《统计手册：金融中的统计方法》 ∗第1章 资产定价模型的计量经济评估 Wayne 和 Ravi Jagannathan 本文简要回顾了基于广义矩方法（GMM）的资本资产定价模型评估技术。文中首先推导了CAPM和多beta模型，并讨论了最初用于评估这些模型的古典两阶段回归方法。然后描述了一般资产定价模型的核定价表示法，这种表示法自然地促进GMM在评估大多数资产定价模型的条件和无条件形式中的运用。最后，本文还讨论了其他观点的诊断方法。 1. 引言 金融研究的重要领域之一就是致力于理解为什么我们观察到的各种金融资产有着不同的期望收益率。例如，从1926年1月到1991年底，美国股票市场的总体年平均收益率为%。相比之下，美国国库券的收益率只有%。同期的通货膨胀率为%(参见Ibbotson Associates（1992）). 为了正确评估这些巨大的差异，我们不妨看看，一顿供两人吃的正餐，1926年在纽约大约要花10美元。如果同样的10美元被投资到国库券上，到1991年底将增值到110美元，仍然够两个人吃一顿不错的正餐。但如果把10美元投资到股票市场，则到1991年底将增长到6756美元。 这里的关键在于不同金融资产之间的平均收益的差异是巨大的，并且从经济学的角度来看，这种差异也是非常重要的。 人们提出各种资产定价模型用于解释这一现象。资产定价模型描述了证券市场上具有未来收益的资产价格是如何决定的。或者，可以将资产定价模型视为金融资产，如股票、债券、期货、期权和其他证券的期望收益率的描述。各种资产定价模型之间的差异源于投资者的偏好、才能、生产和信息集的假定不同，对金融市场中控制消息到达的随机过程以及对真实资产和金融资产市场中允许的摩擦类型的约束不同。 虽然各种资产定价模型之间有许多差异，但也有重要的相同之处。所有的资产定价模型都是以下面的三个中心概念中的一个或几个为基础的。首先是一价定律。根据这一定律，任何支付同样收益的未来资产价格必须相等。一价定律引申出第二个概念——无套利原则。无套利原则认为市场力量有助于调整金融资产的价格以消除套利机会。当资产通过买和卖可以结合起来，形成净成本为零的投资组合时，就产生了套利的机会。此时不存在产生损失的可能，而盈利的概率为正。通过金融市场的交易，套利机会将趋于消失。因为当投资者试图逐利时，价格也会调整。例如，当证券A的价格太低而产生了套利机会时，投资者将竞相购买证券A会促使证券A的价格上升。当有可能买或卖两个相同的未来收益权时，一价定律就遵循无套利原则。因为，如果两个未来收益权的价格不同且交易成本小于两个价格之间的差异，则会产生套利机会。套利定价理论（APT，Ross （1976））是最有名的以套利原则为基础的资产定价模型之一。 资产定价模型中的第三个中心概念是金融市场均衡。投资者希望持有的金融资产源于最优化问题。在一个无摩擦市场中，金融市场均衡的必要条件是投资者最优化问题的一阶条件得到满足。这就要求投资者在边际上不在乎他们所持有资产的微小变化。均衡资产定价模型符合投资者组合选择问题的一阶条件和市场出清条件。市场出清条件认为投资者期望持有的 ∗ Ferson感谢华盛顿大学Pigott-PACCAR教学基金的资助。Jagannathan感谢国家科学基金（批准号SBR-9409824）的资助。本文所表达的观点仅代表作者本人，与明尼阿波利斯联邦储备银行或联邦储备体系无关。 1
《统计手册：金融中的统计方法》 总资产必须等于证券供给的总“市场组合”。 最早的均衡资产定价模型是20世纪60年代早期发展起来的Sharp-Lintner-Mossin-Black资本资产定价模型（CAPM）。CAPM认为资产的期望收益是资产beta值的线性函数，其中beta是资产的期望收益对市场投资组合收益回归的系数。Merton（1973）扩展了CAPM，把它从一个单时期模型扩展到投资者能跨期分别进行消费、储蓄和投资决策的经济环境。从经济计量学的意义上来说，Merton的模型使CAPM从一个单beta模型一般化为多beta模型。多beta模型认为资产的期望收益是若干个beta的线性函数。Ross的APT是多beta资产定价模型的另一个例子，尽管APT中的期望收益只是相关beta的一个近似的线性函数。 本文侧重于（但非排他地）使用广义矩方法（GMM，hansen 1982）对资产定价模型进行经济计量评估。之所以强调GMM，是因为我们认为，GMM是过去十五年里金融实证方法的最重要的创新。在一般的统计假设下，该方法简单、灵活、有效，并且在金融应用中具有影响力。GMM“广义性”的一个原因在于金融和其他领域中应用的许多实证方法都可视为GMM的特例。 本文其余部分的结构如下。第2节推导了CAPM和多beta模型，并且讨论了最初用于评估这些模型的古典两阶段回归过程。这一部分内容还介绍了运用模型进行实证研究所涉及的各种统计问题；它引发了对多变量估计方法的需求。第3节讨论了另一种使GMM的应用更为方便的资产定价模型的表达形式，并指出大多数的资产定价模型都能表示成这一随机贴现因子(stochastic discount factor)的形式。第4节描述了GMM的步骤，以及如何用它来估计和检验各种条件和无条件形式的资产定价模型。第5节讨论了模型诊断。这些诊断为统计拒绝的原因提供了进一步的解释，而且有助于评估模型中的设定误差。为了避免增加符号，我们有时在不同的小节中用同样的符号来表示不同的内容，但通过上下文可以明确其含义。第6节是小结。 2．检验beta定价模型的横截面回归方法 本节首先推导出CAPM，扩展其实证设定以包括多beta模型。然后阐述首先由Black，Jensen和Scholes (1972， 此处缩写为BJS) 使用的、直观上吸引人的横截面回归方法，并讨论该方法的缺点。 资本资产定价模型 CAPM是第一个均衡资产定价模型，它仍是金融经济学的基础之一。该模型是由Sharpe(1964)、Lintner(1965)、Mossin(1966)以及Black(1972)发展的。有大量的理论文章改善了必要的假设并提供了CAPM的推导。此处我们对这一理论作一简要回顾。 t令R表示1加上资产i在时期里的收益，i=1,2,…,N。令R表示经济中所有资产itmt的市场组合相应的总收益。理论中预想的市场组合的收益是不可观测的。因此，CAPM的1实证研究通常假设市场收益是可观测的普通股票组合收益的精确线性函数。 因此，根据CAPM，有 E(R)=δ+δβit01i () 1 当这一假设不满足时，会导致市场替代误差。Roll(1977)、Stambaugh(1982)、Kandel(1984)、Kandel & Stambaugh (1987)、Shanken(1987)、Hansen & Jagannathan(1994) 和Jagannathan & Wang(1996) 等对这一误差的来源进行了研究。在我们的讨论中将忽略替代误差。 2
《统计手册：金融中的统计方法》 其中， β=Cov(R,R)Var(R)iitmtmt 根据CAPM，收益率为R的市场组合在收益的最小方差边界上。当一个收益在最小方差边mt界上时，不存在其他的具有相同收益但更小方差的组合。如果投资者是风险厌恶者，CAPM意味着R是在最小化方差边界的正斜率部分，即系数δ>0。在方程()中δ=E(R)。mt100t因为条件，收益R被称为对R的零-beta资产。 Cov(R,R)=00tmt0tmt为了导出CAPM，假设投资者在每个t−1时期选择持有的资产以最大化下一期的目标 函数： V[E(RI),Var(RI)]ptpt () t其中R表示在时期最优选择组合的收益，E(⋅I)和Var(⋅I)表示t−1时期投资者拥有信息pt集I的条件下收益的期望和方差。我们假设函数V[.,.]随它的第一个自变量递增且是凹的，随它的第二个自变量递减，且该函数不随时间变动。现在，我们假设信息集I只包括资产收益的无条件矩，并省略符号I以简化表示法。上面给出的最优化问题的一阶条件经处理后可以得出，对于每个资产i=1,2,…,N，都有： E(R)=E(R)+βE(R−R)it0tippt0t () 其中，R是最优选择组合的收益，R是与R不相关的资产的收益，且pt0tptβ=Cov(R,R)Var(R)。 ipitptpt 正如方程()所示， 为了从投资者最优化问题的一阶条件得到CAPM，理解最小方差边界——给定期望收益，具有最小方差的组合收益的集合——的某些性质是有用的。易于证明，投资者的最优选择组合在最小方差边界上。 最小方差边界的性质之一，是对组合的形成封闭。也就是说，边界上的组合的组合仍然在边界上。假设所有的投资者有相同的看法，则每个投资者的最优选择组合将会在同样的边界上，因此经济中所有资产的市场组合——每个投资者的最优化选择组合——也将会在边界上。能够证明，如果R被边界上任意一个组合收益替代，同时R也被它相应的零-beta收pt0t益替代，方程() 仍将成立（Roll (1997)）。因此，如方程()所示，我们可以通过用市场组合的收益替代方程()中的投资者最优组合的收益而得到CAPM。 2．2 CAPM可检验的含义 对于给定的资产集合，如果它们的期望收益和市场组合的β是已知的，一个很自然的i检验CAPM的方法就是估计期望收益和beta之间的经验关系，并判断这一关系是否为线性。 3
