40
经济数学—概率论与数理统计教案
第 2 章 随机变量及其分布
授课序号 01
教 学 基 本 指 标
教学课题 第 2 章 第 1 节 随机变量与分布函数 课的类型 新知识课
教学方法 讲授、课堂提问、讨论、启发、自学 教学手段 黑板多媒体结合
教学重点 随机变量及其概率分布的概念、分布函数的概念
及性质与计算。
教学难点 分布函数的求法
参考教材 《经济数学—概率论与数理统计（慕课版）》 作业布置 课后习题
大纲要求
理解随机变量及其概率分布的概念。理解分布函数 的概念及性质。会计算与
随机变量有关的事件的概率。
教 学 基 本 内 容
一．随机变量
1. 随机变量：设 E 是随机试验，样本空间为 S，如果对随机试验的每一个结果 ，都有一个实数
与之对应，那么把这个定义在 S 上的单值实值函数 称为随机变量．随机变量一般用大写字母
,…表示．
2.随机变量的两种常见类型:离散型随机变量和连续型随机变量.
二．分布函数
1. 分布函数：设 X 是一个随机变量， 是任意实数，称函数 为随机变量
X 的分布函数，显然， 是一个定义在实数域 R 上，取值于[0,1]的函数．
2．几何意义：在数轴上，将 X 看成随机点的坐标，则分布函数 表示随机点 X 落在阴影部分（即
）内的概率，如下图．
3．对任意的实数 ，都有：
xXPxF
( )X
( )X X
, ,X Y Z
x ( ) ,F x P X x x
( )F x
( )F x
X x
, , ( )a b c a b
41
,
.
4．分布函数的性质：
（1）单调性：分布函数是单调不减的，即若 ，则 ；
（2）有界性： ，且 ，
（3）右连续性： ．
说明：分布函数一定具有这三个基本性质；反过来，任意一个满足这三个基本性质的函数，一定可以作为
某个随机变量的分布函数．因此，这三个基本性质成为判别一个函数是否能成为分布函数的充要条件.
三．例题讲解
例 1.通过某公交站牌的汽车每 10 分钟一辆，随机变量 X 为乘客的候车时间，其分布函数为：
求：（1） ；（2） ；（3） .
例 2．设随机变量 X 的分布函数为
求常数 a，b，c 的值？
{ } { } { } ( ) ( )P a X b P X b P X a F b F a
1 1 ( )P X c P X c F c
1 2x x 1 2( ) ( )F x F x
0 ( ) 1F x F F x
x
( ) lim ( )
0 ( ) lim ( ) 1;
x
F F x
( 0) ( )F x F x
0, 0,
( ) ,0 10,
10
1, 10.
x
x
F x x
x
{ 3}P X {1 9}P X { 5}P X
2 , 0(1 )( )
, 0
b
a x
xF x
c x
42
授课序号 02
教 学 基 本 指 标
教学课题 第 2 章 第 2 节 离散型随机变量 课的类型 新知识课
教学方法 讲授、课堂提问、讨论、启发、自学 教学手段 黑板多媒体结合
教学重点 离散型随机变量及其概率分布的概念，０－１分
布、二项分布、超几何分布、泊松分布及其应用。
教学难点 ０－１分布、二项分布、超几何
分布、泊松分布及其应用。
参考教材 《经济数学—概率论与数理统计（慕课版）》 作业布置 课后习题
大纲要求 理解离散型随机变量及其概率分布的概念，掌握０－１分布、二项分布、超几何分布、泊松
（Poisson）分布及其应用。
教 学 基 本 内 容
一．离散型随机变量及其概率分布
1．离散型随机变量：若随机变量 X 所有可能的取值为有限个或者可列个，则称这样的随机变量为离散型
随机变量．
2．随机变量的概率分布：设 X 为离散型随机变量，X 所有可能的取值为 ，称
为随机变量 X 的概率分布，也称为分布律或分布列．
概率分布也可以用表格的形式表示：
… …
… …
或者记为：
3．离散型随机变量概率分布的性质：
（1）非负性：
（2）正则性：
4．离散型随机变量的分布函数：若离散型随机变量 X 的分布律为 ，则 X 的分
布函数为
, 1,2,3,...ix i
{ } , 1,2,3,...i iP X x p i
X 1x 2x ix
P 1p 2p ip
1 2
1 2
... ...
