第1章 投影法和点、直线、平面的投影
点的投影
直线的投影
求线段实长及对投影面的倾角
两直线的相对位置
平面的投影
投影法的基本知识
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投影法的基本知识
投影法概念
投影法的分类
正投影法的基本性质
投影法的概念
投影面P
a 投影
投射线
b
S 投影中心
A 空间点
B
将光线通过物体向选定的平面投影，并在该平面上得
到物体影子的方法称为投影法。
投影法的分类
1. 中心投影法 投射线汇交于一点。
2. 平行投影法 投射线互相平行。
（1）斜投影 投射线与投影面倾斜的平行投影。
（2）正投影 投射线与投影面垂直的平行投影。
1. 中心投影法
H
S
2.平行投影法----斜投影
H
2.平行投影法----正投影
90°
H
正投影法的基本性质
1. 实形性 当线段或平面平行于投影面时，
其投影反映实长或实形。
2. 积聚性 当线段或平面垂直于投影面时，
其投影积聚为点或线段。
3. 类似性 当线段或平面倾斜于投影面时，
其投影变短或变小。
1. 实形性
C
D
EB
A
H
a
b
e
d
c
当线段或平面平行于投影面时，其投影反映实长或实形。
e
d
c
a（b）
C
D
EB
A
H
2. 积聚性
当线段或平面垂直于投影面时，其投影积聚为点或线段。
3. 类似性
C
D
E
e
dc
B
A
a b
H
当线段或平面倾斜于投影面时，其投影变短或变小。
点的投影
点在两投影面体系中的投影
点在三投影面体系中的投影
两点的相对位置和重影点
点在两投影面体系中的投影
5. 点在其他分角的投影
3. 点的两面投影图
2. 两投影面体系的建立
4.两投影面体系中点的投影规律
1. 点的两个投影能唯一确定该点的空间位置
1. 点的两个投影能唯一确定该点的空间位置
H
V
OX
a
a
A
2.两投影面体系的建立
X O
两投影面体系由V面和H面二个投影面构成。V面和H面
将空间分成四个分角。处在前、上侧的那个分角称为第一分
角。我们通常把物体放在第一分角中来研究。
正立投影面
投影轴
V
H
水平投影面
3.点的两面投影图
H
V
OX
a
A
a
点的二面投影图是将空间点向二个投影面作正投影
后，将二个投影面展开在同一个面后得到的。
点A的正面投影
点A的水平投影
X
H
V
O
a
a
ax
两面投影图的画法
H
H
V
OX
a
a
A
ax
展开时，规定V面不动，H面向下旋转90。用投影
图来表示空间点，其实质是在同一平面上用点在二个不
同投影面上的投影来表示点的空间位置。
通常不画出投影面的范围
X O
a
a
ax
4.两投影面体系中点的投影规律
H
V
OX
a
a
A
ax X O
a
a
ax
点的V面投影与H面投影之间的连线a‘a垂直于投影轴0X ；
点的一个投影到0X投影轴的距离等于空间点到与该投影轴相邻
的投影面之间的距离，即 a'ax= Aa， aax= Aa' 。
点在三投影面体系中的投影
1.三投影面体系的建立
2.点的三面投影图
3.点的三面投影与直角坐标的关系
4.三投影面体系中点的投影规律
5.特殊点的投影
1. 三投影面体系的建立
H
V
X O
Z
Y
W
三投影面体系由V、H、W三个投影面构成。 H、V、W
面将空间分成八个分角，处在前、上、左侧的那个分角称