《统计手册：金融中的统计方法》 然而，对于计量经济学家而言，beta和期望收益都是不可观测的，二者都必须由估计给出。金融文献首先用两阶段时间序列与横截面的方法解决这一问题。 考虑以下与()给出的总体关系式相对应的样本形式： R=δ+δb+ei=1,…,Ni01ii ， () i这是R关于b的横截面回归，回归系数为δ和δ。在方程()中，R表示资产的样本平ii01i均收益， b是一段时间内收益R对市场指数收益R的（OLS）回归斜率系数，它是一个iitmt常数。令u=R−E(R)，v=β−b，并替代()式中的E(R)和β，就可得到()， iiitiiiti并且设定复合误差e=u+δv。这一替代会产生古典的变量误差（errors-in-variables）问ii1i题，因为在横截面回归模型()中b的回归元存在测量误差。用时间序列小样本估计b，ii回归方程()就会产生δ和δ的不一致估计，即便是在横截面大样本中也是如此。然而，01当时间序列样本容量T（用于第一步估计beta系数β）变得非常大时，横截面回归可以得i到系数的一致估计。这是因为当T变得非常大时，β的第一步估计就是一致的，第二阶段i回归的变量误差问题就会消失。 单个证券的beta测量误差可能很大，但组合的beta的误差就要小得多。据此，早期的研究集中在创建证券组合上，以使得组合的beta可以精确估计。因此解决变量误差问题的一个方法就是用组合来代替单个证券。但这会产生另一个问题。随机选择组合的beta显示出很小的分散性。如果计量经济学家可获得的所有组合都有相同的beta，那么方程()的横截面关系式就没有实证的内容了。Black, Jensen和Scholes(BJS，1972)提出一个创新的方法克服了这一困难。在每个时间点上都进行横截面回归，可以估计出单个证券的以历史为基础的beta，再根据beta的估计值对证券进行分类并将单个证券分配到beta组中。这样处理后的组合，beta就有很大的分散性。在实证金融文献中，类似的组合形成技术已成为标准的实践方法。 假设我们能用这样的方法创建组合，将变量误差问题看成为次要问题。我们仍然需要决定如何评估是否存在CAPM的实证支持。文献中的一个标准方法是考虑设定有关变量的备择假设，该变量是确定的资产期望收益。根据CAPM，任何资产的期望收益都仅是其beta的线性函数。因此，一个很自然的检验就是验证任何其他的横截面变量是否能够解释方程()中的偏差。这就是Fama和MacBech(1973)提出的策略，即把beta的平方以及非市场（或残差的时间序列）方差作为附加变量加入到横截面回归模型中。更近期的实证研究用到了公司的相对规模，它由其股权的市场价值、股权的帐面价值与市场价值之比以及其他相关的变2量来表示。 例如，可以设定以下的模型： E(R)=δ+δβ+δLMEit01isizei () 2 Fama和French(1992)给出了这一方法新近的突出例子。Berk(1995)对使用相对市场价值以及帐面价值与价格的比率作为期望收益的度量提供了证明。 4
《统计手册：金融中的统计方法》 这里的LME是公司i股权资本总市值的自然对数。接下来我们将说明这些思路很容易扩展i到一般的多beta模型。然后再介绍横截面回归估计量的抽样理论。 多beta定价模型和横截面回归方法 根据CAPM，资产的期望收益是其市场beta的线性函数。多beta模型则认为期望收益是几个beta的线性函数，即： E(R)=δ+δβit0∑kikk=1,...,K () 其中，β（k=1,…,K）是资产i的收益对K个经济中普遍存在的风险因子fikk（k=1,…,K）进行多元回归得到的系数。系数δ是β=0（k=1,…,K）时资产的期00k望收益，即它是零-（多-）beta资产的期望收益。与第k个因子相对应的系数δ的解释如下：k对于具有β=1和β=0（对所有的j≠k）的组合，它是一个期望收益的差额或溢价ikij(premium)，即超过零-beta资产的期望收益部分。换句话说，它是风险因子k每单位beta的期望收益溢价。Ross (1976)指出，式()的一个近似形式在无套利经济中也能成立。Connor(1984)提供了式()在一个拥有无限数量资产的一般均衡经济中精确成立的充分条件。这一形式的多beta模型，确切地说是APT，在金融文献中引起了广泛的关注。当因子fk3能被计量经济学家观测到时，横截面回归方法可用于实证评估多beta模型。 例如，给定因子的beta，备择假设――公司的规模与期望收益相关——可以通过收益对K个因子的beta及LME的横截面回归来检验，这类似于方程()，并检验系数δ是否显著不等于零。 isize 系数估计量的抽样分布：两阶段横截面回归方法 在这一节中我们沿用Shanken(1992)以及Jagannathan和Wang(1993，1996)的方法，导出用横截面回归方法估计的系数的渐进分布。从发展抽样理论的目的出发，我们将使用方程()的如下推广： KK12E(R)=γA+γβit∑1kik∑2kikk=0k=1 () 其中，{A}是公司i的可观测特性，并假定它能够被无误差地测量（当k=0时的第一个“特ik征”是常数）。其中的一个属性可以是规模变量LME。β是对经济中的K个风险因子ii2集合回归的beta，它可以包括市场指数收益。用矩阵符号能够使方程()写得更加简洁： μ=Xγ () 3 在一些附加的辅助假设下，当因子的实现是不可观测时，可参见Chen(1983)、Connor和Korajczyk(1986)、Lehmann和Modest(1987)、Mcelroy和Burmeister(1988)对估计和检验模型的讨论。 5
《统计手册：金融中的统计方法》 其中，μ=E(R)，R=[R,...R]，，X=[A:β]，矩阵A和β及向量γ沿用()中的tt1tNt定义。 横截面方法在两阶段中进行。首先，β由R对风险因子和常数项的时间序列回归估计it得到。将估计量表示为b。令x=R[A:b]， 表示收益向量R的时间序列均值。并且令gt表示由如下横截面回归得到的系数向量的估计值： −1g=(x'x)x'R () xb这里假定的秩为1+K+K。如果和R依概率各自收敛于β和E(R），那么g将依概12t率收敛于γ。 Black、Jensen和Scholes(1972)建议联系以下的估计量g来估计抽样误差。在每个时期t，x用R对回归以获得g，其中 tt−1g=(x'x)x'Rtt () 12T(g−γ)的协方差矩阵的BJS估计为： −1v=T(g−g)(g−g)'∑ttt () 这里用到了g是g的样本均值这一事实。将()给出的g的表达式代入()中，得到v的tt表达式： −1−1−1v=(x'x)x'[T(R−R)(R−R)']x(x'x)∑ttt ()为了分析BJS的协方差矩阵估计量，把平均收益向量R写为： R=xy+(R−μ)−(x−X)γ () 将R的这个表达式代入g的表达式()，得到： −1g−γ=(x'x)x'[(R−μ)−(b−β)γ]2 () 1212假设b是β的一致估计量，并且T(R−μ)→u，T(b−β)→h，其中u和h是具dd有精确分布的随机变量，而→表示依分布收敛。于是有 d12−1−1T(g−γ)→(x'x)x'u−(x'x)x'hγd2 () μ在()中，右边的第一项是样本均值R替代而产生的抽样误差分量。第二项是β由其估计b替代而产生的抽样误差分量。 6
