第8章
指数模型
（威廉.夏普）
第8章 指数模型
证券市场的单因素模型
单指数模型
估计单指数模型
证券市场的单因素模型
马科维茨模型的输入表
证券市场的单因素模型
马科维茨模型的输入表
假定证券分析人员能详细地分析50种股票,这意味着需要输入如下这些数据：
n＝50个期望收益的估计
n＝50个方差估计
(n2-n)/2＝1225 个协方差估计
1325个估计值
当n=3000时需要对估计超过450万个数值
收益分布的正态性与系统风险
任何证券i的收益率ri通常都可以被分解为各种预期与非预期收益率之和，即
ri=E(ri)+ei (8-1)
式中，未预期收益率ei的均值为0，标准差为σi
假设引起证券市场收益变化的因素是一些影响所有公司的宏观经济变量m，那么将不确定因素分解为整个经济系统的不确定性（用m表示）和特定公司（用ei表示）的不确定性，在这种情况下，为了包含这两大引起收益变动的因素，式（8-1）可以变为：
ri=E(ri)+m+ei (8-2)
宏观经济因素m，衡量未预期的宏观突发事件，其均值为0，标准差为σm。
收益分布的正态性与系统风险
证券收益ri的方差来源于这两类彼此独立的因素，系统的和公司特有的。即
σ2i=σ2m+σ2(ei) (8-3)
由于m与任意公司特有事件之间没有联系，那么任意两种证券i和j之间的协方差为：
Cov(ri,rj)=Cov(m+ei,m+ej)=σm2 (8-4)
另外，某些证券比其他证券对宏观经济的冲击更敏感。如果给每家公司赋一个敏感性系数（敏感度），就可以衡量这些细微的差别。如果用βi表示公司i的敏感性系数，式（8-2）就可以变为下列单因素模型：
ri = E(ri)+βim +ei （8-5）
收益分布的正态性与系统风险
式（8-5）意味着证券i的系统风险取决于它的β系数。
证券i的系统风险为βi2σm2 ，总风险即为：
σ2i= βi2σm2 ＋σ2(ei) （8-6）
那么任意两种证券i和j之间的协方差也取决于其β系数：
Cov(ri,rj)=Cov(β im+ei, βj m+ej)= βi β jσm2 (8-7)
单指数模型
使单因素模型具备可操作性的合理方法是将标准普尔500这类基础广泛指数的收益率视为共同宏观经济因素的一个有效的代理指标。使用这种方法可以得出一个与单因素模型类似的方程，该方程被称为单指数模型。
单指数模型的回归方程
由于标普500是一个股票组合，而且其价格与收益率都可以观测，因此可以获得大量历史数据来估计其系统风险。
假设M表示市场指数，市场的超额收益率为RM=Rm-rf；标准差为σM。因为指数模型是线性的，所以可以采用一元线性回归的方法来估计单一证券对指数的敏感性系数β.
单指数模型的回归方程
即将该证券的超额收益率（Ri=ri-rf）对指数的超额收益率RM进行回归。回归分析首先要收集配对观测样本Ri(t)和RM(t)的历史数据，其中t代表每队样本的观测期。回归方程如下：
（8-8）
该方程的截距α代表了了市场超额收益率为0时证券的预期超额收益率， 斜率βi代表证券的β值，即证券对指数的敏感度。 ei 代表t时刻零均值的公司特有突发事件对证券收益的影响，被称为残差。
期望收益与β值之间的关系
因为E(ei )=0，如果式（8-8）两边取期望值，就可得单指素模型的期望收益与β值之间的关系，即：
E(Ri)=αi+βiE(RM) (8-9)
式（8-9）中的第二项βiE(RM)称系统风险溢价， αi 代表了非市场溢价。例如证券的市场定价偏低， αi 就可能会比较大，因为这样才能提供有吸引力的期望收益。如果证券的定价合理， αi 就趋向于零。分析师的任务就是找到αi 非零的股票。
单指数模型的风险和协方差
马科维茨模型所面临的问题之一是该模型的实现需要大量的参数估计，而指数模型大大速减了参数估计量。
式（8-8）可以得出每种证券的总风险中包含的系统与公司特有成分，以及任意两种证券的协方差。方差和协方差均由证券的β值和市场指数的特性决定。
总风险=系统风险+非系统风险
σ2i= βi2σM2 ＋σ2(ei)
协方差=证券β值的乘积×市场指数风险
Cov(ri,rj)=βi β jσM2 (8-10)
相关系数=特殊证券与市场指数的相关系数的乘积
例题
例1：以下数据描绘了一个由三只股票组成的股票市场，且该市场满足单指数模型：
股票 市值（美元） β 平均超额收益率（%） 标准差σ（%）
A 3000 10 40
B 1940 2 30
C 1360 17 50
市场指数组合的标准差为25%，求：
(a)市场指数投资组合的平均超额收益率为多少？
(b)股票A与股票B之间的协方差为多少？
(c)股票B与指数之间的协方差为多大？
(d) 将股票B的方差分解为市场和公司特有两部分。
例题
解：（1）总市值为3000+1940+1360=6300,市场指数投资组合的平均超额收益率为：
（3000/6300)*10%+(1940/6300)*2%+(1360/6300)*17%=%
