遍历过程 与 马尔科夫链
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内 容 复 习
严平稳过程
一．定义1 随机过程 ，如果对任意 维
分布函数,任意实数 ,满足:
则称 为严平稳过程,或称狭义平稳过程.
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广义平稳过程
(一) 广义平稳过程的定义
定义2 设随机过程 ,对于任意 ,满足:
(1) 存在且有限;
(2) 是常数;
(3) 仅依赖于 ,而与 无关,
则称 为广义平稳过程,或称宽平稳过程,简称平稳过程.
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严平稳过程与广义平稳过程的关系
推论 存在二阶矩的严平稳过程必定是广义平稳过程.
1.广义平稳过程,不一定是严平稳过程.
2.严平稳过程,(如果二阶矩不存在),不一定
是广义平稳过程
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定义 如果随机过程 ,对任意正整数 ,
服从正态分布
则称 为正态过程.
正态平稳过程
设 是正态过程, 服从正态分布,则
必存在,即二阶矩存在.
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二. 正态平稳过程
定义 如果正态过程 又是(广义)平稳过程,则
称 为正态平稳过程.
定理二：设 是正态过程.
则 为严平稳过程 为广义平稳过程.
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例2 设 是正态平稳过程,且
令
证明: 是平稳过程.
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第四节 遍历过程(历经过程)
一. 时间均值和时间相关函数
函数
样本函数 在区间
设随机过程
任固定
样本
上的函数平均值定义为
在 上的函数平均值定义为
当 变化时,
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定义6
称为随机过程
对于参数 的平均值,通常称为随机过程
的时间均值.
显然 是一个随机变量.
在任意 处, 给任意实数 ，过程在 和 的两个
状态的乘积
在 上的平均值,
记为
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定义7
称为随机过程 的时间相关函数.
(显然它是一个随机过程. )
对随机过程
时间均值
定义,
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时间相关函数
例1 求随机相位正弦波
的时间均
值和时间相关函数.
(记住这个例题的结论,以后要用)
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二. 各态遍历性
定义8 设 是一个平稳过程 或
{即,
为常
数, 且
的均值具有各态遍历性;
注：
(1) 如果
则称过程
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(2) 如果
则称过程 的自相关函数具有各态遍历性.
(3) 均值和自相关函数都具有各态遍历性
的平稳过程称为遍历过程,或说,该平稳过程
具有遍历性.
(三) 遍历过程的例子
例1 设
，其中
是实常数,
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不具各态遍历性的例子：
例2 设 是一个随机变量,且
则 (1) 是平稳过程;
(2) 的均值不具有各态遍历性.
服从区间 上的均匀分布,
的各态遍历性.
讨论
解
及例1结论，
由
知X(t)具有遍历性
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四. 平稳过程具有各态遍历性的判别定理
引理 设 是一个平稳过程,则它的
时间均值的数学期望和方差分别为
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定理三 (均值各态遍历定理)平稳过程
的均值具有各态遍历性的充要条件是
近似计算 提供依据.
五：引入遍历过程的目的,应用意义
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例1 设 是以 为周期的随机相位周期
过程,即满足( 是周期函数)
其中 是在 上服从均匀分布的随机变量.
试证: (1) 是平稳过程;
(2) 是遍历过程.
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例2 设平稳过程 的自相关函数
以概率1成立。
证明:对于任意t, 等式
是以T为周期的周期函数,
提示：
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例3
解：
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第十三章 马尔可夫链
马尔可夫过程是一类特殊的随机过程,
最初是由俄国数学家马尔可夫1896年
生物学,经济,管理,教育,气象物理,化学等等.
马尔可夫链
是离散状态的马尔可夫过程,
提出和研究的应用十分广泛,其应用领域涉
及计算机,通信,自动.控制,随机服务,可靠性,
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例：一维随机游动
一个质点在直线上的五个位置:0, 1, 2, 3, 4做随机
游动.当它处在位置1或2或3时,以的1/3概率向左移
动一步而以2/3的概率向右移动一步;当它到达位置
0时,以概率1返回位置1;当它到达位置4时以概率1停
留在该位置上(称位置0为反射壁,称位置4为吸收壁).
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0
1
2
3
4
1
2/3
2/3
2/3
1/3
1/3
1/3
1
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第一节 马尔可夫链的定义
一．定义1 设随机过程 的状态空间 是
有限集或可列集, 对于 T 内任意n+1个
参数 和 内任意 个状态
如果条件概率
(1)
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恒成立,则称此过程为马尔可夫链.
式(1)称为马尔可夫性,或称无后效性.
注：
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系统现时情况的条件下,系统将来的发展变化
与系统的过去无关.我们称之为无后效性.
许多实际问题都具有这种无后效性.
例如 生物基因遗传从这一代到下一代的
转移中仅依赖于这一代而与以往各代无关.
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马氏性的直观含义可以解释如下:
将 看作为现在时刻, 就是过去时
刻,而 则是将来时刻.于是, (1) 式是说,当已知
二 马尔可夫链的分类
状态空间 是离散的(有限集或可列集), 参数集
可为离散或连续的两类.
三 离散参数马尔可夫链
（1）转移概率
定义2 在离散参数马尔可夫链
中,条件概率 称为 在
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时刻(参数) 由状态 一步转移到状态 的一步转移
概率,简称转移概率.
条件概率 称为 在时
刻(参数) 由状态 经 步转移到状态 的 步
转移概率.
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(2)转移概率的性质:对于状态空间 内的任意两个
状态 和 ,恒有
(1)
(2)
作 业
习题十二 6，7，8，10，11
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