《统计手册：金融中的统计方法》 u渐进方差通常的一致估计为： −1T(R−R)(R−R)'∑ttt () 因此， ()中第一项的方差的一致估计为： −1−1−1(x'x)x'[T(R−R)(R−R)']x(x'x)∑ttt v它与式()中给出的系数估计的协方差矩阵的BJS估计量相同。因此，如果忽略由于使用估计的beta而产生的抽样误差，那么BJS协方差估计量就提供了估计量g的方差的一致估计。然而，如果与beta相关联的抽样误差不是很小的话，则BJS协方差估计量将会有偏差。虽然偏差的程度一般是不可能确定的，但Shanken(1992)提出了一个在附加假设下评估4偏差的方法。 考虑以下资产i的收益对常数项和第k个经济因子的单变量时间序列回归： R=α+βf+εitikikktikt () 我们提出()中误差项的如下附加假设：(1)以经济因子f的时间序列为条件，误差∑的kikt均值为零；(2)给定因子，ε和ε的条件协方差是一个固定常数σ。用∑表示矩阵iktjltijklkl{σ}。最后假设：(3)因子的样本协方差矩阵存在并且依概率收敛于元素为Ω的常数正ijklklij定矩阵Ω。 定理 . (Shanken，1992、Jagannathan和 Wang，1996) 12T(g−γ)依分布收敛于一个具有零均值、协方差矩阵为V+W的正态分布随机变量，其中，V是()中给出的矩阵v的概率极限，且 −1−1−1−1 W=(x'x)x'{γγ(Ω∏Ω)}x(x'x) （） ∑2k2lkkkllll,k=1,...,K2其中∏的定义在附录中给出。 kl 证明：见附录。 g定理表明，为了得到BJS二阶段估计量的协方差矩阵的一致估计，首先用BJS方法估计v（V的一致估计）。然后通过样本的相应形式估计W。 虽然横截面回归方法直观上很吸引人，但上述讨论表明，为了评估与参数估计量相关联的抽样误差，需要给出相当严格的假设。此外，计量经济学家必须构建一个特定的备择假设，从而可以拒绝模型。下面第4节中介绍的一般方法具有较弱的统计假设并且有能力处理非设定和设定的备择假设，这也是该方法的优点之一。 3． 资产定价模型和随机贴现因子 4 Shanken(1992)使用的是多元回归计算的beta。为了简便起见，接下来的推导使用单变量回归出来计算的beta。这两个beta集由可逆的线性变换连接起来。此外，不失一般性，因子可以是正交的。 7
《统计手册：金融中的统计方法》 所有的金融资产定价模型实际上都隐含着，任何总资产收益R与某些市场随机变量i,t+1m相乘后，具有常数条件期望： t+1 E{mR}=1，所有的 i () tt+1i,t+1给定一个市场范围的信息集，符号E{⋅}用于表示条件期望，有时称作市场信息子集Z条件tt下的期望则更方便些，记作E{⋅Z}。例如，Z能够表示计量经济学家可获得的公共信息集tt的工具变量向量。当Z是一个空信息集时，无条件期望记作E{⋅}。如果对方程()取期望tt值，结果是期望值E{⋅Z}和E{⋅}具有相同形式的方程。 tt随机变量m在文献中有各种不同的名字。它常常被称为随机贴现因子、等价于鞅的t+1测度（equivalent to martingale measure），Radon-Nicodym微商，或者是跨时期边际替代率。我们将满足方程()的m称为有效随机贴现因子。使用这一术语的动机源于以下的观察。t+1方程()可写作 P=E{mX}ittt+1i,t+1 其中X是资产i在t+1时期的收益(市场价值加上任何现金支付)，且 R=XP。i,t+1i,t+1i,t+1it方程()说明如果用随机贴现因子m乘以一个未来收益X并且取期望值，就得到了未t+1i,t+1来收益的现值。 满足()的m的存在说明所有具有相同收益的资产具有相同的价格（即一价定律）。t+1在m是一个严格正随机变量的约束下，方程()等价于无套利条件。条件是其所有收益为t+1正（永不能为负，且以正的概率为正）的资产组合必须有一个正价格。 无套利条件并不唯一地确定m，除非市场是完全的。这意味着可以在证券市场上获t+1得与时期t+1的自然状态一样多的线性独立的收益。为了对随机贴现因子和无套利条件进行进一步的深入考察，我们现时假定市场是完全的。给定完全的市场，要求要有正的状态价5s格以排除套利机会。 当且仅当t+1时的自然状态是时，令q表示在t+1时期将支付的tst一单位货币有价证券在时期的价格。那么约定在t+1时期支付{X}的有价证券在时期i,s,t+1ts的价格是自然状态的函数： 5 参见Debreu(1959)和Arrow(1970)的完全市场模型。参见Beja(1971)、Rubinstein(1976)、Ross(1977)、Harrison和Kreps(1979)、Hansen和Richard(1987)的进一步理论讨论。 8
《统计手册：金融中的统计方法》 qX=π(qπ)X∑tsi,s,t+1∑tststsi,s,t+1ss ts其中π是时期评估的状态将在时期t+1发生的概率。将这一表达式与方程()作比较可tss以看出，在完全市场的假设下，m=qπ是随机贴现因子在状态时的值。由于这些s,t+1tsts概率是正的，所以由{m}定义的随机变量是严格为正的条件等价于所有的状态价格为正s,t+1的条件。 方程()有利于展开资产定价模型的经济计量检验。令R表示计量经济学家已经观测t+1N到的个资产的总收益向量。那么()可以写成 E{mR}−1=0 () tt+1i,t+1*其中1表示N维1向量，0表示N维零向量。式()给出的N个方程的集合构成了用广义矩方法进行检验的基础。模型中隐含的m的特定形式给出了方程的实证内容。 t+1 CAPM的随机贴现因子表示法和多beta资产定价模型 考虑如方程()给出的CAPM： E(R)=δ+δβit+101i 其中， β=Cov(R,R)Var(R)iit+1mt+1mt+1 当随机贴现因子有特别的设定时，CAPM也能表示成方程()的形式。为了说明这点，把方程()中的期望积扩展为期望积加上协方差并重新整理，可得： E(R)=1E(m)+Cov(R;−mE(m)) () it+1t+1it+1t+1t+1将方程()和()中的项对等，可看出方程()的CAPM等价于方程()的形式，其中， E{Rm}=1it+1t+1 这里， m=c−cRt+101mt+1 c=[1+E(R)δVar(R)]δ () 0mt+11mt+10且 1* 原文为单位向量（unit vector）有误，单位向量是指长度为1的向量，如各元素均为的n维向量。这n里应是“1向量”，表示各元素均为1的向量。——译者注。 9
《统计手册：金融中的统计方法》 c=δ[δVar(R)]110mt+1 方程()最早是由Dybvig和Ingersoll(1982)推导出来的。 现在考虑方程()给出如下的多beta模型： E(R)=δ+δβit+10∑kikk=1,...,K 通过替代可以很容易地证实这一模型包含有如下随机贴现因子表达式： E{Rm}=1it+1it+1 其中， m=c+cf+...+cfit+1011t+1KKt+1 且 () c=[1+{δE(f)Var(f)}]/δ0∑kkk0Kj=1,…,K ， c=−{δδVar(f)}jj0j前述结果适用于CAPM和多beta模型，被解释为有关资产无条件期望收益的表述。这些模型还可看作某些检验中有关条件期望收益的表述，这些检验中的期望值是以预先确定的、公众可获得的信息为条件的。适当变换符号，本节中的所有分析都适用于条件期望值。在此情t况下，参数c、c、、等将成为时期信息集合的函数。 δδ0101 随机贴现因子的其他例子 在均衡资产定价模型中，方程()作为消费者－投资者最优化问题的一阶条件出现。代理人最大化终生的消费效用函数（可能包括给继承人的遗产）。以V(⋅)表示这一函数。如果资源在消费和投资中的分配是最优的，那么通过改变分配是不可能得到更高的效用的。设想tt一个投资者考虑减少时期的消费以用于购买更多的（任何）资产。时期放弃消费的效用成本是消费支出C的边际效用（表示为∂V∂C)>0乘上与消费支出具有相同度量单位的tt资产价格P。在t+1时期卖掉股票并消费出售收入的期望效用增益（gain）是： i,tE{(P+D)(∂V∂C)}ti,t+1i,t+1t+1 其中，D是t+1时期支付的现金流或者股利。如果分配使期望效用最大化，那么下列条i,t+1件必须满足： PE{(∂V∂C)}=E{(P+D)(∂V∂C)}i,tttti,t+1i,t+1t+1 这个跨时期欧拉方程等价于方程()，且 m=(∂V∂C)E{(∂V∂C)}t+1t+1tt () 方程()中的m是代表性消费者的跨时期边际替代率(IMRS)。本节的其余部分显示，资t+1 10
