2025/1/17
第5章 连续时间s域分析
拉普拉斯变换
系统响应的s域求解
系统的s域分析
* 模拟滤波器设计
拉普拉斯变换
拉普拉斯变换的定义及收敛域
从傅立叶变换到拉普拉斯变换
当信号x(t)满足绝对可积条件时，存在唯一傅立叶变换
然而，对于一些常用信号，上述积分并不收敛。现引入实函数e-σ t，
考虑x(t)e-σ t的傅里叶变换，即
积分后是σ +jω的函数，上述积分可以视为是对的一种新变换，令s = σ +
jω，则可写为
上式即为拉普拉斯正变换定义式。
2025/1/172/120
拉普拉斯变换
为了得出拉普拉斯逆变换表达式，同样沿用x(t)e-σt傅里叶变换的概念，
即
两边乘以eσt有
同样令s = σ + jω，从而有
上式为拉普拉斯逆变换定义式。可以称x(t)为原函数，X(s)为像函数。为表
述方便，拉普拉斯正变换、逆变换及变换对常采用下列符号表示。
2025/1/173/120
拉普拉斯变换
上式定义的拉普拉斯变换是傅里叶变换的直接变形和推广，它假定信
号x(t)在(-∞, +∞)区间有非零值，这里称之为双边信号拉普拉斯变换（双
边拉普拉斯变换）。
【例5-1】求直流信号x(t)=1的双边信号拉普拉斯变换。
【解】由定义式得
欲使上式第一项积分收敛，需σ <0（因t≤0）；欲使第二项积分收敛，需σ
>0 。不存在一个取值交集（也即的取值交集）使得整个积分收敛。因此，
直流信号的双边信号拉普拉斯变换是不存在的。
上述例子可以看到，双边信号拉普拉斯变换仍然存在积分收敛问题，
很难适用于信号与系统的分析和求解。
2025/1/174/120
拉普拉斯变换
【例5-2】求单位阶跃信号x(t) = u(t)的双边信号拉普拉斯变换。
【解】由定义式得
u(t)可以视为在双边直流信号的基础上构建的单边直流信号。由例5-2的求
解过程看到，单边信号的拉普拉斯变换积分消除了双边积分的取交集问
题，保证了单边直流信号的拉普拉斯积分收敛，适用于信号与系统的分
析和求解。
2025/1/175/120
拉普拉斯变换
单边信号的拉普拉斯变换
在(-∞, +∞)区间上有非零值的双边信号x(t)，其对应的右边单边信号
（常简称为单边信号）可定义和表示为
对上式单边信号，求拉普拉斯变换有
即
当考虑的逆变换时，
2025/1/176/120
拉普拉斯变换
单边信号拉普拉斯变换的符号加以u下标，与开始定义的拉普拉斯变
换形成两套符号体系，以避免两者的混淆。
【例5-3】求单位冲激信号δ (t)的X(s)和Xu(s) 。
【解】当x(t) = δ (t)时有x(t) = xu(t)，所以
即
可以看到对于δ (t) ，由于x(t) = xu(t) ，因此有X(s) = Xu(s)，即的双边信号拉
普拉斯变换和其单边信号拉普拉斯变换相等。
2025/1/177/120
拉普拉斯变换
【例5-4】求双边指数衰减信号x(t) = e-a|t| (a>0)的X(s)和Xu(s) 。
【解】对于双边指数衰减信号有xu(t) = x(t)u(t) = e-atu(t) ，因此
即
当σ < a时上式第一项积分收敛，当σ > -a时第二项积分收敛。因此当-a < σ
< a时整个积分收敛，因此有
可以看到对于双边指数衰减信号Xu(s) ≠X (s) ，因为xu(t) ≠ x(t)
2025/1/178/120
拉普拉斯变换
【例5-5】求单个方波信号x(t) = u(t) - u(t-T)的X(s)和Xu(s) 。
【解】由于这也是一个右边单边信号，即x(t) = xu(t) ，因此有
其中积分收敛的区域是σ > -∞。因为只要σ > -∞ ， e-σ t在上述有限积分区
间内将为有限值，整个积分可收敛。
2025/1/179/120
拉普拉斯变换
拉普拉斯变换的收敛域特征
1) 右边单边信号拉普拉斯变换的收敛域特征
对于时限单边信号， Xu(s)的收敛域为整个s平面。
收敛域一定是平面上某纵向直线σ = -σ0 的右半s平面，即收
敛域为σ > σ0，分界线称为收敛轴，收敛轴属于不收敛区。
当xu(t)为指数衰减信号时收敛域包含ω轴(σ0 < 0) ；当xu(t)为
等幅信号时收敛轴与ω轴重合(σ0 = 0) ；当xu(t)为指数增长信
号时收敛域不包含ω轴(σ0 > 0)
有意义的收敛域特征是衰减信号和等幅信号所对应的图
(a)和(b)。
2025/1/1710/120
拉普拉斯变换
图 Xu(s)的收敛域特征
2025/1/1711/120
拉普拉斯变换
*2) 左边单边信号拉普拉斯变换的收敛域特征
不同信号对应的收敛域如下图所示，有意义的收敛域特征是左边衰减信号
和等幅信号所对应的图(a)和(b)。
图 左边单边信号拉普拉斯变换的收敛域特征
2025/1/1712/120
拉普拉斯变换
*3) 双边信号拉普拉斯变换的收敛域特征
双边信号拉普拉斯变换的收敛点一定具有的σ2 > σ > σ1形式，所以收敛
域的典型特征是平面上纵向延伸至正负无穷的带状区域。不同类型的信
号对应收敛域如图所示。有意义的收敛域特征是双边衰减信号对应的
图(a)。
图 双边信号拉普拉斯变换X(s)的收敛域特征
2025/1/1713/120
拉普拉斯变换
最后，将拉普拉斯变换收敛域特征的几个重要概念归纳如下。
(1) 有限时长信号的X(s)和Xu(s)收敛域均为整个平面。
