第 22卷第 1期
V01．22 No．1
湖 北 工 业 大 学 学 报
Journal of Hubei University of Technology
2007年 O2月
Feb．2007
[文章编号]1003--4684f2007)O1—0097～04
股票价格遵循非时齐 Poisson跳的亚式期权保险
张 敏，王 莺，何 穗
(华中师范大学数学与统计学学院，湖北 武汉 430079)
[摘 要]如果市场有套利时，传统的期权定价的理论就会出现困难．1998年 Mogens Bladt和 Tina Hviid Ry—
dberg提出保险精算定价方法，在市场不作上述假设的前提下，利用公平保费原理和价格过程的实际概率测
度，得到了期权的定价公式．运用这一方法研究了亚式期权的定价问题 ：在股票价格遵循非时齐 Poisson跳，
期权浮动敲定价格遵循 砺 过程的假设下 ，获得了亚式看涨看跌期权的定价公式以及平价公式．
[关键词]亚式期权；期权定价；保险精算 ；非时齐 Poisson跳过程
[中图分类号]F830。O211．6 [文献标识码]：A
亚式期权是一种强势路径相关期权，即期权到
期日的收益依赖于整个有效期内原生资产所经历的
价格平均值．亚式期权的敲定价格又可分固定敲定
价格和浮动敲定价格两种．具有固定敲定价格亚式
看涨期权的收益等于有效期内股票价格均值超过固
定敲定价格的值 ，即
(Sd( )一 K) ；
具有浮动敲定价格亚式期权收益等于期权到期
日股票价格超过有效期内股票价格均值的值，即
(S(T)一 Sd(T)) ．
其中 T为到期日，S(T)表时刻 T时标的股票价格，
K为亚式期权固定敲定价格， (T)为亚式期权浮
动敲定价格．
尽管亚式期权已经在市场上得到广泛运用，但
其定价公式仍没有很好地解决，主要原因在于大多
数的期权定价公式是基于 Black--Scholes公式的，
而传统的Black--Scholes公式定价方法依赖市场无
套利、均衡和完备的假设，如果市场有套利或不完全
时，等价鞅测度可能不存在或存在但不唯一．1998
年 Mogens Bladt，Tina Hviid Rydberg[1]首次提出
期权的保险精算期权定价法，在没有上述市场假设
下用该方法给出了欧式期权精确的定价公式，并证
明了在股票遵循几何 Brown运动时，保险精算定价
和 Black—Scholes定价完全一致．其思想是公平保
费原理：多头买人一期权，空头方在期权的有效期内
会承担一定潜在的风险，若要为这一风险加上保险，
其保费就是这一期权的价格．这样就将期权定价问
题转换为对期权空头所承受风险大小的衡量．由于
不再假设市场无套利、均衡和完备，所以它能广泛运
用于更一般的非均衡、不完备的市场．本文只讨论有
浮动敲定价格的亚式期权定价问题，将保险精算思
想运用到亚式期权定价中，假设股票价格遵循非时
齐 Poisson跳，期权浮动敲定价格遵循 砺 过程，给
出了亚式看涨和看跌期权的定价公式和平价公式．
1 保险精算定价模型
考虑连续时间的金融市场只有两种资产：一种
是无风险资产，在 t时刻具有无风险利率r(￡)的无
风险资产；另一种为风险资产 ，t时刻的价格用 S(￡)
表示，考虑时间区间[O，T]，0表示现在，{S(￡)：t>
0)是一个定义在某完备概率空间(n，F，P)上的随
机过程，{Fl，t>0)是由S(￡)生成的 一代数(信息
流)，S(O)一S是大于零的常数，有关期权的保险精
算定价的概念和记号沿用 Mogens Bladt，Tina Hvi—
id RydbergL1 的．
假设风险资产价格过程 {S( )：t> 0)和无风
险资产的价格过程{P(￡)：t> 0)分别满足：
dS(t)一 S(￡) (￡)+ S(t)ddW (t)，
S(O)一 S； (1)
dP(￡)一 P(￡)r(￡) (￡)，P(O)一 1． (2)
其中： ， 为非负常数； 为股票期权的收益率； 为
股票价格的波动率；{W(￡)：0≤ t≤ T)为概率空间
上的标准的布朗运动，令{n，F，P)为{W(￡)：0≤ t
[St稿日期]2006—10—30 ‘
[作者简介]张 敏(1977一)，女，辽宁沈阳人，华中师范大学硕士研究生，研究方向：金融数学．
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98 湖 北 工 业 大 学 学 报 2007年第 1期
≤ T)产生的 自然 一 代数(信息流)．
定义 1 假设fl(t)是 t时刻股票价格过程S(￡)
的瞬时收益率)￡∈[0，T3，S(￡)在[0，￡]的期望收益
率为l／3(s)ds，且满足
=exP dt． T === l ￡ U J U
定义 2 设 c(a，T)，P(a，T)分别表示股票价
格为S(￡)、敲定价格为a、到期日为 T时亚式看涨和
看跌的欧式期权，期权在t=0时刻的保险精算定价
为 ：
c(口，T)=E((exp(一．『 ))dt)s(T)一