为第一分角。我们通常把物体放在第一分角中来研究。
2. 点的三面投影图
H
V
X
Z
Y
WO
A
点的三面投影图是将空间点向三个投影面作正投影后，将三
个投影面展开在同一个面后得到的。展开时，规定V面不动，H
面向下旋转90，W面向右旋转90。
a
a
a
H
a
a
a
V W
X O
Z
YW
YH
a
a
a
X O
Z
YW
YH
通常不画出投影面的范围
H
V
X
Z
Y
WO
ay
ax
az
x
y
z
a
a
a
H
a
a
a
V W
X O
Z
YW
YH
ax
ay
az
ay
3. 点的三面投影与直角坐标的关系
若把三个投影面当作空间直角坐标面，投影轴当作直角坐标轴，
则点的空间位置可用其（X、Y、Z）三个坐标来确定，点的投影
就反映了点的坐标值，其投影与坐标值之间存在着对应关系。
yA
xA
zA
4. 三投影面体系中点的投影规律
H
V
X
Z
Y
WO
ay
ax
az
x
y
z
a
a
a
a
a
a
X O
Z
YW
YH
ax
ay
az
ay
点的V面投影与H面投影之间的连线垂直于0X轴，即a‘a⊥0X ；
点的V面投影与W面投影之间的连线垂直0Z轴，即a’ a“⊥0Z；点
的H面投影到0X轴的距离及点的W面投影到0Z 轴的距离两者相等，
都反映点到V面的距离。 长对正 高平齐 宽相等
5. 特殊位置点的投影
OX
b
b
c
c
H
V
OX
Cc
c
a
b
Bb
Aa
a
a
投影面上的点
投影轴上的点
与原点重合的点
三面投影体系中特殊位置的点投影
例1 已知点A的正面与侧面投影，求点A的水平投影。
Z
YH
X YWO
a a
a
X O
Z
Y
1. 两点的相对位置
a
a
a
b
b
b
B
A
两点的相对位置是根据两点相对于投影面的距离远近（或
坐标大小）来确定的。X坐标值大的点在左；Y坐标值大的点在
前；Z坐标值大的点在上。
X
Z
YW
YH
O
a a
a
b
b
b
2. 重影点
c
(c)d
da(b)
a
b
A
B
若两点位于同一条垂直某投影面的投射线上，则这两点在
该投影面上的投影重合，这两点称为该投影面的重影点。
C
D
X
YH
Z
YW
O
c(d)
b
a(b)
a
c
d
a
b
c d
判断重影点的可见性时，需要看重影点在另一投影面上的
投影，坐标值大的点投影可见，反之不可见，不可见点的投影
加括号表示。
例2 已知A点在B点的右10毫米、前6毫米、上12毫米，求A点的
投影。
a a
a
X
Z
YW
YH
O
b
b
b
12
10
6
直线的投影
直线的三面投影
直线对投影面的相对位置
直线上的点
OX
Z
Y
直线的三面投影
A
B
b
b
a
b
a
a
Z
X
a b
a
O
Y
Y
a
b
b
空间任何一直线可由直线上任意两点所确定，直线在某
一投影面的投影可由该直线上某两点的同面投影所确定。
直线对投影面的相对位置
1.投影面平行线
平行于某一投影面，与另外两个投影面倾斜的直线
(1) 水平线
(2) 正平线
(3) 侧平线
2.投影面垂直线
垂直于某一投影面的直线
(1) 铅垂线
(2) 正垂线
(3) 侧垂线
3.一般位置直线
与三个投影面都倾斜的直线
水平线 — 平行于水平投影面的直线
X
Z
Y
O
a
a b
a
b
b
X
a b a b
O
z
YH
YW
b
a
A
B
投影特性：1. ab OX ; ab OYW 2.
