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应用滞后虚拟变量分位点回归模型估计条
件 VaR
裴培，贺壬癸，严定琪*
作者简介：裴培（1988-），女，汉，河南许昌人，兰州大学数学与统计学院研究生，主要研究方向：风险
管理与金融工程. E-mail: peip09@
通信联系人：严定琪，男，兰州大学数学与统计学院副教授，主要研究方向：金融工程. E-mail:
（兰州大学数学与统计学院，兰州 730000） 5
摘要：：众所周知，在实际生活中，线性的分位点回归模型已经不能很好地满足需要, 为此
本文提出了含有滞后虚拟变量的分位点回归模型, 并应用此模型分析了流动性风险指标条
件下的条件 VaR, 经过实证分析发现, 含有二阶滞后虚拟变量的分位点回归模型模拟得到的
结果比线性分位点回归模型和基于流动性风险指标的虚拟变量分位点回归模型模拟得到的
结果更好. 而且, 由条件 VaR 的事后检验知, 含有二阶滞后虚拟变量的分位点回归模型能10
更好的描述条件 VaR.�
关键词：线性分位点回归模型; 含虚拟变量的分位点回归模型; 含滞后虚拟变量的分位点回
归模型; 流动性风险指标; 条件 VaR; 事后检验�
中图分类号：
15
Conditional VaR estimation using lagged dummy variables
quantile regression model
Pei Pei, He Rengui, Yan Dingqi
(School of Mathematics and Statistics,Lanzhou University, Lanzhou 730000)
Abstract: As is known, the linear quantile regression model has could not meet the needs. After 20
the empirical analysis, the results of lagged dummy variables with second order quantile
regression model can better simulate real data than the linear quantile regression model and the
dummy variable quantile regression model based on the liquidity risk indicators. And by the
backtesting of the conditional VaR, the conditional VaR can be better described by the lagged
dummy variables with second order quantile regression model. 25
Key words: Linear quantile regression model; Dummy variables quantile regression model;
Lagged dummy variables quantile regression model; Liquidity risk indicators; Conditional VaR;
Backtesting
0 引言 30
在险价值简称 VaR (value at risk)，是指在一定的概率水平下(置信度) 某一金融资产或证
券组合在未来特定的一段时间内的最大可能损失。计算 VaR 的方法主要有三种典型方法:
历史模拟法, 分析方法(方差− 协方差方法), Monte Carlo 模拟法.
传统的 VaR 理论一般假定收益率服从某个分布, 然后在此基础上进行 VaR 的研究, 然
而市场是时刻变化的, 从而使得收益率的分布产生变化, 这时传统的 VaR 理论就受到限制, 35
为了克服这种限制, 引入了动态的 VaR 模型计算, 如基于 GARCH 族模型的 VaR 计算【1】.
在现在的风险管理研究中, 可以看出把重点都放在了研究单一风险的测量, 而各种风险是相
互作用的, 那么就需要研究在某种条件下某变量对某风险度量的影响,这就是条件 VaR 的研
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究. 但是要计算条件 VaR,按传统的理论需要解决条件分布的问题, 如傅强等【2】给出了基于
极值理论和Copula 函数的条件VaR 计算, 本文给出了另外一种估计条件VaR 的方法,该方40
法对条件分布不作任何的假定和估计,而是应用分位点回归方法直接得到收益率在某置信水
平下的分位点值, 这样就避免了对分布的假设. 在实际的生活中, 一般的分位点回归模型都
是线性的, 但是已不能很好地满足需要, 本文提出了含有滞后虚拟变量的分位点回归模型,
并由此分析了流动性风险指标条件下的条件 VaR.