口exp(一．r r t dt)) )；
Pc口，T =E((口exp(--l『 (t d )一
exp(一 ∽d )scT，)j。)．
其中 和 。表示条件A、B的示性函数，看涨和看
跌期权到期日被执行的充要条件分别是：
条件 A
exp(一．『 p(t)dt)s(T)aexp(一-『 r(t)dt)s(T)；
条件 B
口exp(一j． (t)dt)s(T)>exp(一．r (t)dt)s(T)．
注：1)定义 2在没有对金融市场做任何假设的
情况，其结果对无套利均衡的完备市场和有套利非
均衡全市场都有效，在计算潜在风险损失时仅用了
风险资产按期望收益率折现，无风险资产按无风险
利率折现的思想；
2)与传统定价的执行条件 S(￡)> a不同，保险
精算模型的可执行条件为
exp—l fl(t)dtS(T)>aexp—l r(￡)dtS(T) J 0 J 0
3)定义中没有对价格过程 {S(￡)：t>0)限制，
只须利用{S( )： >0)的实际概率分布就可以求出
期权的价格．
2 亚式期权的定价
考虑股票价格波动由 2个部分构成：一部分是
股票价格的随机波动(由大量的个体散户交易者彼
此不相关的操作产生的股票价格无意识地“随机”波
动) 另一部分是股票价格的异常波动(由宏观因素、
上市公司背景因素和主力交易者行为造成地股票价
格异常波动)．亚式期权的浮动敲定价格为 [0，T]
上所有股票价格的均值，其平均价格的稳定性将远
远超过股票价格本身，不会出现股票价格那样的异
常的波动，因此本文考虑亚式期权中股票价格服从
非时齐 Poisson跳扩散过程，股票的浮动敲定价格
服从 过程的两资产相关模型．
考虑连续时间的金融市场，时间区间 [O，T]，给
定某完备概率空间(0，F，P)，设 t时刻的无风险利
率为 S(z)，z时刻的股票价格为S(z)，亚式看涨期权
浮动敲定价格为 S (￡)分别满足如下的微分方程 。
dS(t)= S(￡)[ s(￡)一A(t)O-]dt+
s(￡)dWs(￡)+ dN(￡)，S(O)= S； (3)
dS (￡)= S (￡)[ (t)dt+ (t)p(t)dWs(t)+
O'S(￡) =丽 Ws，(￡)]，S (0)=S．(4)
其中W(．)= (ws(．)，W＆(．))为概率空间(0，F，
P)上的二维标准 Brown运动，r(￡)>0， s(￡)>o，
(￡)> o，as(￡)> 0， (f)> 0， (f)> 0，P(f)>
0均为时间t的确定性函数，满足使得上述随机微分
方程有解的必要条件．N(￡)表示股票价格在[0，￡]
内跳跃的次数，它是与 W(￡)独立的参数为 (￡)的
非时齐 Poisson过程．声 ， ，⋯， ∽是相互独立与
同分布的随机变量，表示在随机时间 T·，T2，⋯，
TⅣ“)时刻发生跳跃的高度(规定丸一O)， 与N(￡)，
W(￡)独立，且 >一1，口．s，ln(1+ )服从正态分布
N(1n(1+ )一cr；／2)， )， 为ln(1+声)的方差，而
0是 的无条件期望，表示股票价格由 Poisson跳带
来的平均增长率．
引理 1 随机微分方程(3)和(4)[。 的解分别为
s(T)=sexp{ [ (t)一 (t) 一号 §(t))]dz+
I：as(t)dWs(￡)+∑ln(1+圳；
s盯 ，一 s唧
l (￡)P(￡)dWs(￡)+
l (￡)~／1一pZ(t)dWso(￡)}．
引 理 2 设 X ～ N(0，1)，X2～ N(0，1)，
cov(X1，X2)=P，则对于任意实数 a，6，c，d，ml，m2
有 ]
E[exp(cX1+dX2) { < +磷2< }]=
(cz-}-dZ q-2pcdex 1．p
． ， J’
[N( 等祭 )一
N( 等筹 )]．
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第22卷第1期 张 敏等 股票价格遵循非时齐Poiss。n跳的亚式期权堡 墨竺 99
证 明
E[-exp(cX1+ dXz)I{m1< 1+ 2<m2}j—
E[-exp(cX1+ dX,)(I{m1< 1+ 2<m1}一
I‘卅1< l+ 2<，，l2))J=
E['exp(cX1+dXz)I‘m1< 1 2<ml}J—
E[-exp(cX1+ dX2)工{m1< 1+ 2<m2}j一
[N( exp*。 +2pab)·
nc+ +p(ad+
—
bc)--
—
m ：
nc+ + p(ad+ 二
定理 3 亚式期权中假设股票价格为 S(￡)，有
效期内浮动价敲定价格为 S (T)分别满足式(3)和
式(4)，则亚式期权的价格以及平价公式为：
C(S。，s，T) s∑ ·
n皇 0
唧 {_(1 工 — — — — — — — — 一 一
∑
n士 0
Nc 一sexp{』：( ct 一rct )dt)
N( 一 5)
— sexp 薹
唧 叫(
s∑
n= 0
