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经济数学—概率论与数理统计教案
第 5 章 统计量及其分布
授课序号 01
教 学 基 本 指 标
教学课题 第 5 章 第 1 节 总体、样本及统计量 课的类型 新知识课
教学方法 讲授、课堂提问、讨论、启发、自学 教学手段 黑板多媒体结合
教学重点 总体、简单随机样本、统计量、样本均值、样本
矩及样本方差的概念
教学难点 统计量、样本均值、样本矩及样
本方差
参考教材 《经济数学—概率论与数理统计（慕课版）》 作业布置 课后习题
大纲要求 理解总体、简单随机样本、统计量、样本均值、样本矩及样本方差的概念。
教 学 基 本 内 容
一．总体与样本
1．总体与个体：把研究对象的全体称为总体，构成总体的每个成员称为个体.
2．有限总体与无限总体：若总体中的个体数是有限的，此总体称为有限总体；否则称为无限总体.
3．样本容量：在相同的条件下从总体中随机地抽取 n 个个体，记为 ，我们将
称为来自总体 X 的一个样本，n 称为样本容量.
4. 简单随机样本：若样本 与所考察的总体具有相同的分布，且 相互独立，
则称 为来自总体 X 的容量为 n 的简单随机样本，简称样本.
5．若 为来自总体 X 的一个样本，则 的分布函数为
.
6．若总体 X 为离散型随机变量，其分布律为P{X = xi} = p(xi)，xi取遍 X 所有可能取值，则样本的概率分
布为
.
7．若总体 X 为连续型随机变量，其概率密度为 ，则样本的概率密度为 .
二．统计量
1．统计量：设 为取自某总体的样本，若样本函数 中不含有任何未知参数，
则称 T 为统计量. 统计量的分布称为抽样分布.
2．几个常见统计量：设 是总体 X 的样本，常用的统计量有
1 2, , , nX X XL 1 2, , , nX X XL
1 2, , , nX X XL 1 2, , , nX X XL
1 2, , , nX X XL
1 2, , , nX X XL 1 2, , , nX X XL
)(),,,(
1
21 i
n
i
n xFxxxF
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1
2211 i
n
i
nn xpxXxXxXP
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1
21 i
n
i
n xfxxxf
1 2, , , nX X XL 1( , , )nT T X X L
nXXX ,,, 21
41
（1）样本均值： ；
（2）样本方差： ；
（3）样本标准差： ；
（4）样本 k 阶（原点）矩： ；
（5）样本 k 阶中心矩： .
3．性质：设总体 X 具有二阶矩，即 , 为来自总体 X 的样本，
和 分别是样本均值与样本方差，则
（1）
（2）
（3） .
三．例题讲解
例 1．从某班级的英语期末考试成绩中，随机抽取 10 名同学的成绩，分别为：100，85，70，65，90，95，
63，50，77，86. 求样本均值，样本方差及二阶原点矩.
例 2．设总体 为来自该总体的简单随机样本, 为样本均值，求
.
n
i
iXn
X
1
1
n
i
i XXn
S
1
22 )(
1
1
n
i
i XXn
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1
1
1
1
, 1, 2,
n
k
k i
i
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1
1
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n
k
k i
i
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n
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2S
( ) ( ) ;E X E X
21
( ) ( ) ;D X D X
n n
2 2( ) ( )E S D X
~ , ,X B m 1 2, , , nX X XL X
2
1
n
i
i
E X X
42
授课序号 02
教 学 基 本 指 标
教学课题 第 5 章 第 2 节 抽样分布 课的类型 新知识课
教学方法 讲授、课堂提问、讨论、启发、自学 教学手段 黑板多媒体结合
教学重点
分布、 分布和 分布的概念及性质、分位数
的概念并会查表、正态总体的某些常用抽样分布。
教学难点
分布、 分布和 分布的性
质，正态总体某些常用抽样分布
参考教材 《经济数学—概率论与数理统计（慕课版）》 作业布置 课后习题
大纲要求
1．了解 分布、 分布和 分布的概念及性质，了解分位数的概念并会查表计算。
2．了解正态总体的某些常用抽样分布。
教 学 基 本 内 容
一．抽样分布
1. χ2分布（卡方分布）
（1）设 是来自标准正态总体N(0,1)的样本，则称统计量 服从自由
度为 n 的χ2分布，记为 .
（2）χ2(n)分布的概率密度为 .
（3）设 则有 ， .