(2) 无限时长右边单边信号xu(t) 的Xu(s)具有单收敛轴，收敛域为收敛轴的右
半平面。
(3) 无限时长左边单边信号X(s)的具有单收敛轴，收敛域为收敛轴的左半平面。
(4) 无限时长双边信号xu(t) 的Xu(s)具有双收敛轴，收敛域为两收敛轴之间的
纵向带状区域。
(5) 如果要求有第3章讨论的傅里叶变换存在，则拉普拉斯变换像函数的收敛
域需要包含s平面ω轴，至少收敛轴和ω轴重合。讨论傅里叶变换不存在的
拉普拉斯变换像函数，在信号与系统分析中没有意义。
2025/1/1714/120
拉普拉斯变换
拉普拉斯变换的唯一性
(1) 如果已知信号为右边单边信号或左边单边信号，则时域信号和其拉
普拉斯变换之间是一一对应的。若像函数表达式本身有Xu(s)≠Fu(s) ，
一定有xu(t)≠fu(t) ；反之亦然。因此，在后面的单边信号拉普拉斯变
换的讨论中通常不标注像函数的收敛域。
(2) 双边信号与其像函数之间的对应关系，需要结合收敛域进行判定，
即
2025/1/1715/120
拉普拉斯变换
【例5-6】求下列两时域信号的双边信号拉普拉斯变换。
【解】先求X1(s) 。根据双边信号变换的定义有
再求X2(s) ，根据双边信号变换的定义有
2025/1/1716/120
拉普拉斯变换
拉普拉斯变换和傅里叶变换之间的关系
在拉普拉斯变换中令σ = 0则得到傅里叶变换，即有下列关系式成立
(1)只有或满足绝对可积条件时，方有上述关系式成立。
(2)当X(s)或Xu(s) 的收敛域包含s平面虚轴时，方有上述关系成立。
2025/1/1717/120
拉普拉斯变换
系统响应求解的信号建模和单边信号拉普拉斯变换
实际应用中通常需要考察的是“从某个时刻开始系统加入激励或切
换至某个激励后的系统响应”，不失一般性，可将此时刻设定为t = 0。
这一过程可以用下图进行描述。
系统激励用单边信号xu(t) = x(t)u(t)建模， t ≤ 0- 时刻外界对系统的
作用转换为系统的初始储能；系统输出也用单边信号yu(t) = y(t)u(t)建模，
因为感兴趣的是t = 0时刻以后的系统输出。因此，实际应用中系统响应
求解涉及的输入和输出信号常常是单边信号，当希望用域分析方法求解
时，对应的是单边信号的拉普拉斯变换。
图 典型系统响应求解的输入输出信号建模
2025/1/1718/120
拉普拉斯变换
对于上述系统响应求解的信号模型，还需注意到以下概念。
(1)取值xu(0-) = 0, xu(0+) = x(0+)是明确的。
(2)当系统本身用微分方程描述时，根据上图模型显然有
(3)对于而言，由于系统在t ≤ 0-时可能有外界作用，因此不能有类似的
零状态假定，一般情况下只能假定
(4)在输入的激励下，系统输出在t = 0-时刻可能会发生跳变，即yu(0-) ≠
yu(0+) 。
(5)通过Yu(s)确定yu(∞)也是应用中的需求，因为一个稳定系统需有
|yu(∞)|< ∞成立。
2025/1/1719/120
拉普拉斯变换
拉普拉斯变换的性质
本节的学习重点是单边信号拉普拉斯变换Xu(s)的性质
性质1. 线性性质
性质2. 时移性质
注意x (t - t0)u(t - t0)和x (t - t0)u(t)的区别： x (t - t0)u(t - t0)的平移不会引入
新的非零样值； x (t - t0)u(t)平移将引入新的非零样值
2025/1/1720/120
拉普拉斯变换
【证明】由单边信号拉普拉斯变换的定义知
【证毕】
2025/1/1721/120
拉普拉斯变换
性质3. 尺度变换性质
【证明】由拉普拉斯变换定义有
【证毕】
【例5-9】设 ，求xu (at - t0) (a>0, t0>0)的单边信号拉普拉
斯变换。
【解】和分别满足时移和尺度变换性质的条件，直接应用性质有
2025/1/1722/120
拉普拉斯变换
性质4. 时域微分性质
【证明】(1) 证明第1式。单边信号拉普拉斯逆变换的定义为
上式两边对t求导，并交换等式右边求导和积分的顺序得
与单边信号拉普拉斯逆变换的定义比较可知
2025/1/1723/120
拉普拉斯变换
(2) 证明第2式。根据单边拉普拉斯变换的定义
多次应用该性质可以获得高阶导数单边信号所对应的域函数，即
2025/1/1724/120
拉普拉斯变换
【例5-10】一连续时间系统用下列微分方程描述，x(t)/y(t)为其输入/输出。
试利用时域微分性质确定该系统输入输出的域描述。
【解】利用时域微分性质对方程两边进行拉普拉斯变换
一般认为0-时刻的系统激励为0，即x(0-) = 0，上式化简为
整理得
由上式看到，系统在s域中的输入输出关系是一个代数方程，并且方程中
包含了系统的初始状态，所以单边信号拉普拉斯变换为响应求解带来了
很大便利。
2025/1/1725/120
拉普拉斯变换
【例5-11】求冲激函数导数δ΄(t)的单边信号拉普拉斯变换。
【解】由于δ(0-)=0 ，由时域微分性质易知，
不难推知
【例5-12】如图所示x1(t) =e-atu(t)，x2(t) =e-atu(t)-u(-t)，求 和 的单
边信号拉普拉斯变换。
图 信号示意图
2025/1/1726/120
拉普拉斯变换
