采样定理
取样定理论述了在一定条件下，
一个连续信号完全可以用离散
样本值表示。这些样本值包含
了该连续信号的全部信息，利
用这些样本值可以恢复原信号。
取样定理在连续信号与离散信
号之间架起了一座桥梁。为其
互为转换提供了理论依据。
采样定理
取样是对信号进行数字处理的第一个环节。
需要解决的问题：
1．信号的取样
f(t) fs(t)
s(t)
f(k) y(k)
y(t)
A/D
量化编码
数字
滤波器 D/A
连续
信号
脉冲
序列
Fs(jω)与F(jω)的关系
由fs(t)能否恢复f(t)?
采样定理
冲激采样
f(t) fs(t)
连续信号 取样信号
取样脉冲
f(t)←→F(jω) (–ωm< ω<ωm)
fs(t)←→Fs (jω)
s(t)←→S(jω)
采样定理
TS 取样间隔 ， ωS 取样角频率
ωS ≥2ωm，频谱不混叠
低通滤波
F(jω)
0
1
ωωm-ωm
S(ω)
0 ωωs-ωs
(ωs)
Fs(jω)
0
1/Ts
ωωm-ωm ωs-ωs
时域
× =
f(t)
0 t
s(t)
0 t-Ts Ts 2Ts
(1)
fs(t)
0 t-Ts Ts 2Ts
频域
* =
×
采样定理
2. 时域取样定理
一个频谱在区间（-m，m)以外为0的带限信号f(t)，可唯一地由其在均匀间隔
Ts [Ts≤1/(2fm)] 上的样点值f(kTs)确定。
f(t
)
0 t ω
F（ω
）1
0-ωm ωm
t
fS(t)
0 TS
… … … …
0
FS(ω)
ωωm ωs-ωs
TS
1
ωs ωm
采样定理
上述定理表明：为了能够从采样信号中恢复原信号，必须满足两个条件：
• f(t)必须是带限信号；
• 取样频率不能太低，必须fs≥2fm；即，取样间隔不能太大，必须Ts≤1/(2fm);
否则将发生混叠。
通常把最低允许的采样频率fs=2fm称为奈奎斯特(Nyquist)频率；
把最大允许的取样间隔Ts=1/(2fm)称为奈奎斯特间隔。
采样定理
3. 时域恢复定理
若能利用滤波器
理想低通滤波器 滤除高频成分，即可恢复原信号
对ωC要求: ωm ≤ωC≤ωS-ωm
TS
H(jω)
0 ωc-ωc ω
F(jω)
1
0 ωm-ωm ω
FS
(jω)ωs＞2ωm
… …
ωωS0 ωm-ωS
TS
1
ωS ωm
采样定理
理想抽样
理想低通滤波器：
采样定理
的说明
连续信号f(t)可以展开成Sa函数的无穷级数，级数的系数等于取
样值f(nTs)。
在取样信号fs(t)的每个取样值上画一个峰值为f(nTs) 的Sa函数波形，
由此合成的信号就是fs(t) 。
采样定理
ωωS0 ωm-ωS -ωm ω
… …
(a)
FS
(jω)
TS
1
H(ω)
(b)
-ωc 0 ωc
TS
×
(c)
-ωm 0 ωm
1
F (ω)
ω
t
(e)
0
h(t)
t
(d)
fS(t)
f (t)
0-2TS -TS TS 2TS t
(f)
f(t)
0-2TS -TS TS 2TS
采样定理
THE END
