第4章 风险型决策分析
目录
不确定型决策分析
风险型决策分析的准则
决策树分析法
灵敏度分析
状态分析和风险分析
决策函数
决策问题构成要素 ，为了表述决策问题
收益函数、损失函数和效用函数统称为决
策函数 ——记作 f = F（a，θ）
收益矩阵、损失矩阵和效用矩阵统称为决
策矩阵——记作
收益函数
把收益值作为决策方案的评价指标，最满
意方案就是收益值最大的方案。
设决策问题的收益值为q，状态变量为θ，
决策变量（方案或策略）为a。当决策变量
a和状态变量θ确定后，收益值q随之确定。
收益值q是a和θ的函数，称为收益函数，记
作 q = Q ( a ,θ)
收益函数
如果决策变量和状态变量是离散的，即
a = ai ( i = 1 , 2 ,…, m )
θ=θj ( j = 1 , 2,…, n ) ，
则收益函数可以表示为： qij = Q ( ai , θj ) ，( i
= 1 , 2 ,…, m；j = 1 , 2,…, n )
� 收益矩阵
损失函数
损失值又称为遗憾值，表示没有采取最
满意方案或策略时所造成的损失。
当决策变量a和状态变量θ确定后，损失
值r是a和θ的函数，称为损失函数，记
作 r = R ( a ,θ)
在离散情况下，损失值可以表示为
rij = R ( ai , θj ) ( i = 1 , 2 ,…, m；j = 1 , 2,…,
n )
损失函数
损失函数可以表示为损失矩阵，即
损失值可以通过收益值计算出来，计算公
式为
( i = 1 , 2 ,…, m；j = 1 , 2,…, n )
损失函数
损失值rij表示在状态θj的条件下，没有采取
收益值最大方案，“舍优取劣”给决策带
来的损失或遗憾。
一般地，损失函数和收益函数有如下关系
：
举例
收益矩阵
利用公式
求解损失矩阵
效用的定义
设决策问题的各可行方案有多种可能的结
果值o，依据决策者的主观愿望和价值倾向，
每个结果值对决策者均有不同的值和作用。
反映结果值o对决策者价值和作用大小的量
值称为效用，记作
u=u(o)
决策表
随机型决策分析
存在两个或两个以上自然状态的决策问题，
每一行动方案对应着多个不同的结果，概
率分布可能是已知，也可能是未知。
概率分布倘若已知，经过预测或估算可以
被确定下来，则称为风险型决策。
概率分布若未知，则称为不确定型决策。
第1 节 不确定型决策分析
不确定型决策问题行动方案的结果值出现
的概率无法估算，决策者根据自己的主观
倾向进行决策，不同的主观态度建立不同
的评价和决策准则。
根据不同的决策准则，选出的最优方案也
可能是不同的。
不确定型决策分析
设决策问题的决策矩阵为
这里，每种自然状态θj(j=1,2,3,
…,n)出现的概率P(θj)是未知
的。
如何根据不同方案在各状态下的条件结果值oij，确定决策
者最满意行动方案？下面介绍几种常用决策准则。
乐观准则(max-max准则)
基本思路是：假设每个行动方案总是出现
最好的条件结果，即条件收益值最大或条
件损失值最小，那么最满意的行动方案就
是所有oij中最好的条件结果对应的方案。
具体步骤：
根据决策矩阵选出每个方案的最优结果值
在这些最优结果值中选择一个最优者，所对应
的方案就是最优方案。
乐观准则
上述最优结果值是指最大收益值或最大效
用值。在某些情况下，条件结果值是损失
值，最优结果则是指最小损失值。
设方案ai的最大收益值为
则乐观准则的最满意方案a*应满足
乐观准则实质
持乐观准则的决策者在各方案可能出现的
结果情况不明时，采取好中取好 的乐观态
度，选择最满意的决策方案。
由于决策者过于乐观，一切从最好的情况
考虑，难免冒较大的风险。
乐观准则举例
某企业拟定了三个生产方案，方案一（a1）为新
建两条生产线，方案二(a2)为新建一条生产线，方
案三（a3）为扩建原有生产线，改进老产品。在
市场预测的基础上，估算了各个方案在市场需求
的不同情况下的条件收益值如表（净现值，单位：
万元），但市场不同需求状态的概率未能测定，
试用乐观准则对此问题进行决策分析。
例题——收益值表及决策矩阵
下例
解题步骤
各方案的最优结果值为
最满意方案a*满足
a*=a1为最满意方案
悲观准则（max-min准则）