【解】由图示函数曲线知x1,u(t) = x1(t)u(t) = x2(t)u(t) = x2,u(t) ，其单边信号拉
普拉斯变换为
下面用两种方法求解和的单边信号拉普拉斯变换。
方法一 利用时域微分性质求解。由图知x1(0-)=0, x2(0-) = -1
2025/1/1727/120
拉普拉斯变换
方法二 对和求导后再求其单边信号拉普拉斯变换。
由函数波形易知[-u(-t)]΄= δ(t) ，因此x2(t)的导数为
对上两式求单边信号的拉普拉斯变换，并注意到
则有
可见两种方法的计算结果相同。
2025/1/1728/120
拉普拉斯变换
性质5. 时域积分性质
【证明】根据单边信号拉普拉斯变换的定义有
2025/1/1729/120
拉普拉斯变换
将积分分段
两边取单边信号拉普拉斯变换
【证毕】
2025/1/1730/120
拉普拉斯变换
【例5-13】利用时域积分性质求tku(t)的单边信号拉普拉斯变换。
【解】由下列积分关系
两边取拉普拉斯变换，并注意到 和 ，则有
即
不难验证有下列次积分关系成立
重复一次积分的计算过程可推得
2025/1/1731/120
拉普拉斯变换
性质6. 时域卷积性质
【证明】根据单边信号拉普拉斯变换的定义有
2025/1/1732/120
拉普拉斯变换
【例5-18】利用时域卷积性质证明时域积分性质。
【解】先证明下列卷积积分关系
即
上式两边取拉普拉斯变换得
2025/1/1733/120
拉普拉斯变换
性质7. s域平移性质
【例5-17】求单边正弦信号cos(ω0t)u(t)和sin(ω0t)u(t)的拉普拉斯变换。
【解】求cos(ω0t)u(t)的单边信号拉普拉斯变换。
即 ，类似可求得
2025/1/1734/120
拉普拉斯变换
【例5-18】求e-atcos(ω0t)u(t)和e-atsin(ω0t)u(t)的拉普拉斯变换。
【解】由例5-17 结果和s域平移性质可得
2025/1/1735/120
拉普拉斯变换
性质8. s域微分性质
【例5-19】求tcos(ω0t)u(t)和tsin(ω0t)u(t)的单边拉普拉斯变换。
【解】由例5-17 结果和s域微分性质可知
因此
类似可以求得
2025/1/1736/120
拉普拉斯变换
性质9. 初值定理
设xu(t)在 t = 0 时刻不含δ (t)或其导数，则有
当含有δ (t)或其导函数时， 。
【证明】利用时域微分性质
2025/1/1737/120
拉普拉斯变换
即
上式两边令s→∞取极限，并考虑到
则有
实际应用中的Xu(s)一般为的有理分式。当要求不含δ (t)或其导数时，
即要求Xu(s)为真分式。如果不为真分式，采用多项式长除法将其化为真
分式。
2025/1/1738/120
拉普拉斯变换
【例5-20】已知 ，求其初值x(0+) 。
【解】由于Xu(s)不是真分式，采用长除法可得
则
2025/1/1739/120
拉普拉斯变换
性质10. 终值定理 若存在 ，则
【证明】利用时域微分性质
2025/1/1740/120
拉普拉斯变换
双边信号拉普拉斯变换可以看作是傅里叶变换的直接推广，其性质也
和傅里叶变换的性质类似（jω将替换为s），这里不在具体介绍。详见教
材及本章附表。
2025/1/1741/120
拉普拉斯变换
拉普拉斯逆变换求解
有理函数Xu(s)的一般形式可表示为
其中zi (i = 1, … , M)是分子多项式方程Bu(s)=0的根，称为的零点； pi
(i = 1, … , N)是分母多项式方程Au(s)=0的根，称为的极点。后面将会看到
零极点在s平面上的分布提供了信号与系统的很多重要性质。
拉普拉斯逆变换的部分分式展开正是指像函数按照极点的展开。
2025/1/1742/120
拉普拉斯变换
单边信号的拉普拉斯逆变换
假定Xu(s)为真分式（即M < N）
1) 所有极点为一阶实数极点
这种情况下Xu(s)展开后有 N 项，可写为
上式两边同乘(s - pi)，有
令s = pi后上式右端只剩Ki一项非零，因此
由单边指数衰减信号的拉普拉斯变换式可知
2025/1/1743/120
拉普拉斯变换
【例5-21】求 的拉普拉斯逆变换。
【解】分母进行因式分解后可将展开式设为
将K1, K2代入Xu(s)，可得其拉普拉斯逆变换为
2025/1/1744/120
拉普拉斯变换
2) 含有一阶共轭复数极点
Xu(s)的分子分母一般为实系数多项式，当出现复数极点时，一定是
共轭成对出现。因此，相对简便的逆变换求解方法是利用单边正弦信号
和单边余弦信号的拉普拉斯变换式（例5-17和例5-18结论）进行求解。
【例5-22】求 的拉普拉斯逆变换。
【解】可以看到Xu(s)有一个实数极点和一对共轭极点。展开式可设为
2025/1/1745/120
拉普拉斯变换
为了确定K2和K3，将K1代入展开式中有
将上式右端两项合并，并通过比较等式两端分子多项式的系数，可以得
到确定K2和K3的方程，并求得K2=-2/3, K3 =1/3 。因此有
由相应的典型信号变换公式可知xu(t)为
2025/1/1746/120
拉普拉斯变换
3) 含有重极点
当Xu(s)含有m阶重极点p1，则该极点对应于的展开式为
其中各向系数可由下列式子确定
2025/1/1747/120
拉普拉斯变换
【例5-23】求 的拉普拉斯逆变换。