（4）若 且 X 与 Y 独立，则 .
2. t 分布
（1）设X~N(0,1), Y~χ2(n)，且 X 与 Y 相互独立，则称随机变量 服从自由度为 n 的 T 分布，记为
T~t(n) .t分布，又称学生(Student)分布.
（2）t 分布的概率密度为 .
3. F 分布
（1）设U~χ2(n1),V~χ2(n2)，且U,V相互独立，则称随机变量 服从自由度为 的F分布，记
为F~F(n1,n2).
2 t F 2 t F
2 t F
1 2, , , nX X XL
2 2 2 2
1 2 nX X X L
2 2~ ( )n
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,0,
)2(2
1
)(
212
2
x
xex
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nn
n
2~ ( ),X n nXE )( ( ) 2D X n
2 2
1 2~ ( ), ~ ( )X n Y n
2
1 2~ ( )X Y n n
nY
X
T
x
n
x
nn
n
xf
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，
2)1(2
1
)2(
2)1(
)(
1
2
/
/
U n
F
V n
),( 21 nn
43
（2） 分布的概率密度为 .
（3）若F~F(n1,n2)，则 .
4.上侧α分位数（点）
（1）设有随机变量X, 对给定的α (0 < α < 1), 若存在实数xα满足P{X > xα} = α，则称xα为 X 的上侧α分位数
（点）.
（2）标准正态分布、自由度为 n 的卡方分布、自由度为 n 的 t 分布、自由度为 的 F 分布的上侧α分
位数分别记为uα、 、 、 ，图像如下图所示. 即有
（1）X~N(0,1)， 则P(X > uα) = α；
（2） ，则 ；
（3） ，则 ；
（4） ，则 .
四大抽样分布的上侧α分位数
（5）性质
（i）由标准正态分布和 t 分布的对称性有：u1−α = −uα；t1−α = −tα.
（ii）由 F 分布的定义可以得到： .
),( 21 nnF
1 1 2
2 21
1 2 1 1 1
1 2 2 2 2
( ) 2
1 , 0( ) ( 2) ( 2)
0, 0
n n n
n n n n n
x x xf x n n n n n
x
),(~
1
12 nnFF
1 2,n n
2 ( )n ( )t n 1 2( , )F n n
2 2~ ( )n 2 2 ( )P n
~ ( )T t n ( )P T t n
1 2~ ( , )F F n n 1 2( , )P F F n n
1 1 2
1 2
1
( , )
( , )
F n n
F n n
44
（iii）由于 n 比较大时 t 分布近似 N（0,1），一般的，当 时，有 .
二．正态总体的抽样分布
1．来自单一正态总体N(μ,σ2)的统计量的分布
定理：设 是来自正态总体N(μ,σ2)的一个样本，X、S2分别是样本均值和样本方差，则有
（1） ，即 ；
（2） ；
（3） .
2．来自两个正态总体N(μ1,σ12)、N(μ2,σ22)的统计量的分布
定理：设 与 分别是来自两个相互独立的正态总体N(μ1,σ12)和N(μ2,σ22)的样本，
其样本均值分别记为 ，样本方差分别记为S12,S22， 则
（1） ；
（2） ；
（3） 当σ21 = σ22时， ； 其中 .
例 ， 分别为来自 X 和 Y 的
样本，
例 设X1,X2,⋯,X15是来自总体N(0,22)的样本，求统计量 的分布.
例 某公司生产瓶装洗洁精，规定每瓶装 500 毫升，但是在实际罐装的过程中，总会出现一定的误差，
误差要求控制在一定范围内. 假定灌装量的方差 σ² =1，如果每箱装 25 瓶这样的洗洁精，试问 25 瓶洗洁精的平
均灌装量和标准值 500 毫升相差不超过 毫升的概率是多少？
45n ( )t n u
1 2, , , nX X XL
),(~
2
n
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)1,0(~ N
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, , , nX X XL 21 2, , , nY Y YL
YX ,
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1 2
1 2
1 2
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1 1
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t n n
S
n n
2 2
2 1 1 2 2
1 2
( 1) ( 1)
2
n S n S
S
n n
2 2~ (0,3 ), ~ (0,3 ) ,X N Y N X Y设 ，且 相互独立 1 9 1 9( , , ) ( , , )X X Y YL L，
1 9
2 2
1 9
.
Y
X X
U
Y
L
L
求 的分布
)(2 215
2
12
2
11
2
10
2
2
2
1
XXX
XXX
Y