悲观准则也称保守准则，其基本思路是假
设各行动方案总是出现最坏的可能结果值，
这些最坏结果中的最好者所对应的行动方
案为最满意方案。
具体步骤
根据决策矩阵选出每个方案的最小条件结果值
从这些最小值中挑一个最大者，所对应的方案就是最
满意方案
悲观准则
设方案的最小收益值为
悲观准则的最满意方案应满足
悲观准则实质
持悲观准则的决策者往往经济实力单薄，
当各状态出现的概率不清楚时，态度谨慎
保守，充分考虑最坏的可能性，采取坏中
取好 的策略，以避免冒较大的风险。
悲观准则举例
上例中的决策问题用悲观准则进行决策分
析。
最满意方案a*满足
即a*=a3为最满意方案
折衷准则
乐观准则和悲观准则对自然状态的假设都过于极
端。折衷准则既非完全乐观，也非完全悲观。
折衷准则基本思路是假设各行动方案既不会出现
最好的条件结果值，也不会出现最坏的条件结果
值，而是出现最好结果值与最坏结果值之间的某
个折衷值，再从各方案的折衷值中选出一个最大
者，对应的方案即为最满意方案。
折衷准则的决策步骤
取定乐观系数α（0≤α≤1），计算各方案的
折衷值，方案ai的折衷值记为h(ai)，即
从各方案的折衷值中选出最大者，其对应
的方案就是最满意方案，即折衷准则最满
意方案满足
乐观系数
α由决策者主观估计而确定。
当α=1时，就是乐观准则；
当α=0时，就是悲观准则。
折衷准则中的α一般假定为0<α<1。
折衷准则举例
上例中的决策问题用折衷准则进行决策分析。取
乐观系数α=1/3，各方案的折衷值为
最满意方案a*满足
即a*=a2为最满意方案
遗憾准则（min-max准则）
遗憾准则也称为最小遗憾值准则或最小机
会损失准则。
遗憾准则的基本思路是，假设各方案总是
出现遗憾值最大的情况，从中选择遗憾值
最小的方案作为最满意方案。
通常，人们在选择方案的过程中，如果舍
优取劣，就会感到遗憾。
遗憾值
所谓遗憾值，就是在一定的自然状态下没
有取到最好的方案而带来的机会损失。
设在状态θj下选择了方案ai，这时得到条件
收益值qij，则方案ai在状态θj下的遗憾值rij
（或称收益值qij的遗憾值）为
遗憾准则决策步骤
计算在各方案在每种状态下的遗憾值rij（即
机会损失值）
找出各方案的最大遗憾值，即
在各方案的最大遗憾值中取最小值，对应
的方案为最满意方案。即最满意方案a*满
足
遗憾准则举例
上例中的决策问题用遗憾准则进行决策分析。
计算各方案在每种状态下的遗憾值，得遗憾值矩
阵
各方案的最大遗憾值如右：
最满意方案a*满足
即a*=a2为最满意方案
等可能性准则（Laplace准则）
19世纪数学家拉普拉斯（Laplace）提出来，
因此又称为拉普拉斯准则。
这个准则认为，在各自然状态发生的可能
性不清楚的时候，只能认为各状态发生的
概率相等，按相等的概率求出各方案条件
收益的期望值（或期望效用值），最大期
望值对应的方案即是最满意方案。
等可能性准则决策步骤
假定各自然状态出现的概率相等，即 p(θ1)= p
(θ2)=
…= p(θn)=1/n
求各方案条件收益期望值或期望效用值
从各方案的条件收益期望值中找出最大者，
或找出期望效用值最大者，所对应的a*为
最满意方案，即a*满足
等可能性准则举例
上例中决策问题用等可能性准则进行决策。
按等可能性准则，各状态发生的概率设为1/3
各方案条件收益的期望值为：
最满意方案a*满足
即a*=a1为最满意方案
不同的决策准则解题比较
在应用多种方法分析之后，一般会发现某
些方案一直未曾入选或被选中的频数相对
较小，可将这样的方案先淘汰掉，再作进
一步分析。
例题中方案a3被选中的频数最低，淘汰。
第2节 风险型决策分析的准则
各自然状态的概率经过预测或估算被确定
下来，在此基础之上的决策分析所得到的
最满意方案就具有一定的稳定性。
只要状态概率的测算切合实际，风险型决
策方法相对于不确定型决策方法就更为可
靠。
风险型决策分析最主要的决策准则是期望
值准则
风险型决策一般条件
存在着决策者希望达到的目标（如收益最大或损
失最小）
存在着两个或两个以上的方案可供选择
存在着两个或两个以上不以决策者主观意志为转
移的自然状态（如不同的市场条件）
可以计算出不同的方案在不同自然状态下的损益
值
在可能出现的不同自然状态中，决策者不能肯定
