对于｛"（"#）不是相互独立的分数布朗运动，可以证明：
!（"#）!$（"#）!"%# （%）
%为赫斯特指数
当我们求任意的一维布朗运动样本函数的分维值&&时，可以先对其数据用上述方法进行!!$分
析，用最小二乘法拟合（%）式，求出%指数，进而由（"）式求出&&。
统计结果
我们利用’股历史数据及以上的!!$方法，对’()*+指数做了如下估计：
证券名 ’()*+指数 置信区间
’股开盘（",$-前） &,"#./ &,"$##"&011$2
’股开盘（",$-后） &,11-" &,"##&"&,.&$2
结果表明，随着宏观政策的改变，’股市场指数在"月$-日前后的交易的活跃程度有着根本的变化，
反映到’()*+维数就是在这个日期有了转变点，这表明这个指标是可以用作刻画市场变化的激烈程度的
合理参数；另一方面，由于这个指标显示’股指标与布郎泛函还有一定的距离，因此通常的随机分析和时
间序列模型就难以精确的描述指数模型。因此我们就必须尝试新的工具区建立数理基础。
" 结论
在’股市场上，股票的价格和走势是千变万化，随机波动的。
本论文从’股的发展现状入手，对影响’股市场的因素、其存在的风险及其政策市场的特点进行了
概述性分析。在了解’股市场基础因素的前提下，希望能够对’股的指数变化做合理化的模型推测。由
于曲线的维数实际上反映了变化的激烈程度，所以我们通过对证券市场指数的维数估计可以完成两个任
务：一是可以判断能否可以用扩散模型作为研究基础；二是可以通过对维数的转变点的估计来判断市场的
活跃程度。但由于这些变化过程往往又都不是具有独立增量过程，因此我们将用!!$分析拟合出赫斯特
指数%，从而求出分数维维数&(。
本文选择了对’股市场影响颇大的政策———"月$-日向境内投资者开放’股市场前后，’股市场
的指数交易情况为对象进行分析，得出了以下结论：随着宏观政策的改变，’股市场指数在"月$-日前后
的交易的活跃程度有着根本的变化，反映到’()*+维数就是在这个日期有了转变点，这表明这个指标是可
以用作刻画市场变化的激烈程度的合理参数；另一方面，由于这个指标显示’股指数与布朗泛函还有一
定的距离，因此通常的随机分析和时间序列模型就难以精确的描述指数模型。因此我们就必须尝试新的
工具区建立数理基础。
参考文献
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