其中：
N(一 + 一
竺 唑
N(一 d )；
c(s。，s，T)+s。(T)exp(I：r(￡)d￡)一
P(S ，S，T)+ S．
一 (J (r(t)一 sd(t)一 t) )d￡+
(1+ + )／ ；
一 ∽ ∽ 一
2P(￡) (￡) (￡)1d￡+街；(￡)．
证明
E[嚣(1“)]=
(6)
(7)
EV EV N
；
(,
[~( + )I Nct ]]==
exp t)Odt，
其中
exp ￡)dr—expf ∽ expJ
。卢(￡ 一expJ。 s‘ ’d
c(5 'T)一E p(一 )dtS(T))一
exp(一 t)dtS ))工c]一
E exp(--胁 t S(T)Ic]一
E(exp(一 s ]
I1一 I2．
执行条件 C，有
exp(——』 卢ct dt)scT >exp(——J rct 4t)sa cT ，
两边取对数，得
一 』 卢(￡)d￡+lns(T)>lnsa(T)一j：r(￡)d￡'
∽ aw ∽ + -nc 一
盼 )P(￡)dWs∽+
∽4'—1--p—z(t)dW )j>K’
其中
K—J ( (t)一r(t)一 1 2 (t)+
1 2∽+ ) ) ’
对给定
z f T ￡)dWs(￡)+
ln(1+ )～ N( 1， ；)，
i掌0
其中
一 ln(1+ )一号 ， 一街；+J。 ( 出' 广T
△ f ars(￡)fD(￡)dWs(￡)+ z2垒J
。
ars
。
( )P( u
』 ∽ w )~N
其中
一 J。蠢( ；
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100 湖 北 工 业 大 学 学 报 2007年第 1期
令
Zl一 口lXl+ l，Z2— 0"2X2．
其中：
Xl～ N(0，1)；X2～ N(0，1)；
p— c。v(z。，z2)一 ；
j —E[eZ~ f >K}]一
E[-exp(alXl+ 1)Ii 1x1 2x2>K 1)]一
exp( 。+专 )N( 一
(1+ ) exp( 1 J。T (￡))N(d )；
E — E[ 。一z2>x)]一
E[-exp(a2X2)Ii 1x1 x2> 1)]=
exp(丢口；)N(d 一 一
exp(_J1。T噍(￡)dt)N(d 一 ；
。 一 E[唧(一 伽t)scT ]一
sexp{J_ [一 ct 一号 ct ]dt}·
E[唧( 伽 州 一
sexp{ [一 ct)0-- 1 ct ]dt)
E[-E[-(e ·L)I N(T)]=
~exp{f：E-- 1拍2 ·
妻P(N(T)： )(1一 )一．
exp＼_J1
。
r
口§(￡)d￡)N(d )一．
s (唧( )·
[c + -r ct dt] ／ ，)Ncd ；
一 EEexp(-f： dt)s cT c]=
Sex( [p ct ——rct ———至1-a§ ct ]dt)·
E[-E[-(eZz Ic)I N(T)]]一
Eexp sd(￡)_r( dt)+
P(N(T)
Sexp{f：E s口(t)一r(￡)]d ·
∑P(N(丁)一，z)N( 一 )一
s唧 sd(￡ ∽ )薹
(exp(一．r ct dt)(．r ct dt) ／
!)N(d 一 )．
因此式(5)得证．类似可证亚式看跌期权定价式(6)
和平价公式(7)．
注：1)当 退化为0时，即股票价格不发生跳跃，引理3
就是股票价格波动和无风险利率为时间的函数情况下的定
价公式．2)当 (￡)为常数 时，N(￡)为时齐 的 Poisson跳过
程．当股票在有效期内支付红利时，也同样适用上述公式，只
须将 股票 现值 中去掉红利现值 即可．
3 小 结
文献El-I中引进了期权定价的保险精算法，并证
明了当股票的价格服从几何 Brown运动时保险精
算法与无套利 Black—Scholes定价是一致的．本文
推广了这一结果，在亚式期权定价中，假设股票价格
遵循非时齐 Poisson跳的扩散过程，浮动敲定价格
遵循 过程的两资产相关的模型下得到亚式看涨
看跌期权定价以及平价公式．
[ 参 考 文 献 ]
Bladt M，Rydberg T H．An Actuarial Approach to Op—
tion Pricing under the Physical Measure and W ithout
Market Assumptions[J]．Insurance：Mathematics and
Economics，1998，22(1)：65— 73．
闷海峰．刘三阳 带有 Poisson跳的股票价格模型的期
权定价[J]．工程数学学报，2003(5)：35—4O．
Knut K，Aase．Contingent Claims Valuation when the
Security Price is Combination of an Ito Process and a