未来将出现哪种状态，但能确定每种状态出现的
概率
单目标风险型决策问题的表示
设单目标风险型决策问题的可行方案为a1,a2,
…,am，自然状
态为θ1, θ2,
…, θn，且θj 的概率分布是已知的，p(θj)=pj
(j=1,2,…,n)，各可行方案在不同自然状态下的条件结果值
为oij (i=1,2,
…,m ; j=1,2,…,n)。当方案的个数和状态的个数
皆为有限数时，该问题可表示为决策表或决策矩阵
期望值准则
期望值准则是指根据各方案的条件结果值
的期望值的大小进行决策。
当条件结果值表示费用，应选期望值最小
的方案，当条件结果值表示收益或效用，
则应选期望值最大的方案。
在实际应用中，风险型决策问题的期望值
准则评价模型有三种情况。
期望效用值评价模型
经过效用标准测定法测算，得到决策者的
效用函数为u=u(x)
由决策矩阵可以求出各条件结果值的效用
值uij=u(oij) (i=1,2,…,m ; j=1,2,…,n)
全部效用值构成效用值矩阵
期望效用值评价
各方案的期望效用值记为
期望效用值hi表示了各方案的优劣程度，hi
越大，方案ai越令人满意，这种表示方案令
人满意程度的指标，称为合意度。
可行方案的优劣排序问题，就可以用各方
案的合意度的大小来表示，求解决策问题，
就是寻找合意度最大的方案。
即
期望结果值评价模型
直接按条件结果期望值的排序来选择最满
意方案,这就是期望结果值评价模型。
当条件结果为条件收益 时，条件结果期望
值最大的方案就是最满意方案 。
当条件结果的条件损失 时，则条件结果期
望值最小的方案为最满意方案。
重复性风险决策
期望结果值评价模型一般应用于重复型风
险决策。
在市场相对稳定的情况下，厂家对产品生
产量的决策，既要保证销售渠道畅通，又
要力求生产相对稳定，一旦作出决策，就
要重复实施多次。
效用曲线是直线型的，合意度的排序与条
件结果期望值的排序是一致的。
考虑时间因素期望值评价模型
在投资决策等问题中,由于方案涉及的时间
周期较长,投资额较大，每一方案在寿命期
的不同时期内的损益情况也在发生着变化，
这就是需要考虑资金的时间价值，必然涉
及到这个方案在各个不同时期的条件收益。
这就是考虑时间因素的期望值准则评价模
型 。
模型决策表
第t时期(t=1,2, …,N；N
为方案寿命期)的决策
表
表示第t时期方案
ai在自然状态θj下的条
件收益 ; 表示第t
时期自然状态θj出现
的概率。
评价模型步骤
计算第t时期方案ai的期
望收益 ：
用净现值作为标准，方
案ai总期望收益：
其中，NPV(ai)为方案ai
期望净现值，k为折现
率，Foi为方案ai全部投
资支出的现值总额。
评价模型步骤
最满意方案应满足
其中a*表示最满意方案。
例题
我国某公司与国外一家厂商签订明年的经销协议。如果出口A型机床，
则明年可以稳获利800万元；如果出口另一种B型机床；根据国际市场
需求情况有三种可能：当国际市场需求量高时，可以获利2500万元；
当国际市场需求量一般时，可获利900万元；当国际市场不景气而滞
销时，就会因积压而亏损500万元。根据各方面获得的信息，预测明
年国际市场需求量大的可能性为，需求量一般的可能性为。公
司决策者认为，亏损500万元风险太大，打算放弃出口B型机床。外商
又提出另一种方案，出口C型机床,在国际市场畅销和一般情况时，可
分别获利1500万元和850万元，在滞销的情况下，可以稍加改制作为
其他加工机械销售，仍可获利120万元。上述情况,除第一方案外，其
余两方案均有较大利润而又要承担一定的风险。试对此问题进行决策
分析。
期望值准则评价模型应用实例
假设利用标准效用测定法，得到该公司决策者效
用函数为：
（0≤x ≤1 ）
该问题是风险型决策，解题步骤如下：
可行方案有三个
a1: 出口A型机床
a2: 出口B型机床
a3: 出口C型机床
例题解答
自然状态及其概率为
θ1: 国际市场畅销, p(θ1)=
θ2: 国际市场一般, p(θ2)=
θ3: 国际市场滞销, p(θ3)=
决策矩阵
例题解答
对决策矩阵进行归一化处理
+500
/3000
例题解答
根据效用函数
由效用函数求得各效用值
例题解答