【解】 Xu(s)含有重极点，其展开式可以设为
2025/1/1748/120
拉普拉斯变换
因此
由于
上式两边取逆变换，得
对于一般高阶极点的分式项，在例5-13结论的基础上，利用s域频移
性质，可得
2025/1/1749/120
拉普拉斯变换
4) Xu(s)为假分式（M ≥ N）
当Xu(s)为假分式时，首先采用长除法将Xu(s)化为多项式和真分式之和，
对真分式部分进行部分分式展开。
【例5-24】求 的拉普拉斯逆变换。
【解】首先用长除法分解出真分式
因此
2025/1/1750/120
拉普拉斯变换
所求拉普拉斯逆变换为
2025/1/1751/120
拉普拉斯变换
*5) Xu(s)为非有理函数
如果Xu(s)为非有理函数，有的情况下可以通过变形和巧妙应用拉普拉斯
变换的性质进行逆变换的求解。
【例5-25】求Xu(s) = ln(s+a)的拉普拉斯逆变换。
【解】观察可知的导函数为有理分式，即
两边进行拉普拉斯逆变换，并利用s域微分性质有
因此
2025/1/1752/120
拉普拉斯变换
从极点分布理解收敛域特征和拉普拉斯变换唯一性
1) 右边单边信号
所谓极点就是像函数在该点的取值为无穷大，因此极点一定不会处于
收敛域内。右边单边信号拉普拉斯变换的收敛域是收敛轴的右半平面。
结合这两点，不难得出一个重要概念：右边单边信号拉普拉斯变换的收
敛域一定是以最右端极点为分界线，如图所示 。
图 例5-21和例5-22的极点分布和收敛域
2025/1/1753/120
拉普拉斯变换
【例5-26】试求 的收敛域和逆变换。
【解】将Xu(s)分母进行因式分解得
逆变换为
最右端极点为p=1，因此收敛域为σ >1，极点分布和收敛域如下图所示。
2025/1/1754/120
拉普拉斯变换
2) 左边单边信号
左边单边信号的收敛域是收敛轴的左半平面，因此有结论：左边单边信
号拉普拉斯变换的收敛域一定是以最左端极点为分界线。
【例5-27】假设一左边单边信号的拉普拉斯变换为 ，试确
定其收敛域和逆变换。
【解】该左边单边信号的像函数与上例具有相同的表达式，即
最左端极点为p = -2 ，因此其收敛域为σ < -2 。
左边单边指数信号的拉普拉斯变换为
因此逆变换为
2025/1/1755/120
拉普拉斯变换
3) 双边信号
双边信号拉普拉斯变换收敛域的典型特征是带状区域。这种区域通常
为一些左半平面和右半平面的交集，这些左半平面和右半平面分别对应
左边单边信号和右边单边信号。因此，双边信号可以写为这些单边信号
的和。
双边信号的X(s)，其收敛域可能不止一种情况，对应的逆变换也不止
一种，如下图所示
图 双边信号变换带状收敛域的两种可能性
2025/1/1756/120
拉普拉斯变换
【例5-28】假设一双边信号的拉普拉斯变换为 ，
试确定其收敛域和逆变换。
【解】如果收敛域是图(a)，必然是 {σ<1}∩{σ>-1}∩{σ>-2} ，对应的
p1=1是左边单边信号的极点，p2= -1和p2= -2一定是右边单边信号的极点。
参照前两例的求解过程可知
如果假定收敛域是图(b)，必然是 {σ<1}∩{σ<-1}∩{σ>-2}，那么p1=1
和p2= -1一定是左边单边信号极点， p2= -2是右边单边信号极点。因此其
逆变换为
2025/1/1757/120
拉普拉斯变换
*3. 双边信号拉普拉斯逆变换求解
由前面的例子可以看到，双边信号的拉普拉斯变换，其象函数X(s)和收敛
域共同决定原函数x(t)。双边信号拉普拉斯逆变换的求解步骤如下：
(1) 将像函数进行部分分式展开。
(2) 根据收敛域分清左边单边信号极点和右边单边信号极点。
(3) 分别求左边信号极点和右边信号极点的逆变换。
2025/1/1758/120
拉普拉斯变换
单边周期信号的拉普拉斯变换
正变换求解
参见图，单边信号可以表示为
两边取拉普拉斯变换有
上式表明，如果要求解单边周期信号的拉普拉斯变换，只要求出单个
周期波形的拉普拉斯变换后除以因子(1-e-Ts)即可。
图 单边周期信号
2025/1/1759/120
拉普拉斯变换
【例5-29】求图所示单边周期方波信号的拉普拉斯变换。
【解】由图可知x0(t) = u(t) - u(t-1) ，所以 。由于周期T=2
，由前面结论可得
图 单边周期信号
2025/1/1760/120
拉普拉斯变换
逆变换求解
当像函数分母显式或隐式含有因子(1-e-Ts)时，则表明其对应的时域
信号是单边周期信号。由例5-29可推知其逆变换求解过程如下。
(1) 暂不考虑分母中的(1-e-Ts)因子。
(2) 用部分分式展开法或利用性质求剩余像函数X0(s)的逆变换x0(t) 。
(3) 将x0(t)进行单边周期延拓。
2025/1/1761/120
拉普拉斯变换
【例5-30】求单边信号拉普拉斯变换 的逆变换。
【解】分母出现形如(1+e-Ts)因子，是隐式含有周期信号因子。分子分母
同乘(1-e-Ts)得
所以
逆变换得
进行周期为2T的单边周期延拓得
显然这是一个单边周期方波信号。
2025/1/1762/120
系统响应的s域求解
微分方程描述系统的响应求解
由于系统响应求解仅需单边信号拉普拉斯变换。为符号简洁，在本
节讨论响应求解过程中均指单边信号及其像函数，下标u均省略。
基本思路：利用时域微分性质式将微分方程转变为s域代数方程，进而