《统计手册：金融中的统计方法》 6产定价文献中有多少模型是()的特殊形式，其中m由方程()定义。 t+1t如果一个代表性消费者的终生效用函数V(⋅)是时间上可分的，那么在时期消费的边际t效用（∂V∂C)就仅依赖于时期的变量。假定偏好是时间上可分且可加的，Lucas(1978)t和Breeden(1979)推导了以下形式的以消费为基础的资产定价模型： tV=βu(C)∑tt 其中β是时间贴现参数，且u(⋅)是随当前消费C递增的凹函数。对u(⋅)的一个简便设定是： t1−αu(C)=[C−1](1−α) () 在方程()中，α>0是时期效用函数的凹性（concavity）参数。这个函数显示了等于α的7常数相对风险厌恶。 基于这些假设，并使用加总的消费数据，许多的实证研究检验了以消8费为基础的资产定价模型。 Dunn和Singleton(1986)、Eichenbaum、 Hansen和Singleton(1988)等人对性质上可持续的消费支出建模。持续性导致了时间上的不可分性，因为消费服务的流量依赖于消费者过去的支出，而效用是定义在服务之上的。如果支出是持续的，当前的支出增加了消费者未来服务的效用。消费者对支出C进行最优化；持续性因而意味着边际效用(∂V∂C)取决于过ttt去时间的变量，而不取决期的变量。 如果效用函数显示出习惯持久性 (habit persistence)，另一形式的时间不可分性就会产生。习惯持久性意味着在两个时点的消费是互补的。例如，当前消费的效用是以相对于过去消费的效用来评估的。Ryder和 Heal(1973)、 Becker和Murphy(1988)、Sundaresan(1989)、Constantinides(1990)、Detemple和Zapatero(1991)以及Novales(1992)等人推导出了这个模型。 Ferson和Constantinides(1991)对消费服务中的消费支出的持续性和习惯持久性同时建模。他们指出这两者相互补充而不是相互抵消。从对效应截取一期滞后的例子中，导出的支出效用是 −1t1−α V=(1−α)β(C+bC) () ∑tt−1tt时期的边际效用是 t−αt+1−α (∂V∂C)=β(C+bC)+βbE{(C+bC)} () ttt−1tt+1t如果物品是耐用的且没有习惯持久性，那么系数b为正且是折旧率的度量。如果习惯持久性出现而物品是非耐用的，则说明滞后支出有一个负的效应(b<0)。 Ferson和Harvey(1992)以及Heaton(1995)考虑了一种强调季节性的时间不可分形式。效用函数是 6 资产定价模型特别关注证券收益对加总数量的关系。因此有必要加总单个的欧拉方程，以获得根据加总数量表示的均衡表达式。Gorman(1953)、Wilson(1968)、Rubinstein(1974)、Constantinides(1982)、Lewbel(1989)、Luttmer(1993)、Constantinides和Duffie(1994)讨论了确定加总数量使用的理论条件。 7'''''' 消费中的相对风险厌恶定义为−Cu(C)/u(C)。绝对的风险厌恶为−u(C)/u(C)，其中撇号代表求导。Ferson(1983)研究了以消费为基础的带有常数绝对风险厌恶的资产定价模型。 8−α 将（）代入()可以看出m=β(C/C)。这一模型的实证研究包括Hansen和Singleton(1982,1983)、t+1t+1tFerson(1983)、Brown和Gibbons(1985)、Jagannathan(1985)、Ferson和Merrick(1987)以及Wheatley(1988)。 11
《统计手册：金融中的统计方法》 −1t1−α(1−α)β(C+bC)∑tt−4t 其中假设消费支出的决策按季度作出，假设生活水平（习惯持久性存在时）或者服务流量（持续性存在）只依赖于前一年份相同季度的消费支出。 Abel(1990)研究了习惯持久性的一种形式，其中消费者以相对于前一个时期的加总消费来估计当前的消费，该消费被视为外生变量。效用函数如方程()，“习惯性存货”除外，bCt−1是指加总的消费。原因在于人们总是注意“赶上潮流”。Campbell和Cochrane(1995)也发展了一个模型，其中习惯性存货也被消费者看作是外生的。这一方法产生了一个更为简单和更容易处理的模型，因为消费者的最优化不用考虑当前决策对未来习惯性存货的影响。 Epstein和Zin(1989,1991)考虑了一类递归的偏好，它可以写为V=F(C,CEQ(V))。 tttt+1tCEQ(⋅)是未来终生效用V在时间的“确定性等价物”。函数F(⋅,CEQ(⋅))使得通常的终tt+1t生消费期望效用函数一般化并且是时间不可分的。 Epstein和Zin(1989)研究了递归偏好模型的一个特例，其中偏好是 p1−αp(1−α)1p V=[(1−β)C+βE(V)] () tttt+1他们指出当p≠0且1−α≠0时，代理人的IMRS变成 p−1(1−α)p((1−α−p)p) [β(CC)]{R} () t+1tm,t+1α其中R是市场组合总收益。任何时间消费博弈的相对风险厌恶系数是，而确定性消费m,t+1−1的替代弹性是(1−p)。如果α=1−p，则模型简化为时间可分的幂效用模型。如果α=1，就得到了Rubinstein(1976)的对数效用模型。 总之，许多资产定价模型是方程()的特殊形式。每个模型都设定了数据的特定函数且模型参数是有效的随机贴现因子。现在将讨论点转向这一形式的模型估计问题。 4． 广义矩方法 本节对广义矩方法（GMM）进行了综述并对相关的渐进检验统计作了简要的回顾。然后介绍怎样运用GMM评估和检验资产定价模型的各种设定。 . 资产定价模型中广义矩方法综述 令x是可观测变量的向量。给定一个设定为m=m(θ,x)的模型，用由t+1t+1t+1Hansen(1982)发展且由Hansen和Singleton(1982)以及Brown和Gibbons(1985)阐明的GMM法，则参数θ的估计和模型的检验就能在弱假设下进行。定义模型的误差项为： u=m(θ,x)R−1i,t+1t+1i,t+1 () iN方程()隐含着对所有的，E{u}=0。给定个资产和T个时间的样本，将()的ti,t+1 12
