第 16 章 幂级数
在函数项级数的收敛意义下, 称
∑+∞
n=0
an(x− x0)n(x0, an ∈ R) 为幂级数, x0 称为
幂级数的中心. 任给 n ∈ N, 幂级数的部分和
Sn(x) =
∑n
k=0
ak(x− x0)k (n = 0, 1, 2, · · · )
为至多 n 次的多项式函数. 因此, 幂级数是一种最简单的函数项级数.
幂级数在收敛域内具有任意次的光滑性和内闭一致收敛性, 即任意幂级数在其收
敛域内是实解析函数, 比 C∞ 函数具有更好的性质.
幂级数的收敛半径与收敛域
幂级数的收敛域恒非空且可以精确计算, 一般是以 x = x0 为中心的区间, 收敛域
和发散域 (非空的话) 之间一般有两个临界点.
幂级数的收敛半径与收敛域
在变量替换 t = x− x0 下,
∑+∞
n=0
an(x− x0)n 可化为∑+∞
n=0
ant
n = a0 + a1t+ a2t
2 + · · · ,
故通常取 x0 = 0, 并主要讨论形如
∑+∞
n=0
anx
n 的幂级数. 显然, x = 0 总是该级数的收
敛点. 以下是幂级数收敛域的基本特征.
定理 . 设
∑+∞
n=0
anx
n 在 x = x1 ̸= 0 处收敛, 则在
(
− |x1|, |x1|
)
内该级数内
闭绝对一致收敛；而若
∑+∞
n=0
anx
n 在 x = x2 ̸= 0 处发散, 则在任给 x : |x| > |x2|
处该级数发散.
证明 : 任取 [a, b] ⊆
(
− |x1|, |x1|
)
, 则存在常数 0 < δ0 < 1, 使
[a, b] ⊆
[
− δ0|x1|, δ0|x1|
]
⊆
(
− |x1|, |x1|
)
.
由于
∑+∞
n=0
anx
n
1 收敛,故 |anxn1 | → 0(n→ ∞),从而存在M > 0,使得任给 n ∈ N,
有 |anxn1 | ≤M. 于是任给 x ∈
[
− δ0|x1|, δ0|x1|
]
, 有
|anxn| =
∣∣∣anxn1 · xnxn1
∣∣∣ ≤Mδn0 .
由于
∑+∞
n=0
Mδn0 收敛, 则
∑+∞
n=0
|anxn| 在
[
− δ0|x1|, δ0|x1|
]
上一致收敛.
由定义,
∑+∞
n=0
anx
n 在
(
− |x1|, |x1|
)
内是内闭绝对一致收敛的.
进而, 由反证法可证后半部分关于 x = x2 的结论．
定理 . 若
∑+∞
n=0
anx
n 在 x = x1 ̸= 0 处收敛而在 x = x2 ̸= 0 处发散时, 则
存在数 R : |x1| ≤ R ≤ |x2|, 使
∑+∞
n=0
anx
n 在 (−R,R) 中内闭绝对一致收敛, 而在
R \ [−R,R] 中发散. 这里,
R ≜ sup
{
|x| :
∑+∞
n=0
anx
n收敛
}
.
证明 : 由定理知, 数 R 的定义恒有意义且 R ≥ |x1|.
若 R > |x2|, 则存在 |x̃| > |x2|, 使
∑+∞
n=0
anx̃
n 收敛, 故由定理知
∑+∞
n=0
anx
n
2
也收敛, 这与假设矛盾. 从而 R ≤ |x2|.
称定理中的数 R 是幂级数
∑+∞
n=0
anx
n 的收敛半径, (−R,R) 为
∑+∞
n=0
anx
n
的收敛区间.
由定义, 若
∑+∞
n=0
anx
n 有收敛半径 R, 则该级数在 (−∞,−R) 和 (R,+∞) 上发
散, 且收敛域包含 (−R,R), 但在 x = ±R 处的收敛性并无一般结论.
特别地, 当
∑+∞
n=0
anx
n 仅在 x = 0 处收敛时, 规定 R = 0；当
∑+∞
n=0
anx
n 处处收
敛时, 则规定 R = +∞, 此时收敛域为 R.
例 . 求级数
∑+∞
n=0
xn 的收敛域与和函数.
解: 对于
∑+∞
n=0
xn, 收敛半径 R = 1, 收敛区间与收敛域均为 (−1, 1). 由部分和序
列 Sn(x) =
∑n
k=0
xk =
1− xn
1− x
可得 S(x) =
1
1− x
(|x| < 1). □
例 . 求级数
∑+∞
n=0
n!xn 的收敛域.
