中国科技论文在线 一类指数分级基金的定价模型及其杠杆率#的分析 *光华，任学敏（同济大学应用数学系，上海 200092） 摘要：本文在风险中性下利用无套利原理对瑞和沪深300指数分级基金的两种份额进行定价，在结构化的框架下利用偏微分方程显式的给出了瑞和小康和瑞和远见份额的定价公式，并讨论如何设定基金的条款并且分析了各个参数对两种份额价格和杠杆率的影响。 关键词：应用数学；创新型封闭式基金；结构化方法；杠杆率 中图分类号：F830；O29 Pricing of a New Fund with Two Shares and Analysis of their Leverage Guang Hua, Ren Xuemin (Applied Mathematics Department, Tongji University, ShangHai 200092) Abstract: In this paper, we price for a new fund with two shares, under the use of risk-neutral no-arbitrage principle. In the structural framework using the partial differential equations, their explicit pricing formulas are given. Thus we discuss how to set the terms of the fund and analyze the effect of various parameters on the two shares’ prices and their leverages. Keywords:Applied Mathematics;Innovative closed-end funds;structured approach;leverage 0 引言 开放式基金的自由申购赎回规则要求基金的资产组合满足高流动性和短期化运作，但现有封闭式基金又存在基金治理结构、投资范围、投资比例限制、存续期限、交易手段以及费率等方面的缺陷。监管部门正是在这样的背景下提出了创新型封闭式基金的发展思路。大成优选股票型基金和国投瑞银瑞福分级股票型基金先后出炉，这两只创新性基金在募集期受到了市场的热捧，它们都用一定的创新手段来保护投资者的权益。 大成优选和国投瑞银瑞福分级都是股票型基金，投资于中国股票市场，也就是说，二者回避基金资产价值波动的能力实际并不比现有的封闭式基金与开放式基金强，尽管存续期只有5年，很难想象二者的折价率会低于同等条件的其他封闭式基金。为此，大成基金公司对折价的空间做了限制，即引入“救生艇条款”：如折价一直较高，就直接转成开放式。如果回顾以往的市场，会发现“封转开”正是封闭式基金持有人梦寐以求的事情，而为封闭式基金规定最高折价率的方法，也正是大成优选的创新所在。 国投瑞银瑞福分级基金使用的是让封闭式基金的收益水平高于同类开放式基金的方法来保护投资者权益。瑞福优先将资金借给瑞福进取，而收取固定利息和收益提成，而瑞福进取利用借得资金得到杠杆投资的超额收益，在牛市中，其收益水平有望高于开放式基金，而在熊市中，其损失也会较大。由于其收益有可能极高，所以可能降低折价率，甚至有可能溢价交易。 基金项目：国家自然科学基金项目（10671144） 作者简介：光华（1985-），男，硕士，金融数学. E-mail: guanghua414@ - 1 -
