Lecture 4
市场风险测度：VaR方法
在险价值的界定
VaR是度量一项投资或投资组合可能产生的
下跌风险的方法。
VaR，描述的是在给定的概率水平下（即所
谓的“置信水平”），在一定的时间内，持有
一种证券或资产组合可能遭受的最大损失。
VaR值是下述问题的答案：
在较低的概率下，比如1%的可能性，既定
时间内实际损失可能超过的最大损失是多少
？
在险价值的定义
在险价值的计算，如在99%的置信水平下，市场
价值在1天内可能遭受的最大损失
f（x）
P
期望利润
VaR=σ
1％
在险价值的计算
计算VaR值，首先需要得出资产组合价值在既
定期间内的远期分布，或者说是资产组合价值
变动的分布。
只有完成第一步之后，才能计算分布的均值以
及分割点。
推导分布的基本方法3种：
历史模拟方法
分析性的方差-协方差方法
蒙特卡洛方法
以上方法都包含两个基本步骤：
VaR计算的基本步骤
（1）风险因子的选择
资产组合价值的变动是一些能够影响每项工具
价格的市场因素的变动所造成的。
风险因子的具体组成取决于资产组合的构成情
况，需要作出一定的判断。
（2）选择将市场风险因子变化纳入模型的方法
非参数VaR
参数VaR
风险因子的选择
•美元/人民币远期汇率
美元/人民币期权美元/人民币远期合约
•美元/人民币汇率的波动率
•人民币利率
•美元/人民币远期汇率
•美元利率
将市场风险因子变化纳入模型的方法:
方差-协方差方法
方差-协方差方法是一种参数VaR方法。
参数VaR方法简化了VaR的推导，直接假定收益分
布为某种可分析的密度函数f（R）；然后利用历史
数据来估计假定的分布函数的参数。
分析性的方差-协方差方法假定风险因子服从对数
正态分布，即风险因子收益的对数服从正态分布。
正态分布可以用两个参数来完全刻画，因此必须从
如下条件中推导出正态分布的均值和方差：
风险因子的多变量分布
资产组合的构成
方差-协方差方法
如果假定R服从均值为μ、标准差为σ的正态分布，
则：
如果c代表置信水平，如99%，则可以把R*界定为下
述形式：
是一个服从标准正态分布N（0，1）的
变量。因此，R*的推导非常简单，查标准累积正态
函数表即可。
R*可以表示为：
根据VaR的定义：
常见的置信水平函数的临界值
c
%
99%
%
例：股票资产组合
一个由两种股票（微软和埃克森）构成的资产组
合，微软公司股票为n1股，股价为s1，埃克森公
司股票为n2股，股价为s2。则资产组合的价值为：
是第i种股票的收益率； 是资产组合中投资
于第i种股票的比重。
（1）风险因子的选择：风险因子为两种股票各自
的价格s1、s2，因此资产组合的收益率 为：
（2）风险因子的分布：假定价格服从对数正态分布，
即时期（t-1，t）的收益服从正态分布：
同时，假定两种股票的收益率服从正态分布，
均值、标准差分别为μi、σi，两种股票收益率间
的相关系数为ρ。
单个资产的VaR—1日VaR
每种股票收益的边际变化服从单变量正态分布：
在置信度99%的水平下，1日的VaR值为：
从1日VaR值到10日VaR值
1日VaR值的推导以资产组合价值的日分布为基础。
从理论上，可以根据资产组合价值的10日分布来
计算10日VaR值。
一般，如果假定市场是有效的，资产在如果假定市场是有效的，资产在1010天内的天内的
每日收益每日收益RRtt独立同分布，则独立同分布，则可以从1日VaR直接推
导出10日或其他任何期间的VaR值。
1010日收益日收益R(10)=∑RtR(10)=∑Rt服从正态分布，均值和方差服从正态分布，均值和方差
分别为：分别为：
则可以得到：
