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关键词：
数学期望
方差
协方差
相关系数
第四章 随机变量的数字特征
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问题的提出：
在一些实际问题中，我们需要了解随机变量
的分布函数外，更关心的是随机变量的某些特征。
例：
在评定某地区粮食产量的水平时，最关心的
是平均产量；
在检查一批棉花的质量时，既需要注意纤维的
平均长度，又需要注意纤维长度与平均长度的
偏离程度；
考察杭州市区居民的家庭收入情况，我们既知
家庭的年平均收入，又要研究贫富之间的差异
程度。
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计算以下25人的平均身高(cm)
身高(xi)
160
165
170
175
180
人数(ni)
1
3
8
12
1
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定义：
定义：
数学期望简称期望，又称均值
§1 数学期望
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例1：
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例2：有2个相互独立工作的电子装置，它们的寿命
服从同一指数分布，其概率密度为：
若将这2个电子装置串联联接
组成整机，求整机寿命N(以小时计)的数学期望。
解：
是指数分布的密度函数
问题：将2个电子装置并联联接组成整机，
整机寿命的期望又是多少？
故，只要求出一般指数分布的期望（即E(X1))，就可得到E(N)
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例：
一种常见的赌博游戏,其规则为:投掷一颗均匀的骰子，赌客猜精确的骰子点数,凡猜中者以1比5得到奖金,否则其押金归庄家所有,问此规则对庄家还是赌客更有利?
解：显然猜中点数的概率为1/6.不妨设一赌徒押
了10元,那么根据规则,他收回50元的可能性
为1/6, 有5/6的可能性是血本无归.因此经过
一次赌博,他能"期望"得到的金额为:
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例4：设一台机器一天内发生故障的概率为，机器发生
故障时全天停工。若一周5个工作日里无故障，可获
利10万元；发生一次故障获利5万元；发生2次故障
获利0元，发生3次或以上故障亏损2万元，求一周内
期望利润是多少？
解：设X表示一周5天内机器发生故障天数，
设Y表示一周内所获利润，则
Y
-2 0 5 10
P
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例5：离散随机变量的数学期望
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例6：
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可见Y既不是离散型的随机变量,也不是连续型的随机变量.
例：
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有时需要求随机变量函数的数学期望，例：
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例7：
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例11：设随机变量(X,Y)的概率密度为：
X=1
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数学期望的特性：
这一性质可以推广到任意有限个随机变量线性组合的情况
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证明：
下面仅对连续型随机变量给予证明：
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例9：
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例10：一民航送客车载有20位旅客自机场出发，旅客有10 个车站可以下车，如到达一个车站没有旅客下车就 不停车，以X表示停车的次数，求
(设每位旅客在各个车站下车是等可能的，并设各旅 客是否下车相互独立)
分析：X是离散随机变量，取值范围为1，2，…,10
为求X的数学期望，只要求出X的分布律即可！
经过分析，此题中X的分布律很难求得！
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例10：一民航送客车载有20位旅客自机场出发，旅客有10 个车站可以下车，如到达一个车站没有旅客下车就 不停车，以X表示停车的次数，求
(设每位旅客在各个车站下车是等可能的，并设各旅 客是否下车相互独立)
本题是将X分解成数个随机变量之和，然后利用随机变量和
的数学期望等于随机变量数学期望之和来求数学期望，
这种处理方法具有一定的普遍意义。
解：引入随机变量：
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思考题：盒中有10只不同颜色的球，现从中有放回
地取20次，问20次所得到的球中平均有几
种不同颜色？
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例11：投一骰子10次，求总点数之和的平均值
设 X 表示投一骰子10次总点数之和
Xi表示第i次的点数，i=1，2，…，10
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例12：设有5只球，随机地丢入编号为1，2，3，4的四个盒子中，若某盒落入的球的个数恰好与盒子的编号数相同，则称为一个配对，以X记配对的个数，求E(X)
解：X的取值范围为
虽然X的取值只有三个值，但其分布律也不容易求得。
0，1，2
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§2 方差
设有一批灯泡寿命为：一半约950小时，另一半约1050小时
→平均寿命为1000小时；
另一批灯泡寿命为： 一半约1300小时，另一半约700小时
→平均寿命为1000小时；
单从平均寿命这一指标无法判断，需进一步考察灯泡寿命X与均值1000小时的偏离程度。
