第二节
伯努利(Bernoulli)试验(独立重复试验)
若试验 E 满足条件：
(1) 各次试验独立进行；
将试验 E 重复n次, 则称为n重伯努利试验。
例如，打靶命中或不命中；抛硬币出现正面或反面；抽检产品抽到正品或次品，等等，都可以视为伯努利试验。
(2) 每次试验只有两种结果：事件A发生或不发生，
(一) 0-1分布
背景：作一次伯努利试验的成功次数X所服从的分布.
分布律为
或用公式表示
(二) 二项分布(Binomial Distribution)
某射手命中率为，独立射击3次，求恰好命中2次的概率。
例1
解
则恰好命中2次的概率为
背景：作n次伯努利试验的成功次数X所服从的分布.
由可加性
由独立性
若随机变量X的分布律为
定义
则称X服从参数为n,p的二项分布，
记为
验证规范性：
例2
某人打靶,命中率为p=,独立重复射击5次,求：
(1) 恰好命中两次的概率；
(2) 至少命中两次的概率；
(3) 至多命中四次的概率。
解
设X为命中数，
(1)
(2)
(3)
解
例3 某经理有七个顾问，对某决策征求意见，经理听取多数人的意见。若每位顾问提出正确意见的概率均为，且相互独立，求经理作出正确决策的概率。
提出正确意见的顾问人数
则经理作出正确决策的概率为
解
例4 对某药物的疗效进行研究，假定这种药物对某种疾病的治愈率p=。现在10个患者同时服此药，求至少有6个患者治愈的概率(假定患者之间相互独立)。
治愈人数
则至少有6个患者治愈的概率为
这个概率是很大的，也即，如果治愈率确为，则在10人中治愈人数少于6人的情况是很少出现的。因此，如果在一次实际试验中，发现10个病人中治愈不到6人，那么假定治愈率为就值得怀疑了。
解
例5 假设有10台设备，每台的可靠性(无故障工作的概率)为，每台出现故障时需要由一人进行调整．问为保证在95%的情况下当设备出现故障时都能及时得到调整，至少需要安排几个人值班？
出故障机器台数
因此，至少需要安排3个人值班．
问题：若有200台设备呢？
需中心极限定理解决。
解
出故障机器台数
因此，至少需要安排3个人值班．
解
例6 (保险事业)若一年中某类保险者的死亡率为。现有1万人参加这类保险，试求在未来一年中在这些保险者里面，(1)有40人死亡的概率；(2)死亡人数不超过70人的概率。
死亡人数
(1)
(2)
计算相当复杂，下面介绍一个实用的近似公式。
证略.
解
例7 假如生三胞胎的概率为10-4，求在10万次生育中，恰有两次生三胞胎的概率。
10万次生育中生三胞胎的次数
直接用伯努利公式计算得
用泊松近似公式，
可见（当n非常大时）近似程度令人满意。
(三) 泊松分布(Poisson Distribution)
在历史上泊松分布是作为二项分布的近似,于1837年由法国数学家泊松引入的。近几十年来，作为描绘“稀有事件”计数资料统计规律的概率分布，泊松分布日益显示其重要性，成了概率论中最重要的几个分布之一，在质量控制、排队论、可靠性理论等许多领域内都有重要应用．
实例：1）普鲁士骑兵每年被马踢死的人数服从参数为的泊松分布；
2）1500年到1932年之间每年发生战争的次数（规模超过50000人）服从参数为的泊松分布。
定义 若随机变量X的概率分布为
验证规范性：
则称X服从参数为 的泊松分布,记为
麦克劳林公式
泊松分布的实际背景：最简流。
例如，到达商店的顾客，用户对某种商品质量的投诉，暴雨，交通事故，重大刑事案件，大震后的余震、到达某港口等待进港的货轮、纺纱机上的断头所形成的随机质点流．
分布参数的概率意义： 是单位时间出现的随机质点的平均个数
例8 通过某十字路口的汽车数服从泊松分布。若平均5秒钟有1辆汽车通过,求10秒钟内通过的汽车不少于2辆的概率。
解
设X为10秒内通过的汽车数，
例9 某商店出售某种大件商品，据历史记录分析，每月销售量服从泊松分布，λ= 7，问在月初进货时要库存多少件此种商品，才能以的概率充分满足顾客的需要？
解
销售量
设至少库存N件，则
经计算，必须取N=16。
(四) 几何分布
在贝努利试验中，每次成功的概率为p，若记X为首次成功时所做的试验数，则X服从的概率分布称为几何分布：
验证规范性：
例10 某人有n把钥匙，仅有一把能打开门，随机选一把试开，开后放回，直至打开为止，求第s次才打开门的概率.
解
开门次数X服从几何分布，
(五) 超几何分布
例11 设某批产品共有N件，其中有M件次品。按如下两种方式从中任选n件产品: (1)每次取出观察后还原; (2)不还原。设取得的次品数为X，试分别就所述的两种情形，求X的分布律.
(1) 由于是有放回的抽取，所以每次取到次品的概率均为M/N，所以
解
即
,
)
/
,
(
~
N
M
n
B
X
(2) 若不还原，在N件产品中任选n件，其中恰好有k件次品的取法共有
所以
称之为超几何分布。
练习：
P67 习题二
