微分
微分的定义
定理 . 函数 f(x) 在 x0 处可导当且仅当存在常数 A，使
∆y = f(x0 +∆x)− f(x0) = A∆x+ o(∆x)(∆x → 0).
证明 : 充分性 由充分性假设，
∆y
∆x
= A+ o(1)(∆x → 0)，从而
f ′(x0) = lim∆x→0
∆y
∆x
= A.
可见，f(x) 在 x0 处可导，且 f
′(x0) = A。
必要性 由必要性假设，即 lim∆x→0
f(x0 +∆x)− f(x0)
∆x
= f ′(x0)，则由
极限与无穷小量的关系，
f(x0 +∆x)− f(x0)
∆x
= f ′(x0) + o(1)(∆x → 0)，故
∆y = f(x0 +∆x)− f(x0) = f ′(x0)∆x+ o(∆x)(∆x → 0).
由定理，可以计算出 x0 附近的点 x0 +∆x 处的函数值
f(x0 +∆x) = f(x0) + f
′(x0)∆x+ o(∆x)(∆x → 0).
于是，按照近似计算的观点，一般地引入如下的定义。
定义 . 对 U(x0, δ0) 内的函数 y = f(x)，若常数 A，使
∆y = f(x0 +∆x)− f(x0) = A∆x+ o(∆x)(∆x → 0),
则称 f(x) 在点 x0 处可微，且称 A∆x 为 f(x) 在 x0 处的 (一阶) 微分，记为
dy = A∆x 或者df(x0) = A∆x.
由定义，微分 dy 与增量 ∆y 之差是 ∆x 的高阶无穷小量 (∆x → 0)。称
dy = A∆x 为 ∆y 的线性主部。
注 . 根据定理，一元函数的“可导”即“可微”，求导方法又称为微分法。
且因对 y = x，有 dy = dx = 1∆x, 故 dx = ∆x。从而，在微分记号中将 ∆x 改为
dx，得 dy = f ′(x0)dx。因此，导数的记号
dy
dx
∣∣∣
x=x0
= f ′(x0)
成为 dy 与 dx 的比值。因导数是微分之商，故又称之为微商.
若函数 y = f(x) 在 (a, b) 内任一点 x 处可微 (即 dy = f ′(x)dx)，则称函数 f(x)
在 (a, b) 内可微。
图 改变量、函数的微分及其图像切线的相互关系
为了研究微分的几何意义，设函数 y = f(x) 如图 所示. 分别记 Q0, P,Q
为 (x0 + ∆x, f(x0)), (x0 + ∆x, f(x0 + ∆x)) 和 (x0 + ∆x, f(x0) + f
′(x0)∆x), 则对过
P0(x0, f(x0) 的曲线切线，有
P0Q0 = dx = ∆x 为自变量的改变量;
∆y = PQ0 为函数的改变量；
dy = f ′(x0)dx = QQ0 为切线的改变量；
∆y − dy = o(∆x) = PQ 为函数的改变量与切线的改变量之差.
这表明，微分就是在点 x0 的附近用切线的改变量近似曲线的改变量。
因此，所谓微分的基本原理就是：可微函数在每一点的充分小邻域 (局部)，均可
近似为增量按比例变化的线性函数。
例 . 求 3
√
28 的近似值。
解: 取 f(x) = 3
√
x，令 x0 = 27,∆x = 1，则有
f ′(x) =
1
3
3
√
x2
, f(x0) = 3, f
′(x0) =
1
27
.
于是
3
√
28 ≈ 3 +
1
27
×1 ≈ ̇37̇，而精确值为 3
√
28 = ̇.
于是，近似值的相对误差为
|f ′(27)∆x|
|f(27)|
=
1
27
× 1
3
= = %. □
一阶微分的形式不变性
设函数 y = f(u) 和 u = g(x) 可导。
根据复合函数的求导法则，可得复合函数 y = f(g(x)) 的微分为
dy =
(
f
(
g(x)
))′ dx = f ′(g(x))g′(x)dx.
由于 du = g′(x)dx，代入上式就得到了它的等价表示形式
dy = f ′(u)du,
其中 u = g(x) 是 x 的函数。另一方面，函数 f(u) 关于自变量 u 的微分
dy = f ′(u)du.
于是，无论 u 是因变量还是自变量，对 y = f(u) 恒有 dy = f ′(u)du，这个性质称
为一阶微分的形式不变性.
此外，u 是自变量时，du = ∆u，而 u 为函数时，则 du 6= ∆u。
微分的形式不变性可以大大地简化多层次复杂函数的求导运算。
事实上，求导等同于求微分，因后者有形式不变性，故将各中间变量作为自变量，
即可逐次地完成复杂函数的微分或者导数的计算。
此外，设 y = f(x) 在 x0 处可微，f
′(x0) 6= 0，且有反函数 x = f−1(y)。于是，因
有 dy = f ′(x0)dx，故将 x 视为因变量，y 为自变量，则
dx
dy
=
1
f ′(x0)
，此即反函数的
求导公式.
再如，设参数方程
{
x = x(t),
y = y(t)
确定可微函数 y = f(x)，则由参数方程可得 dx =
x′(t)dt, dy = y′(t)dt. 进而，有求导公式
dy
dx
=
y′(t)dt
x′(t)dt
=
y′(t)
x′(t)
.
利用基本初等函数的导数公式，可得相应的微分公式：
(1) dC = 0dx; (2) dxα = αxα−1dx;
(3) dax = ax ln adx(a > 0); (4) d loga |x| =
dx
x ln a
;
(5) dex = exdx; (6) d(ln |x|) =
dx
x
;
(7) d(sinx) = cosxdx; (8) d(arcsinx) =
dx
√
1− x2
;
(9) d(cosx) = − sinxdx; (10) d(arccosx) = −
dx
√
1− x2
;
(11) d(tanx) =
dx
cos2 x
; (12) d(arctanx) =
dx
1 + x2
.
例 . 设 y = cos ex，求 dy.
解: dy = − sin exdex = −ex sin exdx. □
例 . 求由方程 cos y = sin
√
x 所确定的隐函数 y = y(x) 的导数.
解: 对 cos y = sin
√
x 两边微分，得 − sin ydy =
cos
√
x
2
√
x
dx，故
dy
dx
= −
cos
√
x
2
√
x sin y
. □
注 . 此例的隐函数有显式表达 y = arccos(sin
√
x)，因此可以直接求导，但考
虑到隐函数一般没有显式表达，故直接求导仅适用于个例.
此外，由微分与导数的对应关系，可得微分运算的四则运算法则：
设 u, v 为 x 的可微函数，则
(1) d(u± v) = du± dv; (2) d(u·v) = udv + vdu; (3) d
(u
v
)
=
vdu− udv
v2
.
