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暇墓 ，僻晌
奢 九七年第四期 <总第52期)
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本世纪8o年代韧由拽国华中理工大学邓聚兜教授提
出并发晨起来的灰色系统理论是研究解决灰色系统 (部分
信息已知、部分信息未知的系坑)分析、建模、预测、
肇和控制的理论。它把一般系坑论、信息论、控制论的观
点和方法延伸到杜台、经济、生态等抽象系统．结合运用
数学方法，发展了一套解 信息不完备系统印灰色系统的
理论和方法．目前．灰色系统理论已渗透刊白然科学和社
会科学的许多领域．特男|是在杜会、经济 农业、人口、生
态等方面获得了般为广琵的应用．取得了许多重大成果．
而作为灰色系统理论棱心和基础的GM模型(灰色模型)，
概括丽言具：ff．gt下3个主要特点；
(1)建模所需信息步．通常只要有4个以上数据即可
建横I
(2)不必知道原始数据分布的先验特征，对无规或不
服从任何分布的任意光滑离数的原始序刊，通过有限扶的
生成目 可转化为有规序刊I
(3)建模的精度较高．可保持原系统的特征．能较好
地反映系统舳实际状况．
在股 市场中，对市场状况最直接的反映就是各种股
票的价格及其变动，并由此狠生出其它各种表征市场状况
的特征量．但其中股票价格是照基本的特征量，也是^ 们
所能感觉剜的最直接的表现，其它特征量都是以股票价格
为基础的间接量。而关于股票的竹格．它总是处在不停的
被动变化之中，受破精、经济以及市场技术等多方面的西
素的影响．也许一件小事就撬使股票价格发生变化，拙们
不可能将彭响股票价格的各种因索都就_出来I另一方面．
各种因素对股票价格的影响是非常复杂的，一般只能进行
简单的定性分析(如各种股价理论那样)，而具体的影响过
程和彩响程度也是难以搞请燕的．目前已形成的各种股价
理论虽然拖解释股市上的某些现象．但对股票价格的描述
和分析都是不完全的、不确切的．因此，我们可以将股票
市场当作一个灰色系统来进行趾理，股票价格即为其系统
行为特征量。
因为股票价格受多种因素的影响，其变动是杂乱玉序
的，而目前流行的证券组合投瓷理论是在假设股价的概率
分布服从某种统计特征的前提下建立的，所以具有一定的
局甩性，而且结果可能存在较大误整．其次．由于股桑价
格变动频繁，影响因素繁多，所以真正能用于对未来进行
预测的历史数据也是非常步的．此外．对股票市场的顼测
将会直接影响投资者的买卖投资决策．美泵到投资者的切
身经济利益．所以对预测的准确性要求也较高。GM模型的
·60·
3个特点正好与股市的上述情况相吻合，所以．GM模型用
于对神秘莫测、变幻无定的股市进行预酒是非常合适的。
基于以上分折．本文尝试将灰色系统理论应用于日殳票
市场．建立相应的GM预测模型，并进行具体积测。
(一)灰色预测方法及步骤
灰色璜酒是通过建立GM(1，N)灰色模型进行预测．
灰色暴坑理论认为，杂乱无章的数据后面必然潜藏着某种
规律，井通过数据生成从杂乱的原始数据中去开拓、发现
这种内在规律，这是一种现实规律，而不是先验规律，以
此来建立GM模型．由于股市这一灰色系统中只有股价一
个系统特征量．因此本文只考虑N=1时的情况，即建立
GM (1，1)模型井进行预测的方法和步骤：
设原始数据序列为t
0 =‘x‘o’(1)tx(0 (2)．⋯xc )) t1)
对x” 作一趺累加生成
k
x⋯(k)：∑x L。 (m)
得
x‘。 h 1 (1)，x⋯(2)，⋯．x‘‘)(n))
譬hlo)(1)，X(1 (1)十x‘0(2)，⋯ ．x (n一1)+x‘。)
)) (3)
由此得相应舳微分方程模型为
一 ㈨ =u ㈤
此印为GM(1，1)模型。式中，a．u为参数．而且U为内生变
量，是待辨识参数。
基于灰色系统理论中的某些观点和方法，可将上述微
分方程(4)离散化，引出lft数方程组
一 ÷ ⋯(k)+x【 (k 4-1))a+u；×㈨(k+1)，k=1，
2．_．·．n— l (5)
引^向量
i (＆，q (6)
y=(x‘。 (2)．x‘”(3)．⋯，x{。 (n)) (7)
及炬阵
B一
^
÷(xIlJ(1 ⋯(2)) l 1
÷( )十xI 3)) 1 I (8)
⋯ ⋯ ⋯ I
{( lJ{ 1)十xI n)) lj
r 目_ ， ，
^ ^ + } { } ；
-
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F
之后，即可将方程组(5)改写为矩阵形式
B —v (9)
当BTB可逆时，即可解出
=(B B)一 Bl'y (i0)
可以证明． 为参数的最小二乘估计值．
求得参数 a和u之后．解上述微分方程(4)．即得
(c)=(x‘ (1)一 )e + (11)
其中，x (1)为初值。于是有如下形式的预测公式：
