第16章 连续时间美式期权定价模型
美式期权定价模型概述
股票价格行为模型
无套利机会股票价格模型
美式看涨期权定价模型
美式看跌期权定价模型
因为美式期权没有固定的执行时间，学者很难用解析模型为美式期权定价。本章主要介绍作者2008年提出的连续时间美式期权定价模型。内容包括股票价格行为模型，连续时间美式期权定价模型。
美式期权定价模型概述
1973年，Fischer Black、Myron Scholes和Robert Merton在欧式股票期权定价模型研究中，取得突破性进展。提出不派息（和派息）股票期权定价模型，又称为Black-Scholes模型。该模型的提出为股票期权定价提供了理论依据，同时也促进了20世界80年代和90年代金融工程的发展。为了表彰他们对人类所做出的贡献，Myron Scholes和Robert Merton于1997年获得诺贝尔经济学奖。遗憾的是Fischer Black于1995年逝世。
Cox、Ross和 Rubinstein(1979)提出的二叉树模型，成为美式期权定价的主流模型。为了提高二叉树的收敛速度，Hull和White（1994）提出三叉树模型。Boyle(1977)提出蒙特卡罗模拟模型。Brennan和Schwartz(1978)提出有限差分模型。Duan(1995)提出GARCH（广义自回归条件异方差）模型。
经过多年的研究，作者已经研制出不派息连续时间美式期权定价模型（2008）,在此基础上又提出连续时间美式外汇期权定价模型（2009），这两个模型的复杂程度与BS模型相似。通过实证研究，这两个模型的计算结果与二叉树模型相比，看涨期权的最大相对误差仅为%，看跌期权的最大误差仅为%。
股票价格行为模型
假设股票的价格波动为零，而且不派息。如果投资者的期望收益率为 ，零时刻的股票价格为 ，则持股 年股票价格的期望值 应为：
（16-1）
公式（16-1）与银行存款本金和利息的计算公式完全相同。 为本金； 为银行存款利率； 为存款年限； 为 年后的本金和利息。为了数学处理上的方便，我们采用连续复利形式，则模型（16-1）变为：
（16-2）
从公式（16-2）中我们可以看出，当股票的价格波动为零时，股票价格的期望值以年利率为的复利形式增长，与银行存款有相同的增长方式。
由此可见，用公式（16-2）表示t时刻股票价格的期望值是合理的。把式（16-2）两边同除以 ，并取对数得到：
（16-3）
其中 是持股 年的对数收益率，而不是年收益率，年收益率为 。
假设 是单位时间内股票对数收益率的方差，则 为 年内收益率 的方差。只有在公式（16-3）中加入随机项，才能真实全面地反映股票价格的变化。
通过上面的分析，股票价格过程 可以用下列形式的随机过程来描述
（16-4）
或
（16-5）
其中： 为 测度下的标准维纳（Wiener）过程， 。
（16-6）
其中： 为标准正态分布变量， 。
公式（16-5）两边同除以 ，并取对数得到：
（16-7）
对数收益率服从下列形式的正态分布
（16-9）
方程（16-5）是描述股票价格变化的合理模型。
无套利机会股票价格模型
一般情况下，国库券以政府为担保，价格受随机因素的影响较少，波动也较少，因此，买国库券属于无风险投资。而股票的价格受随机因素的影响较大，波动也较大，因此，买股票属于风险投资。单位国库券的价格和股票的价格分别用下列模型表示：
（16-10）
（16-11）
其中： 为 时刻单位国债的价格； 为 时刻股票的价格，元/股； 为零时刻股票的价格，元/股； 为国债利率，又称为无风险利率；
对股票价格贴现后得到 时刻股票价格的现值：
即
（16-12）
其中：随机变量 零时刻的值等于随机变量零时刻的值 ，即 。
下面推导式（16-12）的微分形式。我们可以把式（16-12）写成下列形式：
其中:
令
伊滕公式的一般形式为：
因为
高级无穷小项 和 ，另外 ，因此
分别把上述公式代入伊滕公式，可以求出随机过程（16-12）的随机微分方程：