在s域中求解。 基本步骤为：
1) 将系统微分方程两边进行拉普拉斯变换，得到s域代数方程；
2) 求解代数方程，得到Y(s)；
3) 求Y(s)的逆变换，得到系统响应y(t)。
2025/1/1763/120
系统响应的s域求解
冲激响应求解
【例5-31】求下列连续时间系统的冲激响应。
【解】冲激响应是系统在零状态下由激励系统后的输出。零状态意味着
原方程两边进行单边信号拉普拉斯变换得
部分分式展开得
求逆变换即得到单位冲激响应
2025/1/1764/120
系统响应的s域求解
零状态响应求解
【例5-32】系统微分方程同上例，即
求当x(t) = e-2tu(t)时系统的零状态响应。
【解】对x(t) = e-2tu(t)进行单边信号拉普拉斯变换得 。
由于同样是零状态，所以微分方程两边拉普拉斯变换结果与上例相同，
即
求逆变换得零状态响应为
【例毕】
2025/1/1765/120
系统响应的s域求解
零输入响应求解
【例5-33】系统微分方程同前两例，即
求当y(0-) = 1, y'(0-) = 2时系统的零输入响应。
【解】因为是零输入，所以微分方程变为齐次方程，即
两边进行单边信号拉普拉斯变换，并注意代入0-时刻初始状态值，有
整理得
求逆变换得零输入响应为
2025/1/1766/120
系统响应的s域求解
完全响应求解
完全响应 = 零状态响应 + 零输入响应
【例5-34】系统微分方程为
假定系统初始状态值y(0-) = 1, y'(0-) = 2 ，求x(t) = e-2tu(t)时系统的零输入
响应、零状态响应和完全响应。
【解】在非零初始状态下对原方程两边进行拉普拉斯变换，并整理得
其中第一项仅与系统输入有关，与系统初始状态无关，所以为零状态响
应分量；第二项仅与系统初始状态有关，与系统输入无关，所以为零输
入响应分量。
2025/1/1767/120
系统响应的s域求解
代入X(s)和初始状态值后得
两项分别进行部分分式展开和逆变换可得（参见上两例）
上述两项求和即得系统全响应为
【例毕】
2025/1/1768/120
系统响应的s域求解
电路的s域分析
对于电路求解问题，可以先建立相应的微分方程，然后利用上面介
绍的拉普拉斯变换方法求解该微分方程。但是当电路稍复杂时，可以先
建立元件的域模型，然后在s域建立方程
理想RLC元件的s域等效模型
RLC元件的伏安特性关系为
图 RLC时域模型
2025/1/1769/120
系统响应的s域求解
两边取单边信号拉普拉斯变换并考虑到时域微分性质，可得s域等效
器件模型
当电路的初始状态为零时，只要令相应的电压源为短路、电流源为
开路即可，如图所示。
2025/1/1770/120
系统响应的s域求解
电路的s域模型和求解
【例5-35】在图(a)中，激励信号及起始条件为
e(t) = 2δ (t) + 5(cost)u(t)
uc(0-) = 1V, iL(0-) = 1A
求电容电压的零输入响应和零状态响应。
图 (a)时域电路 (b) s域模型
2025/1/1771/120
系统响应的s域求解
【解】根据器件的s域模型可得s域的电路模型如图(b)所示，其中
由电路分析中的节点电压法可列方程组
化简得
2025/1/1772/120
系统响应的s域求解
求零状态响应时，令uc(0-) = iL(0-) = 0并代入数值，方程组化为
解得
逆变换得
2025/1/1773/120
系统响应的s域求解
求零输入响应时，在方程组中令E(s) = 0并代入初始状态数值得
解得
逆变换得
因此，全响应为
2025/1/1774/120
系统响应的s域求解
自由响应与强迫响应、稳态响应与暂态响应
自由响应与强迫响应
自由响应分量和强迫响应分量的概念源于系统响应的微分方程经典
解法。线性微分方程的完全解由两部分构成：齐次微分方程的通解和非
齐次方程的特解。在系统响应求解中分别称为自由响应和强迫响应，即
完全响应 = 自由响应（通解）+ 强迫响应（特解）
上述两个响应分量在s域中的构成，可按s域系统响应的部分分式定义。
其中 是系统H(s)的极点， 是输入X(s)的极点。上式表明：所有
H(s)的极点对应的响应为自由响应；所有X(s)的极点对应的响应为强迫
响应。
2025/1/1775/120
系统响应的s域求解
稳态响应与暂态响应
系统的完全响应也可以分解为暂态响应和稳态响应，即
完全响应 = 稳态响应 + 暂态响应
随着而 t→∞趋于零的响应分量称为暂态响应，其余部分为稳态响应。
【例5-36】在图(a)电路中系统初始储能为0，试分别求解当vs(t) = 5e-3t
u(t)和vs(t) = 5cos2t u(t)时的vc(t) 。
图 (a) 时域电路 (b) s域等效电路
2025/1/1776/120
系统响应的s域求解
【解】因无初始储能，s域电路模型如图(b)所示。由s域电路和分压关
系可得
当vs(t) = 5e-3t u(t)时， ， 此时输出为
逆变换得
2025/1/1777/120
系统响应的s域求解
当时vs(t) = 5cos2t u(t) ， ，从而可求得
此时系统响应为
2025/1/1778/120
系统的s域分析
系统函数与系统特性
系统单位冲激响应h(t)的拉普拉斯变换H(s)称为该系统的系统函数。