《统计手册：金融中的统计方法》 误差项组合，形成行是u'的T×N矩阵u。按照期望迭代法则（iterated expectation Law），t+1itt模型表明，对所有的和（对时期信息集中的任何Z）有E(uZ)=0，因而对所有ti,t+1tt的有E(uZ)=0。条件E(uZ)=0说明u正交于Z，因而被称为正交性条件。这t+1tt+1tt+1t些正交性条件是使用GMM对资产定价模型进行检验的基础。 t需要强调几点。首先，资产定价模型的GMM估计和检验产生于E(uZ)=0（对i,t+1t时期信息集中的任何Z）。但是，实际估计中用到的是给定工具Z的集合下更弱的条件ttE(uZ)=0。因此，资产定价模型的GMM检验并没有完全利用这一理论预示的所有内t+1t容。我们相信进一步利用该理论的内涵将是有用的。 资产定价模型的实证研究依赖于理性预期(rational expectations)，它指模型中的期望项是条件数学期望。例如，当方程()中的期望项被看成条件数学期望并以E(⋅Z)和E(Z)tt来表达时，理性预期的假设得到了应用。理性预期意味着，观测到的事实与模型中期望值之间的差异应该与期望值的条件信息无关。 t方程()表明m和R乘积的条件期望为常数。因此，当运用时期的任何可得t+1i,t+1信息时，不应预测出方程()中的误差项1−mR与0有差异。如果使用工具Z就可以t+1i,t+1t预测的收益R存在时间上的变化，则当R乘以一个有效的随机贴现因子m时，模型i,t+1i,t+1t+1表示可预测性消失了。这意味着条件资产定价模型 “解释”资产收益变动的可预测性具有意义。这一观点将股票价值的“随机游动”模型（意味着股票收益是完全不可预测的）一般化。该模型是一个由风险中性引发的特殊情形。在风险中性下IMRS是一个常数。此时，方程()表明从预测角度看收益不应与常数有差异。 GMM是这样估计的，即对样本均值正交性条件G=(u'ZT)的一个N×L矩阵进行定t义，令g=vec(G)，其中Z是观测到的工具，它是行为′Z的T×L矩阵，而且是时期可t9获信息的一个子集。 vec(⋅)算子表示把G分割成行向量，每一个行向量的长度为L：(h,h,...,h)。然后把（各个）h堆叠成一个长度等于正交性条件数量NL的向量g。12NHansen(1982)通过最小化二次型g'Wg，搜索使g接近于零的参数值获得关于θ的GMM估计，这里W是一个NL×NL的加权矩阵。 更一般地，令u(θ)表示随机N维向量Rm(θ,x)−1，定义n+1t+1t+1 9 本节假设同样的工具被应用于每一个资产方程。通常，每一个资产方程可以使用不同的工具集，但这会使符号复杂。 13
《统计手册：金融中的统计方法》 −1g(θ)=T(u(θ)⊗Z)。令θ表示使二次型′gAg最小化的参数值，这里A可T∑tt−1TTTTTt以是依赖于样本的任何正定的NL×NL矩阵，并且令J表示二次型′gAg的最小值。TTTTJagannathan和Wang(1993)证明J服从一个加权的卡方（weighted Chi-Square）分布，该分T布能够检验()成立的假设。 定理. (Jagannathan和Wang，1993). 假定矩阵A依概率收敛于一个常数正定矩阵TA。再假定Tg(θ)→N(0,S)，这里N表示多元正态分布，θ是真实参数值，S(.,.)T0d0是一个正定矩阵。令 D=E[∂g∂θ]Tθ=θ0 又令 121212−1121212Q′′′=(S)(A)[I−(A)D(DAD)D(A)](A)(S) 1212其中，A和S是A和S的乔利斯基（cholesky）分解的上三角矩阵。那么矩阵Q有NL-dim(θ)个非零的正特征根。将这些特征根表示为λ（i=1，2，…， NL-dim(θ)），i则J收敛于 T λχ+⋅⋅⋅+λχ11NL−dim(θ)NL−dim(θ)其中，χ（i=1，2，…， NL-dim(θ)）为独立随机变量，每一随机变量服从自由度为i1的卡方分布。 证明：参见Jagannathan和Wang(1993)。 −1注意到当矩阵A是W≡S时，矩阵Q是秩为NL-dim(θ)的幂等矩阵。因此Q的非零特征值是1。在这种情形下，渐进分布变为一个简单的自由度为NL-dim(θ)的卡方分布。这是Hansen(1982)考虑的一个特殊情形，是他最先推导出了J-统计量的渐进分布。J-统TT计量及定理的扩展提供了模型GMM估计的拟合优度检验。 Hansen(1982)指出，对任何固定的W，使g'Wg最小化的θ估计量是一致且渐进正态的。如果选择的加权矩阵W是正交化条件S的协方差矩阵的一致估计之逆，则估计量在固定W，使g'Wg最小化的一类估计量中是渐近有效的。参数向量的最优GMM估计量的渐进 14
《统计手册：金融中的统计方法》 方差矩阵为： −1′Cov(θ)=[E(∂g∂θ)WE(∂g∂θ)] () 其中∂g∂θ是一个NL×dim(θ)的导数矩阵。实际中使用的是正交性条件样本均值渐进协−1ˆ方差的一致估计量。即用Cov(g)替代()中的W，并且将E(∂g∂θ)用相应的样本计算结果代替。Hansen(1982)给出了最优加权矩阵的一个一致估计量的例子： ˆ′ Cov(g)[(1T)(uu)⊗′=(ZZ) () ∑∑t+1t+1−jtt−jtj其中⊗表示克罗内克积。当正交性条件不存在序列相关时，就会产生一个通常被证明是很ˆ有用的特例。在此特殊情形中，最优加权矩阵是矩阵Cov(g)的逆，这里 ˆ′′ Cov(g)=[(1T)(uu)⊗(ZZ)] () ∑t+1t+1ttt最早由Hansen(1982)提出的GMM加权矩阵有一些缺点。估计量无法保证是正定的，并且在某些应用中可能具有不好的有限样本特性。许多研究工作探讨了GMM加权矩阵的其他估计量。一个突出的例子是由Newey和West(1987a)提出的用Barleit权重对()中的自协方差项加权以得到一个半正定矩阵。Andrews(1991)， Andrews和Monahan(1992)， 及Ferson和Foerster(1994)提出了提高有限样本特性的其他改进设计。 GMM的检验假设 如上所述，当模型是过度识别时，J-统计量提供了GMM估计模型的拟合优度检验。THansen的J-统计量是运用GMM的金融文献中最广泛使用的检验。其他的以GMM为基T础的标准统计检验方法也出现在金融文献中，用以检验资产定价模型。其中一个是Wald检验的推广，第二个是似然比检验统计量的类推。Newey(1985)以及Newey和West(1987b)回顾了以GMM为基础的其他检验统计量。 对于Wald检验，考虑检验一个由赋值函数 H(θ)=0表述的M维向量的假设，这里ˆM≤dim(θ)。θ的GMM估计量服从均值为θ和方差矩阵为Cov(θ)的渐进正态分布。给ˆˆˆˆ定标准正则性条件，估计量H服从均值为零、方差矩阵为H′Cov(θ)H的渐进正态分布，θθ这里下标表示偏导数，并且二次型 −1ˆˆˆˆˆ′′TH[HCov(θ)H]Hθθ 服从渐进卡方分布，它提供了标准的Wald检验。 似然比类型的检验法是由Newey和West(1987b)、 Eichenbaum， Hansen和Singleton(1988，附录C)以及Gallant(1987)阐述的。Newey和West(1987b)称其为D检验。假∗设零假设表示正交性条件E(g)=0成立，而在备择假设下子集E(g)=0成立。例如， 15
《统计手册：金融中的统计方法》 ∗∗∗∗∗∗g=(g,h)。当我们在零假设下估计模型时，二次型g'Wg被最小化。令W表示W的11−1左上分块；就是说，令它是在零假设下Cov(g)的估计。当我们使这个矩阵保持固定时，∗在备择假设下通过最小化g'Wg就可以估计模型。两个二次型的差 11∗∗∗T[g'Wg−g'Wg]11 服从渐进卡方分布。当零假设为真时，其自由度等于M。Newey和West(1987b)描述了这些检验的其他方差。 举例说明：用GMM检验条件CAPM CAPM把非线性过度识别约束施加在资产收益的一阶和二阶矩上。这些约束能够形成经济计量检验的基础。为了能更清楚地认识这些约束，请注意，如果一个计量经济学家已知或者能够估计Cov(R,R)，E(R)，Var(R)和E(R)，则运用方程()就有可能从itmtmtmt0tCAPM中计算E(R)。给定E(R)的直接样本估计值，期望收益是过度识别的。通过判断itit资产的期望收益是否不同于模型给定的期望收益，就有可能运用过度识别来构建CAPM的检验。本节中我们通过运用传统的收益-beta公式和CAPM的随机贴现因子表示法说明这个检验。这些例子可以很容易地扩展到多beta模型。 静态的或者无条件的CAPM 如果我们假设CAPM中所有期望值项都指的是无条件期望值，我们就得到了CAPM的无条件形式。运用方程()以及方程()给出的随机贴现因子表示法就可以直接估计CAPM的无条件形式。随机贴现因子为 m=c+cRt+101mt+1 这里和是固定的参数。如果只用到无条件期望值，模型隐含着 cc01E{(c+cR)R−1}=001mt+1t+1 其中是总资产收益的向量。样本正交性条件的向量是 Rt+1g=g(c,c)=(1T){(c+cR)R−1}TT01∑01mt+1t+1t 对于资产数N>2，正交性条件的个数是N并且参数的个数为2，所以J-统计量具有TN−2的自由度。用随机贴现因子表示法检验无条件的CAPM是由Carhart等.(1995)以及Jagannathan和Wang(1996)进行的，他们拒绝了使用战后美国月度数据的模型。 无条件的CAPM检验也可以运用方程()给出的线性收益-beta公式和GMM来进行。令表示超额收益向量，这里表示某一参照资产的总收益，是维1向量；r=R−R1R1Ntt0t0t 16