由状态概率向量P=(,,)T 得
各方案的合意度为
h1=×+×+×=
h2=, h3=
最满意方案是a1,即出口A型机床。
例题
某报社编辑发行一种晚报,长期以来发行量为15万
份。近来实行改革,推行经济承包责任制,为提高报
社经济效益,对晚报发行量进行决策分析。经过销
售调查,在过去100天的统计资料中,售完15万份仅
12天,其余销售情况是,有20天销售约14万份,30天
销售约13万份,25天销售约12万份,13天销售约11
万份.晚报每份可赚元利润,如果销售不出去,
则有元的成本损失。试分析该报社晚报发行
量多少时,才能获得最佳经济效益。
例题解答
根据已知条件,这是风险型决策问题。由于发行量
一经确定,在一段时间内将按此发行量发行,故又是
重复性决策。可行方案有五个,即
a1: 发行15万份
a2: 发行14万份
a3: 发行13万份
a4: 发行12万份
a5: 发行11万份
例题解答
该晚报发行销售状态有五种,其状态概率分
别为
θ1: 销售15万份, p(θ1)=
θ2: 销售14万份, p(θ2)=
θ3: 销售13万份, p(θ3)=
θ4: 销售12万份, p(θ4)=
θ5: 销售11万份, p(θ5)=
例题解答
方案ai在状态θj下的条件收益(净利润)为
qij=ai在θj下的销售份数× －
ai在θj下的未销售份数×
如：q11=150000 × - 0 × =7500(元)
同样，可以计算出其他的条件收益值。
得到如下决策矩阵
例题解答
销售状态概率向量为
P=(,,,,)T
例题解答
根据期望值公式
得到：条件结果期望值向量
Q=(1290,3430,4970,5610,5500)T
最满意方案为a*=a4，即发行量为12万份。
此时该报社平均每天获利为5610元，其经济效
益大大超过按固定发行量15万份的平均获利
1290元。
状态优势
如果在所有状态下，方案ai的条件收益值不
小于方案aj的条件收益值，
即qik≥qjk(k=1,2,
…,n)
则称方案ai按状态优于方案aj。
在方案决策时可以将劣方案aj先淘汰掉。
概率优势法则
按概率优势是与按状态优势相对而言的
如果方案ai的条件收益值不小于任一实数的
概率，大于或等于方案aj的条件收益值不小
于同一实数的概率，则称方案ai按概率优于
方案aj。
概率语言描述
设方案ai的收益为qi，x是任意实数
称Ri(x)=P(qi≥x)，(i=1,2,
…,n)为方案ai的风险
分布函数。
如果Ri(x) ≥Rj(x)，(i≠j)对一切的x都成立，
并且至少有一个x,使得Ri(x) >Rj(x)，则称方
案ai按概率优于方案aj。
概率优势法则
在决策中，方案ai与方案aj之间存在按概率
优势关系，则保留按概率处于优势的方案，
淘汰按概率处于劣势的方案。若任意两个
方案之间都存在按概率优势关系，则最满
意方案就是对其他所有方案都具有按概率
优势的方案。
举例
注意到方案a3按状态劣于方案a1，首先淘
汰掉。
举例
计算方案a1和方案a2的风险分布函数
举例
比较R1(x) 和R2(x) ，显然
R1(x) ≥R2(x)，对一切的x都成立。
并且存在x,使得R1(x) >R2(x) 。
因此，根据概率优势法则，方案a1按概率优
于方案a2。
状态优势与概率优势
如果一个方案a按状态优于另一个方案a’，
则a必定按概率优于a’；
反之，一个方案a按概率优于另一个方案a’
，则a不一定按状态优于a’。
注意：并非任意两个方案之间都存在按概
率优势关系，也就是说，概率优势法则在
应用对象上存在一定的局限性。
μ – σ 法则的引入
风险型决策分析的期望值评价准则的判据
是方案条件结果的期望值或期望效用值，
这一准则只考虑了方案的收益性，仅从收
益这一个方面来对各方案进行排序选优。
然而实际情况是，任何方案都要冒收益不
确定的风险。
在评价方案的优劣时，只考虑收益的因素
而忽略风险的因素是不合理的。
μ – σ 法则的基本思路
μ-σ法则的基本思路是：在评价一个行动方
案时，不仅考虑方案可能带来的期望收益
值，同时也明确考虑代表风险的条件收益
的方差。
举例
若用期望值准则进行决策，由于
则两方案是等价的。
举例（续）
但对于厌恶风险的决策者来讲，显然更偏爱方案