(2)股票A与股票B之间的协方差等于：
Cov(RA,RB)=βAβBσ2M=1**25%2=
(3)股票B与指数资产组合之间的协方差等于：
Cov(RB,RM)=βBσ2M=*25%2=
(4)B的方差为：
σ2B=β2Bσ2M +σ2(eB)
系统风险为β2Bσ2M=*25%2=
B企业特有方差σ2(eB)= σ2B - βBσ2M =30%=
例2：假定对股票A与B的指数模型由下列结果来估计：
RA＝1 . 0%＋0 . 9RM＋eA
RB＝-2 . 0%＋1 . 1RM＋eB
σM＝2 0%，σ(eA)＝3 0%，σ(eB)＝1 0%
找出每个股票的标准差和它们之间的协方差。
解：（1）各种股票方差为： β2σ2M +σ2(e)
对股票A有σ2A=(20%)2+30%2=, σA=35%
对股票B有σ2B=(20%)2+10%2=, σB=24%
协方差为βAβBσ2M=**20%2=
单指数模型所需的估计量
这些计算式表明，如果有
（1）n个市场外预期超额收益αi估计；
（2）n个敏感性系数β估计；
（3）n个公司特有方差σ2（ei）估计；
（4）1个市场溢价估计；
（5）1个共同宏观经济因素σ2M估计。
那么整个输入表就需要3n+2个估计，对于涵盖50种证券的投资组合就需要152个估计而不是1325个估计；对于包括大约3000种证券的纽约股票交易所就需要9002个估计而不是450万个。
单指数模型所需的估计量
指数模型的简化限制了资产收益不确定性的结构。它简单地将不确定性分为宏观和微观两类，过于简化了宏观世界的不确定性，可能会遗漏一些影响股票收益的重要因素。例如，这种二分法排除了行业因素影响。
指数模型与分散化
图8-1 单因素经济中有风险系数的资产组合方差
估计单指数模型
以单指数模型理论为基础，首先估计回归方程，然后估计证券收益的完全协方差矩阵。
选取六大美国公司：标普500中IT领域的惠普和戴尔，零售领域的塔吉塔，能源领域的英国石油和皇家荷兰壳牌。
分析样本选自六家公司股票收益率的月观测数据、标普500以及有效期为2001年4月-2006年3月的国库券(共60个观测值)。
步骤：首先计算7种风险资产的超额收益率，然后详尽地阐述惠普公司输入表的准备过程，之后介绍整个输入表，最后介绍如何将这些估计值运用于构建最优风险投资组合。
图8-2 从2001年4月到2006年3月惠普与标准普尔500超额收益率
图8-3 惠普、标普500的散点图和惠普的证券特征线图中每个点距回归线的垂直距离就是惠普的对应特定t值的残差值eHP(t)
表8-3 Excel输出结果：惠普公司的证券特征线统计量
(注意中文版、英文版表格编号不同)
R
R2
调整后的R2
月标准差SE
n
自由度
方差分析
回归平方和
残差平方和
=(SE)2
=系数/标准误差
α
β
图8-4 组合资产超额收益
投资组合的构建与单指数模型
1.α和证券分析
单指数模型最重要的优点在于它对宏观经济分析和证券分析提供了一个框架。在宏观分析和证券分析中，输入列表最优组合的有效性很关键。
单指数模型提供了一个分析框架：
(1)经济分析用来估计风险溢价和市场指数风险。
(2)所有证券的β系数和它们的残差(σ2(ei))
(3)管理者用市场指数风险溢价估计值和证券β系数估计值来建立证券的期望收益，而缺乏通过证券分析得到的贡献值。该市场驱动模型期望收益以信息对所有证券都有相同的为条件，而不是通过对特别公司的证券分析收集得到。这个市场驱动模型可以作为基准。
(4)准确的期望收益预期(特别是α)从各种证券估价模型得到。因此，α增量值的风险溢价贡献是从证券分析中得到的。
单个证券的风险溢价不受证券分析的影响，而是等于βiE(RM)，也就是说，它的风险溢价只从这个证券跟随市场指数的趋势中获得。任何超过基准风险溢价的期望收益(α)都对应于证券分析中获得的非市场因素。
α不只是期望收益的一个成分，它还是告知人们一个证券是否成功买入的关键变量。对投资组合管理者来说，一个证券是否具有吸引力只要看它的α值。
图8-5 指数模型和全协方差矩阵模型得到的有效边界
表8-4 比较单指数模型得到的投资组合与全协方差模型得到的投资组合
用下列数据回答第9 ~第14题，假设对股票A、B的指数模型是根据以下结果按照超额收益估算的：
RA = 3%＋0 . 7RM＋eA
RB =-2%+ 1 . 2RM＋eB
σM = 2 0%, RA2 = 0 . 2 0, RB2= 0 . 1 2
9. 每种股票的标准差是多少？
10. 分析每种股票的方差中的系统风险部分和企业特有风险部分。
11. 这两种股票之间的协方差与相关系数各是多少？
12. 每种股票与市场指数间的协方差各是多少？
13. 如果把6 0%的资金投入到股票A，4 0%投资于股票B，重作第9、10、12题。
14. 如果5 0%的资金按第1 0题比例投资，3 0%投资于市场指数，2 0%投资于国库券，重作第13题。
本章综合练习