因果系统的系统函数
可以实现的连续时间系统必须具有因果性，其冲激响应是单边信号，即
hu(t) = h(t)u(t)
上式两边进行拉普拉斯变换得
Hu(s) = L {hu(t)} = L {h(t)u(t)}
Hu(s)即为因果系统的系统函数
非因果系统的系统函数
非因果系统在理论上是存在的，系统的冲激响应是一个双边信号。
双边冲激响应h(t)的拉普拉斯变换为非因果系统的系统函数，即
H(s) = L {h(t)}
2025/1/1779/120
系统的s域分析
系统函数的两个基本性质
(1)系统函数一般为有理分式，即
(2)当H(s)的收敛域包含ω轴时，系统频率响应函数可由H(s)确定，即
2025/1/1780/120
系统的s域分析
Hu(s)极点位置与hu(t)波形之间的关系
Hu(s) 进行部分分式展开得
上式中极点位置和阶数的不同，所对应的时域信号将有不同的形式
(1) 若极点位于左半s平面（不包括虚轴），hu(t)中与该极点对应的信号分量
具有指数衰减特征。
(2) 若极点位于右半s平面（不包括虚轴），hu(t)中与该极点对应的信号分量
具有指数增长特征。
(3) 若极点位于虚轴上且为单阶极点， hu(t)中与该极点对应的信号分量具
有恒幅特征；若极点位于虚轴上但为多重极点， hu(t)中与该极点对应的
信号分量具有幂函数增幅特征。
(4) 实数极点不产生振荡；共轭复数极点产生振荡。
2025/1/1781/120
系统的s域分析
【例5-37】考察 , 的零点对冲激
响应的影响。
【解】利用部分分式展开法可以求得对应的冲激响应分别为
可见，零点的不同位置对冲激响应的变化规律不产生实质性影响。详见
教材表
2025/1/1782/120
系统的s域分析
因果稳定系统的极点分布
因果系统未必是稳定系统，稳定系统也未必是因果系统，但只有
因果稳定系统才能实际使用（物理可实现）。根据前面的讨论可得下
列结论。
1. 因果稳定系统： Hu(s)的所有极点位于s左半平面。
2. 因果不稳定系统： Hu(s)含有s右半平面极点或虚轴上的高阶极点。
3. 临界稳定系统： Hu(s)在虚轴上有一阶极点但无高阶极点，无右半s平
面极点。
2025/1/1783/120
系统的s域分析
【例5-38】临界稳定系统的系统函数为 ，考察系统分别在u(t)
和sinω0t u(t)激励下的输出。
【解】由常见信号拉氏变换对知
在u(t)激励下的输出：
在sinω0t u(t)激励下的输出：
可见，如果Y(s)不产生ω轴上的多重极点，临界系统输出也可是恒幅的。
2025/1/1784/120
系统的s域分析
【例5-39】图是一个典型的负反馈系统，前向支路和反馈支路的系统
函数分别为
试确定K值范围，以保障整个系统的稳定性。
【解】首先需要注意到前向支路H1(s)含有一个右半s平面的极点s=1，因此
前向支路是一个不稳定的子系统。增加负反馈支路的目的是希望整个系
统是稳定系统。
图 负反馈系统示意图
2025/1/1785/120
系统的s域分析
在加法器输出端和整个系统输出端建立s域方程
消去E(s)，将具体的子系统代入得可得
由求根公式可以得系统两个极点的位置为
为使系统稳定，两极点必须位于s左半平面，对应地K>9/4（一对左半平
面的共轭极点）或者2<K≤9/4（两个左半平面的实数极点）。因此反馈
支路增益K>2，则可保证系统稳定。
2025/1/1786/120
系统的s域分析
系统函数与系统频率响应特性
H(s)/Hu(s)和H(ω)的关系
当系统函数的收敛域包含虚轴时有
因果稳定系统的系统函数，其收敛域为包含虚轴的右半s平面。
频率响应函数的平面矢量计算
这里讨论直接由Hu(s)获得系统幅频特性曲线|H(ω)|和相频特性曲线
φ(ω)的方法。 Hu(s)可用零极点表示为
2025/1/1787/120
系统的s域分析
因子(jω - zk)和(jω - pi)分别是从零点和极点指向jω点的矢量，如图
(a)所示，图中A1是矢量(jω – p1)的模，θ1是矢量(jω – p1)的幅角。考
虑式(5-81)的所有零极点后，其平面上的矢量如图(b)所示，由图可
以看出频率响应函数的模和幅角可由每个矢量的模和幅角确定，即
2025/1/1788/120
系统的s域分析
典型电路的频率响应特性
1) 一阶RC和RL电路
图 典型一阶电路
2025/1/1789/120
系统的s域分析
各电路的系统函数如下
图(a)一阶RC低通：
图(b)一阶RL低通：
图(c)一阶RC高通：
图(d)一阶RL高通：
2025/1/1790/120
系统的s域分析
可以看到，一阶低通只含有一个负实轴的极点，一阶高通含有一个
负实轴的极点和一个原点处的零点。可以形成下列实用概念：
(1) 形如 的一阶系统一定是低通系统。
(2) 形如 的一阶系统一定是高通系统。
图 一阶低通和高通s平面零极点矢量图
2025/1/1791/120
系统的s域分析
2) 二阶RLC电路
图 RLC串联谐振电路和并联谐振电路
2025/1/1792/120
系统的s域分析
图(a)(b)所示的是经典的串联谐振电路和并联谐振电路，图中将电路
总电流设为系统输出，则其系统函数就是电路的总导纳。因此有
图(a)串联谐振：
图(b)并联谐振：
2025/1/1793/120