a2，因为方案a1获得大额收益的可能性只有20%，
而发生亏损的可能性却是80%，而方案a2是稳赚不
赔的。
计算两方案条件收益的方差，得
说明方案a2的条件收益q2更加集中于它的均值附近，
而方案a1的条件收益q1取值较为分散，或具有较大
的波动性。
完全信息的价值
在风险型决策问题中，信息不完全时，一
旦确定了最满意方案为a*，则不论出现何
种自然状态,总是执行方案a*。若信息是完
全的，决策者在任何自然状态下都能根据
他所掌握的信息采取最有利的行动。这时
决策者所获得的收益要大于信息不完全时
所获得的最大收益，两者的差额就是完全
信息的价值。
完全信息价值的数学描述
最满意方案的条件收益期望值
利用完全信息的条件收益期望值
风险型决策完全信息的价值
举例
某个体商贩夏季经销品种为雪糕和面包。
卖雪糕晴天每天可获利50元，雨天只能获
利5元；卖面包晴天每天可获利15元，雨天
可获利30元。已知该季节晴天的概率为
，雨天的概率为。试计算完全信息的价
值。
此为重复性风险型决策，利用期望结果值
评价模型。
举例
解题
卖雪糕，其期望利润值
卖面包，其期望利润值
最满意方案为卖雪糕
如果商贩掌握了完全信息，
晴天卖雪糕，雨天卖面包，
期望利润值为
完全信息的价值是
第三节 决策树分析方法
决策树法是进行风险型决策分析的重要方
法之一。该方法将决策分析过程以图解方
式表达整个决策的层次、阶段及其相应决
策依据，具有层次清晰，计算方便等特点，
因而在决策活动中被广泛运用。
一、决策树基本分析
决策树又称决策图，是以方框和圆圈及结
点，并由直线连接而形成的一种像树枝形
状的结构。单阶段决策树如图3-1。
决策树分析方法
图3-1 单阶段决策树
决策树分析方法
1.决策树所用图解符号及结构
（1）决策点：它是以方框表示的结点。
（2）方案枝：它是由决策点起自左而右画出的
若干条直线，每条直线表示一个备选方案。
（3）状态节点：在每个方案枝的末端画上一个
圆圈“○”并注上代号叫做状态节点。
（4）概率枝：从状态结点引出若干条直线“—”
叫概率枝，每条直线代表一种自然状态及其可能出
现的概率（每条分枝上面注明自然状态及其概率）。
（5）结果点：它是画在概率枝的末端的一个三
角结点。
决策树分析方法
2.运用决策树进行决策的步骤
（1）根据实际决策问题，以初始决策点为树
根出发，从左至右分别选择决策点、方案枝、状
态点、概率枝等画出决策树。
（2）从右至左逐步计算各个状态结点的期望
收益值或期望损失值。并将其数值标在各点上方。
（3）在决策点将各状态节点上的期望值加以
比较，选取期望收益值最大的方案。对落选的方
案要进行“剪枝”，即在效益差的方案枝上画上
“∥”符号。最后留下一条效益最好的方案。
决策树分析方法
例3-5 某市果品公司准备组织新年（双节）期间
柑桔的市场供应，供应时间预计为70天，根据现
行价格水平，假如每公斤柑桔进货价格为3元，零
售价格为4元，每公斤的销售纯收益为1元。零售
经营新鲜果品，一般进货和销售期为一周（7天），
如果超过一周没有卖完，便会引起保管费用和腐
烂损失的较大上升。如果销售时间超过一周，平
均每公斤损失元。根据市场调查，柑桔销售量
与当前其他水果的供应和销售情况有关、
决策树分析方法
如果其他水果充分供应，柑桔日销售量将为6000
公斤；如果其他水果供应稍不足，则柑桔日销售
量将为8000公斤；如果其他水果供应不足进一步
加剧，则会引起价格上升，则柑桔的日销售量将
达到10000公斤。调查结果显示在这期间，水果
储存和进货状况将引起水果市场5周是其他水果价
格上升，3周是其他水果供应稍不足，2周是其他
水果充分供应。现在需提前两个月到外地订购柑
桔，由货源地每周发货一次。
决策树分析方法
根据以上情况，该公司确定进货期为一周，
并设计了3种进货方案：A1进货方案为每周
进货10000×7＝70000（公斤）；A2进货方
案为每周进货8000×7＝56000（公斤）；进
货方案为每周进货6000×7＝42000（公斤）。
A3在“双节”到来之前。公司将决策选择哪种
进货方案，以便做好资金筹集和销售网点
的布置工作。
2
70000
49000
28000
56000
56000
35000
42000
