不确定性
一.一般理论
1.偏好
简单赌局:令A={a1,…,an}是结果集，
那么，Gs简单赌局的集合（在A上的）
由如下式子给出:
Gs={p0oa1,…,pnoan|pi≥0,∑pi=1}
赌局的结果是赌局,称为复合赌局.
G代表一切赌局的集合.
公理G1:完备性.g,g’∈G,
要么g≧g’要么g’≧g.
公理G2:传递性.g,g’,g”∈G,
如果g≧g’.g’≧g”.则g≧g”.
A的结果是一个退化的赌局,可以排序.
不妨设a1 ≧ a2 ≧ … ≧ an.
公理G3:连续性.g∈G, α∈[0,1],
g~{αoa1, (1-α)oan}
公理G4:单调性. α,β∈[0,1],
如果{αoa1,(1-α)oan} ≧
{βoa1, (1-β)oan},则α≥β
公理G5:替代性.
g={p0og
1,…,pkog
k}
h={p0oh
1,…,pkoh
k}
g,h ∈G,
如果hi~g
i.则h~g.
g={αoa1,(1-α)oh}
h={βoa1, (1-β)oa2}
结果为a1的有效概率为α+(1-α)β,
a2的有效概率为 (1-α) (1-β).
复合赌局引致ai的唯一有效概率.
g ∈G, pi代表g分派给ai的有效概率,
g引致了简单赌局
{p0oa1,…,pnoan} ∈ Gs.
公理G6:简化成一个简单赌局．
对于g ∈G, 如果{p0oa1,…,pnoan}
是由 g引致的简单赌局,则
{p0oa1,…,pnoan} ~ g.
效用函数
预期效用的性质: {p0oa1,…,pnoan}
是由 g引致的简单赌局, 对于g ∈G,
如果存在u(g)=∑piu(ai).效用函数
u:G→R具有期望效用的性质.
消费者的目标是期望效用最大化.
VNM效用函数存在性定理:
对属于G内的赌局的偏好满足公理G1-6,
那么存在一个代表关于G的偏好的效用
函数u:G→R,使u具有期望效用性质.
证明:
(1)公理G3:连续性.g∈G, α∈[0,1],
g~{αoa1, (1-α)oan}
公理G4:单调性. β∈[0,1],
如果g~{βoa1, (1-β)oan},则α≥β
β ≥ α, α=β, α是唯一的.
令α=u(g), g~{u(g)oa1,(1-u(g))oan}
(2)公理G1:完备性.g,g’∈G,
要么g≧g’要么g’≧g.
设g≧g’,由(1)的结论和公理G2,
{u(g)oa1,(1-u(g))oan} ≧
{u(g’)oa1,(1-u(g’))oan}
由公理G3, u(g) ≧ u(g’).
存在一个代表关于G的偏好的效用
函数u:G→R
(3) g~{u(g)oa1,(1-u(g))oan}
ai~{u(ai)oa1,(1-u(ai))oan}
设qi={u(ai)oa1,(1-u(ai))oan}
qi~ ai,公理G5
g’= {p1oq
1,…,pnoq
n} ~
{p1oa1,…,pnoan} = gs.
g’分派给a1的有效概率为
∑piu(ai).
g’分派给an的有效概率为
∑pi[1-u(ai)].
gs’={∑piu(ai)oa1,(∑pi[1-
u(ai)])oan}
公理G6, g’ ~gs’,公理G2, gs ~gs’,
gs ~{∑piu(ai)oa1,(∑pi[1-u(ai)])oan}
gs~{u(gs)oa1,(1-u(gs))oan}
由(1)的结论u(gs)= ∑piu(ai).
g引致的gs, g~gs, u(g)= u(gs)= ∑piu
(ai).u具有期望效用性质.
VNM效用函数对正映射转换是唯一的.
假设VNM效用函数u代表了偏好关系≧,
VNM效用函数v代表了相同的偏好关系≧,
当且仅当, g∈G, αβ>0,v=α+βu.
证明:充分性.g,g’∈G,g≧g’
←→ u(g) ≧ u(g’)
←→v(g)=α+βu(g) ≧
α+βu(g’) = v(g’) /5/
必要性.令A={a1,…,an}
g= {p1oa1,…,pnoan}
a1≧…≧ an, a1>an.
u代表了偏好关系≧→
u(a1)≧…≧u(an), u(a1)>u(an).
→公理G3,唯一αi ∈[0,1],
u(ai)= αi u(a1)+(1- αi) u(an).
当且仅当ai >an. αi>0.
→ u具有期望效用性质.
u(ai)= u(αi o a1,(1- αi) oan).
→ ai~ αi o a1,(1- αi) oan.
→v也代表了偏好关系≧
→ v(ai)= v(αi o a1,(1- αi) oan).
→v也具有期望效用性质.
v(ai)= αi v(a1)+(1- αi) v(an).
[u(a1)- u(ai)]/[u(ai)- u(an)]
= (1- αi) / αi
= [v(a1)- v (ai)]/[v(ai)- v (an)]
v (ai)= α+βu(ai)
α= [u(a1) v (an)-v(a1)u(an)]
/[u(a1)-u(an)]
β= [v(a1)- v (an)]/[u(a1)- u(an)]>0
对于g ∈G, 如果{p0oa1,…,pnoan}
是由 g引致的简单赌局,
v(g)= ∑piv (ai)= ∑pi[ α+βu(ai)]
= α+β ∑pi u(ai)= α+β u(g)
3.风险厌恶
1)对于非负财富水平上的赌局,设u是个
人的一个VNM效用函数,那么对于简单赌
局g={p0ow1,…,pnown},该个人可被认为
是:
(1)如果u[E(g)]> u(g),他对g是风险厌恶的;
(2)如果u[E(g)]= u(g),他对g是风险中性的;
(3)如果u[E(g)]< u(g),他对g是风险偏爱的;
2)当且仅当行为者的VNM效用函数分别在财
富的适当定义域上是严格凹的\线性的\严
格凸的,他才在赌局的一些子集上是风险
厌恶\风险中性\风险偏爱的.