（16-13）
公式（16-12）和（16-13）表示同一随机过程，前者是该过程的积分形式，表示时刻股票价格的现值，而后者为该过程的微分形式，表示时刻股票价格现值的变化。假设债券市场和股票市场允许买空卖空。
当任意时刻股票价格现值变化的期望值等于零时，即 ，为 鞅过程，这时，市场没有套利机会。
当 时，股票的利润比国债高，投资者纷纷抛售国债，投资股票，国债的价格越来越低，而股票的价格越来越高，直到套利机会消失为止。
当 时，股票的利润比国债低，投资者纷纷抛售股票，投资国债，国债的价格越来越高，而股票的价格越来越低，直到套利机会消失为止。
由此可见，在套利者的作用下，市场中的套利机会很少，一旦出现，套利者就会蜂拥而至，套利机会立即就会消失。由此可见，套利者的作用并不是一无是处，对金融市场有纠偏的作用。
在方程（16-13）中，包括两项，第一项为非随机项，期望值不等于零，第二项为随机项，期望值为零。如果漂移率 ，则， ，这时，市场存在套利机会。根据CMG测度变换定理，为了把股票价格现值过程变为鞅过程，令
（16-14）
则
或
（16-15）
把公式（16-15）代入公式（16-13），得到鞅过程：
（16-16）
其中： 为 测度下的布朗运动， ； 为 测度下的布朗运动， 。
在方程（16-16）中，因为 ，则 为 测度下鞅过程，这时，市场没有套利机会。利用伊滕定理，可以猜出随机微分方程（16-16）的解：
（16-17）
推导过程如下：令
令
伊滕公式的一般形式为：
因为
分别把上述公式代入伊滕公式，可以求出随机过程（16-17）的随机微分方程（16-16）。用随机过程（16-17）表示股票价格的现值，没有套利机会。根据模型（16-17），可以反推出股票t时刻的价格过程：
即
（16-18）
用随机过程（16-18）表示t时刻股票的价格没有套利机会。而方程（16-5）则有套利机会。因此，方程（16-18）将作为建立美式股票期权定价模型的基础。
美式看涨期权定价模型
欧式看涨期权只有在到期日才能执行。期权的执行价格在签署期权和约时就已经确定，因此，股票的到期价格决定期权到期时的价值。另外，看涨期权的买方支付期权费后，就获得了一项权利，买方有权执行期权，也有权不执行期权，因此，期权的价值总是大于零。每股看涨期权在执行日的价值可以表示为：
（16-19）
其中： 为期权的到期时间，年； 为股票的到期价格，元/股； 为期权的执行价格，元/股； 求 测度下的期望值运算符。
式（16-19）是期权在执行时的价值，而看涨期权的买方在签署和约时支付期权费，因此必须对式（16-19）贴现后才能得到每股欧式看涨期权的当前价值 ：
（16-20）
其中： 为期限为 的无风险零利率； 为折现因子。
对于美式期权，投资者可以在到期日之前任何时刻执行。假设美式期权的投资者，买入美式期权后立即执行，投资者可以把投资收益购买国债获得无风险收益。因此，美式期权应该是欧式期权的 倍。
（16-21）
如果投资者购买股票看涨期权后，股票价格波动很大，立即执行看涨期权对投资者有利，投资者就可能立即执行看涨期权。这时美式看涨期权的执行时间为零。美式看涨期权的当前价值为：
（16-22）
根据公式（16-18），我们知道，在到期日股票的价格为：
（16-23）
把式（16-23）代入式（16-22），则得到美式期权的当前价值：
（16-24）
因为维纳过程的数学表达式为：
其中： 为标准正态分布变量, 。
因为期权的价值又必须大于零，因此
从中得到随机变量 的取值范围：
对公式（16-24）求数学期望，就得到期权的当前价值：
（16-25）
或者
（16-26）
因为
式（16-26）可以写成
(16-27)
令
(16-28)
交换积分上下限，并改变积分上下限的符号。
(16-29)
可以把式(16-29)简写成式（16-30）
（16-30）
令, ， 则（16-30）式变成式（16-31）
（16-31）
其中