42000
42000
1
3
4
其它水果价上升
其它水果价供应不足
其它水果价供应充分
其它水果价上升
其它水果价供应不足
其它水果价供应充分
其它水果价上升
其它水果价供应不足
其它水果价供应充分
图3－2决策树
A1
A2
A3 42000
51800
55300
55300
决策树分析方法
三、多阶决策分析
多阶决策是指在一个决策问题中包含着两个或两
个以上层次的决策，即在一个决策问题的决策方
案中又包含着另一个或几个决策问题。只有当低
一层次的决策方案确定之后，高一层次的决策方
案才能确定。因此，处理多阶决策问题必须通过
依次的计算，分拆和比较，直到整个问题的决策
方案确定为止。
决策树分析方法
例3-8 某连锁店经销商准备在一个新建居民小区
兴建一个新的连锁店，经市场行情分析与推测，
该店开业的头3年，经营状况好的概率为，营
业差的概率为；如果头3年经营状况好，后7
年经营状况也好的概率可达；但如果头3年经
营状态差后7年经营状态好的概率仅为，差的
概率为。兴建连锁店的规模有两个方案：一是
建中型商店。二是先建小型商店，若前3年经营效
益好，再扩建为中型商店。各方案年均收益及投
资情况如表3-7所示。该连锁店管理层应如何决策
？
决策树分析方法
方案方案 投投资资
年收益年收益
前前33年年 后后77年年
经营经营好好 经营经营差差 经营经营好好 经营经营差差
甲：建中型店甲：建中型店
乙：建小型店乙：建小型店
经营经营好再好再扩扩建建
400400
150150
再投再投210210
100100
6060
1010
22
150150
6060
150150
1010
22
1010
投资收益表
第4节 风险决策的灵敏度分析
一、灵敏度分析的要求
风险决策分析的主要评价指标是期望效用或期望
收益，期望值直接依赖于自然状态的概率，而自
然状态的概率往往估计不准，一旦自然状态产生
大的偏差，会导致原来的最满意方案产生变化。
因此有必要分析为决策所用的数据在多大范围内
变动，原来的最满意方案继续有效，这种分析称
为灵敏度分析。
对状态或条件损益值数据的变动是否影响最优
方案的选择进行的分析叫做敏感度分析。
风险决策的灵敏度分析
例3-12 某工厂打算在甲和乙两种产品中选择一种进
行生产。根据以往的经验，如果市场不发生变化
的情况下，生产甲产品，可获得利润50万元；生
产乙产品，要亏损15万元。如果在市场条件发生
变化的情况下，生产甲产品，会亏损20万；而生
产乙产品，可获得利润100万元。根据以往的资料，
预测市场不发生变化的概率是，发生变化的概
率是。问应如何决定生产哪种产品？
风险决策的灵敏度分析
解：先列出状态概率和损益值如表3-18
表3-18 状态概率和损益值
市市场场不不发发生生变变化化 市市场发场发生生变变化化
生生产产产产品甲品甲 5050 -20-20
生生产产产产品乙品乙 -15-15 100100
自然状 态
概
率
状态
生产方案
计算各方案的期望收益：
生产甲产品：50×＋(-20)×=29（万元）；
生产乙产品(-15)×＋100×=（万元）
显然，生产甲产品为最优方案。假设市场不发生变化
的概率从变到，这时两方案的期望利润：
生产甲产品：50×＋(-20)×=36（万元）；
生产乙产品：(-15)×＋100×=8（万元）
显然，生产甲产品仍为最优方案。再假设市场不发生
变化的概率由变到，两方案的期望利润为：
生产甲产品：50×＋(-20)×=22（万元）；
生产乙产品：(-15)×＋100×=31（万元）
这时，生产乙产品为最优方案。
二、转折概率原理
由例3-12可以看出，一个方案从最优方案转
化为非最优方案，在这个转变过程中有一个
概率值点，这个概率值点称为转折概率。最
优方案的转化，都有转折概率。
设P代表市场不发生变化的概率，(1-P)则表示
市场发生变化的概率，令这两个方案的期望
收益值相等，可得到转折概率。
例4-6 某证券投资机构欲在债券和股票两种类型的
证券中选择一种进行投资。根据市场预测，一年内
债券市场和股票市场不会同时上涨，且债券市场上
涨的可能性为70%，股票市场上涨的可能性为30%。
若选择债券建仓（方案a1），当债券市场上涨时，
可获利润500万元；当股票市场上涨时，则因债券市