1 分位点回归方法介绍及流动性风险下的条件 VaR 45
分位点回归方法介绍
分位点回归模型是由 Koenker 和 Bassett 于 1978 年提出的【3】, 是对传统的分位点方法
的一种扩展. 分位点回归模型假定被解释变量的分位点与解释变量之间满足线性关系, 并通
过模型参数的估计, 得到分位点的的表示形式. 假定 X 为 K×1 维随机向量，{x1,x2,…,xn}
为其样本，其中 xi的第 j个分量为 xi,j(i=1,…,n;j=1,…,K).条件分位点的估计可以相应的50
转化为下面最小化问题的解: ˆ ( ) arg min [ ( ) | ]RQ E Y X xξ ττ ρ ξ∈= − = ，其中
( 0)
1 0
0 0u
u
I
u<
<⎧= ⎨ ≥⎩
(1)
( 0)( ) ( )uu I uτρ τ <= − , τ ∈ (0,1). 类似于一般的线性模型，分位点回归模型可以表示
为: i i iy x uτ τβ′= + .这里对误差项 iuτ 的分布不做过多假定，只需要满足条件 ( | ) 0iQ u xτ τ = .55
为了满足可识别性，即无条件分位点也可以由该模型得到，一般假定解释变量 X 的第一个
分量恒等于 1，即 ,1 1ix = .
同样类似于线性模型参数估计的最小二乘方法，该模型的参数估计问题可以用最小化方
法得到.假定有数据集{ } 1, ni i iy =x ，可以通过最小化
1
( )
n
T
i i
i
y xτ τρ β
=
−∑ 60
得到参数 τβ 的估计值 τˆβ .但是该模型中的参数没有显示解，因为函数 ( 0)( ) ( )uu I uτρ τ <= −
在原点是不可微的.但是利用 portnoy 等【4】提出的解决线性问题的新方法—内点算法，该最
小化问题可以得到解决.得到参数 τβ 的估计值 τˆβ 以后，线性假设下的条件分位点函数即为：
ˆ( | )Q Y X x xτ τβ′= = .
流动性风险下的条件 VaR 65
假定 tY 是某债券或者投资组合的价格过程， tX 是状态过程或者是信息量，在时期[t,t+h]
中，组合的对数收益率为 1ln( / )t t tr Y Y −= .按照 VaR 的定义，在该时期内置信水平为 P(0<p<1)
的 VaR 为 { }( ) inf : ( ) 1t v tV p v P r v p= ≤ ≥ − .假定 tr 在 tX 条件下的分布函数为 ( | )tF X⋅ ，
那么条件 VaR 被定义为 1(1 | )tF p X− − ，这里 1(1 | )tF p X− − 为 ( | )tF X⋅ 的反函数或者称为
条件分位数函数，可见确定条件 VaR 实际上就是确定条件分位点的值，本文通过分位点回70
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归方法直接计算出确定条件分位点的值，避免了条件分布的假设.
流动性影响市场价格的不确定性, 存在着风险, 其中影响流动性主要是买卖报价差和成
交量, 价差越小表示立即执行交易的成本越低, 市场流动性越好, 流动性风险就越小. 另一
方面, 成交量可以反映大额交易是否可以立即完成以及对价格产生的影响. 本文采用了蒋涛
等给出的流动性指标【5】，流动性风险测度指标为 ,max ,min ,min( ) / ( )t t t tL P P P V= − ，其中 ,maxtP75
代表日最高价格， ,mintP 代表日最低价格，V 代表当日成交金额. tL 越小表示流动性越好，流
动性风险就越小.本文为了分析方便，将得到的 tL 进行了刻度处理，处理后的数据范围是
–.
2 含滞后虚拟变量的分位点回归模型
滞后变量考虑了时间因素的作用, 使静态分析的问题成为动态分析, 这样研究计算出的80
动态条件 VaR 更能满足需要. 在实际生活中, 收益率不仅与现在的流动性风险有关, 过去时
间的流动性风险也影响着收益率, 因此本文考虑的是二阶的滞后. 虚拟变量表示的是收益率
的正负, 在模型中加入虚拟变量说明在相同的市场信息(如流动性风险)的冲击下收益率的正
负对市场风险条件 VaR 的影响, 根据现有知识, 知道收益率为正和为负时, 相同的市场信息
的冲击对市场风险的影响是有所不同的. 因此本文在线性的基础上加入了虚拟变量和滞后85
变量, 以求能更好的拟合数据和估计条件 VaR .