方差──正是体现这种意义的数学特征。
问题：哪批灯泡的质量更好？
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定义：
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对于离散型随机变量X，
对于连续型随机变量X，
此外，利用数学期望的性质，可得方差的计算公式：
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例1：设随机变量X具有数学期望
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例2：设随机变量X具有0-1分布，其分布律为：
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例3：
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例4：
解：X的概率密度为：
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例5：设随机变量X服从指数分布，其概率密度为：
即对指数分布而言，方差是均值的平方，而均值恰为参数的倒数
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方差的性质：
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证明：
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例6：
例7：
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表1 几种常见分布的均值与方差
数学期望 方差
分布律或密度函数
分布
0－1分布
二项分布b(n,p)
泊松分布
均匀分布U(a,b)
指数分布
正态分布
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例8：设活塞的直径(以cm计) 汽缸的直径 X,Y相互独 立，任取一只活塞，任取一只汽缸，求活 塞能装入汽缸的概率。
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例9：
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§3 协方差及相关系数
对于二维随机变量(X,Y)，除了讨论X与Y的数学期望和方差外，还需讨论描述X与Y之间相互关系的数字特征。
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协方差的性质：
思考题：
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相关系数的性质：
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相关系数的性质：
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相关系数的性质：
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例1：设X,Y服从同一分布，其分布律为：
X -1 0 1
P 1/4 1/2 1/4
已知 ,判断X和Y是否相关？是否独立？
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在同时需要判断独立性与相关性问题中，可以先作初步估计，如看似独立的，先判断独立性，若独立则不相关；如看似不独立的，先判断相关性，若相关则不独立。
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续
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续
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§4 矩、协方差矩阵
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利用协方差矩阵，可由二维正态变量的概率密度推广，得到n维正态变量的概率密度。
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n维正态变量具有以下四条重要性质：
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例3：设X,Y相互独立服从同一分布，方差存在，记
U=X-Y,V=X+Y,分析U与V相关性与独立性。
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复习思考题 4
1.叙述E(X)和D(X)的定义。
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4.试述计算随机变量X的函数g(X)的数学期望E[g(X)]的两种方法。
5.设X～N(μ,σ2),用如下两种方法求E(X2)：
(1)E(X2)=D(X)+[E(X)]2=σ2+μ2；
(2) E(X2)=E()=E(X). E(X)=μ2；
两种结果不一样，哪一种错？为什么？
6.设X和Y为两随机变量，且已知D(X)=6, D(Y)=7,
则D(X－Y)=D(X)－D(Y)=6－7=－1<0,这与任意一个随机变量的方
差都不小于零相矛盾，为什么？
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7.考虑100包水泥的总重量Y用以下两种方式表示：
(1)设第i袋水泥的重量为Xi , i=1,2,…,100, 由题意知,
Xi ～N(50,),Y=∑Xi , 则Y～N(100*50,100*)；
(2)设一包水泥的重量为X, 由题意知 X～N(50,)。
若将100包水泥的总重量看成是1包水泥的100倍，即Y=100X, Y是X的线性函数，则：
E(Y)=100E(X)=100*50, D(Y)=1002D(X)=1002*
Y～N(100*50,1002*)
这两种方法得到的总重量的分布不一样(因为方差不同，后
者方差是前者的100倍)，
试问哪一种正确？
8.试问D(X-Y)=D(X)+D(Y)-2cov(X,Y)对吗？
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