ab=AB
3. 反映、 角的真实大小
X
Z
Y
O
正平线— 平行于正面投影面的直线
X
a
b
a
b
ba
O
Z
YH
YWA
B
投影特性： 1、ab OX ; a b
OZ
2、a b=AB
3、反映、角的真实大小
a
a
b
a
b
b
X
Z
Y
O
侧平线— 平行于侧面投影面的直线
X
Z
O
YH
YW
a
b
b
a
b
a
A
B
投影特性： 1、ab OZ ; ab OYH
2、ab =AB
3 、反映 、 角的真实大小
a
a
b
a
b
b
OX
Z
Y
Z
b
X
a
b
a(b)
O
YH
YW
a
投影特性：1、a b 积聚 成一点
2、 a bOX ; a b
OY
3、 a b = a b = AB
铅垂线— 垂直于水平投影面的直线
A
B
b
a(b)
a
a
b
正垂线— 垂直于正面投影面的直线
OX
Z
Y
投影特性： 1、 ab积聚 成一点
2 、 ab OX ; ab OZ
3 、 ab = ab =AB
A
B
z
X
ab b
a
O
YH
YW
a
bb
ab
a
b
a
侧垂线— 垂直于侧面投影面的直线
OX
Z
Y
A B
投影特性： 1、ab 积聚 成一点
2 、 ab OYH ; ab OZ
3 、 ab = ab =AB
b
a
ab
a
b
Z
X
abb
a
O
YH
YW
a
b
OX
Z
Y
一般位置直线
A
B
b
b
a
b
a
a
Z
X
a b
a
O
YH
YW
a
b
b
投影特性：1、a b、 ab、a b均小于实长
2 、a b、ab、a b均倾斜于投影轴
3 、 不反映 、 、 实角
直线上的点具有两个特性：
1 从属性 若点在直线上，则点的各个投影必在直线的各同面投影上。
利用这一特性可以在直线上找点，或判断已知点是否在直线上。
2 定比性 属于线段上的点分割线段之比等于其投影之比。即
A C: C B = a c : c b= ac : cb = ac : c b
利用这一特性，在不作侧面投影的情况下，可以在侧平线上找点或判
断已知点是否在侧平线上。
直线上的点
A
B
b
b
a
a
X O
c
c
C
c
b
X
a
a
b
c
c
例3 已知线段AB的投影图，试将AB分成1：2两段，求分点C
的投影。
O
例4 已知点C在线段AB上，求点C的正面投影。
b
X
a
a
b
c
c
ac
cb
X O
A
B
b
b
a
a
c
C
c
H
V
O
两直线的相对位置
（1）两平行直线在同一投影面上的投影仍平行。 反之，若两直
线在同一投影面上的投影相互平行，则该两直线平行。
（2）平行两线段之比等于其投影之比。
X
b
a
a
d
b b
c
c
A
B
C
D
X
b
a
a
b
d
c
d
c
1.平行两直线
O
O
平行线的判断(1)
平行线的判断(2)
平行线的判断(3)
2.相交两直线
两相交直线在同一投影面上的投影仍相交，且交点属于两
直线。 反之，若两直线在同一投影面上的投影相交，且交点
属于两直线，则该两直线相交。
b
X
a
a
b
k
c
d
d
c
k
X
B
D
A
C
K
b
b
a
a
c
c
d
d
k
k
O
O
3.交叉两直线
凡不满足平行和相交条件的直线为交叉两直线。
X O
B
D
A
C
b
b
a
a
c
c
d
d
2
1
1(2)
2
1
b
X
a
a
b
c
d
d
c
1
1(2)
2
O
判断重影点的可见性
X O
B
D
A
C
b
b
a
a
c
c
d
d
(3)4
1(2)
4
3
3
4
1
2
1
2
判断重影
点的可见性时，
需要看重影点
在另一投影面
上的投影，坐
标值大的点投
影可见，反之
不可见，不可
见点的投影加
括号表示。
b
b
c
d
d
c
X
a
a
3(4)
3
4
1
2
1(2)
例7 判断两直线重影点的可见性
O
d
a
c
b
o YW
YH
Z
X
a
a
c
d
d
c
b
b
例6 判断两直线的相对位置
不用这个方
法!应该怎样
做!!
例题1-3 (14P)
非机p42比例法-直线相交
x o
例：判断直线AB、CD的相对位置
c’ d’
c
d
a
’
b’
b
a
反证法推理
1.假定相交
2.检验比例 . e’
. 2
1
作取a2=a’b’
a1=a’e’
连b2,过1作1e//b2e
e不在此处
交叉（异面）
例题1-4 (15P)
非机p43直线综合
例：已知直线AB、CD、EF。作水平线 MN与AB、CD、EF分
别交于点M、S、T，N点在V面之前6(工程上缺省为mm)
x o
a
’
b
’ b
a
.
c
d
c’d’
e
’
f’
.
e f
侧平 正垂
铅垂
读图
垂线 积聚 水平
线 m’n’//ox
比例法定AB上
的M点
s’m’ t’
t
取a2=a’b’
a1=a’m’
2
1. m.
6
n
s
.
