南 京 建 筑 工 程 学 院 学 报
!""!年 #$%&’()$*+(’,-’./&01-2302%&()(’4
第 5 期 6-7-)8’.-’33&-’.9’:2-2%23 ;%<+$
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文章编号@5""ABC55DE!""!F"5B""!?B"?
一种基于 G8H的土方计算方法
I
徐敬海J 李明峰J 刘伟庆
E南京工业大学 土木学院J江苏 南京 !5"""KF
摘 要@对土木工程中常见的几种土方计算方法进行了详细的分析和比较J提出了一种
基于数字高程模型EG8HF的土方计算方法LL不规则三角形法J并对其精度和实用性作了
详细的探讨M
关 键 词@土方计算N不规则三角形法N数字高程模型
中图分类号@OP!! 文献标识码@/
土方工程是土木工程施工的主要工种之一J其主要目的是通过挖填土方使得建筑物的平
面位置和高程满足设计要求M为了估计土方工程的工程量和费用J通常须在地形图上根据设计
标高和平面位置进行土方计算M现有的土方计算方法很多J总体上可分为格网法和截面法两
类M格网法模型简单J易于实现J比较适于手算M但计算过程繁琐J计算量大J且精度不高M截
面法分为水平截面法和垂直截面法Q5RM截面法计算精度优于格网法J在计算机上易于实现J但
它寄附于地面数字成图软件中J受软件的多功能性的影响J其成本较高J因而其实用性往往会
受到限制M
S 几种土方计算方法的比较
在土方计算过程中J由于地形形状多变J且随着地形图比例尺T工作条件T精度要求等情况
的不同而有所变化J所以必须视具体情况而采取不同的方法M
SUS 截面法
垂直截面法M设有一幅大比例尺地形图J其V"区域为一矩形J也就是自上而下均为直线W
XY和 WXZ所限制J而左和右两边分别为 [X\和 [X]E图 5FM此时J在整个区域内J设连续函
数为 E^WJ[FJ则体积可记为@
_X‘‘V E^WJ[F4W4[X‘
Z
Y
4W‘
]
\^
EWJ[F4[ E5F
I 收稿日期@!""5B"!B!!
基金项目@江苏省aAAAb人才工程基金资助
作者简介@徐敬海E5KCCBFJ男J湖北人J硕士生 U
万方数据
图 ! 土方计算区图
由此可见"基本的量算方法便是用 #$%&%为一常数’
确定垂直截面的面积 (&#’&图 )’*
(&#’$+
,
-
.&#"/’0/ &)’
可见垂直截面法主要是求解曲边梯形的问题*由于曲
边梯形面积易于用计算机实现"因此该方法往往被数字化
成图软件所采用"使土方计算成为该软件的一个功能模块"
需要指出的是"工程计算中多用如下的实用公式1!2代替公
式&!’进行土方计算3
4$5
67!
8$!
(89 (89!
) , &:’
图 ) 垂直截面图
式中3(8;(89!表示垂直截面面积<,表示相邻两截面间的距
离*
水平截面法*在量算区内"设水平截面距=>$常数&可
看成地形图上等高距’"而截面面积 (&>8’具有任意的形状"
则体积近似值 4可用下式表示3
4?5
6
8$!
(&>8’=>8 &@’
式中3>8为截面之间的某一点"它们间的距离用 =>8表示*
工程计算中多用如下的实用公式代替式&@’3
4?5
6
8$!
1(&>87!’9 (&>8’2=>8
) &A’
式中3(&>87!’;(&>8’表示水平截面面积<=>8表示相邻两水平截面间的距离*
BCD 格网法量算土方
根据格网的形状不同"该方法又分为四棱柱体积法和三棱柱体积法*
四棱柱体积法&正方形格网法’1!2*首先在量算土方区域的地形图上划分出正方形格网并
推算出各角点的标高"计算出格网的面积 E<然后将正方形的四角点标高平均得到 FG<再利用
公式34$EFG"便得到了每个格网的体积<最后将所有的格网的体积进行求和就计算出了给
定区域的土方量*
正方形格网法有计算简便;易于手算等优点"具有很强的实用性"被测绘人员广泛采用*该
方法在精度要求不是很高;不具有复杂运算条件下是一种好的计算方法*
三棱柱体积法&直角三角形法’1!2*从上面的正方形格网法计算过程可以看出"该法计算粗
糙"计算精度一般"在不增加格网密度的条件下"不能很好地解决土方计算中遇到的H破格I问
题*为此"提出了三棱柱体积法"该方法与正方形格网法类似"只是将正方形格网法中正方形的