解: 当 x = 0 时, 级数为
∑+∞
n=0
n!0n = 1. 当 x ̸= 0 时, limn→∞ |n!xn| = +∞, 从而
级数
∑+∞
n=0
n!xn 发散. 因此
∑+∞
n=0
n!xn 的收敛域为 {0}. □ □
例 . 求级数
∑+∞
n=1
(−1)n
xn
n
的收敛域.
解: 当 |x| < 1 时, 由
∣∣∣(−1)nxn
n
∣∣∣ ≤ |xn| 可知该幂级数收敛.
当 x = −1 时, 原级数为调和级数且发散；当 x = 1 时, 原级数为交错级数, 且通
项单减趋于零, 于是该级数在 x = 1 处收敛.
当 |x| > 1 时, 由
|x|n+1
n+ 1
·
n
|x|n
=
n
n+ 1
|x| 可知, n 充分大后
|x|n
n
关于 n 单增, 故
limn→∞
xn
n
̸→ 0, 从而该级数发散.
因此级数
∑+∞
n=1
(−1)n
xn
n
的收敛域为 (−1, 1]. □
收敛半径的计算
定理 . 记
∑+∞
n=0
anx
n 的收敛半径为 R, 且 ρ = limn→∞ n
√
|an|, 则
(1) 当 ρ = +∞ 时, R = 0；
(2) 当 ρ = 0 时, R = +∞；
(3) 当 0 < ρ < +∞ 时, R =
1
ρ
.
证明 : 在定理的条件下, 任意固定 x ∈ R, 有 limn→∞ n
√
|anxn| = ρ|x|.
因为由数项级数的 Cauchy判别法知当 ρ|x| < 1时,
∑+∞
n=0
anx
n 收敛；而当 ρ|x| >
1 时,
∑+∞
n=0
anx
n 发散. 所以,
(1) 当 ρ = +∞ 时,
∑+∞
n=0
anx
n 仅当 x = 0 时收敛, 因此 R = 0；
(2) 当 ρ = 0 时,
∑+∞
n=0
anx
n 对一切 x ∈ R 收敛, 因此 R = +∞；
(3) 当 0 < ρ < +∞ 时, 因为
∑+∞
n=0
anx
n 在使 |x| <
1
ρ
的任意的 x 处收敛, 而在使
|x| >
1
ρ
的任意的 x 处发散, 因此 R =
1
ρ
.
此外, 还有以下的 D’Alembert 公式.
定理 (D’Alembert 公式). 设
∑+∞
n=0
anx
n 的收敛半径为 R. 若存在 N0 使
n ≥ N0 时, an ̸= 0, 且 limn→∞
|an+1|
|an|
= ρ, 则
(1) 当 ρ = +∞ 时, R = 0；
(2) 当 ρ = 0 时, R = +∞；
(3) 当 0 < ρ < +∞ 时, R =
1
ρ
.
证明 : 由于
limn→∞
|an+1|
|an|
≤ limn→∞
n
√
|an| ≤ limn→∞ n
√
|an| ≤ limn→∞
|an+1|
|an|
,
故由已知, limn→∞ n
√
|an| = ρ. 从而由定理可知定理的 (1)∼(3).
例 . 求幂级数的收敛域：(1)
∑+∞
n=1
xn
n(n+ 1)
; (2)
∑+∞
n=0
xn
n!
.
解:(1) 由定理可知, 收敛半径 R = 1, 而当 x = ±1 时, 显然该幂级数收敛.
因此
∑+∞
n=1
xn
n(n+ 1)
的收敛域为 [−1, 1].
(2) 记 an =
xn
n!
, 由定理可知, ρ = limn→∞
an+1
an
= limn→∞
1
n+ 1
= 0, 故∑+∞
n=0
xn
n!
的收敛域为 R. □
例 . 求
∑+∞
n=0
n!xn
2
的收敛半径与收敛域.
解: 这是一个缺项幂级数
∑+∞
k=0
akx
k, 其中 an2 = n!, 而 ak = 0(k ̸= n2).
因为 1 < (n!)
1
n2 < (nn)
1
n2 = n
√
n 且 limn→∞ n
√
n = 1, 故
limk→∞ k
√
ak = 1.
由定理, 该级数的收敛半径 R = 1. 收敛域显然为 (−1, 1). □
对中心为 x0 的级数
∑+∞
n=0
an(x− x0)n, 记 limn→∞ n
√
|an| = ρ, 则
R =
0, ρ = +∞,
+∞, ρ = 0,
1
ρ
, 0 < ρ < +∞,
故
∑+∞
n=0
an(x− x0)n 的收敛域与 (x0 −R, x0 +R) 最多相差两个端点.