. n’
四 直线的换面
1. 将一般位置直线变为投影面平行线
V
H
X
A
a
B
b
a
b
V1
X1
a1
b1
a1
b1
X 1
V 1 H
b
a
b
a
X
V
H
例1 把一般位置直线AB变为H1投影面平行线
b
a
b
a
X
H
V
X
H 1
V
a1
b1
V
H
X
a
A
a
b
B
b
H
1
X
1
X
1 H
1V
a1
b1
X V
H
a
a
a1
2. 将投影面平行线变为投影面垂直线
b
b
3. 将一般位置直线变为投影面垂直线
X
H
a
A
a
b
b
B
V
V1
X1
H1
a2 b2
a1
b1
将一般位置直线变为投影面垂直线
X
H
1
V
1
a
a
X V
H
b
b
a2 b2
X
H
V 1 a1
b1
a
a
X
b
b
c
c
思考题1 如何求点C到直线AB的距离？
X
H
1
V
1
a
a
X V
H
b
b
a2 b2
X
H
V 1
a1
b1
提示
a
a
X
b
b
c
d
c
d
思考题2 如何求两直线AB与CD间的距离？
X
H
1
V
1
a
a
X V
H
b
b
a2 b2
X
H
V 1
a1
b1
V
提示
五 一边平行于某一投影面的直角的投影
A
H
B
C a
c
b
c
X
ba
c
b
a
互相垂直（相交或交叉）的两直线其中一条为投影面
平行线时，则两直线在投影面上的投影必定互相垂直。
反之，若两直线在某一投影面上的投影成直角，且其
中一条直线平行于该投影面时，则空间两直线一定垂直。
O
例题1-8 (20P)
作交叉二直线AB、CD的公垂线EF
X
a’
b’ c’
d’
c
dab.
.
.
e
f
f
’
平行线特征
e’.
例：在直线 AB上找一点
C使与H、V等距
X
Z
YH
Yw
O
a
’
a
b’
b
a”
b”
c”..
.
c
’
c
45°线
另法：作ab 关于ox
的对称线得交点c’
一般位置线段在投影图上反映不出线段的实长及对投
影面的倾角。
1.几何分析
2.作图要领
用线段在某一投影面上的投影长作为一条直角边，再
以线段的两端点相对于该投影面的坐标差作为另一条直角
边，所作直角三角形的斜边即为线段的实长，斜边与投影
长间的夹角即为线段与该投影面的夹角。
3.直角三角形的四个要素
实长、投影长、坐标差及直线对投影面的倾角。已知
四要素中的任意两个，便可确定另外两个。
六 一般位置线段的实长及对投影面的倾角
(直角三角形法求直线的真长和对投影面的倾角）
几何分析
|zA-zB |
AB
A
B
b
b
a
a
C
X O
|zA-zB|
X
a
a
b
b
AB
ab
|zA-zB|
AB
|zA-zB|
ab
O
例5 已知 线段的实长AB以及ab和a’，求它的正面投影
a’b’。
a
X
a
b
A OB
b0
bb0
bb0
b’
b’
例题 1-10 (22p)
已知线段AB长30,并与CD平行，求作AB的二面投影
X
c
’
d’
c d
.
.
a
’
a
可知直线AB的投
影，但要定B点
用直角三角形
法先定CD实长
Δz
Δz
.由AB长30
.
ab
. b
.