系统的s域分析
如果仅考虑 的情形，零极点矢量图如图所示。
图串联谐振和并联谐振电路s平面零极点矢量图
2025/1/1794/120
系统的s域分析
全通系统和最小相位系统
全通系统
1) 全通系统的定义及其零极点分布特征
如果一个系统的频率响应在整个频率范围内有|H(ω)| = K (K为常量
)，则该系统称为全通系统。
如果H(s)的所有极点位于左半平面，所有零点位于右半平面，并
且零点与极点的分布关于虚轴镜像对称， |H(ω)|为常数，该系统为全
通系统。
2025/1/1795/120
系统的s域分析
2) 最简全通系统
如果零极点是位于实轴上的单阶节点，则构成了一个最简全通系统，如
全通系统|H(ω)| = K只意味着系统对输入信号的所有频率分量都具有相同
的增益，但这并不意味着不产生信号的波形失真。无失真传输需要系统
具有线性相位特性，而按图构造的全通系统不具有线性相位特性。
与非全通系统相比，全通系统的相位变化量是最大的。
2025/1/1796/120
系统的s域分析
最小相位系统
如果系统函数H(s)的全部极点均位于左半s平面，全部零点位于左半s平
面或虚轴上，则称该系统为最小相位系统。
图(a)给出了含有一个零点的一阶最简最小相位系统，其系统函数为
图 最小相位系统例子
2025/1/1797/120
系统的s域分析
非最小相位系统的表示
当H(s)含有一个或多个右半s平面零点时，则为非最小相位系统。一个
非最小相位系统函数可以表示成一个全通系统函数Hap(s)和一个最小相
位系统函数Hmp(s)的乘积
图非最小相位系统表示为最小相位系统与全通系统
2025/1/1798/120
系统的s域分析
物理可实现系统
可实现性的含义
当要通过H(s)或H(ω)进行系统设计和实现时，一个首要问题是H(s)或
H(ω)应该满足什么条件或具有什么样的形式，系统才是物理可实现的。
这里主要讨论两种意义下的物理可实现性：因果可实现性和理想器
件模型下的电路可实现性。
所谓因果可实现性，即要求系统在零状态下的非零值输出在时间上
不能早于系统的非零值输入（因果性）。
实际设计的系统除了考虑系统的因果性，通常还需要考虑系统的稳
定性。
2025/1/1799/120
系统的s域分析
所谓电路可实现性，即要求或是可用电路元器件实现的。线性常系数
微分方程描述的系统是电路可实现系统。对于连续时间系统而言，电路
可实现是物理可实现的充分条件。
前面提到的理想传输系统和理想滤波器，“理想”二字同时强调频
率特性的理想化。例如，理想比例运算器具有无限带宽（即ω在整个[0,
∞)区间内取值时比例运算器的增益保持不变）。但是，用实际器件实现
的电路或系统，不可能具有无限带宽。
2025/1/17100/120
系统的s域分析
理想器件模型下的电路可实现系统
如果H(s)为有理函数且所有极点位于左半s平面（包括虚轴），则
H(s)是电路可实现的。
(1) 上式中常数项可用比例运算器或电阻元件实现。
(2) 第2，3项可用理想电感或电容元件实现。
(3) 第4项可以由一阶RC或RL电路实现。
(4) 第5项可以用RLC电路或者有源二阶电路实现。
(5) 在RLC串联谐振电路中令R = 0，则可实现最后一项。
(6) 多重极点可以用单重极点电路级联实现。
2025/1/17101/120
系统的s域分析
因果可实现系统的频率响应函数
这里不考虑电路可实现性，仅考虑需满足什么条件才能使其为因果
系统。设
则H(ω)为因果可实现的充分必要条件是HR(ω)为HI(ω)的希尔伯特变
换，即
2025/1/17102/120
模拟滤波器设计
巴特沃斯低通滤波器
巴特沃斯低通滤波器的系统函数
假设H(s)只含极点，不含零点，并且所有极点等间隔分布在左半平面单
位圆上。
图 巴特沃斯低通滤波器的极点分布和对应的H(ω)
2025/1/17103/120
模拟滤波器设计
由于复数极点需要共轭成对出现，图中的极点将按照下列规则等分
左半s平面单位圆：
(1) 因有n个极点等分左半平面的 π 弧度，所以相邻极点间的夹角为Δθ = π/n。
(2) 第二象限的极点分布：当n为奇数时，第一个极点从负实轴开始，在单
位圆上按照的间隔Δθ = π/n顺时针排布（pi = ej(1-(i-1)/n)π ）。当n为偶数时
作类似排布，只是第一个极点是从Δθ /2开始（pi = ej(1-()/n)π ）。
(3) 第三象限的极点分布：复数极点与第二象限极点共轭对称。
所以H(s)可以写为
2025/1/17104/120
模拟滤波器设计
巴特沃斯低通滤波器的模平方函数
如果以纵轴为镜像对称补齐右半s平面单位圆上的极点，那么这2n个极点
恰好是多项式 1 + (-1)n s2n 的2n个根。如果是pi的H(s)一个极点，则-pi必
为H(-s)的极点。 pi和-pi关于坐标原点对称，如下图所示。因此，整个单
位圆上的2n个极点是H(s)H(-s)的所有极点，即对于巴特沃斯低通滤波器
的系统函数有
2025/1/17105/120
模拟滤波器设计
因此，巴特沃斯低通滤波器的模平方函数为
由上式可以看到当ω=1时 |H(ω)|=1/2 ，因此称ω = 1为半功率点。一
般将半功率点定义为低通滤波器的截止频率ωc。
2025/1/17106/120
模拟滤波器设计