中国科技论文在线 2009年9月17日，带有杠杆机制的国内首只指数分级基金——瑞和沪深300指数分级基金发行。本文第2部分介绍了瑞和沪深300指数分级基金的主要条款；第3部分在风险中性下利用无套利原理推导出了基金份额满足的偏微分方程，并且给出了两种份额的定价公式和杠杆率的显式表达式；第4部分根据基金份额的定价公式讨论了基金条款的设计，然后进行实例计算和作图，研究两种基金份额的性质；第6部分给出本文的结论并提供一些投资建议。 1 瑞和沪深300指数分级基金的具体条款说明 [1]基金的具体条款说明 1）此基金为指数基金，基金投资的标的指数为沪深300指数。 2）基金份额分级 基金份额包括国投瑞银瑞和沪深300指数证券投资基金之基础份额（下简称“瑞和300份额”）、国投瑞银瑞和沪深300指数证券投资基金之小康份额（下简称“瑞和小康份额”）与国投瑞银瑞和沪深300指数证券投资基金之远见份额（下简称“瑞和远见份额）。其中，瑞和小康份额与瑞和远见份额的基金份额配比始终保持1∶1的比率不变。瑞和小康份额获取年阀值以内较高比例分成及年阀值以外较低比例分成，而相对的瑞和远见份额获取年阀值以内较低比例分成及年阀值以外较高比例分成。 3）运作周年 运作周年是计算瑞和小康份额、瑞和远见份额的基金份额净值的基本期间。在瑞和小康份额、瑞和远见份额存续期内的每一个运作周年的最后一个工作日，基金管理人将对基金所有份额进行基金份额折算，将本基金所有份额的基金份额净值调整为元。 4）年阀值 预先设定的各个运作周年内划分瑞和小康份额与瑞和远见份额不同分成比例的临界点。本基金设置年阀值为10%（以基金份额初始面值为基准计算）。 5）各基金份额的净值计算 在任一运作周年内，如果瑞和300份额的基金净值大于元，则在每份瑞和小康与每份瑞和远见各自获得元净值的基础上，本基金将以年阀值为基准，将瑞和300份额的基金份额净值超出元的部分划分成年阀值以内和年阀值以外的两个部分，与此相对应，对于每一对瑞和小康份额与瑞和远见份额的份额组合所包含的年阀值以内的部分，由一份瑞和小康份额与一份瑞和远见份额按8∶2的比例分成；对于每一对瑞和小康份额与瑞和远见份额的份额组合所包含的年阀值以外的部分，由一份瑞和小康份额与一份瑞和远见份额按2∶8的比例分成。 在任一运作周年内，如果瑞和300份额的基金份额净值小于或等于元，则瑞和小康份额、瑞和远见份额的基金份额净值相等，且等于瑞和300份额的基金份额净值。 2 模型建立及求解 基本假设 1）市场上的无风险年利率为常数r， 2）基金投资期限T，即到期日，0,T是基金投资期， []3）瑞银瑞和300份额在时刻t的净值F，基金主要投资于组成沪深300指数的股票组t- 2 -
中国科技论文在线 合， 假设它满足几何布朗运动： dF=F(μdt+σdW) (1) ttt其中μ，σ分别为瑞银瑞和300份额的预期增长率和波动率，在此假设为常数，0时刻净值为F， 04）某个运作周年里设置的年阀值K， 5）当瑞银瑞和300份额的净值F在区间(F,K)时，瑞和小康和远见分别按α和(1−α)t0的比例分配超过F的收益；当F>K时，瑞和小康和瑞和远见分别按(1−α)和α的比例0t分配超过K的收益， AB6）每份瑞和小康和远见在时刻t的价格V和 V (t∈0,T)， []ttAB7）瑞和小康份额和远见份额的杠杆率记为ρ和ρ。 模型建立及求解 AB由瑞和小康份额和瑞和远见份额的净值计算方式，可以知道V和V都可以看作是以ttA瑞银瑞和300份额为标的资产的衍生金融产品。下面以瑞和小康份额为例推导其净值V满tB足的偏微分方程，瑞和远见份额的净值V类似可得。 V满足的偏微分方程的推导 tA利用Δ-对冲技巧，构造投资组合∏=V−ΔF（其中Δ为标的资产F的份额），然后通过选取适当的Δ使得在(t,t+dt)时间段内，∏是无风险的。 设在t时刻形成投资组合∏，并且假设在时间段(t,t+dt)内不改变标的资产的份额tΔ，取适当的Δ使得∏是无风险的，因此在时刻t+dt，投资组合的收益率应满足下面的ttt等式： ∏−∏=r∏dt (2) t+dttt将∏代入（2）式即得： tAdV−ΔdF=r(V−ΔF)dt (3) Attt由前面假设F满足随机微分方程（1），由ˆIto公式得： tAA2A∂V∂V1∂Vt2dV=dt+dW+(dW)A2∂t∂F2∂F (4) A2AAAV1∂VV∂V22 =(+σF+μF)dt+σFdWt2∂t2F∂把（4）代入（3）得： A2AAA∂V1∂V∂V∂V22A+σF+μF−ΔμFdt+(σF−ΔσF)dW=r(V−ΔF)dtt2t2FA∂V 消除上等式左端的随机项dW，即选取Δ=，并消去dt得到 t∂F- 3 -