b’
已知等腰三角形的底边BC属于水平线MN,顶点A属于直线
EF,又知BC的中点为D,BC和AD等长，求作ΔABC的投影
X
e’
f’
m
’
n’
d’
a’
b’ c’
e
f
m
n
a
db
c
a d
ΔzadTL
AD
已知直角三角形ABC的一直角边AB//V面；斜边AC=60
，且与H面成60°夹角，请完成ΔABC的投影
X
a’
b’
a b
60A C
a
c
60°
ΔzAC
ΔzAC
c’
c
平面的投影
一 平面的表示法
二 各种位置平面的投影特性
三 面上的点和直线
平面的表示法
1. 几何元素表示平面
用几何元素表示平面有五种形式：
（1）不在一直线上的三个点；
（2）一直线和直线外一点；
（3）相交两直线；
（4）平行两直线；
（5）任意平面图形。
2.平面的迹线表示法
平面的迹线为平面与投影面的交线。特殊位置平面
用迹线来表示是用其具有积聚性的一条边线来表示。
1. 几何元素表示法
a
a
b
c
b
c
b
a
a
c
b
c
b
a
a
c
b
c
a
a
b
c
b
c
a
b c
a
b c
d
d
用几何元素表示平面有五种形式：
（1）不在一直线上的三个点；
（2）一直线和直线外一点；
（3）相交两直线；
（4）平行两直线；
（5）任意平面图形。
2. 迹线表示法
PX
PV
PH
OX
Z
Y
PH
PV
PW
PZ
PY
PX
X O
PW
PZ
PYH
PYW
YH
Z
YW
各种位置平面的投影特性
1.投影的垂直面
(1)铅垂面
(2)正垂面
(3)侧垂面
2.投影的平行面
(1)水平面
(2)正平面
(3)侧平面
3.一般位置平面
铅垂面
投影特性：1、 水平投影abc积聚为一条直线
2 、正面投影 abc、 侧面投影abc为ABC的
类似形
3 、 abc与OX、 OY的夹角反映、角的真实大小
V
W
H
P
PH
A
B
Ca
c
b
a
b
a
b
b
a
c
cc
类似性类似性
聚积性
铅垂面迹线表示
V
W
H
P
PH
PH
PV PW
正垂面
投影特性：1、 正面投影abc 积聚为一条直线
2 、 水平投影abc、侧面投影abc是 ABC的类似
形
3 、 abc与OX、 OZ的夹角反映α、 角的真实
大小
V
W
H
Q
QV
αa
b
a
b
b
a
cc
c
A
c
C
a
b
B
类似性类似性
聚积性
正垂面的迹线表示
V
W
H
Q
QV
α
γQV
侧垂面
投影特性：1、 侧面投影abc积聚为一条直线
2 、 水平投影abc、正面投影 abc为 ABC的类似
形
3 、 abc与OZ、 OY的夹角反映α、β角的真实大
小
V
W
H
SWS
C
a
b
A
B
c
a
b b
b
a
aα
β
c
c c
聚积性
类似性
类似性
侧垂面的迹线表示
V
W
H
SHS
Z
X O
YH
SH
Yα
β
水平面
V
W
H
C
A B a
b
c
b
a
c
a b
c
c
a b b
b
a
ac c
投影特性：
1. abc、 abc积聚为一条线积聚为一直条线，具
有积聚性
2. 水平投影abc反映 ABC实形
积聚性
实形性
积聚性
正平面
V
W
H
c
a
bb
a
c
bc a
b
a
c
a
b
c
bc a
C
B
A
投影特性：
1. abc 、 abc 积聚为一条直线，具有积聚
性
2.正平面投影abc反映 ABC实形
积聚性
实形性
积聚性
侧平面
V
W
H
a
b b
b
a
c c
c
a
b
c
b
a
c
a
b
cC
A
B
a
投影特性：
1. abc 、 abc 积聚为一直条线，具有积聚性
2. 侧平面投影abc 反映 ABC实形
积聚性
实形性
积聚性
一般位置平面
a
b
c
b
a c
a
b
a
b b
a
c
c
b
a
c
C
A
B
投影特性
1. abc 、 abc 、 abc 均为 ABC的类似
形
2. 不反映、、 的真实角度
类似性
类似性
类似性
平面上的点和直线
（1） 平面上的直线
直线在平面上的几何条件是：①通过平面上的两点；②通
过平面上的一点且平行于平面上的一条直线。
（2） 平面上的点
点在平面上的几何条件是：点在平面内的某一直线上。
在平面上取点、直线的作图，实质上就是在平面内作辅助
线的问题。利用在平面上取点、直线的作图，可以解决三类问
题：判别已知点、线是否属于已知平面；完成已知平面上的点
和直线的投影；完成多边形的投影。
一. 平面上取直线和点
（1） 平面上取直线
属于平面上的直线，该直线一定经过属于该平面的已知两点；
或经过属于该平面的一已知点，且平行于属于该平面的一已知直
线。
a
b
c
a
b
c
d
d
e
e
A
B
C
E
D
F
f
f
（2） 平面上取点
A