i(1 (k+1)一(x(0 (1)一一u)e- +_u
．k一0，l，2，⋯
(12)
然后．对GM(1．1)模型的预澍精度进行植验．植验方
法一般有3种；残差大小检验、关联度植验和后验差检验。
植驻通过后．预测出 ‘”(k)和 (1 (k+1)．即可由(2)式反
推得到预测值 (。 (k+i)=i (k+i)一 (k)。
(二)对GM(1，1)模型的改进
在前面将微分方程模型(4)离散化时，是用÷(x[_ (k
+i)十x‘”(k))来近似替代从 k到k+1这段时间内
兰 的背景值的．从而推导出了代数1方程组(5)。现在
对此怍一点小的改进，用二元组台x I (k+i)和x‘ (k)的
线性组合
qx” (k)+f i一Ⅱ)xll (k+i)，O≤d≤l (19)
来作为从k到k~l连段时间内 兰 的背景值的近似
值．其它条件不变．由此得到的方程组为
一 (Qx‘’ (k)+{1一口) (k+1))a+ c0 {k+1)．k
=l 2 r'．n一1 (14)
相应的矩阵变为
x‘l +(1一a)x(”{2)
x‘l’(2)+{1～a)x‘L) 3))
●●●
(”{n))
C15)
其它不变。接下来的步骤与前面类似．选定 的值之后，即
可求得相应的参数向量 ，然后得到相应的预测表达式．当
0 5时．相应的矩阵B与原模型中的矩阵B一致．所以
原摸型包容在改进后的摸型之中。
选样实际上是在GM(1，i)摸型中增加了一十可以调
节的参变量 ∈[O．i]。对于每一十 值．可以相应地得
到一十矩阵B．由此辫得一十 值．再代^到原散分方程
(4)中．即可求解出一十相应的 u (t)的表达式。于是我们
在实际建摸和预测时，可以选取不同的 值，分别得列相应
的预测表达式i“’(t)．鼻!；后根据摸型检验的结果．选择其
中精度最高的预测表达式进行预测．这样得到的预测结果
将更加接近于实际情况。甚至．可以根据对应不同 值(特
别是极值 =0和t 1)的预测表达式在k+1对捌的预测
值i (k+i)构造出所预测特征量的一十预测区阃。连就
是引^参变量a的意义之所在．
，
(三)股价的灰色预测
利用GM(1，1)模型对股价进行预测．关键在于根据所
要预测的信息情况，从众多的股价数据中整理构造出合适 ．
的原始数据序刊，然后按照灰色预测的方法和步骤构造出
相应的GM(1．i)模型进行预测。如利用最近几天的股价预
测明天的股价，或根据最近一段时问内股价舶阴变(或阳
变)情况璜测下一敬发生胡变(或阳变)的时间及股价，等
等。事实上，根据原始数据厦其时间间隔的不同选取．以厦
不同舶处理构造方法．应用灰色琢测模壹可以进行各种不
同的预 ．
现在我们以上海股市 延中实业 股票 i992年12月
i6日至24日的股价(收盘价)作为原始数据．来预测谈股
票的 ·数据如下表所示(表中空缺日期为股市休息
日)：
日期l 16 l7 18 21 22 23 1 24
股价(元)li0．45 l1．02 l0．90 l1．57 l1．36 l1．49Ⅱ1．8：
由于GM模型建模不需要太多数据，琬选取 l8日到
24日5天的股价作为原始数据序刊建立GM(1，1)模型，
来璜测l2月25日谈股票的股竹。原始数列为
x0) (10．90，i1 57，i】．96，11．49．11．B8) (1 6)
根据前面的方法和步骤，分别求得相应于a=0． =
0．5和 =1选9种情况下的爱滔表达式
}P-0)(c)=7470．636~49e ~077 6 f 1 一l459．736449(17)
}挂n 51(c)；l475．797644e“∞”1 B(L--1)--1464．897644
(18)
{ 1 (c)一1498．476999e0* 6w11(卜1 一1487．576999{l9)
然后对3十摸型分别进行残差大小，关联度和后验整
9种检验．均通过．综合考虑选9种检验时结果，对应于
0的GM摸型精度最高．于是诗择相应于 0的GM(1．
1)模型(1 )进行实际预测。
分别令t譬5和 t等6．代人(17)式，得到 (5)
56 96 。I {6)一68．70．于是x‘。 (6) i1．74。该股票l2月
26日的实际股价(收盘价)为ii．75元．误差仅为0．O1元．
预测的准确率为99．91 。
实际上，相应于 0 5，璜测的股价为1i．79元，误差
为0．04元，准确率为99．66 }相应于口 i，两耐的股价为
li．83元，误差为0．08元，准确率为9 32％。
由上面的分析和预测实例可见．将葳色系统理论应用
于股票市场，对股票价捂厦其变化进行琢 是完全可行
的．合理的．而且达到了辈常高的精确度．在实际预 时．
如果检验发现所建立的GM(1，1)摸型的误差较大．可建立
相应的残差摸型进行聱正，直到摸型的精度令人满意为
止．
(作者单位：中国科技大学)
(责任编辑 张乃书]
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