1第4章 相似矩阵及二次型
特征值与特征向量
《线性代数》 & 人民邮电出版社
04
2第4章 相似矩阵及二次型
目录/Contents
方阵的特征值与特征向量
相似矩阵和实对称矩阵的相似对角化
向量的内积和正交性
3第4章 相似矩阵及二次型
目录/Contents
向量的内积和正交性
向量的内积和模长
正交向量组
正交矩阵
4第4章 相似矩阵及二次型 向量的内积和模长
5第4章 相似矩阵及二次型 向量的内积和模长
利用这些性质，还可以证明著名的柯西-施瓦
茨（-Schwarz）不等式
6第4章 相似矩阵及二次型 向量的内积和模长
向量的长度具有下述性质：
7第4章 相似矩阵及二次型
证明
向量的内积和模长
(i)与(ii)是显然的，下面证明(iii).
8第4章 相似矩阵及二次型 向量的内积和模长
9第4章 相似矩阵及二次型
定义4 由一组两两正交的非零向量组成的向量组，
称为正交向量组.
正交向量组
例如，
都是正交向量组.
10第4章 相似矩阵及二次型
ᵰ�1ᵰ�1
+ᵰ�2ᵰ�2 + ⋯ +ᵰ�ᵰ�ᵰ�ᵰ�= 0，
定理 1
正交向量组
11第4章 相似矩阵及二次型 正交向量组
解
12第4章 相似矩阵及二次型 正交向量组
13第4章 相似矩阵及二次型 正交向量组
14第4章 相似矩阵及二次型 正交向量组
15第4章 相似矩阵及二次型 正交矩阵
16第4章 相似矩阵及二次型 正交矩阵
17第4章 相似矩阵及二次型 正交矩阵
18第4章 相似矩阵及二次型
解
正交矩阵
取
19第4章 相似矩阵及二次型 正交矩阵
20第4章 相似矩阵及二次型
解
例3
正交矩阵
21第4章 相似矩阵及二次型 正交矩阵
1
2
3
22第4章 相似矩阵及二次型
证明
正交矩阵
23第4章 相似矩阵及二次型 正交矩阵
24第4章 相似矩阵及二次型 正交矩阵
25第4章 相似矩阵及二次型
证明
例4
正交矩阵
26第4章 相似矩阵及二次型 正交矩阵
27第4章 相似矩阵及二次型
目录/Contents
向量的内积和正交性
相似矩阵和实对称矩阵的相似对角化
方阵的特征值与特征向量
28第4章 相似矩阵及二次型
目录/Contents
方阵的特征值与特征向量
特征值和特征向量
特征值和特征向量
的性质
29第4章 相似矩阵及二次型
定义
特征值和特征向量
30第4章 相似矩阵及二次型 特征值和特征向量
31第4章 相似矩阵及二次型 特征值和特征向量
32第4章 相似矩阵及二次型 特征值和特征向量
33第4章 相似矩阵及二次型 特征值和特征向量
34第4章 相似矩阵及二次型
例 1
特征值和特征向量
35第4章 相似矩阵及二次型
解
由此例可知，对角矩阵的全部特征值就是它的
对角线上的元素.
特征值和特征向量
36第4章 相似矩阵及二次型
得基础解系
由
特征值和特征向量
37第4章 相似矩阵及二次型
得基础解系
由
特征值和特征向量
38第4章 相似矩阵及二次型
得基础解系
由
特征值和特征向量
39第4章 相似矩阵及二次型
例 2
解
特征值和特征向量
40第4章 相似矩阵及二次型 特征值和特征向量
得基础解系
由
41第4章 相似矩阵及二次型 特征值和特征向量
得基础解系
由
42第4章 相似矩阵及二次型
例3
解
特征值和特征向量
43第4章 相似矩阵及二次型 特征值和特征向量
44第4章 相似矩阵及二次型 特征值和特征向量
45第4章 相似矩阵及二次型
性质1
特征值和特征向量的性质
46第4章 相似矩阵及二次型
01
OPTION
02
OPTION
特征值和特征向量的性质
性质2
47第4章 相似矩阵及二次型
03
OPTION
特征值和特征向量的性质
04
OPTION
48第4章 相似矩阵及二次型
证
特征值和特征向量的性质
49第4章 相似矩阵及二次型
特征值和特征向量的性质
50第4章 相似矩阵及二次型
特征值和特征向量的性质
51第4章 相似矩阵及二次型
例 4
解
特征值和特征向量的性质
52第4章 相似矩阵及二次型 特征值和特征向量的性质
53第4章 相似矩阵及二次型
性质3
特征值和特征向量的性质
证明
54第4章 相似矩阵及二次型 特征值和特征向量的性质
性质4
性质5
55第4章 相似矩阵及二次型 特征值和特征向量的性质
证明
56第4章 相似矩阵及二次型 特征值和特征向量的性质
57第4章 相似矩阵及二次型
目录/Contents
向量的内积和正交性
方阵的特征值与特征向量
相似矩阵和实对称矩阵的相似对角化
58第4章 相似矩阵及二次型
目录/Contents
相似矩阵
相似矩阵的定义及性质
实对称矩阵的相似对角化
59第4章 相似矩阵及二次型 相似矩阵的定义及性质
60第4章 相似矩阵及二次型
定理 1
证明
相似矩阵的定义及性质
61第4章 相似矩阵及二次型 相似矩阵的定义及性质
62第4章 相似矩阵及二次型 相似矩阵的定义及性质
63第4章 相似矩阵及二次型 相似矩阵的定义及性质
64第4章 相似矩阵及二次型 相似矩阵的定义及性质
65第4章 相似矩阵及二次型 相似矩阵的定义及性质
66第4章 相似矩阵及二次型 相似矩阵的定义及性质
67第4章 相似矩阵及二次型 相似矩阵的定义及性质
68第4章 相似矩阵及二次型
推论
定理2
相似矩阵的定义及性质
由上面的讨论即有：
69第4章 相似矩阵及二次型
例 1
解
相似矩阵的定义及性质
70第4章 相似矩阵及二次型 相似矩阵的定义及性质
71第4章 相似矩阵及二次型
例2
解
相似矩阵的定义及性质
72第4章 相似矩阵及二次型 相似矩阵的定义及性质
73第4章 相似矩阵及二次型 相似矩阵的定义及性质
74第4章 相似矩阵及二次型 相似矩阵的定义及性质
75第4章 相似矩阵及二次型
实对称矩阵的特征值为实数. 性质1
实对称矩阵的相似对角化
76第4章 相似矩阵及二次型 实对称矩阵的相似对角化
77第4章 相似矩阵及二次型 实对称矩阵的相似对角化
78第4章 相似矩阵及二次型 实对称矩阵的相似对角化
79第4章 相似矩阵及二次型 实对称矩阵的相似对角化
80第4章 相似矩阵及二次型 实对称矩阵的相似对角化
81第4章 相似矩阵及二次型 实对称矩阵的相似对角化
82第4章 相似矩阵及二次型
例3
解
实对称矩阵的相似对角化
83第4章 相似矩阵及二次型 实对称矩阵的相似对角化
84第4章 相似矩阵及二次型 实对称矩阵的相似对角化
85第4章 相似矩阵及二次型
实对称矩阵的相似对角化
86第4章 相似矩阵及二次型
实对称矩阵的相似对角化
87第4章 相似矩阵及二次型
谢谢观看
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