单资产VaR的一般计算公式
如果持有期为∆t、置信度为c，则：
其中，a（·）表示标准正态累积分布函数的逆函
数。
如果持有期较长，收益率的均值发生漂移，则
VaR的计算就应当使用收益率的漂移来进行修正，
则：
收益率漂移的修正
f（x）
P
收益率漂移μ∆t
VaR
1％
投资组合的VaR
收益正态分布资产的线性组合，也服从正态分
布：
其中：
则投资组合的99%置信水平下的1日和10日VaR
值分别为：
投资组合VaR的一般计算公式
如果持有期为∆t、置信度为c，则：
如果持有期较长，则VaR使用收益率的漂移修正，
则：
衍生产品的VaR
投资组合包括衍生产品的VaR估计的关键问
题是，即使标的资产的价格变化是正态分布
的，衍生产品本质上的非线性意味着衍生产
品价格变化不可能满足正态分布假定。
如果考虑标的资产的变化非常小时，例如一
个非常短的时间间隔，则可以用期权的
Delta值近似估计期权价值变化的敏感性。
对于较大的价格变动，则需要更高阶的近似。
∆：Delta值
根据期权定价公式：
则期权的Delta值为：
若标的资产价格变化的标准差为σ，则期权头
寸价值变化分布的标准差为：
衍生产品VaR计算：Delta逼近
考虑一个含有单个衍生产品的投资组合S。
一项期权或是期权的投资组合的敏感性，就是
Delta值。
如果标的资产的分布的标准差是 。
那么，期权头寸价值变化分布的标准差为：
“∆”必须为整个投资组合头寸的Delta值，即对于
特定标的资产所有相关期权的敏感性，等于标的
资产所有期权头寸的Delta值的总和。
包含期权的投资组合的VaR计算公式
一个包含期权的投资组合的VaR为：
∆i为第i项资产价格变动一个单位时，导致投资组
合价值的变动。
注：标的资产的∆i为1。
Delta－Gamma逼近
当标的资产的价格变动非常微小时，可以使
用Delta逼近，但更精确的逼近要引入高阶
项，加入Gamma或者凸性影响。
假设投资组合包括一只股票期权，则标的资
产的价值变化∆S和期权价值变化∆V之间的关
系为：
由于假设： ，则：
一阶展开表明期权价值的变化与标的资产的
变化成固定比例。
二阶展开，由于存在确定性的漂移项S及期
权的θ值，二阶展开含有确定性的偏移项∆V。
更重要的是，Gamma（Г/γ）的作用是
引入∆S的随机项构成中的非线性项。
衍生品VaR估计的实际困难
估计非线性产品的VaR的显而易见的途径是
对于标的资产的非线性行为使用模拟，然后
运用估值公式和数值算法推断整个投资组合
价格变化的分布。
这种方法最终可以估计出非线性产品的VaR
，但存在一个缺点，就是运算非常耗时。
如果要进行成千上万此的模拟，每一次都必
须要解一个多因子偏微分方程，那么求解
VaR的时间花费将过长。
将市场风险因子变化纳入模型的方法:
历史模拟法
历史模拟法是一种非参数VaR。
历史模拟法不要求使用者做出风险因子分布的
分析性假定和理论分布的估计。
VaR的计算是以按照风险因子在特定时期内的
实际数据构造的历史分布为基础。
历史模拟法要得出比较合理的历史分布，至少
需要2~3年的数据。
历史模拟法是根据敞口的每日收益数据的
历史分布来计算VaR，没有对敞口收益的
分布函数做出任何假定。
历史模拟方法—简单处理
历史模拟方法的原理很简单。
首先，对特定历史期间（比如1~4年）内观察
到的相关市场价格和（风险因子）收益率的变
化进行分析。
然后，从历史数据中推导出风险因子来构造资
产组合收益的分布。
根据这个分布，可以计算资产组合的VaR值。
可以把模拟出的每个日变化值看成分布的一个
观测值。
历史模拟方法的步骤