在分位点回归模型中假设了条件分位点和解释变量之间满足线性关系, 这种情况有时
不能很好的满足现实情况, 据此, 本文考虑含有滞后虚拟变量分位点回归模型来计算条件
VaR, 对条件分布不做任何假定和估计, 这样就避免了分布是正态等假设【6】, 其中虚拟变量
表示收益率为正或者为负, 滞后解释变量表示解释变量的过去值对被解释变量的现在的影90
响. 本文同时考虑了截距和斜率变化的情形, 采用的模型是:
1( 0) ( 0) ( 0) 1 2t t tt r r t r t t t
r I I a L I L b L c L uτα β γ η−< < < − −= + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + (2)
这里对误差项uτ 不做过多假定，只需要满足条件 ( | ) 0iQ u xτ τ = .于是，条件分位点为:
1( 0) ( 0) ( 0) 1 2
( | )
t t tt t r r t r t t t
Q r L I I a L I L b L c Lτ α β γ η−< < < − −= + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅
同时，与本文做比较的还有线性分位点回归模型和含虚拟变量的分位点回归模型，线性分位95
点模型中假定其中的一个因素为，为了得到模型的截距项，令另外一个影响因素恒为 1，则
线性分位点模型如下:
1 1t tr a b L uτ= + + (3)
于是条件分位点为 1 1( | )t t tQ r L a b Lτ = + .含虚拟变量的分位点回归模型中同时考虑了截距和
斜率变化的情形，则模型如下: 100
1 1 ( 0) 1 1 ( 0)t tt r t r tr I L I L uτα β γ η< <= + ⋅ + ⋅ + ⋅ + (4)
于是条件分位点为 1 1 ( 0) 1 1 ( 0)( | ) t tt t r t r tQ r L I L I Lτ α β γ η< <= + ⋅ + ⋅ + ⋅ .
通过对这三个模型作比较，分析得出哪个模型更能满足人们的需要.
3 实证分析
众所周知, 在经济领域中, 许多变量是相互影响的, 例如收益率和风险测度之间存在关105
系, 本文中的风险测度是流动性风险, 分析了单只股票的流动性风险, 并且在流动性风险的
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基础上研究了收益率的条件 VaR 值, 以期望得到条件 VaR 和流动性风险之间的关系.
数据描述
本文对上证 180 的日收益率数据进行了分析, 计算采用的是 2008 年 4 月 30 日– 2010 年
4 月 23 日的数据, 模型检验采用的是 2010 年 4 月 26 日– 2011 年 4 月 27 日的数据, 股票回110
报采用对数收益率, 即 1ln( / )t t tr P P−= ，其中 tP 为 t 交易日的收盘价.