《统计手册：金融中的统计方法》 再令，这里是相对于市场的超额收益的维beta向量，且u=r−β rβNr=R−Rttmtmtmt0t是市场组合的超额收益。模型表明 E(u)=E(ur)=0ttmt 令工具变量为，那么样本正交性条件为 ′Z=(1,r)tmt−1 g(β)=T(r−β r)⊗ZT∑tmttt正交性条件的个数是2N而参数的个数为N，所以模型是过度识别的，可以用J-统计量进T行检验。 用收益-beta公式检验模型的另一个方法是在假设期望收益与CAPM预测收益相差一个α被称为詹森阿尔法（Jensen’s Alphas）的参数向量的情况下来估计模型。重新定义u=r−α−β r，模型有2N个参数和2N个正交性条件，所以它是恰好识别的。很容ttmtα易看出和β的GMM估计量等于OLS估计量，并且方程()产生了White(1980)的异方差一致标准误（Standard errors）。可以用Wald检验或者上述的D-统计量来检验CAPM。 MacKinlay和Richardson(1991)用线性收益-beta公式和GMM检验了无条件CAPM，他们拒绝了美国月份数据的模型。 . 条件CAPM 收益率分布变动可预测性的大量证据以及拒绝无条件CAPM的实证研究，引发了始于20世纪80年代初对条件形式CAPM的实证研究。在一个条件资产定价模型中，假定其中的期望值是给定的公共信息集的条件期望。公共信息集是由预先确定的工具变量Z的向量t表示的。Merton(1973)及Cox， Ingersoll和Ross(1985)的多beta模型包容了条件期望。Merton(1973，1980)和Cox-Ingersoll-Ross也说明，CAPM的条件形式可作为其跨时期模型的一个特殊形式来推导。Hansen和Richard(1987)描述了均值-方差有效性的条件和无条件形式之间的理论关系。 条件资产定价模型最早的实证公式是由Hansen和Hodrick(1983)及Gibbons和Ferson(1985)发展的潜变量模型，后来经Campbell(1987)及Ferson， Foerster， 和Keim(1993)改进。这些模型允许期望收益随时间变动，但保留了条件beta为固定参数的假设。在这些假设下，考虑CAPM的线性收益-beta表示，记为E(rZ)=βE(rZ)。收益由超出无tt−1mtt−1风险资产收益的部分度量。令是具有非零的某一参照资产的收益，所以 rβ1t1E(rZ)=βE(rZ)1tt−11mtt−1 解关于E(rZ)的这一表达式并替换，得到 mtt−1E(rZ)=CE(rZ)tt−11tt−1 17
《统计手册：金融中的统计方法》 这里C=(β.β)，且.表示元素对元素相除。有了这一替代，期望市场风险溢价成为模1型中的潜变量，并且C成为模型参数的N维向量。当我们构造误差项u=r−Cr时，模tt1t型意味着E(uZ)=0，而我们能够运用GMM来估计和检验模型。鉴于度量真实市场组tt−1合的困难，Gibbons和Ferson(1985)证明潜变量模型是有吸引力的。但Wheatley(1989)强调这一模型仍需要假设beta对不可观测的市场组合的比率是常数参数。 Campbell(1987)及Ferson和Foerster(1995)研究表明，用美国数据的单beta潜变量模型被拒绝了。这一发现拒绝了假设：存在一个（有条件的）最小方差组合使得这个组合的条件beta比率是固定参数。因此，实证证据表明条件资产定价模型必须与以下二者之一保持一致：10（1）随时间变动的beta；（2）每个资产有多个的beta。 Ferson和Harvey(1991)， Evans(1994)，及Ferson和Korafczyk(1995)实证检验了具有常数beta的条件多beta模型。他们用通常的统计检验拒绝了这样的模型，但是发现它们仍能捕获股票和债券收益随时间变动的可预测性的大部分。在允许beta随时间变化时，这些研究发现beta的时间变差（Time-variation）导致了期望资产收益的相对小的时间变差。考虑以下近似就可获得这一发现的直观感觉。假设期望超额收益的时间变差（Time-variation）为λE(rZ)=λβ，这里是各因子随时间变化的期望风险溢价向量，β是一个随时间变化的beta的矩阵。使用泰勒级数，可以得到近似式： ′′Var[E(rZ)]≈E(β)Var[λ]E(β)+E(λ)Var[β]E(λ) 分解式中的第一项反映了随时间变化的风险溢价的贡献；第二项反映了随时间变化的beta值的贡献。由于在月份数据中beta的期望值E(β)为，而平均风险溢价E(λ)明显地小于，因此第一项超过了第二项。这说明从对期望资产收益的可预测变动建模的角度看，条件beta的时间变差不如期望风险溢价的时间变差重要。 而从对资产收益的可预测时间变差建模的角度看，条件beta的时间变差不如期望风险溢价的时间变差重要，这并不表示beta的变化在实证上是不重要的。从对期望资产收益横截面变差建模的角度看，beta的时间变差则可能是非常重要的。为了说明这一点，考虑由以下模型得到的无条件的期望超额收益向量： E{E(rZ)}=E{λβ}=E(λ)E(β)+Cov(λ,β) 作为横截面关系，Cov(λ,β)项在资产的横截面上可能发生显著变化。因此， CAPM的条件形式对无条件期望收益的横截面的解释可能主要依赖于beta和期望市场风险溢价的共同时间变差。Jagannathan和Wang(1996)的检验表明这是符合事实的。 Harvey(1989)用期望市场溢价与条件市场方差的比率是一个固定参数的假设替代常数beta假设，表示为： E(rZ)Var(rZ)=γmtt−1mtt−1 10 具有一个以上的固定beta且具有随时间变动的风险溢价的模型通常与每一资产的单个随时间变化的beta相一致。例如，假设有两个具有常数beta和随时间变化的风险溢价的因子，则这两个因子的时间变化的结合就是一个最小方差组合。 18
《统计手册：金融中的统计方法》 依照条件CAPM，则条件期望收益可以写成： E(rZ)=γCov(r,rZ)tt−1tmtt−1 Harvey的条件CAPM形式得益于Merton(1980)模型的启发。在Merton(1980)的模型中被称γ为风险的市场价格的比率等于均衡时代表性投资者的相对风险厌恶。Harvey还假设市场γ上的条件期望风险溢价（和已知固定的条件市场方差）是工具变量的线性函数，表示为： ′E(rZ)=δZmtt−1mt−1 这里δ是系数向量。定义误差项为′v=r−δZ和w=r(1−vγ)。模型表明堆叠的mtmtmt−1ttt误差项u=(v,w)满足E(uZ)=0，所以可用GMM直接估计模型，然后检验。ttttt−1Harvey(1989)用美国的月份数据拒绝了条件CAPM的形式。当运用世界市场组合和21个发达国家股票市场的月份数据时，Harvey(1991)拒绝了同样的公式。 使用方程()给出的随机贴现因子表示法：m=c−cR，可以检验条件CAPM。t+10t1tmt+1此时，系数c和c是信息集合Z的可测量函数。为了对模型进行实证，有必要设定c和0t1tt0tc的函数形成。从()中可以看出这些系数是条件期望市场收益及其条件方差的非线性函1t数。