... ...
i
i
xx x
pp p
0, 1,2,3,...;ip i
1
i
p
{ } , 1,2,3,...i iP X x p i
( ) { } { }, 1,2,3,...
i
i
x x
F x P X x P X x i
43
即分布函数是分布律在一定范围内的累积．
二．常用的离散型随机变量
1.（0-1）分布
（ 1 ）（ 0-1 ） 分 布 ： 若 随 机 变 量 X 只 有 两 个 可 能 的 取 值 0 和 1 ， 其 分 布 律 为
，则称 X 服从以 p 为参数的（0-1）分布或两点分布.
（2）（0-1）分布的分布律也可以记为
X 0 1
P 1-p p
或 .
2．二项分布
（1）二项分布：若随机变量 X 表示 n 重伯努利试验中事件 A 出现的次数,则有
.
则称随机变量 X 服从二项分布，记为 ，其中 n 和 p 是二项分布的参数，上式就是二项分
布的分布律.
（ 2 ） 二 项 分 布 的 特 例 ： 在 二 项 分 布 中 , 若 令 n=1, 则 ， 其 分 布 律 为
，即 X 服从（0-1）分布.因此（0-1）分布是二项分布的特例，简记 .
3. 泊松分布
（1）泊松分布：若随机变量 X 的分布律为 ，其中 为大于 0 的参数，
则称随机变量 X 服从参数为 的泊松分布，记为 ．
（2）泊松定理：在 n 重伯努利试验中，事件 A 在一次试验中出现的概率为 （与试验总数 n 有关），如
果当 时， ，则有 .
（3）说明：泊松定理表明，泊松分布为二项分布的极限分布，即在试验次数 n 很大，而 不太大时，
二项分布可以用参数为 的泊松分布来近似．
4. 几何分布
1{ } (1 ) , 0,1k kP X k p p k
0 1
1 p p
{ } (1 ) , 0,1,2,...,k k n knP X k C p p k n
( , )X B n p: (0 1)p
(1, )X B p:
1{ } (1 ) , 0,1k kP X k p p k (1, )B p
{ } , 0,1,2,...
!
k
P X k e k
k
( )X P :
np
n ( 0 )nnp 常数 lim (1 ) , 0,1, 2,!
k
k k n k
n n nn
C p p e k
k
L
nnp
nnp
44
（1）若随机变量 X 的分布律为 ，其中 为参数，则
称 X 服从几何分布，记为 ．
（2）说明：几何分布描述的是试验首次成功的次数 X 所服从的分布，也可以解释为：在 n 重伯努利试验
中，试验到第 k 次才取得第一次成功，前 k-1 次皆失败．
5. 超几何分布
（1）超几何分布：若随机变量 X 的分布律为 其中 ，
且 均为正整数，则称随机变量 X 服从超几何分布，记为 ．
（2）有限总体 N 中的不放回抽样服从超几何分布，例如有 N 件产品，其中 M 件不合格，从产品中不放
回的抽取 n 件，则抽取的产品中不合格品的件数 X 服从超几何分布．
（3）超几何分布与二项分布之间的区别：超几何分布是不放回抽取，二项分布是放回抽取，因此，二项
分布中每个事件之间是相互独立的，而超几何分布不独立.两个分布之间也有联系，当总体的容量 N 非常大时，
超几何分布近似于二项分布.
三．例题讲解
例 1.已知盒中有 10 件产品，其中 8 件正品，2 件次品.需要从中取出 2 件正品，每次取 1 件，直到取出两
件正品为止，做不放回抽样.设 X 为取件的次数，则：（1）求 X 的分布律；（2）求 X 的分布函数 ；（3）
求概率 .