B
CD
E
a
b
c
a
b
c
d
d
e
e
点在平面上，该点一定在平面内的一直线上。
例 已知ABC 给定一平面，（1）判断点K是否属于该平面。
（2）已知平面上一点E的正面投影e’作出水平投影。
k
k
a
b
c
a
b
c
d
d
e
e
1
1
X O
2. 平面上的特殊位置直线
V
H
P
PV
PH
（1）平面上投影面平行线—既在平面上又平行于投影面的直线。
在一个平面上对V、H、W投影面分别有三组投影面平行线。平面上的
投影面平行线既具有投影面平行线的投影性质，又与所属平面保持从属关
系。
水平线
正平线
例
a
b
c
b
a
c
m
n
n
m
已知 ABC给定一平面，试过点C作属于该平面的正平线，
过点A作属于该平面 的水平线。
例 已知点E 在ABC平面上，且点E距离H面15，距离V 面10
，试求点E的投影。
X
a
b
c
b
a
c
m
n
m n
r s
r
s
10
15
e
e
V
A
H
C
B
c
b X
a
a
b
c
a1
c1
b1V1
X1X1
V/H 体系变为V1/H 体系
c1
b1a1
bc
a
b
a
c
X
1. 新投影体系的建立
六 平面的换面
（1）新投影面必须和空间几何元素处于有利解题的位置。
（2）新投影面必须垂直于原投影体系中的某一个投影面。
V
A
H
C
B
c
b
X
a
a
b
c
V1
X1
c1
b1a1
2. 新投影面的选择原则
a
c
X
V
H
b
b
a
c
V
H
X
c
b
a
b
C
A
c
B
a
d
d
D
X
1
H1
a1
c1
b1
d1
d
X
1 H
1V
d
b1
a1
c1
d1
1. 将一般位置平面变为投影面垂直面
k1
X
1 H
1V
b1
a1
c1
d1
s1
a c
b
b
a
c
d
d
s
s'
例3 求点S到平面ABC的距离
H
X
V
C
A
c
b
a
B
2. 将投影面垂直面变为投影面平行面
X 1
V 1
c1
b 1
a 1
V1
c1
b1
a1
X1
a1
c1
b1
X1
bc
a
b
a
c
X
V
H
a
c
b
X
X 1
V 1
c 1
b 1
a 1
b c
a
a
c
X
V
H
b
b
a
c
d
d
b1
a1
c1
d1
X
1 H
1V
a2
c2
b2
d2
X
2
V
2H
1
3. 将一般位置平面变为投影面平行面
例5 已知点E在平面ABC上，距离A、B为15，求E点的投影。
a
c
X
V
H
b
b
a
c
d
d
b1
a1
c1
d1
X
1 H
1V
a2
c2
b2
d2
X
2
V
2H
1
15
15
e
e
e1
e2
直线与平面、
平面与平面的相对位置
平行问题1 相交问题
2 平行问题
3 垂直问题
4 综合问题分析
相交问题
积聚性法
交点与交线的性质
直线与平面、平面与平面不平行则必相交。直线与平面
相交有交点，交点既在直线上又在平面上，因而交点是直线
与平面的共有点。两平面的交线是直线，它是两个平面的共
有线。求线与面交点、面与面交线的实质是求共有点、共有
线的投影。
P A
B
K
D
B
C
A
L
K
E
F
积聚性法
当直线为一般位置，平面的某个投影具有积聚性时，交
点的一个投影为直线与平面积聚性投影的交点，另一个投影
可在直线的另一个投影上找到。
V
H
PH
P
A
B
Ca
c
b k
N
K
M
直线可见性的判别
b
b
a
a
c
c
m
m
n
k
n
特殊位置线面相交，根据平面的积聚性投影能直接
判别直线的可见性--观察法
V
H
PH
P
A
B
Ca
c
b k
N
K
M
k
在平面之前
X O
a’
a(b)
b’
c’
e’
d’
c
e
f
d
f’
k
k’
例6 铅垂线AB与一般位置平面ΔCDE相交，求交点并判别可
见性。
（2） 两平面相交
f
k
求两平面交线的问题可以看作是求两个共有点的问题,
由于特殊位置平面的某些投影有积聚性，交线可直接求出。
V
H
M
m
n
l
P
B
C
a
c
b
PH
k
f
F
K
N
L
n
l
m
m
l
n
b
a
c
c
a
b
X O
f
k
平面可见性的判别
V
H
M
m
n
l
B
C
a
c
k
f
F
K
N
L
b
b
a
c
n
l
m
c
m
a
l
n
f
k
f
k
X O
平面可见性的判别
V
H
M
m
n
l
B
C
a
c
k
f
F
K
N
L X O
b
b
a
c
n
l
m
c
m
a
l
n
f
k
f
k
平行问题
1 直线与平面平行
2 平面与平面平行
直线与平面平行
直线与平面平行的几何条件: 平面外的一条直线与平面内的一
条直线平行，则该直线与该平面平行。
特殊情况:直线和投影面垂直面平行的条件!
