第7讲 中心极限定理
第4章 数字特征与极限定理
经济数学—概率论与数理统计（慕课版）
第7讲 中心极限定理
大家好，这一讲我们介绍中心极限定理。
众所周知，正态分布是概率统计中最重要的分布，不仅自
身应用广泛，而且在特殊条件下，可以用作其他分布的近似分
布，中心极限定理就描述了这一现象。
先来看一下它的客观背景:
2
第7讲 中心极限定理
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中心极限定理的客观背景
在实际问题中，常常需要考虑许多随机因素所产生总
影响.
观察表明，如果一个量是由大量相互独立的随机因素
的影响所造成，而每一个因素在总影响中所起的作用不大.
则这种量一般都服从或近似服从正态分布.
本讲内容
01 列维-林德伯格中心极限定理
棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理02
设随机变量序列 独立同分布,
则对于任意实数 x ,
定理一
列维-林德伯格中心极限定理
[独立同分布的中心极限定理]
且有期望和方差：
02 列维-林德伯格中心极限定理
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即 n 足够大时，Y n 的分布函数近似于标准正态的分布函数
记
近似
近似服从
它表明:当n充分大时，n个具有期望和方差的独立同分布的随机
变量之和或者平均值近似服从正态分布.
近似服从
注
02 列维-林德伯格中心极限定理
6
由中心极限定理
近似
设有50台接收机，每台接收机收到的呼叫次数服从泊松分布ᵄ�()，
求50台接收机收到的呼叫次数总和大于3次的概率.
例
02 列维-林德伯格中心极限定理
7
近似服从
由中心极限定理
例
02 列维-林德伯格中心极限定理
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02
本讲内容
01 列维-林德伯格中心极限定理
棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理
设 Y n ~ B( n , p) , 0 < p < 1, n = 1,2,…
则对任一实数 x，有
Y n ~ N (np , np(1-p)) (近似)
即 n 足够大时，
定理二
棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理
[二项分布以正态分布为极限分布 ]
02 棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理
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某单位有200台电话分机，每台分机使用外线的概率为, 假定
每台分机是相互独立的，问要安装多少条外线，才能以95%以
上的概率保证分机用外线时不等待？
设有X部分机同时使用外线，则有
设有N条外线。由题意有
由棣莫弗-拉普拉斯定理有
例
02 棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理
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第7讲 中心极限定理
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这一讲我们介绍了中心极限定理，中心极限定理在实
际应用中具有极高的价值，除了今天研究的概率近似计算，
在后续的数理统计部分，研究区间估计和假设检验时，还
可以用作各种分布的近似分布.
学海无涯，祝你成功！
概率论与数理统计（慕课版）