至今仍无设定这一函数形式的理论指导。Cochrane(1996)建议用线性函数来逼近系数，这一方法被Carhart 等(1995)采纳，他用美国的月份数据拒绝了条件CAPM。 Jagannathan和Wang(1993)指出条件CAPM包含了一个无条件的双因子模型： m=a+aE(rI)+Rt+101mt+1tmt+1 这里I表示投资者的信息集，a和a是固定参数。他们指出，当所选择的m满足t01t+1E(Rm)=1时，上式是一个有效的随机贴现因子。使用一组可观测的工具Z，并假设i,t+1t+1tE(rZ)是Z的线性函数，他们发现这一模型形式比CAPM的无条件形式更好地解释了mt+1tt无条件期望收益的横截面。Bansal和Viswanathan(1993)发展了CAPM的条件形式和多因子模型，其中的随机贴现因子m是市场或者因子收益的非线性函数。用非参数方法，他们t+1发现了支持模型的非线性形式的证据。利用国际市场股票、债券和货币收益率的数据，Bansal， Haieh和Viswanathan(1993)比较了非线性模型和线性模型的表现，发现非线性模型表现更好。用随机贴现因子表示法对条件CAPM和多beta模型的其他实证检验已开始在文献中出现。我们期待未来的研究将更进一步改善各种实证设定之间的关系。 5． 模型诊断 我们已经讨论了与特定的理论资产定价模型相对应的随机贴现因子的几个例子，并且阐明如何检验这些模型是否赋予金融资产正确的期望收益。这些模型的随机贴现因子是计量经 19
《统计手册：金融中的统计方法》 济学家观测到的数据的特定参数函数。虽然以这些参数方法为基础的实证研究产生了令人感兴趣的观点，但参数方法对经济环境作了很强的假设。本节讨论有关资产定价模型问题的其他计量方法。 . 矩不等式约束 当假定尽可能小的结构时，Hansen和Jagannathan(1991)从资产定价模型推导出约束条件。特别地，他们假设金融市场遵循一价定律并且不存在套利机会。这些假设足以说明存在一个随机贴现因子（如果没有套利，它几乎必定（almost surely）为正）使得方程()mt+1得以满足。 请注意如果随机贴现因子是一个退化的随机变量（即一个常数），则方程()意味着所有的资产必须获得相同的期望收益。如果资产获得不同的期望收益，那么随机贴现因子就不可能是一个常数。换句话说，期望资产收益的横截面差异带有满足方程()的有效随机贴现因子方差的含义。Hansen和Jagannathan充分利用这一观测结果推导出了随机贴现因子波动率的下界。Shiller(1979，1981)、 Singleton(1980) 及Leroy和Porter(1981)推导出了特殊模型中相关波动率的边界，他们的实证研究还表明包含在简单模型中的随机贴现因子的波动率并不足以解释不同资产的期望收益。Hansen和Jagannathan(1991)说明了如何把这个波动率边界当作一般的诊断工具来使用。 接下来我们推导Hansen和Jagannathan(1991)边界并讨论其实证应用。为了简化起见，仅利用条件期望收益，并集中于边界的无条件形式。我们提出一个假设：无条件、无风险的−1资产，且收益为R=E(m)。取R或者等价的E(m)值作为一个变动的参数来描述ft+1ft+1边界。 一价定律保证了满足方程()的随机贴现因子的存在。考虑以下任何m在总资产收t+1益向量R上的投影（projection）： t+1m′=Rβ+εt+1t+1t+1 () 其中， E(εR)=0t+1t+1 这里β是投影系数向量。方程()的两边同乘以R并取期望值，利用E[Rε]=0就t+1t+1t+1得到一个可以解出β的表达式。把这个表达式代回()，就给出了投影的“拟合值”如下： ∗−1 m′′′′ =Rβ=RE(RR)1 () t+1t+1t+1t+1t+1∗∗通过查验，当用m来代替m时方程()得到了满足。从这个意义上说，方程()中的mt+1t+1t+1∗是一个有效随机贴现因子，因此，我们已经构造了随机贴现因子m， 它同时是给定的Nt+1−1个资产中的一个投资头寸报酬 ，其中向量′′E(RR)1给出了权重。这个报酬是可得资t+1t+1 20
《统计手册：金融中的统计方法》 产报酬空间中每一个容许随机贴现因子的唯一线性最小二乘近似值。 ∗用′m替代方程()中的Rβ，这表明可以把任何一个随机贴现因子m写成 t+1t+1t+1∗ m=m+ε t+1t+1t+1∗∗其中E(εm)=0。它遵从Var(m)≥Var(m)。这个表达式是m变动的hansen- t+1t+1t+1t+1t+111∗Jagannathan边界的基础。由于m只依赖于N个收益的二阶矩矩阵，下界也只依赖于计t+1量经济学家可获得的资产数据，而不依赖于所研究的特定资产定价模型。为了从标的资产的收益矩，获得方差边界的一个明确的表达式，对前面的表达式进行替换，得到 ∗Var(m)≥Var(m) t+1t+1′ =βVar(R)β () t+1−1−1′′ =[Cov(m,R)Var(R)]×Var(R)[Var(R)Cov(m,R)] −1′ =[1−E(m′)E(R)]Var(R)[1−E(m)E(R)] 这里隐去了时间下标以简化符号，最后一行是从E(mR)=1=E(m)E(R)+Cov(m,R)得来−1的。当我们改变E(m)=R的假设值时，方程()描绘了在E(m)，α(m)空间中的一条抛f物线，其中α(m)是m的标准差。如果把α(m)置于y轴而把E(m)置于x轴，t+1Hansen-Jagannathan边界就象是一只杯子，其意义在于任何一个有效的随机贴现因子m都t+1必须具有使之处于杯中的均值和标准差。 方程()给出的随机贴现因子波动率的下界与金融经济文献中长期使用的标准均值-方差分析关系密切。为了说明这一点，回想起若r=R−R是超额收益向量，那么()意味f着 0=E(mr)=E(m)E(r)+ρσ(m)σ(r) 由于−1≤ρ≤1，对所有的i有 σ(m)E(m)≥E(r)σ(r) ii这个表达式的右边是资产i的夏普比率。夏普比率被定义为资产的期望超额收益除以超额收益的标准差（参见Sharpe1994对这个比率的最新讨论）。考虑将N个资产所能构造的每一个组合描绘在标准差（x轴）与均值（y轴）平面上，在给定均值收益时，具有最小可能标准差的投资组合的集合就是最小方差边界。考虑从y轴上的点1E(m)引出的最小方差边界 11 Kandel和Stambaugh(1987)、Mackinlay(1987,1995)及Shanken(1987)推导了相关的边界。 21
《统计手册：金融中的统计方法》 的切线。切点是资产收益的组合。切线的斜率是夏普比率的最大值。当给定N个资产的一个集合和无风险利率R=1E(m)时，就可以得到这个夏普比率的最大值。这条线的斜率f−1也等于R乘以给定E(m)=R时σ(m)的Hansen-Jagannathan下界。也就是说，对给定的ffR，我们有 f σ(m)≥E(m)Max{E(r)σ(r)} ii前面的分析是以等价于一价定律的方程()为基础的。如果不存在套利机会，则说明m是一个严格为正的随机变量。Hansen和Jagannathan（1991）指出如何利用无套利机会t+1的约束来获得m的标准差的更严格的边界。他们还说明了如何把条件变量融合到分析中。t+1Snow(1991)扩展了Hansen-Jagannathan的分析，其中包含资产收益的更高阶矩。他的扩展是基于Holder不等式。该不等式隐含对于给定的δ和p值，因为 (1δ)+(1p)=1 所以如下不等式是真实的： δ1δp1p E(mR)≤E(m)E(R) Cochrane和Hansen(1992)改进了Hansen-Jagannathan边界，使边界考虑到有关给定的随机贴现因子和资产收益向量之间的相关关系信息。这就提供了一组比原来的边界更严格的约束条件，后者仅是充分利用了相关系数必须在-1和+1之间这一条件。 . 矩不等式约束的统计推断 Cochrane和Hansen(1992)、Burnside(1994) 及Cecchett、 Lam和Mark(1994)阐述了在检验一个特定的候选随机贴现因子是否满足Hansen-Jagannathan边界时应如何考虑抽样误差。根据Cochrane和Hansen（1992）的讨论，下面简述一个考虑了抽样误差的计算。 假定计量经济学家有一个包含T个观测值的作为候选随机贴现因子的时间序列，以yt表示，N个资产的收益以R表示。我们还假定无风险资产在N个资产当中。因此tv=E(m)=1R是一个未知的待估参数。考虑m对单位向量和资产收益向量的线性回Ft+1归，形如m′=α+Rβ+u。我们利用以下总体矩条件系统中的回归函数： t+1tt+1′ E(α+Rβ)=v () t′ E(Rα+RRβ)=1 tttN E(y)=v t 22