同理，我们可以得到欧式看涨期权定价模型。
（16-32）
例题16-1美式看涨期权定价
假设股票的当前价格为20元，期权的执行价格为20 元，期权的期限为6个月，无风险年利率为5%，股票的年波动率为20%。求美式看涨期权的价值。
解：因为
美式看涨期权的当前价值为：
该股票美式看涨期权当前的价值为元/股。
欧式看涨期权的当前价值为：
该股票欧式看涨期权当前的价值为元/股。
因为美式期权又灵活的执行时间，因此，美式期权的价值大于欧式期权的价值。
美式看跌期权定价模型
如果投资者预测股票的价格将会下跌，为了保值或投机，买入看跌期权。欧式看跌期权在到期日执行。期权的执行价格在签署期权和约时就已经确定，因此，股票的到期价格决定看跌期权到期时的价值。另外，看跌期权的买方支付期权费后，就获得了一项权利，当看跌期权的价值大于零时就执行期权，否则就不执行期权，因此，期权的价值总是大于零。在到期日每股看跌期权的价值为：
（16-33）
看跌期权的买方在签署和约时支付期权费，因此必须对公式（16-33）贴现后才能得到每股欧式看跌期权的当前价值为：
（16-34）
投资者购买美式股票看跌期权后，如果股票价格急剧下跌，投资者可以立即执行期权，获得的收益可以购买国债，获得无风险。这时，美式看跌期权的当前价值为：
（16-35）
把式（16-23）代入式（16-35），则得到看跌期权的当前价值：
（16-36）
把维纳过程， ，代入（16-36），而且期权的价值又必须大于零，因此
从中得到随机变量 的取值范围：
对公式（16-36）求数学期望，就得到美式看跌期权的当前价值为：
（16-37）
为了方便积分，我们把式（16-37）分成两项
（16-38）
在式（16-38）中，第一项就是标准正态密度函数积分。为了方便积分，我们可以变换第二项的指数形式：
（16-39）
（16-40）
在（16-40）中，令 ，得：
（16-41）
在式（16-41）中，第二项又变成标准正态密度函数的积分，我们可以把它写成如下形式：
（16-42）
在式（16-42）中，令 ， ，则美式看跌期权的当前价值可以表示为：
（16-43）
其中：
（16-43）
同理，我们可以得到欧式看跌期权定价模型。
（16-44）
下面举例说明美式看跌期权定价模型的用法。
例题16-2 美式看跌期权定价
考虑不分红5个月美式股票期权，股票的当前价格为50元，执行价格为50元，无风险利率为10%，股票对数收益率的年波动率为40%。求美式看涨期权和美式看跌期权的价值。
解：因为
美式看涨期权的当前价值为元/股。
美式看跌期权的当前价值为元/股。
如果用二叉树模型计算美式看跌式期权的价值，当把期权的持续时间划分成5、30、50和100个时间段时，看跌期权的当前价值分别为、、和。当时间段趋于无穷时，与连续模型的计算结果相同。
从前面的两个例子中，我们可以看出，在条件相同的情况下，看涨期权的价值大于看跌期权的价值，因为股票的价格以无风险利率增长，股票在T时刻的期望值始终大于当前价值。
美式期权的价值大于欧式期权的价值，因为美式期权有灵活的执行时间，美式期权在执行时间上的灵活性可以用资金的时间价值来衡量。
本章小结
与欧式期权相比，美式期权有更多的选择机会，投资者购买美式期权的目的就是想获得这个选择机会。美式期权为投资者提供的选择机会，也可以用资金的时间价值来衡量，因此，美式期权的价值是欧式期权价值的erT倍。与二叉树模型相比，用连续时间模型和为美式期权定价，不仅形式简单，而且是美式期权的真实价值。该方法的提出，大幅度地降低了美式期权的定价成本。
练习题
1.某上市公司股票的当前价格为20元/股,执行价格为20元/股，期权的期限为1年，期限为1年的无风险利率为%，股票价格对数收益率的标准差为30%。求欧式看涨和看跌期权的价值。
2.股票价格指数的当前价格为2200点，执行价格为2300点，期限为年的无风险利率为%，股票价格指数对数收益率的标准差为25%。求美式看涨和看跌期权的价值。