对角线连接起来形成直角三角形"计算过程与正方形格网法完全类似*
直角三角形法扩大了格网点的权"进一步细化了格网"并能初步地解决土方计算中的H破
格I问题"使计算结果更加合理"较正方形格网法精度有所提高"但相应地增加了计算量*尽管
如此"在不加密格网"且不大幅提高计算量的基础上"直角三角形法仍不失为一种好的实用方
法"建议工程人员多加采用*
J)第 !期 徐敬海等3一种基于 KLM的土方计算方法
万方数据
截面法和格网法存在以下两个不足之处!"#$这两类方法在地形起伏变化大时%计算困难&
"’$两类方法的计算模型都是近似的(
) 不规则三角形法方案设计
下面将要提出的基于不规则三角形网数字高程模型"*+,$的土方计算方法--不规则
三角形法",./:5;9<67895315+95/0=98>789/.简称 ,4:+=$可以克服上面两
个缺点%较易计算地形起伏变化大时的土方%同时有一个准确的数学模型提高计算精度(
)?@ 不规则三角形网的基本概念
不规则三角形网是一种数字高程模型"*+,$%它是直接利用测区内野外实测的所有地形
特征点"离散数据点$%构造出邻接三角形组成的网状结构(不规则三角形网的每个基本单元的
核心是组成不规则三角形的三个顶点的三维坐标%这些坐标数据完全来自原始测量成果(由于
观测采样时选取观测点是由地形决定的%一般是地形坡度的变换点或平面位置的转折点%从而
使得离散点在相关区域中形成非规则形状的三角形(
)?) 不规则三角形网的形成方法
建立不规则三角形网的基本过程是将最邻近的 A个离散点连接成初始三角形%然后以该
三角形的每条边为基础向外连接邻近的离散点%组成 A个三角形%接着以这 A个三角形的每条
边为基础连接邻近离散点%组成新的三角形(如此继续下去%直到所有离散点都被连接组成三
图 A 边长最小二乘法图
角形(构造不规则三角形时%根据取相邻离散点的准则不同%构造
方法有下列几种!泰森多边形法B’CD最近距离法B’CD最小边长法B’CD
边长最小二乘法B’C(
,4:+=选用边长最小二乘法形成三角形格网(该方法从离散
点集合中选择两个距离最近的 E点和 F点%构成第一条边 EF%再
在其余的离散点中选择三角形的另一顶点 G%使得 EG’HFG’最
小"如图 A$%形成第一个三角形&然后用同样的判断条件对第一个
图 I 三棱柱集合图
三角形JEFG的各边进行扩展%直到所有的离散点都包含在三角
形格网中(
)?K ,4:+=方案设计
首先%将采集到的地貌点的三维坐标"L%M%N$输入计算机%
通过程序形成不规则三角形网%这时整个计算土方的地形就形成
了由三棱柱组成的集合%如图 I(
其次%根据给定设计高程确定零平面"即给定设计高程所在的
平面$%于是这些三角形被零平面分为两种情况!一种是全挖方或
全填方"图 O$&另一种是既有挖方又有填方"图 P$(
再次%根据数学公式将每个不规则三角形的体积计算出来%以
QHR表示挖方%以QSR表示填方(
最后%分别统计体积为QHR和体积为QSR的形体的体积总和%这样QSR的体积总和就是该
地形内的填方数%QHR的体积总和就是该地形内的挖方数(
参阅参考文献B#CDBAC%根据几何关系可以推导出下列 ,4:+=计算公式(
T’ 南 京 建 筑 工 程 学 院 学 报 ’UU’年
万方数据
图 ! 全挖或全填
情况图
"#对于全挖或全填的三棱柱形 $%&’$"%"&"(图 !#)可将三棱柱分
为 &"’$"$*%*%"与 $*%*&"’$%&两部分进行计算)经计算得+
,$%&’$"%"&"-
"
./"(0"10*10.# (2#
式中)/"为三角形 $%&的面积30")0*)0.都是已知地面高程与给定设计
高程之间的高差4
*#对于部分挖与部分填的三棱柱(图 2#)可分解为楔体 5"5*’
%"&"&%和三棱锥 $"’$5"5*两部分4则楔体体积 ,*为+
,*- "./*0*1
"
./.(0*10.# (6#
记三棱锥 $"’$5"5*的体积 ,"为+
图 2 有挖有填
情况图
,"- "./70" (8#
式(6#9式(8#中 /*9/.9/7分别为:%5"5*9:5*%&9:$5"5*的面积30")0*)
0.都是已知地面高程与给定设计高程之间的高差4
在此不必考虑公式中的符号)因为以;1<表示挖方);=<表示填方4其
中三角形面积计算可采用如下公式+
>- "*?