很显然，上式是一个“归一化”后的函数，即极点放置在单位圆上，对
应的低通滤波器截止频率为ωc = 1。对于任意截止频率，只要将这两式
分别作如下修改即可。
图 巴特沃斯低通滤波器频响特性
2025/1/17107/120
模拟滤波器设计
最后将巴特沃斯低通滤波器的特点归纳如下。
(1) 随着滤波器阶数n的增加，|H(ω)|的衰减会越来越陡峭，参见图(a)。
当需要比较陡峭的低通滤波特性时，巴特沃斯滤波器会需要较高的滤波
器阶数。
(2) |H(ω)|通带和阻带内均无波纹（ |H(ω)|没有振荡），是光滑的单调下降曲
线。巴特沃斯低通滤波器又称最大平坦幅度滤波器。
(3) 滤波器极点等间隔分布在左半s平面的单位圆上。
2025/1/17108/120
模拟滤波器设计
巴特沃斯低通滤波器的阶数确定
如果对过渡带的陡峭程度是有约束要求的，一般给出过渡带起止频
率ω1和ω2处的增益要求K1和K2 （通常以dB为单位），如前面图(b)
所示。于是有
从上两式可以解得
由上式确定的 n 值不是整数，需向上取整，即
2025/1/17109/120
模拟滤波器设计
【例5-40】假设话音信号的最高频率为2400Hz，在对其进行采样前通常
应确保信号的最高频率成分不超过2400Hz。为此，采样前通常采用一低
通滤波器对其进行滤波（即所谓的抗混叠滤波器）。试设计用于此目的
的巴特沃斯低通滤波器。
【解】 设计一 在要求不高的场合或确定带外噪声与干扰很小的情况下，
可以采用较为简单的设计方法。例如取 n = 2, ωc = 2π×2400，则查表得，
滤波器系统函数为
2025/1/17110/120
模拟滤波器设计
设计二 如果需要控制带外噪声与干扰，那么首先需要确定的是阻带频率
ω2 。可考虑ω2 = ωc = 2π×3600 。其次要确定ω2处的增益K2 ，可考虑
K2 = -20dB。并将ω1 = ωc = 2π×2400, 和K1 = -3dB代入得
取n = 6 ，查表可得
2025/1/17111/120
模拟滤波器设计
设计三 如果对通带和阻带都需要提出指标要求，则需要在设计二的基础
上再增加对通带ω1和K1的确定。由于绝大多数人的话音信号能量集中在
1500Hz以下，有必要保证该频点以下的信号不受损，因此取ω1 = 2π×1500
， K1 = -1dB 。 ω2和K2同设计二。于是有
取n = 4 ，查表可得
该设计的阶数低于设计二，是因为ω1和K1的设定，使得滤波器有更宽的过
渡带。
2025/1/17112/120
模拟滤波器设计
切比雪夫低通滤波器
巴特沃斯低通滤波器的最大特点是平坦，但过渡带不够陡峭。如果要获
得更陡峭过渡带，可以采用切比雪夫低通滤波器。切比雪夫I型低通滤波
器的的特性如图(a)(b)所示，其特点如下。
图 归一化切比雪夫低通滤波器特性及极点分布
2025/1/17113/120
模拟滤波器设计
(1) 通带内有等幅振荡的波纹，波纹振荡幅度由决定ε，通带内最大值为1，
最小值为 ，阻带内仍为单调衰减（无振荡）。
(2) 在截止频率处（ ω = 1）增益不再是-3dB，而是 。
(3) 归一化切比雪夫低通滤波器系统函数的极点分布在左半平面的椭圆上
（不再是分布于圆上）。
(4) 在过渡带，切比雪夫滤波器比巴特沃斯滤波器更为陡峭
(5) 其归一化的模平方函数具有如下形式
2025/1/17114/120
模拟滤波器设计
图 三阶切比雪夫与巴特沃斯滤波器对比
2025/1/17115/120
模拟滤波器设计
低通到高通、带通和带阻滤波器的变换
低通到高通的频率转换
对于归一化的低通滤波器，通带范围的取值是[0, 1]，那么相应地的取值
范围是[1, ∞)。这意味着，作ω 1/ω的变量代换，有可能实现低通通带
到高通通带的转换。相对于域来说，这一变量代换是 s 1/s。
对于归一化的一阶巴特沃斯低通滤波器，
作变量代换 s 1/s ，则有
2025/1/17116/120
模拟滤波器设计
对于非归一化的情况，即截止频率不为1，而是ωc ，那么有
至此，可将高通滤波器的设计步骤归纳如下。
(1) 确定归一化低通滤波器。这里存在两个待定问题：首先是滤波器选型问
题。其次是滤波器的阶数确定。
(2) 利用上确定所需要设计的高通滤波器的系统函数，注意这里ωc是待设计
高通的截止频率。
2025/1/17117/120
模拟滤波器设计
低通到带通滤波器的频率转换
通过考察一阶系统的变换过程，理解低通到带通的频率变换原理。假定
带通滤波器的频率特性要求如图(b)所示，系统的带宽B = ω2 - ω1 ，
一阶归一化低通滤波器的系统函数为HLP(s) = 1/(s+1)，作变量代换
有
2025/1/17118/120
模拟滤波器设计
由上面模函数公式易知|HLP(0)|=0和|HLP(∞)|=0 ，且有
同时可以验证该带通系统的上下截止频率分别为ω1和ω2，并且有
图示意了低通到带通的频率变换方法。
图 低通到带通的频率变换
2025/1/17119/120
模拟滤波器设计
低通到带阻滤波器的频率转换
将图(b)所示的带通频率特性“颠倒”过来，则为带阻滤波器。因此
频率变换如下式，其中B和ω0的定义与带通滤波器的表达式相同。图
给出了低通到带阻的频率变换方法。
图低通到带阻的频率变换
2025/1/17120/120
