第 3 章 函数的极限与连续性
如前所述, 极限从本质上讲是一种逻辑设想, 现实世界不可能实现.
函数极限理论是序列极限理论的技术推广, 性质大体相同而复杂度不同, 一起构成
了微积分的基本方法. 作为经典物理中关于介质连续性假设的数学模型, 极限方法进
一步具象化为连续性.
序列极限理论的基本功能——主要为实数理论服务;
函数极限理论的基本功能——主要为微积分理论服务.
连续变量的极限过程
函数极限的基础是实数自变量的连续变化, 称为极限过程, 计有如下六种:
x → x0: 念作x 趋 (近) 于 x0, 表示任意接近于数 x0(当且仅当 |x− x0| 任意接近于
0);
x → x0+: 念作从右侧趋 (近)于 x0,表示从右侧任意接近于数 x0(当且仅当 x > x0
且 |x− x0| 任意接近于 0);
x → x0−: 念作从从左侧趋 (近) 于 x0, 表示从左侧任意接近于数 x0(当且仅当
x < x0 且 |x− x0| 任意接近于 0);
x → +∞: 念作趋 (向) 于 +∞, 表示 x > 0 且任意增大;
x → −∞: 念作趋 (向) 于 −∞, 表示 x < 0 且 |x| 任意增大;
x → ∞: 念作趋 (向) 于 ∞, 表示 |x| 任意增大.
实数变量连续变化的科学表述基于实数的完备性, 以 x → x0 为例:
连续变化不是说变量 x 在“相邻点”上向着 x0 依次取值逐渐接近, 因为实数的稠
密性决定了不可能有两个实数是相邻的关系;
连续变化是说 x 可以任取 x0 附近 (即邻域中) 的所有值, 不取某些值可以看作是
x 的“意愿”, 但是 x 有绝对的自由任取 x0 附近的所有值.
总之, 实变量 x 的连续变化虽然逻辑上是“连续取”, 但其科学表述只能是“任意
取”.
极限从本质上看就是自变量按照某种 (六种之一) 极限过程变化时, 因变量 (函数
取值) 的变化趋势问题. 特别地, 对有限点处的极限过程, 如 x → x0, 无论函数在点 x0
处有没有定义, 只要极限过程中函数 f(x)的取值有意义, 就可以考虑函数的极限, 也就
是因变量的变化趋势.
x → x0 与 x → x0+, x → x0− 都用于刻画任意函数 f(x) 在 x0 处的局部信息.
不同的极限过程背景各异, 本质都是趋近. 应高度重视函数极限问题与序列极限
的定义、性质、存在性定理的对比, 掌握其相互关系.