Random Point Process[J]．Stochastic Process and
Their Applications，1988．28(2)：185—220．
Dravid A，Richardon M ，Sun T．Pricing Foreign Index
Contingent Claims ：An Application to Nikkei Index
Warrants[J]．The Journal of Derivatives，Fall 1993：55
— 6O．
(下转第 104页)
] ] ] ] 口
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104 湖 北 工 业 大 学 学 报 2007年第 1期
The Game Theory Between the Government and the Developer
of Real Estate in the Real Estate Market
TAO Jun，LI Yong—hong，WU Zhen
(School of Mathematics and Statistics，Central China Normal Univ．，Wuhan 430079，China)
Abstract：This paper discusses how to maximize the benefits respectively from the point of view of the gov—
ernment and the developer of real estate of government and the developer of real estate．The model of in—
complete information dynamic game theory is applied to make analysis of the game theory process between
the government and the developer of real estate in different statuses in the real estate market，Thereby the
conclusion is drawn that conducting the price with policy is unfeasible．
Keywords：real estate market；government；developer of real estate；incomplete information dynamic game
theory
[责任编辑：张 众]
(上接第100页)
An Actuarial Approach to Asian Option Pricing in
Poisson Jump-Diffusion Model
ZHANG Min，W ANG Ying，HE Sui
(Dep．of Mathematics and Satistics，Central China Norm al Univ．，Wuhan 430079，China)
Abstract：Without market assumptions，Mogens Bladt and Tina Hviid Rydberg used merely probabilistic
measure of price process and actuarial considerations for pricing options in 1998．Under that conditions，in
this paper，by using physical probabilistic measure of price process and the principle of fair premium ，we
dealt with pricing formula of option on Asian option under the assumption that stocks price process was
driven by non-homogeneous Poisson jump diffusion process and struck price process driven by Ito process，
we obtained the pricing formula of Asian option and put call parity． ‘
Keywords：Asian option；option pricing；fair premium；non-homogeneous poisson j ump diffusion
[责任编辑：张 众]
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