例 2.设某品牌的所有平板电脑中有 20%需要在保修期内进行维修服务，其中有 60%可以修好，而其余 40%
只能用新平板电脑更换。如果一家公司购买了 10 台这样的平板电脑，那么有两台在保修期内被换新的可能性
有多大？
例 3.有 2500 个相同年龄阶段、相同社会层次的人参加某保险公司的意外伤害保险，根据以往统计资料，
在 1 年里每个人出现意外伤害的概率是 ，每个参加保险的人 1 年付给保险公司 120 元保费，而在出现意
外时家属从保险公司领取 2 万元.请计算
（1）保险公司亏本的概率；
（2）保险公司一年获利不少于 10 万元的概率.
例 4.一家商店在每个月的月底要制定出下个月的商品进货计划，为了不使商品的流动资金积压，进货量不
宜过多，但为了获得足够的利润，进货量又不易过少．由该商店过去的销售记录知道，某种商品每月的销售可
以用参数为 的泊松分布来描述，为了以 95%以上的把握保证不脱销，问商店在月底至少应进某种商品多
少件？
例 5.某医学调查报告显示，每 200 人中就有 1 人携带导致某种遗传性疾病的缺陷基因。求在一个有 1000
个人的群体中，至少有 8 个人携带该基因的概率.
例 6.某流水线生产一批产品，其不合格率为 p，有放回地对产品进行检验，直到检验出不合格品为止.设随
机变量 X 为首次检验出不合格品所需要的检验次数，求 X 的概率分布.
1{ } , 1, 2,..., 1kP X k pq k q p (0 1)p p
( )X G p:
{ } , 0,1,2,..., .
k n k
M N M
n
N
C C
P X k k r
C
min{ , }r M n
, , , ,M N n N n N M ( , , )X H n N M:
( )F x
{2 3}P X
10
45
授课序号 03
教 学 基 本 指 标
教学课题 第 2 章 第 3 节 连续型随机变量 课的类型 复习、新知识课
教学方法 讲授、课堂提问、讨论、启发、自学 教学手段 黑板多媒体结合
教学重点 连续性随机变量及其概率密度的概念，概率密度
与分布函数之间的关系，正态分布、均匀分布、
指数分布及其应用。
教学难点 概率密度与分布函数之间的关
系，正态分布、均匀分布、指数
分布及其应用。
参考教材 《经济数学—概率论与数理统计（慕课版）》 作业布置 课后习题
大纲要求 理解连续性随机变量及其概率密度的概念，掌握概率密度与分布函数之间的关系，掌握正态分布、
均匀分布、指数分布及其应用。
教 学 基 本 内 容
一．连续型随机变量及其概率密度
1．连续型随机变量：设 X 是随机变量，如果存在函数 ，对任意的常数 ，有
则称 X 为连续型随机变量，同时称 为 X 的概率密度函数，或简称为概率密度．
2．概率密度函数的性质：
（1）非负性： ≥0；
（2）正则性： ．
3．概率密度的几何意义：随机变量落入区间 内的概率等于曲线 在区间 上形成的曲边
梯形的面积，而正则性表明，曲线 与 x 轴之间的部分面积为 1．
4 ． 连 续 型 随 机 变 量 的 分 布 函 数 ： , 则 在 的 连 续 点 处 ，
.
5．两点说明：
（1）连续型随机变量在某一个点 c 处的概率为 0,即
（2）连续型随机变量落在某个区间内的概率,不受区间端点处取值的影响,即
.
二．常用的连续型随机变量
1.均匀分布
( )f x , ( )a b a b
( ) ,
b
a
P a X b f x dx
( )f x
( )f x
( ) 1f x dx
[ , ]a b ( )y f x [ , ]a b
( )y f x
( )
x
F x P X x f y dy
（ ）= ( )f x
( ) ( )F x f x
{ } ( ) 0.
c
c
P X c f x dx
{ } { } { } { }P a X b P a X b P a X b P a X b
( ) ( ) ( )
b
a
f y dy F b F a
46
（1）均匀分布：设 X 为连续型随机变量，若概率密度为 其中 a，b(a<b)为任意
实数，则称随机变量 X 服从区间 (a,b)上的均匀分布，记为 ．
（2）均匀分布的分布函数：
（3）应用：若 X 在(a,b) 上服从均匀分布，对(a,b) 内的任一个子区间(c,d)，有
.