3)确定性等价物与风险升水:在财富水平上,
任何简单赌局的确定性等价物是一定量的
财富CE-他被确定性地提供,使u(g)=u(CE).
风险升水是一定量的财富P,
使u(g)= u(E(g)-P).
P=E(g)-CE.
4)绝对风险厌恶的阿罗-帕拉特测度
Ra(w)=-u”(w)/u’(w).
Ra(w)为正,负,零时,行为者分别是
风险厌恶\风险中性\风险偏爱的.
效用函数正的单调转换,使测度不变.
W
u(W)
u(W)=Wu(W)=W
2
u(W)=
1
二.二维
1.或有消费
某人开始拥有35000美元资产,有可能
损失10000美元,损失发生的概率为.
g0 ={, }
完全保险,投报金额为10000美元,保险
费为100美元.
g1 ={, }
投报金额为K,保险费为γK美元.
g2={-γK,+K-γK}
Cg
cb
35000
35000-γK
25000 25000+K-γK
△cg/△cb=-γ/(1-γ)
效用函数
u(c1,c2,π1,π2)=π1u(c1)+π2u(c2)
u(c1,c2,π1,π2)=π1c1+π2c2
u(c1,c2,π1,π2)=c1
π1c2
π2
lnu(c1,c2,π1,π2)
=π1ln(c1)+π2ln(c2)
MRS12=-(π1 △ u(c1)/ △c1)/
(π2 △ u(c2)/ △c2)
3.均衡条件
MRS12=-(π1 △ u(c1)/ △c1)/
(π2 △ u(c1)/ △c1)= -γ/(1-γ)
公平保险,保险公司的期望利润
P=γK-πK=0→γ=π
△ u(c1)/△c1=△u(c2)/△c2
消费者风险厌恶,货币的边际效用递减
→c1= c2
→ c0-γK= c0-S+K-γK
→K=S 完全保险
三.风险资产投资
1.决策
初始财富w,风险资产好状态概率为π,
收益率为rg,坏状态概率为1-π,收益
率为rb.风险资产投资x美元.
EU(x)= πu(w+ rgx) +(1-π)u(w+ rbx)
EU’(x)= πu’(w+ rgx) rg
+(1-π)u’(w+ rbx) rb
EU”(x)= πu”(w+ rgx) rg
2
+(1-π)u”(w+ rbx) rb
2
EU’(x)=0 →x*
投资者风险厌恶, EU”(x)<0, x*为全局最
大值.
2.征税效应
税率为t,
EU’(x)=πu’(w+(1-t)rgx)(1-t)rg
+(1-π)u’(w+ (1-t) rbx) (1-t) rb
EU’(x)=0 → (1-t) x’ =x*
→ x’=x*/ (1-t)
征税导致投资者增加对风险资产投资.
风险资产
一.均值-方差效用
(μw,σ
2
w),u1’>0,u2’<0.
MRS12=-u1’/u2’>0.
μw
σw
2.无风险资产报酬率为rf,风险资产在
s状态下概率为πs,报酬率为ms;
风险资产组合的报酬率为rm=∑πsms,
方差为σ2m=∑πs(ms- rm)
2;
x份额投资于风险资产,(1-x)份额
投资于无风险资产.
rx= x rm+(1-x) rf
σ2x= x
2 σ2m
σx= x σm x= σx/ σm
rx= rf + ( ( rm - rf) / σm) σx
rm
rf
σm
μw
σw
rx=rf+( (rm-rf)/σm)σx
rm
rf
σm
μw
σw
MRS12=-u1’/u2’
=(rm-rf)/σm=P
r*
σ*
3.均衡
rx
*
σx
*
μw
σw
ry
*
σy
*
4.组合选择
rx
σx
ry
σy
二.风险的测度
1.只有一种风险资产的情形,风险资产的
风险值就是它的标准差.存在多种风险资
产的情形,标准差就不是对该资产风险值
的合适测度.
2.消费者的效用取决于全部财富的均值
和方差,而不是任何单一资产的均值和
方差.某人愿意为最后增加的那一份风
险资产所支付的数量,取决于该份资产
与资产组合内其它资产的相互影响.
资产A:10,50%;-5,50%.
资产B:-5,50%;10,50%.
μA=μB= σA=σB= ρ=-1
组合份额1/2.
μ=1/2μA+1/2μB=
σ2=D(1/2rA+1/2rB)
=1/4(D(rA)+D(rB)+2ρσAσB)
=0
资产的风险值取决于它与其它资产的关系.
3.一种股票的风险
βi=资产i的风险程度/
股票市场的风险程度
=cov(ri,rm)/Var(rm)
βi<1.βi=1.βi>1.
三.风险资产的市场均衡
资产i的风险=βi σm
风险价格P=(rm-rf)/σm
风险对收益的调整值
=βiσm (rm-rf)/σm
=βi (rm-rf)
资产i和j,期望收益为ri和rj,
β值为βi和βj .
经过对风险调整后的收益分别为
ri-βi(rm-rf)和rj-βj(rm-rf)
假设风险资产市场无套利
ri-βi(rm-rf)=rj-βj(rm-rf)=rf
ri=rf+βi(rm-rf)
资本资产定价模型CAPM.
β
r
rf
rm
1
资本市场线