《统计手册：金融中的统计方法》 22′ E[(α+Rβ)]−E[y]≤0. tt第一个方程说明m′≡α+Rβ的期望值等于v。第二个方程说明m的回归函数是一个有t+1tt效随机贴现因子。第三个方程说明v是我们要检验的那个特定候选随机贴现因子的期望值。第四个方程说明特定的候选随机贴现因子满足Hansen-Jagannathan边界。 把()中的最后一个不等式当作等式并使用GMM，则利用 ()中的N+3个方程可以估计出参数v，α和N维向量β。把最后一个式子当作等式看待，它相当于零假设：yt的均值和方差使之处在Hansen-Jagannathan边界上。在零假设“()中的的最后一个方程作为一个等式成立”下，GMM的准则函数J的最小值乘以T服从一个自由度为1的卡方分布。TCochrane和Hansen(1992)建议用单边检验法检验不等式关系。 . 设定误差边界 至此我们考察的方法大多数是在零假设“经济计量学家考虑的资产定价模型为所有的资产设计了正确的价格（或期望收益）”下进行的。备择假设是“模型是错误的”同时考察模型的错误程度。在这一节中，我们将遵循Hansen和Jagannathan(1994)的研究讨论一个可能12的方法，用以考察模型中的缺省并设计一个模型设定误差的标量测度(scalar measure)。 ∗令y表示对应于给定的资产定价模型的候选随机贴现因子，令m表示先前构造的唯tt+1一的随机贴现因子并作为资产报酬的组合。我们假定E[yR]不等于1，1是N维1向量。ttNN也就是说，模型并没有给所有的总收益正确定价。把y投影到N个资产收益上得到t∗∗′y=Rα+u，并把m投影到资产收益向量上得到m′=Rβ+ε。由于候选的y并没有tttttttt给所有的资产正确定价，所以α和′β不会相同。定义p=(β−α)R作为候选随机贴现因tt子y的修正报酬(modifying payoff )。很清楚， (y+p)是满足方程()的有效随机贴现因ttt子。Hansen和Jagannathan(1994)推导了以修正报酬的大小为基础的设定检验，它度量了候选随机贴现因子y与一个有效随机贴现因子的距离。Hansen和Jagannathan(1994)证明这一t2距离的自然度量是δ=E(p)，它为模型的错误设定提供了一个经济解释。与p正交的报tt2酬是被候选的y正确定价的。E(p)是使用y给任何一个标准化的拥有单位二阶矩的报酬ttt错误定价的最大数量。修正报酬p同时是最小化修正，它足以使y成为一个有效随机贴现tt因子。 12 Newey(1985)考察了一般背景下的、以GMM为基础的模型设定检验。其他相关的研究包括Boudoukh、Richardson和Smith(1993)，他们计算了不等式约束出现时检验统计量概率的近似边界；Chen和Knez(1992)使用相关的方法发展了市场一体化的非参数测度；Hansen、Heaton和Luttmer(1995)说明了当存在市场摩擦时，如卖空限制或一定比例的交易成本，如何计算设定误差和波动率边界。 23
《统计手册：金融中的统计方法》 Hansen和Jagannathan(1994)考虑了以下最大化问题的解作为距离测度的估计量δ， −12212′′ δ=MaxT[y−(y+αR)+2α1] () Tα∑tttNt如果α是()的解，那么修正报酬的估计是′αR。可以很容易地证明()的一阶条件，说TTt明′αR满足了与资产定价方程()相对应的的样本形式。 Tt为了获得与估计值δ相联系的抽样误差的估计，考虑 T22′′ u=y−(y+αR)+2α1 tttTtTN2u的样本均值是δ。通过利用Newey和West(1987a)或Andrews(1991)中描述的零频率谱密tT22度估计量并且运用于时间序列{u−δ}，可以得到δ的方差的一致估计量。令s表tTt=1...TTT212示用此方法得到的δ的估计标准差。那么，在标准假设下，T(δ−δ)s收敛于一个TTT服从N(0,1)分布的随机变量。因此，运用delta方法，我们得到 12 Tδ2s(δ−δ)→N(0,1) () TTT 6. 结论 本文回顾了各种资产定价模型的经济计量检验，这些模型以一价定律，无套利原则以及投资者收益最大化化的市场均衡模型为基础。我们的讨论包括最早的均衡资产定价模型、CAPM，并且考虑了动态多beta和套利定价模型。我们对表达为线性收益-beta公式的资产定价模型，给出了其传统两步骤估计量渐进分布的一些结果，并强调使用Hansen(1982)的广义矩方法对资产定价模型作经济计量评估。我们的例子阐明了GMM方法的简单性和灵活性，指出大多数资产定价模型可以表示成随机贴现因子的形式，它使得GMM的应用直截了当。最后，讨论了模型的诊断，它提供了GMM检验中统计拒绝原因的其他见解并且有助于评价这些模型中的设定误差。 附录 定理的证明 证明来源于Jagannathan和Wang(1996)。 首先引入一些其他的符号。令I表示N维单位矩阵且1表示T维单位向量。根据方程()NT得： −1 TI⊗′′R−μ=(1)ε，k=1， … ， K NTk2其中 ε=(ε， … ， ε， … ， ε ， … ，′ ε) k1k11kTNk1NkT通过b的定义，我们有 k 24
《统计手册：金融中的统计方法》 −1 b−β[⊗′′=I(ff)f]ε kkNkkkk这里f是与向量ε相似的去均值的因子实现(the vector-demeaned factor realizations)。给定kk因子（表示为f）的时间序列，根据假定，ε和ε的条件协方差是一个固定常数σ，kiktjltijkl我们有 E[(b−β)(R−μ)f]kk11k−1−1′′′=T[I⊗((ff)f)]E[εεf](I⊗1)NkkkklkNT −1−1T[I⊗′′=((ff)f)](I⊗1)Nkkk∑NTkl−1−1⊗′′=T[(ff)f1]=0∑kkkTkl这里我们用表示矩阵{σ}。最后一行是依据′f1=0得到的。因此，我们已经证∑ijklijkTkl12明(b−β)与(R−μ)无关。所以，u和hγ应该是无关的，并且方程()中T(g−γ)kk2的渐进方差由下式给出 −1−1′′′ (xx)x[Var(u)+Var(hγ)]x(xx) 。 2令π表示当T→∞时Cov′′(Tfε,Tfε)的极限值。令第ij个元素是π的矩阵为ijklkikljlijkl∏。我们假定因子的样本协方差矩阵存在并且依概率收敛于一个元素为Ω的常数正定矩klkl−1阵Ω。由于T(b−β)依分布收敛于随机变量Ω′Tfε，我们有 ikikkkkik−1−1 Var(hγ)=γγΩ∏Ω 2∑2k2lkkkllll,k=1,...,K2且 −1−1′′′ W=(xx)xVar(hγ)x(xx) 2−1−1−1−1′′ =(xx)x{γγ(Ω∏Ω′)}x(xx) ∑2k2lkkkllll,k=1,...,K2这里∏′是一个矩阵，它的第ij元素是当T→∞时Cov′′(Tfε,Tfε)的极限值。 klkikljl . 参考文献 Abel, A. (I990). Asset prices under habit formation and catching up with the Jones. Amer. Econom. 25
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