中国科技论文在线 AA22A∂V∂Vσ∂V2A+rF+F−rV=0 (5) 2∂t∂F2∂ V的边界条件 tA在T时刻V满足： F F≤⎧0⎪AV|f(F)=F+2α(F−F) F<F≤K ⎨t=T000⎪F+2(K−F)+2(1−α)(F−K) F>K⎩A++V|f(F)=F⋅H(F−F)+F⋅H(F−F)+2α(F−F)−2α(F−K)+2(1−α)(F−K) t=T0000++ =F⋅(1−H(F−F))+F⋅H(F−F)+2(F−F)+2(1−2)(F−K) 0000++ =F−(F−F)⋅H(F−F)+2α(F−F)+2(1−2α)(F−K) 000++ =F+(2α−1)(F−)2(1−2α)(F−K) 0 其中H(x)为Heviside函数，当x>0时，H(x)=1，当x<0时，H(x)=0。 A从最后的表达式可以看到V相当于同时持有一份瑞银瑞和300份额、(2α−1)份以F0为敲定价的看涨期权和2(1−2α)份以K为敲定价的看涨期权的组合。 B++类似可得：V|=F−(2−1)(F−F)−2(1−2α)(F−K) 。 t= 求解 AV是如下偏微分方程的解。 AA22A⎧∂V∂Vσ∂V2A+rF+F−rV=0 (∑)⎪2 (6) ∂t∂F2∂F⎨A++⎪V|=F+(2α−1)(F−F)+2(1−2α)(F−K) ⎩t=T0其中∑:{0≤F≤+∞,0≤t≤T} 22∂u∂uσ∂u2定义微分算子：Lu=+rF+F−ru，由于微分算子L是线性的，所2∂t∂F2∂F以可以把边界条件分为三个部分分别求解后叠加即得原方程的解。假设u，v和w分别为偏微分方程 Lu=0 (∑)Lv=0 (∑)Lw=0 (∑)⎧⎧⎧ (7) ⎨⎨⎨++uFv(F−F)w(F−K)0⎩t=T⎩t=T⎩t=T,,的解，则 AV(F,t)=u(F,t)+(2α−1)⋅v(F,t)+2(1−2α)⋅w(F,t) (8) 从（7）中第一个方程容易得到u(F,t)=F；由Black-Scholes定价公式，可得v(F,t)和[2][3] w(F,t)。A−r(T−)V(F,t)=F+(2α−1)[F⋅N(d)−e⋅F⋅N(d)]102 (9) −r(T−t) +2(1−2α)[F⋅N(d)−e⋅K⋅N(d)]34其中 - 4 -
中国科技论文在线 2σFln()+(r+)(T−t)F02d=,d=−σTt121σT−t 2σFln()+(r+)(T−t)K2,σt343σT−t类似可得： B−r(T−)V(F,t)=F−(2α−1)[F⋅N(d)−e⋅F⋅N(d)]102 −r(T−t) −2(1−2α)[F⋅N(d)−e⋅K⋅N(d)] 瑞和小康和瑞和远见的杠杆率 杠杆率是反映当标的资产变化1％时，相应的衍生金融工具价值变化的百分数。由杠杆A率的定义可知在离散的情况下ρ的表达式为： AΔVAAFΔVAVρ(F,t)==⋅ (10) AΔFVΔFFAF∂VAA对（10）式取极限：limρ(F,t)=⋅，仍记连续的杠杆率为ρ，即 AΔF→0V∂FAF∂VAρ(F,t)=⋅ (11) AV∂FA∂V其中如下： ∂F22ddA−r(T−t)1−∂V1F⋅e0=1+(2α−1)[N(d)+e−e]1∂FσT−t⋅πσT−t⋅2π⋅F 22d−−dr(Tt)341K⋅e +2(1−2α)[N(d)+e−e]3σT−t⋅πσT−t⋅2π⋅FBρ的结果类似。 3 实例计算 模型参数的确定 1) 无风险利率r，我国商业银行当前的一年定期存款的利率为％，等价的连续复利率为％。 2）瑞银瑞和300份额的预期波动率σ，根据沪深300指数的历史波动率数据取为30％。 3）基金投资期限T，由此基金的收益结算方式知投资期限为一年。 4）瑞银瑞和300份额的初始净值F为1元。 05）年阀值K，使用实际发行时的数值为元。 6）收益分配比例α，使用实际发行时的数值为。 - 5 -