场不景气而要亏损200万元。若选择股票建仓（方案
a2），当股票市场上涨时，可获利1000万元；当债
券市场上涨时，则因股票市场不景气而要亏损150万
元，以上数据列于下表中，为使期望利润最多，应
选哪一种方案？然后分析状态概率的变化对决策结
果的影响。
债券市场上涨 股票市场上涨
投资债券 500 -200
投资股票 -150 1000
自然状 态
概
率
状态
生产方案
转折概率原理
设决策矩阵为
对于例4-6，设p为债券上涨的概率，有
因为 是p的增函数，只要p大于，方案a1
就优于a2，p＝就是最满意方案的转折概率。
对于多自然状态、多方案的转折概率的计算是比较复杂的，
这里只用多方案、二自然状态下灵敏度分析的一般结论。
灵敏度分析就是分析最满意方案的稳定条件和转折概率
设有一风险决策问题，其可行动方案ai（i=1,2, …,m）,自
然状态的概率为p和1-p，各方案的合意度向量为：
设aio是最满意方案，即方案aio的合意度：
除了方案aio以外的其他方案ai（i≠io）必存在概率值：
使得
1、当状态概率值p在允许范围内变化到pi′时，方案ai与最满意
方案aio优劣程度相同。
2、当状态概率值p的变化越过pi′时（不论大于还是小于），方
案ai优于原最满意方案aio。称pi′为最满意方案的转折概率。
显然，转折概率的个数等于m-1，如果希望最满意方案不变化，
p的变化不能越过所有的pi′，因此最满意方案aio稳定的条件是
其中α表示状态概率的允许误差。这个原理称为转折概率原理。
在实际工作中，我们需要把概率值和损益值等因
素在可能发生的范围内作几次不同的变动，并反
复的计算，看所得到的期望损益值是否相差很大，
是否影响最优方案的选择。如果这些数据稍加变
动，而最优方案不变，则这个方案是比较稳定的，
即灵敏度不高，决策可靠性大。反之，如果那些
数据稍加变动，最优方案就从原来的变到另外一
个，则这个方案是不稳定的，即灵敏度高，决策
可靠性小，需要进一步分析和研究改进措施。
第5节 状态分析
一、客观概率和主观概率
概率的处理是期望效用理论中一个容易引起混乱和争论的
问题，这主要涉及客观概率和主管概率，为此需要简单回顾有
关概率的概念。
关于数学概率的定义可分为三类：古典定义、统计定义和
主观概率。
概率的古典定义是建立在“等可能性”这个比较原始概念
的基础上，由拉普拉斯（Pierre Laplace）于1812年提出的，如果
一个事件A可以划分为M个后果而这些都属于n个两两互不相容
并且是等可能性的事件所构成的完备事件群，则事件A的概率
p(A)等于p(A)=M/n.
古典定义在考虑复杂问题时会遇到困难。首先，许多场合能否符
合等可能性就成问题，像判断等可能性所依据的对称性，若不定后果空
间，就难以符合。
概率的统计定义是从大数试验中事件出现的频率出发的，在
不变的条件下重复进行试验（像掷骰子即是一种试验），观察事
件A的发生或不发生，这样可看出事件A的发生是服从某种稳定规
律的，如un表示在n次独立重复试验中事件A的发生次数，频率值
un/n在n充分大时几乎保持固定的数值，试验进行次数越大，观
察到的偏差越小，事件A出现的频率un/n可视为概率p(A)。
但其统计定义有缺陷：（a）概率值是大样本的估计结果，
很难得出一个精确值。（b）所采用的样本常不清楚，例如，飞
机出事故的客观概率无法估计，是按过去所有的航班，还是按在
此季节内这类型号的飞机去统计分析？（c）精确地重复的概念
有问题。如果掷铜板真正是完全重复，那么，它应产生同样的后
果（正面或反面），这就引出了不确定性的问题。到底是来自内
部世界还是外部世界？答案和每个人的世界观密切相关，有人认
为存在不能避免的不确定性，而有人则摒弃真正的随机性。
上述古典定义和统计定义都是将概率看作是反映集体现象的
客观性质，是独立于认识主体而存在的，可称之为客观概率。
拉姆塞、菲拉迪（Bruno De Finetti）、萨维奇等提出了与
客观概率相对立的主观概率概念，认为概率所反映的是主观心
理对事件发生所抱有的“信念程度”（degree of beliefs），既适
用于重复事件，又适用于像“第三次世界大战是否爆发”之类
的单一事件。主观概率和人们对此不确定事件的知识有关，概
