Measure of Dispersion , skewness and Kurtosis
Chapter 3 离散趋势、偏态和峰度
§ 离散趋势指标
一、离散趋势指标的含义和作用：
1、离散趋势指标：
又叫变异指标、标志变动度或离中趋势指标。是和统计平均指标相联系的一种综合指标，反映变量数列中各个标志值的变动范围和离散程度。
Dispersion
Mean
（代表性）
skewness
Kurtosis
Dispersion
（差异性）
总体特征描述
集中趋势 偏态 峰度 离散趋势
衡量平均数代表性的尺度
２、离散趋势指标的作用
. 某车间有三个小组，每组5人，工人的日产量如下表所示：
无
25
80
259
96
25
18
2
丙
无
80
80
90
85
80
75
70
乙
无
80
80
80
80
80
80
80
甲
工人日产量（件/日）
小组
Question:
Answer:
二、种类
用总量指标
或
平均指标
表示的
用相对指标
表示的
全距
标准差
平均差
全距系数
标准差系数
平均差系数
离散系数
用总量指标
或
平均指标
表示的
用相对指标
表示的
Range
Standard deviation
Mean Deviation
Range Coefficient
S. d. Coefficient
M. D. Coefficient
Deviation Coefficient
三、离散指标：
（一）全距：Range
又叫极差，是一个数列中的两个极端值之差，说明标志值的变动范围。
Range = Highest Value lowest Value
注：１、计算简单；
２、易受极端值的影响，受极大值和极小值影响一样大；
３、衡量离散趋势不够全面，不能反映变量数列中间
标志值的变化；
４、开口数列，无法计算全距。
. 某车间有三个小组，每组5人，工人的日产量如下表所示：
257
80
259
96
25
18
2
丙
20
80
90
85
80
75
70
乙
0
80
80
80
80
80
80
甲
R
工人日产量（件/日）
小组
Question:
Answer:
(二)平均差：Mean Deviation.
是标志值与其算术平均数的
离差绝对值的算术平均数。
or
.某班学生考试成绩平均差计算
50
_
5
95
90-100
15
85
80-90
16
75
70-80
12
65
60-70
2
55
60以下
f
x
人数（人）
组中值
成 绩
（分）
Question: 求该班学生考试成绩的平均差。
Answer
1、确定各组的组中值，以其作为各组的代表值：见 前表
３、利用计算表计算平均差。
.某班学生考试成绩平均差计算
_
50
_
5
95
90-100
15
85
80-90
16
75
70-80
12
65
60-70
2
55
60以下
f
x
人数（人）
组中值
成 绩
（分）
注意；
１、平均差计算简单，能较准确地综合地反映各单位标志值的离散程度；
２、用离差的绝对值计算，不尽合理，在实际运用中受限。
(三)标准差：Standard Deviation
是标志值与其算术平均数的
离差平方的算术平均数的平方根。
or
or
.某班学生考试成绩标准差计算
50
5
15
16
12
2
f
人数（人）
_
_
_
95
90-100
85
80-90
75
70-80
65
60-70
55
60以下
x
组中值
成 绩
（分）
标准差的简单算法：
.某班学生考试成绩标准差计算
29125
9025
7225
5625
4225
3025
50
5
15
16
12
2
f
人数（人）
300250
_
45125
95
90-100
108375
85
80-90
90000
75
70-80
50700
65
60-70
6050
55
60以下
x
组中值
成 绩
（分）
关于是非标志的标准差
假设：赋值：
１——具有所研究性质的品质标志描述
０——不具有所研究性质的品质标志描述
品质标志的描述只有两种
是非标志标准差的计算
(1-P)2N1+ P2N0
_
_
p
1
N
P2N0
P2
-p
0
q
N0
0
(1-P)2N1
(1-P)2
1-p
p
P
N1
1
f/f
f
x
离差平方加权
离差平方
离差
比 重（％）
单位数
是非标志的假设值
case
某车间生产300个零件，合格品270个,不合格品３０个，求平均合格率，以及合格率的标准差和平均差。
这批产品的平均合格品率为90%,标准差为,平均差
（四）离散系数 Dispersion Coefficient
１、为什么引入离散系数？
全距、标准差和平均差都是反映总体各单位标志值变异
的绝对指标或平均指标，与标志值的计量单位相同，即
是有名数，不同现象、不同计量单位的R、.和不
能直接比较。
标志值的离散程度的大小，取决于标志值的离差大小和
算术平均数大小。为对比不同水平的现象的标志变异程
度，不宜直接用R、.和比较，必须消除平均水平
高低的影响，才能真正反映出不同水平的变量数列的离
散程度。
现象是否
相同？
直接用R、.
和比较
Y
Y
N
用离散系数比较
N
２、离散系数：
又叫变异系数（VarianceCoefficient ）
case
有两个生产不同产品的小组，每个小组有五个工人，日产量如下所示：试比较它们的离散程度？
10
_
1000
_
4
2
6
400
20
60
1
1
5
100
10
50
0
0
4
0
0
40
1
-1
3
100
-10
30
4
-2
2
400
-20
20
日产量x
日产量x
乙组
甲组
Answer
1、求算术平均数：
２、求标准差：
３、求离散系数：
二者的离散程度一样，即算术平均数具有同样的代表性
§3.２ 偏态
一、偏态：skewness
反映次数分布的非对称程度。
skewness
Positively Skewed
Negatively Skewed
Zero Skewed
(右偏)
(左偏)
(无偏)
二、Pearson偏态系数：
SKp
>0
<0
=0
右偏
左偏
无偏
§3.３ 峰度
一、峰度：Kurtosis
是次数分布曲线顶峰的尖锐程度。
二、峰度系数 ß
以四阶均值动势（M4）为基础，将M4与４比较而得到的测定值。
ß
平顶峰度
尖顶峰度
常态峰度
直线
U型曲线
3< ß <
>3
=3
=
<