中国科技论文在线 年阀值K的确定 为了在每个运作周年的初始时刻使瑞和小康和瑞和远见的净值都为1元，应该如何确定AB年阀值K。t=0时将参数代入V(F,t)和V(F,t)的表达式中，可以得到下面的方程组。 A−r(T−)⎧V|=1=F+(2α−1)[F⋅N(d)−e⋅F⋅N(d)]t=000102⎪−r(T−t) +2(1−2α)[F⋅N(d)−e⋅K⋅N(d)]⎪034 ⎨B−(−)V|=1=F−(2α−1)[F⋅N(d)−e⋅F⋅N(d)]⎪t=000102⎪−r(T−t) −2(1−2α)[F⋅N(d)−e⋅K⋅N(d)]⎩034化简后可得： −rllN(d)−eN(d)12=2 (12) −rllN(d)−e⋅K⋅N(d)342σσ1+ln()+(r)Kllllll其中：d=,d=d−σ,d=,d=d−σ。 121343解（12）式，可以得到年阀值K。从上面的过程可以看到，在无风险利率相对稳定的情况下，年阀值K的确定主要由瑞银瑞和300份额的预期波动率σ决定。下面取不同的波动率，计算年阀值K相应的数值。 表1 波动率和年阀值的关系 relationship between volatility and threshold 波动率σ 10％ 20％ 30％ 40％ 50％ 年阀值K 从表格1可以看到，当对市场的预期波动率σ越大时，相应的年阀值K就越大。因为预期波动率σ越大，意味着瑞银瑞和300份额的净值超过年阀值K（固定的常数）的可能性越大，瑞和远见份额可能获得的收益也越多。为了使得小康份额和远见份额发行时的价格一样，那就需要调高年阀值。市场上瑞银瑞和分级基金发行时确定的年阀值K为元，计算得到对应的预期波动率σ为％。以下计算中年阀值取元，预期波动率取相应的％。 计算瑞和小康份额和瑞和远见份额的价格 [4]计算t=时瑞和小康份额和瑞和远见份额的价格。 - 6 -
中国科技论文在线 图1 两份额的价格 price of two shares 图2 两份额的价格差 difference between two shares’ price 从图1和图2可知，当瑞银瑞和300份额的净值在比较小时，瑞和小康和远见份额的价格基本一样，这是因为此时两种份额获得超额收益（即获得高比例分配的收益）的可能性非常小，两种份额此时的价格就等于瑞银瑞和300份额的净值；当瑞银瑞和300份额的净值在1元附近（如上图中的元到元间），瑞和小康份额的价格比较高，此时小康份额获得超额收益的可能性很大，而远见份额获得超额收益的可能性比较小，所以小康份额的价格高于远见份额；当瑞银瑞和300份额的净值比较大时，在到期日它很可能高于年阀值，那么远见份额就可以获得比较多的超额收益，所以远见份额的价格比较高。 瑞和小康份额和瑞和远见份额的杠杆率 - 7 -
中国科技论文在线 图3 两份额的杠杆率 leverages of two shares 杠杆率的大小主要取决于取得超额收益可能性的大小，类似于对两种份额价格的讨论。当瑞银瑞和300份额的净值在比较小时，瑞和小康和远见份额获得超额收益的可能性都非常小，两种份额此时的杠杆率都为1；当瑞银瑞和300份额的净值在元附近（如图3中的元到1元间），瑞和小康份额获得超额收益的可能性比较大，而远见份额获得超额收益的可能性较小，所以小康份额的杠杆率比较高；当瑞银瑞和300份额的净值比较大时，在到期日它可能大大高于年阀值，那么远见份额就可以获得比较多的超额收益，远见份额的杠杆率较高。 