P
C
D B
A
例1 试判断直线AB是否平行于平面 CDE。
f
g
f
g
b
a
a
b
c
e
d
e
d
c
结论：直线AB不平行于定平面
X O
例2 过点K作一水平线AB平行于已知平面 ΔCDE。
b a
a
f
f
b
c
e
d
e
d
k
k
c
X O
平面与平面平行
两平面平行的几何条件:平面内的两相交直线对应地平行于另
一平面内的两相交直线。
特殊情况:两平面都是投影面垂直面时平行的条件!
P S
E
F
D
A
C
B
f
e
d
e
d
f
c
a
a
c
b
b
m
n
m
n
r
r
s
s
结论：两平面平行
X O
例3 试判断两平面是否平行
例4 已知定平面由平行两直线AB和CD给定。试过点K作
一平面平行于已知平面 。
e
m n
m
n
f e
f s
r
s
r
d
d
c
a
a
c
b
b
k
k
X O
例5 试判断两平面是否平行
结论：两平面平行
e
fe
f
s
r
s
d
d
c
a
a
c
b
br PH
SH
X O
垂直问题
1 直线与平面垂直
2 平面与平面垂直
直线与平面垂直
V
H
P
A
K
L
D
C
B
E
几何条件：一直线垂直于一平面，则必垂直于属于该平面
的一切直线。
如果平面是投影面垂直面时,与该平面垂直的线应该是什么线
定理1：若一直线垂直于一平面、则直线的水平投影必垂
直于属于该平面的水平线的水平投影；直线的正面投影必垂直
于属于该平面的正平线的正面投影。
V
P
A
K
L
D
C
B
E
H
a
a
d
c
b
d
c
b
e
ek
n
k
n
X O
a
c
a
c
n
n
m
f
d
b
d
b
f
m
例8 平面由 BDF给定，试过定点M作平面的垂线。
h
h
h
h
h
h k
k
SV
k
k
PV k
k
QH
例9 试过定点K作特殊位置平面的法线。
两平面垂直
几何条件：若一直线垂直于一定平面，则包含这条直线
的所有平面都垂直于该平面。两个投影面垂直面相互垂直!它
们具有积聚性的同面投影相互垂直
P
A
B
两平面相互垂直，则由属于第一个平面的任意一点向第二个
平面作的垂线,该垂线必属于第一个平面上的直线。
A
B
Ⅰ
Ⅱ
两平面垂直 两平面不垂直
Ⅱ
Ⅰ
A
B
平行、相交、及垂直等问题侧重于探求每一个
单个问题的投影特性、作图原理与方法。而实际问
题是综合性的，涉及多项内容，需要多种作图方法
才能解决。
求解综合问题主要包括：空间几何元素的定位问
题（交点、交线）和空间几何元素的度量问题（如
距离、角度）。
综合问题解题的一般步骤：
1. 分析题意
2. 明确所求结果，找出解题方法
3. 拟定解题步骤
二 用投影变换法解决空间几何元素定位问题
和度量问题
a
a
b
b
a
a
b
b
c
c
d
d
b
a
a
b
c
c
d
da
a
b
b
c
c
a
a b
b
两点之间距离
a
a b
b
c
c
三角形实形
a
a
b
b
c
c
d
d
直线与平面的交点
a
b
c
d
a b
cd
两平面夹角
例题1-18 (39P)
例题1-20(40P)
X
2 H
2V
1
X 1
H
V 1
a2b2d2
c2
b1
a1
d1c1
11
21
2
1
b
a
b
d
c
a
X
V
H
d
c
2
1
1222
例2 求两直线AB与CD的公垂线 。
H2