@
A-"
BA(CA1"= CA="# (D#
E 土方计算方法的精度分析
EFG 正方形格网法的精度分析
正方形格网法的数学模型(此处是指正方形格网法将野外地形抽象为一些正方体的集
合#)其中正方体的高度为(H$1H%1H&1HI#J74H$)H%)H&)HI为$)%)&)I四点高程与
设计高程的高差(图 6#4这里用(H$1H%1H&1HI#J7代替了凹凸不平的地面)这种代替将
会带来较大的误差)我们将这种误差称为正方形法的模型误差)简记为 KL4
图 6 正方体图
再分析正方形法体积计算公式+
,M-$7(H$1H%1H&1HI# ("N#
式中+$为格网面积3H$)H%)H&)HI是由等高线插值而得)显然插值
是有误差的)我们称该项误差为正方形法的计算模型误差)简记为KO4由于
正方形格网法多用于白纸测图中)故该方法必定与等高线的绘制误差有很
大的关系)此外)用插值法求取格网角点高程时人眼分辨率9地形图比例尺
都会影响插值精度)并将最终影响土方计算的精度4因此可认为+
KO- K*P1K*Q1KR *S (""#
式中+KP为绘制等高线的误差3KQ为人眼分辨率引起的误差3KS为比例尺引起的误差4
值得注意的是)正方形格网法不能解决土方计算中的;破格<问题4如前所述)虽然加密格
网可以从理论上解决该方法的这一缺陷)但加密格网得到的精度与土方的计算工作量本身是
相互矛盾的4考虑到其实用性)格网不可能加得很密)因此);破格<问题是正方形法计算土方的
D*第 "期 徐敬海等+一种基于 TUV的土方计算方法
万方数据
最大挑战!也是其计算误差的一个重要来源!我们称该项误差为正方形格网法的破格误差!在
这里记为 "#$基于上述分析!可以近似地认为正方形格网法的误差 "为%
"& "’()"’*)"+ ’# ,-’.
/01 截面法的精度分析
垂直截面法与水平截面法的精度分析类似!下面以垂直截面法为例分析截面法的精度$
垂直截面法亦称断面法2’3$类似地!先分析断面法的数学模型误差$断面法数学模型的精
度主要取决于切口线的精度$切口线是指数字地面高程模型,456.与垂直截面的交线!由等
高线插值而得$
图 7 拟合地面曲线
图
该切口线的误差主要来自张力样条函数光滑曲线的误差!记为
"89同时等值线内插值采用的是线性内插!这与实际地形往往不符合$
如图 7所示!直线 :;上不规则三角形网的等值点 <=!它与地面的实
际等值点 <之间的差距 <<=就是线性内插所带来的误差!这种误差是
由于地面的不规则性带来的!大多数插值方法都无法避免这种误差!我
们记该项误差为 ">$于是断面法的数学模型误差 "(为%
"(& "’>)"+ ’8 ,-?.
不难看出!""是用曲线代替实际起伏地面所带来的误差$事实上!
即使不考虑数学模型误差!用断面法计算土方时其计算模型仍有不可
忽视的误差$断面法的计算公式是%
图 @ 数学模型图
AB&
CB)CB)-
’ D ,-E.
式中 CB由辛普森法或梯形法近似计算而得!这样计算曲边梯形
将会带来误差!记这项误差为 "F9同时体积公式中以
CB)CB)-
’
来代替
间距为 D内任意截面 CG的面积也是不精确的,见图 @.!同样会带来
较大的误差!记为 "H$所以断面法的计算模型误差为%
"*& "’F)"+ ’H ,-I.
综上所述并参阅文献2E3!可以近似认为断面法的误差为%
"& "’()"+ ’* ,-J.
可以看到!断面法能有效地解决K破格L问题!这也正是断面法计算土方的一个优点$另外!
由于地面数字测图都要用计算机程序生成等高线!在已生成数字等高线基础上用断面法编程
计算土方具有易编程M易实现且精度较高的特点!因此!断面法是被计算机编程较多采用的一
种实用方法$
/0/ 6NO5P的精度分析
6NO5P的数学模型是将地面抽象成由三棱柱组成的集合!该方法用直线代替了呈现不
规则曲面的地面$如图 -Q所示!实际地面可能是曲线 RST!但计算时却用 RT直线代替了该
曲线!这样必然会导致误差!我们记该项误差为">$6NO5P数学模型中除了此项误差外!不存
Q? 南 京 建 筑 工 程 学 院 学 报 ’QQ’年
万方数据
图 !" 地面曲线图
在其它误差#所以可得 $%&’(的数学模型误差为)
*+,*- .!/0
对于不规则三角形法计算模型误差#由前述推导可知 $%&’(的
计算模型中采用全解析法计算#整个计算过程精度高1误差小2因此#
由忽略不计原则可认为不规则三角形法的误差为)
*,*+,*- .!30
从上述分析可知#若在土方量算区域边界上取足够的点#不规则
三角形法也能较好地解决4破格5问题2
6 结束语
$%&’(优于正方形格网法和断面法#具有容易编程1精度高1计算简便等特点#是一种实
用性较强的方法2利用 $%&’(计算土方#可以不绘出地形图#由野外测得的离散点的三维坐
标直接进行计算#减少了工作量2当然#也可以根据现有地形图#经扫描矢量化得到地物点与地
形点的离散坐标#然后进行土方计算2
参考文献)
7!8 龚剑文 9地图量算7$8:北京)测绘出版社#!;;!9!3"<!;"#=""<="/:
7>8 刘友光#黄桂兰#黄全义#等 9工程中数字地面模型的建立与应用及大比例尺数字测图7$8:湖北)武汉
测绘科技大学出版社#!;3/9!?@<!@!:
7=8 慕永峰#朱昌永#李建 9三角网结构 A&$的土方计算及应用7B89测绘工程#>"""#;.!0)?><?@:
7C8 王斌 9A’$土方计算的误差探讨7B89铁路航测#!;;;#.=0)>!<>=:
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