2.指数分布
（1）指数分布：设 X 为连续型随机变量，若概率密度为 其中参数 ，则称随机
变量 X 服从参数为 的指数分布，记为 ．
（2）指数分布的分布函数：
（3）定理：（指数分布的无记忆性）设随机变量 ，则对于任意的正数 s 和 t 有
3.正态分布
（1 ）正态分布：设 X 为连续型随机变量，若概率密度为 其中
为参数，则称随机变量 X 服从参数为 的正态分布，也叫高斯分布，记为 ．
（2）正态分布的分布函数：
（3）几点说明：
（i）概率密度 的图形关于 对称，是轴对称图形，在 处取到最大值，并且对于同样长度
的区间，若区间离 越远，则 X 落在这个区间内的概率越小.
,
1
, ,
( )
0,
a x b
f x b a
其它
( , )X U a b:
0, ,
( ) , ,
1, .
x a
x a
F x a x b
b a
x b
1
{ }
d
c
d c
P c X d dx
b a b a
, 0,
( )
0,
xe x
f x
其它,
0
( )X E :
1 , 0,
( )
0,
xe x
F x
其它.
( )X E :
.P X s t X t P X s
2
2
( )
21( ) , ,
2
x
f x e x
, ( 0) 2 和 2( , )X N :
2
2
( )
21( ) { } , .
2
t
x
F x P X x e dt x
( )f x x x
47
（ii） 的图形以 轴为渐近线，随着 的取值往两侧无限延伸，图形与 轴无限接近，但又不会相
交．
（iii）当参数 固定时， 的值越大， 的图形就越平缓； 的值越小， 的图形就越尖狭，由
此可见参数 的变化能改变图形的形状，称 为形状参数．
（iv）当参数 固定时，随着 值的变化， 图形的形状不改变，位置发生左右平移，由此可见参数
的变化能改变图形的位置，称 为位置参数．
（4）标准正态分布
（i）概率密度
（ii）分布函数
（iii）根据概率密度 的对称性，有
（5）定理：（标准化定理）若 ，则
（6）标准化定理的应用：设 为任意实数，则
6.“ ”法则：设 ，则
( )f x x x x
( )f x ( )f x
( )f x
(0,1)X N:
2
21( ) ,
2
x
x e x
2
21( ) , .
2
tx
x e dt x
( )x ( ) 1 ( ).x x
2( , )X N : (0,1).XZ N
:
, , ( )x a b a b
( ) { } { } { } ( ),
X x x x
F x P X x P P Z
{ } { } ( ) ( ).
a X b b a
P a X b P
3 2( , )X N :
48
即正态分布 的随机变量以 %的概率落在以 为中心、 为半径的区间内，落在区间以外的概率
非常小，可以忽略不计，这就是“ ”法则.
三．例题讲解
例 1．车流中的“时间间隔”是指一辆车通过一个固定地点与下一辆车开始通过该点之间的时间长度.设 X 表
示在大流量期间，高速公路上相邻两辆车的时间间隔，X 的概率密度描述了高速公路上的交通流量规律，其表
达式为：
求时间间隔不大于 5 秒的概率.
例 2．设某供应公司在一周内出售的特殊材料数量为连续型随机变量 X（吨），其概率密度为
求：（1）分布函数 ；（2）概率 及 .
例 3．某食品厂生产一种产品，规定其重量的误差不能超过 3 克，即随机误差 X 服从（-3,3）上的均匀分
布.现任取出一件产品进行称重，求误差在-1~2 之间的概率.
例 4．设随机变量 X 在（1,4）上服从均匀分布，对 X 进行三次独立的观察，求至少有两次观察值大于 2 的
概率.