率的确定相当于其知识状态的反映。例如掷硬币游戏，如已进
行过6次，并有下列后果（H为正面，T为反面）：THHHHH，
则第7次出现的概率应独立于原先各次试验后果，正反面后果的
概率各为。但参与此游戏的人却往往认为前5次已未出现反面，
根据他的观念下一次出现反面T的概率应大于。在这种场合下，
人们对事件实际发生的概率做出符合他们对事件可能性认识的
直觉判断，称作主观概率。
客观概率和主观概率的含义尽管不同 ，但是都可以符合概
率的公理化定义（98页）
主观概率的麻烦：埃尔斯伯格悖论（Ellsberg's paradox）
设在两个口袋中每个口袋有100个圆球，第一个口袋中有40个白
球、30个黄球和30个绿球，第二个口袋中有40个白球，其余60个
可能有黄球也可能有绿球，但并不知有多少数量，现有如下三种
方案：
方案D：如从第一个口袋抽出一白球或一黄球，则得益1000元；
方案E：如从第二个口袋抽出一白球或一黄球，则得益1000元；
方案F：如从第二个口袋抽出一白球或一绿球，则得益1000元。
请问你将选择何种方案？多数人将选择方案D。这意味着当方案E
和方案D比较时，D E即
当方案F和方案D比较时，D F即，绿球发生的概
率p(g)被判断者认为亦小于，按此结论则有
人们在判断主观概率时往往偏重于清晰的事
实而对模糊的事件不放心，认为采取保守的、留有
余地的态度来看待方案D和方案F中黄球、绿球出
现的概率是合理的。但是为了迎合人们的这种心理，
必然得出白球、黄球和绿球出现概率之和将小于1
的结论，而违反概率论的基本规则。
主观概率的判断
1、参考事态体 法
为了使主观概率的概念能够实用，萨维奇提出了参考事态体的概念
以判断事件的主观概率。现通过以下例子来说明。
假设面临的问题是：“产品A下季度销售量大于5000台的概率为多
少?”为了判断你关于这一事件所掌握的知识以及对出现这一事件
所抱有的信念，引入一个参考事态体，于是设计两种事态体。
事态体1，产品A下一季度销售量有两种可能，大于5000（含等于）
或小于5000台，并假定出现前一种情况时赢利1万元，否则赢利
2000元。
事态体2，一个匣子内有100只球，每个球除颜色外，其他如形状、
重量等属性完全相同，设红、绿两种球各为50只，让一位红绿色
盲者去摸球，如摸出红球赢1万元，摸出绿球则赢2000元，此即
为参考事态体。
判断者在这两种事态体之间进行辨优，并做出抉
择。如果此人根据已掌握的销售状况，相信有50%以
上的概率销售量会大于5000台，那他将会选择事态体1。
如果这样做了，则下一步变换红绿球的组成，如90只
红球，10只绿球，形成新的参考事态体。这时，判断
者可能选择事态体2，意味着他认为销售量大于5000台
的概率不会大于。然后减少红球数而增加绿球数，
直到出现一种参考事态体，判断者认为和事态体1等价。
设此时红球数为r，意味着r+1个红球时判断者将选择参
考事态体 ，而r-1个红球时则选择事态体 ，在两事态体
等价时红球出现概率为r，此即反映了判断者对于现实
生活中出现该事件的相信程度，r%此即主观概率。
这个过程可继续下去，判定销售量超过其他数量的
概率，例如，按同样的步骤判定销售量超过2000台、
3000台、6000台、8000台的主观概率相应为，
，，，则可给出的概率分布曲线。
用参考事态体进行主观概率判断时，往往由于过于自信而
出现偏差，当事件发生的客观概率在以上，而人们又认为或
希望它发生，则判断出的主观概率值往往高于凭他们的知识和
事实本应判断出的概率值；另一方面，当客观概率小于，而
人们又不认为或不希望它会发生，则往往估计偏低，下图表示
了这种常发生的现象，横坐标为客观概率 ，纵坐标为主观概率
。
2.概率盘
圆盘正面分橙、兰两色，后面有刻度。
用概率盘代替参考事态体，其他测量方法相似。
二、状态分析的方法
1、频率估计法
常用的方法，很难划分是主观还是客观概率。
2、理论分布估计法
近似客观概率，比较可信，但是使用范围窄，因为需要从理论
上知道符合什么样的概率分布。
3、分位点估计法
对于连续的决策变量（如产量等），需要用这种方法来估计，
基本上属于主观概率。
4、其他概率预测方法。状态概率的估计本质上是概率预测。