该方法涉及三个步骤：
选择特定时期内（比如250天）风险因子实
际日变化的样本；
将这些变化数据用于风险因子的现行价格，
然后重新估计现行资产组合的价值；
做出资产组合价值分布的图像，确认在99%
的置信水平下，第一个抽样分位数对应的
VaR值。
例：历史模拟
假定一个3月期的美元/马克买入期权，首先判
断该敞口的市场风险因子为：
美元/马克汇率
美元3月期利率
马克3月期利率
3月期美元/马克汇率的波动性
简单起见，忽略利率风险因子的影响，只考虑
汇率及其波动性的影响。我们使用过去100天内
汇率及其波动性的日观测值，如表所示。
然后，利用风险因子的历史分布来为敞口重新
定价。
天（t）
美元/马克汇率
（FXt）
汇率波动性
（σt）
-100
-99
-98
… … …
-2
-1
过去100天的历史汇率
利用布莱克-斯科尔斯期权定价模型，计算资产
的模拟价值序列
模拟价格C 从资产现价（美元）的
变化
模拟价格C（FX99；σ99）= 美元
模拟价格C（FX98；σ98）= 美元
模拟价格C（FX97；σ97）= 美元
…… ……
模拟价格C（FX2；σ2）= +美元
模拟价格C（FX1；σ1）= +美元
最后一步是，通过描绘出资产组合收益在过去
100天的历史数据，或直接甄别资产组合价值变
化情况，来确认历史分布的第一个百分位数。
下表是对资产组合价值变化的排序，根据这种
方法，可以得出第一个百分位数对应的数值是-
。
模拟价格序列 从资产现价（美元）的变化
100 美元
99 美元
98 美元
…… ……
2 +美元
1 +美元
当然，最直观的是描绘出资产价值模拟序列的
（频率）分布图。
历史模拟法可以很容易地推广到任何证券资产
组合。
损失大于的情况出
现的可能性不超过1%
历史模拟方法—Bootstrapping
自举法（Bootstrapping），是利用历史数据得到一系列资产
的随机运动的另一种方法。
假设有N项资产的真实时间序列数据（假设是资产的日收益率
数据），自举法的实现过程：
1. 为每日的数据（向量）编制一项索引，该索引可以是随机分配；
2. 建立某种抽样规则，随机抽取一个索引，该索引指向的数据就
是第一个未来可能情况的模拟。
3. 重复这个过程，得到更多未来可能情况的模拟，直到满意的模
拟次数。
自举法的优点在于可以捕捉资产间的任意相关性、允许资产价
格变化呈现非正态性，缺点是无法获得数据中的自相关性。
将市场风险因子变化纳入模型的方法:
蒙特卡洛模拟方法
蒙特卡洛模拟方法是一种综合的方法。
蒙特卡洛模拟方法可以通过选择任何形式的多
变量分布来进行，该方法比较灵活，能够允许
对具有厚尾和偏斜形状的分布进行分析，还能
模拟比较复杂的分布和均值反转的过程。
蒙特卡洛方法的唯一的限制在于估计分布参数
（如均值、方差和协方差等）的能力。
蒙特卡洛方法
蒙特卡洛方法是要重复地模拟哪些决定市场价格
和收益率的随机过程。每一个模拟值（情景）都
会得出资产组合价值在目标区间内的一个可能值。
如果我们得出的情景足够多，资产组合价值的模
拟分布将趋近于真实分布。
蒙特卡洛模拟包括以下3个步骤：
首先，确认所有的相关风险因子；
第二，构造价格路径；
第三，估计资产组合在每个路径（情景）下的
价值。
作为业绩度量的VaR的应用
VaR的一个重要应用是度量银行、部门或单个交易员的业绩
表现。
过去，“交易能力”只是单纯用盈利衡量；交易员的红利与盈
利相联系，这使得交易员愿意冒风险。
考虑风险的衡量交易能力的方法是比较单位风险，即夏普比
率：
当使用VaR度量风险时，收益/损失作为收益的度量：