模型分析
本文分析 分位点下的参数模型, 由此可以得到置信水平 95%下的条件VaR, 本文用
EViews软件分析计算, 分位点回归模型的参数估计以及拟合程度见下列各表。对含滞后虚拟
变量的分位点回归模型(2), 参数的具体估计结果如表1所示: 115
表 1 含滞后虚拟变量的分位点回归模型回归结果
估计值 标准差 t 值 p 值 α
β
γ
a η
b
c
但是由表 1 可以看出，在 分位点回归方程中，参数γ 和 a 都非常不显著，而其他
的几个参数都比较显著，于是考虑下面去除参数γ 和 a 的模型(5). 120
( 0) ( 0) 1 2t tt r r t t tr I I L b L c L uτα β η< < − −= + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + (5)
则模型(5)的条件分位点为: ( 0) ( 0) 1 2( | ) t tt t r r t t tQ r L I I L b L c Lτ α β η< < − −= + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ .模型(5)
的参数估计结果如表 2 所示:
表 2 去除参数γ 和 a 的分位点回归模型回归结果 125
估计值 标准差 t 值 p 值 α
β
η
b
c
对含虚拟变量的分位点回归模型(4)，参数的具体估计结果如表 3 所示:
表 3 含虚拟变量的分位点回归模型回归结果
130
估计值 标准差 t 值 p 值
1α
1β
1γ
1η
对线性分位点回归模型(3)，参数的具体估计结果如表 4 所示:
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表 4 线性分位点回归模型回归结果
估计值 标准差 t值 p值
1a
1b
在计量经济学中，决定系数 2R 可作为度量模型拟合优度的统计量，用 EViews 软件计135
算出模型(3)、(4)、(5)的决定系数，如下表 5 所示:
表 5 模型的拟合优度检验
线性模型 虚拟变量模型 滞后虚拟变量模型
决定系数 2R
由表 5 可以看出模型(5)的决定系数最大，拟合优度最好.同时，由条件 VaR 的定义知条140
件 VaR 是条件分位点的相反数，则由上表可以看出，拟合优度最好的含滞后虚拟变量的分
位点回归模型的条件 VaR 为
( 0) ( 0) 1 2( | ) t tt t r r t t tQ r L I I L b L c Lα β η< < − −− = − − ⋅ − ⋅ − ⋅ − ⋅
条件 VaR 的事后检验
得到了条件分位点回归模型中的参数估计值，那么对于在给定的条件 X=x 下，就可以145
得到具体的条件 VaR 值，本文参考 Kupiec【7】提出的对零假设最合适的似然比检验，假定用
来检验的数据为{ } 1, ni ix y = ，如果第 i 天的收益率小于当天计算得到的条件 VaR，就记为预
测失败，否则记为成功.假定计算条件 VaR 的实际天数为 T，失败天数为 N，假定原假设
*
0 :H p p= ,其中 *p 为给定的值，在原假设成立的前提下有
* * 2
12 ln[(1 / ) ( / ) ] 2ln[(1 ) ( ) ] ~
T N N T N NLR N T N T p p χ− −= − − − 150
可以根据统计量 LR 的大小来比较方法的好坏，以及判断在相应的置信水平下是否能够
拒绝原假设 *0 :H p p= .下面将对计算得到的置信水平为 95%的三种模型的条件 VaR 结果
进行事后检验，采用了接下来的 2010 年 4 月 26 日-2011 年 4 月 27 日得数据进行检验，检
验结果如表 6 所示:
表 6 条件 VaR 的事后检验 155
线性模型 虚拟变量模型 滞后虚拟变量模型
LR值
由 LR 统计量的值可以看出, 含虚拟变量的分位点回归模型和含滞后虚拟变量的分位点
回归模型都不能拒绝原假设，但是由 LR 统计量知，LR 值越小说明预测效果越好，可以看
到含滞后虚拟变量的分位点回归模型预测的效果最好, 因为含滞后的模型把影响现在的过
去的某些因素也进行了分析, 其预测效果比不含滞后的模型的效果好, 应该会不难理解. 160
4 结束语
经济领域中，许多变量是相互影响的，例如收益率和风险测度之间存在关系，本文中的
风险测度是流动性风险，把流动性风险作为分解释变量之一，分析了单只股票的流动性风险，
并且在流动性风险的基础上研究了收益率的条件 VaR 值，以期望得到条件 VaR 和流动性风
险之间的关系.在实际生活中，线性的分位点回归模型不能很好地满足需要，为此本文提出165
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了含有滞后虚拟变量的分位点回归模型，用此模型分析了流动性风险指标条件下的条件
VaR， 经过实证分析发现，含有滞后虚拟变量的分位点回归模型比线性分位点模型和基于
此流动性风险指标的虚拟变量分位点模型能更好的描述数据， 而且在条件 VaR 的事后检验
中发现，含滞后虚拟变量的分位点回归模型得到的结果能更好的预测未来的情况.
本文的研究中解释变量可以选择其他的变量，就可以得到其他条件下的条件 VaR，同170
时， 本文在计算和语言上可能会不严谨，存在着一定的不足.
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