总体上看，在t=时随着瑞银瑞和300份额净值的增大，瑞和小康份额的杠杆率先增后减（在元附近取得最大值）；而远见份额的杠杆率先减后增（在元附近取得最小值）。当然小康（远见）份额的杠杆率不会一直增大（减小），随着瑞银瑞和300份额的净值的增大，小康（远见）份额的价格也越来越高，使得小康（远见）份额的杠杆率达到一定水平之后又会减小（增大）。 预期波动率对两份额价格和杠杆率的影响 图4 波动率对价格的影响 the impact of volatility on shares’ prices - 8 -
中国科技论文在线 图5波动率对杠杆率的影响 the impact of volatility on shares’ leverages 从图4和图5可以得出，不同预期波动率下，两份额的价格和杠杆率的相对大小关系图形上比较类似。只是波动率大的时候，瑞和小康份额比远见份额有优势的区间向左移动了一些。这是因为在瑞银瑞和300份额净值相同的情况下，波动率越大，瑞和远见份额能获得超额收益的可能性就越大。波动率为30％时，远见份额有优势的区间应该更大，所以小康份额有优势的区间向左移动了，即当瑞银瑞和300份额净值较小时（和波动率为％时相比），小康份额才比远见份额有优势。 收益分配比例对两份额的价格和杠杆率的影响 图6分配比例对价格的影响 the impact of distribution ratio on shares’ prices - 9 -
中国科技论文在线 图7分配比例对杠杆率的影响 the impact of distribution ratio on shares’ leverages 从图6和图7可以得出，不同收益分配比例下，两份额的价格和杠杆率的图形基本一样。即两种份额各自有优势的区间基本是相同的，只是在幅度上有所变化，这表明收益分配比例的设置主要改变每种份额具有优势的程度。 4 结论 瑞银瑞和分级基金的特点主要在于，小康和远见份额以瑞和300份额净值等于为临界点，互为杠杆。即在收益分配日当瑞和300净值处于1元至元时，瑞和小康和瑞和远见按8∶2分成收益；当瑞和300净值超过元时，超过的部分瑞和小康和瑞和远见按照2∶8分成。根据小康份额和远见份额的发行时的价格，可知年阀值K的确定主要由预期波动率σ的大小来确定，波动率越大年阀值也相应越大。因为发行时，小康和远见份额打包一起发售，并且两份额净值的和等于两份300份额的净值，所以申购基金时并不用考虑年阀值K。一旦两种份额上市交易，年阀值K便会影响他们的价格，所以具体交易时需要考虑年阀值K。超额收益分配比例α主要影响两种份额的杠杆率的变化幅度，当分配比例越大时，杠杆率的变化幅度也越大。 瑞银瑞和分级基金的分级收益特征以及引入的交易机制等具有较强的创新性，投资者可以依据自身需求以及对于标的资产波动率的不同预期，选择多重丰富的投资操作策略：首先，作为一只本质上复制沪深300的指数型基金，预期获得市场平均收益率的投资者可以构建长期持有的策略；其次，由于差额分配机制的存在使得年阀值内外瑞和小康、瑞和远见的杠杆率显著不同，对于有能力把握市场的投资者可以根据市场预期的变化，对瑞和小康和瑞和远见之间采取不同的交易策略；此外，它作为一种指数期货的套利工具，可以充分利用两种份额的杠杆率，当期货指数高于现货时，可以买入杠杆率较高的份额获得更高的收益。 [参考文献] (References) [1] 国投瑞银基金管理有限公司.国投瑞银瑞和沪深300指数分级证券投资基金招募说明书[OL]. [2] 姜礼尚. 期权定价的数学模型和方法[M]. 北京：高等教育出版社，2003. [3] 姜礼尚，陈亚浙，刘西垣，等. 数学物理方程讲义（第三版）[M]. 北京：高等教育出版社，2007. [4] 王沫然. MATLAB与科学计算（第二版）[M]. 北京：电子工业出版社，2003. - 10 -