例 5.设随机变量 X 表示某餐馆从开门营业起到第一个顾客到达的等待时间（单位：min），则 X 服从指数分
布，其概率密度为 求等待至多 5 分钟的概率以及等待 3 至 4 分钟的概率.
例 6．汽车驾驶员在减速时，对信号灯做出反应所需的时间对于帮助避免追尾碰撞至关重要．有研究表明，
驾驶员在行车过程中对信号灯发出制动信号的反应时间服从正态分布，其中 秒， 秒．求驾驶
员的制动反应时间在 1 秒至 秒之间的概率？如果 2 秒是一个非常长的反应时间，那么实际的制动反应时间
超过这个值的概率是多少？
例 7．设某公司制造绳索的抗断强度服从正态分布，其中 300 千克， 24 千克.求常数 a，使抗断强
度以不小于 95%的概率大于 a.
{ 3 3 } (3) ( 3) 2 (3) 1 ,P X
2( , )N 3
3
( ) , ,
( )
0,
xe x
f x
其它.
23 (1 ), 0 1
( ) 2
0
x x
f x
， 其它
( )F x
1
{ 1}
2
P X
1
{ }
3
P X
, 0,
( )
0,
xe x
f x
其它.
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授课序号 04
教 学 基 本 指 标
教学课题 第 2 章 第 4 节 随机变量函数的分布 课的类型 新知识课
教学方法 讲授、课堂提问、讨论、启发、自学 教学手段 黑板多媒体结合
教学重点 简单随机变量函数的概率分布 教学难点 简单随机变量函数的概率分布
的求法
参考教材 《经济数学—概率论与数理统计（慕课版）》 作业布置 课后习题
大纲要求 会求简单随机变量函数的概率分布。
教 学 基 本 内 容
一.离散型随机变量函数的分布
若 是离散型随机变量， 是实数 的函数，则当 取有限个或可列个值时， 也取有限个
或可列个值.根据离散型随机变量求解分布律的方法，首先确定 的取值，再分别求出相应取值的概率，这样就
得到了 的分布律.
二．连续型随机变量函数的分布
1. 分布函数法
设连续型随机变量 的分布函数为 ，即 ， 是实数 的函数，求随机
变量 的分布.
（1）求出随机变量 的分布函数 .
（2）当 是连续型随机变量时， 关于 求导，就得到了 的概率密度 ；当
不是连续型随机变量时，要根据函数 的特点作个案处理.
2. 公式法
定理：设 X 是连续型随机变量，其概率密度为 ，又函数 严格单调，其反函数 有连
续导数，则 是连续型随机变量，且其概率密度为
其中 ， .
三．例题讲解
X ( )g x x X ( )Y g X
Y
Y
X ( )XF x ( ) { }XF x P X x ( )y g x x
( )Y g X
Y ( ) { } { ( ) }YF y P Y y P g X y
( )Y g X ( )YF y y Y
'( ) ( )Y Yf y F y
( )Y g X ( )g x
( )Xf x ( )g x ( )h y
( )Y g X
[ ( )] ( ) , ,
( )
0,
X
Y
f h y h y y
f y
其它.
min{ ( ), ( )}g g max{ ( ), ( )}g g
50
例 1.设随机变量 X 表示某品牌手表的日走时误差（单位：s），其分布律为：
X -1 0 1 2
P
求 的分布律.
例 2.某仪器设备内的温度 T 是随机变量，且 ，已知 ，试求 M 的分布.
例 3.设随机变量 X 服从均匀分布 ,记
求 Y 的分布律.
例 4.设随机变量 X 表示某服务行业一位顾客的服务时间，X 服从指数分布，其概率密度为
求 的概率密度．
例 5.设随机变量 ，求 的概率密度.
2( 1)Y X
~ (100,4)T N
1
10
2
M T （ ）
( 1,3)U
1
, 0,
2
1
, 0.
2
X
Y
X
, 0,
( )
0, ,
xe x
f x
其它
XY e
~ (0,1)X N Y X
