随机变量及其分布
第二节 离散型随机变量
及其概率分布
一、离散型随机变量的定义
如果某些随机变量X的所有可能取值是有限多个或可列无限多个, 这种随机变量称为离散型随机变量 .
例如，设某电话总机在一分钟内收到的呼叫
次数为X，由于 X的可能取值为 0，1，2，3，……，
故X为一离散型随机变量
二、离散型随机变量的概率分布
二、离散型随机变量的概率分布
二、离散型随机变量的概率分布
例4 某银行发行十元一张的定期一年有奖储蓄，共
一亿张。规定：头等奖5000张，二等奖25000张，三
等奖100000张，四等奖500000张，五等奖1200000张。
那么考察一张储蓄券的中奖情况，用X表示中奖类
别，则X是一个离散型随机变量。求X的分布列。
解：因X是一个离散型随机变量，所以X的可能取值是：
1，2，3，4，6。其中“1”表示中头等奖，“2”表示
中二等奖，…，“6”表示不中奖。其对应的概率为：
二、离散型随机变量的概率分布
例4 某银行发行十元一张的定期一年有奖储蓄，共
一亿张。规定：头等奖5000张，二等奖25000张，三
等奖100000张，四等奖500000张，五等奖1200000张。
那么考察一张储蓄券的中奖情况，用X表示中奖类
别，则X是一个离散型随机变量。求X的分布列。
二、离散型随机变量的概率分布
例4 某银行发行十元一张的定期一年有奖储蓄，共
一亿张。规定：头等奖5000张，二等奖25000张，三
等奖100000张，四等奖500000张，五等奖1200000张。
那么考察一张储蓄券的中奖情况，用X表示中奖类
别，则X是一个离散型随机变量。求X的分布列。
二、离散型随机变量的概率分布
例5 某商店某货物中有一、二、三等品及废品四种，其中一、二、三等品率和废品率分别为60％，10％，20％，10％。现在售货员任取一件检查其质量，用随机变量X描述检验结果并写出它的分布列。
解：令“X＝K”与货物为“K等品”（K＝1，2，3）相对应，“X＝4”与货物为废品相对应。
二、离散型随机变量的概率分布
例6 自动生产线在调整以后出现废品的概率为p，生产过程中出现废品时，立即重新调整，求在两次调整之间生产的合格品数的分布列。
解：设两次调整之间生产的合格品数是X，则X是一个离散型随机变量。
“X＝0”表示调整后生产的第一个产品是废品，则有P(X=0)＝p；
“X＝1”表示调整后生产的第一个产品是合格品，而第二个产品是废品，则有P(X=1}＝pq(q=1-p)；
“X＝2”表示调整后生产的第一个及第二个产品是合格品，而第三个产品是废品，则有P(X=2)＝pq2
以此类推，可知合格品数X的概率分布为
二、离散型随机变量的概率分布
例6 自动生产线在调整以后出现废品的概率为p，生产过程中出现废品时，立即重新调整，求在两次调整之间生产的合格品数的分布列。
练习1 某篮球运动员投中篮圈概率是，求他两次独立投篮投中次数X的概率分布.
解： X可取值为0,1,2 ;
P{X =0}=()()=
P{X =1}= 2()() =
P{X =2}=()()=
二、离散型随机变量的概率分布
练习2 某射手连续向一目标射击，直到命中为止，已知他每发命中的概率是p，求所需射击发数X 的分布律.
解: 显然，X 可能取的值是1,2,… ，
P{X=1}=P(A1)=p,
为计算 P{X =k }， k = 1,2, …，
Ak = {第k发命中}，k =1, 2, …，
设
于是
二、离散型随机变量的概率分布
练习3 一汽车沿一街道行驶，需要通过三个均设有红绿信号灯的路口，每个信号灯为红或绿与其它信号灯为红或绿相互独立，且红绿两种信号灯显示的时间相等. 以X表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口的个数，求X的分布律.
解: 依题意, X可取值0, 1, 2, 3.
P{X=0}=P(A1)=1/2,
Ai={第i个路口遇红灯}, i=1,2,3
设
路口3
路口2
路口1
二、离散型随机变量的概率分布
P{X=1}=P( )
= 1/4
P{X=2}=P( )
=1/8
X表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口的个数
路口3
路口2
路口1
路口3
路口2
路口1
二、离散型随机变量的概率分布
=1/8
P(X=3)= P( )
路口3
路口2
路口1
即
X表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口的个数
二、离散型随机变量的概率分布
三、几种常见离散型随机变量的概率分布
1、单点分布（或退化分布）
三、几种常见离散型随机变量的概率分布
2、两点分布（或0-1分布、贝努力分布）
三、几种常见离散型随机变量的概率分布
例7 从一批产品中，抽取一件进行质量检查，若规定正品为“1”，次品为“0”，那么抽取一件的结果，就可以用一个随机变量X来描述。现有产品m+n件，其中正品m件，次品n件，问X的分布列是什么？
三、几种常见离散型随机变量的概率分布
3、独立重复试验与二项分布
（1）独立重复试验
三、几种常见离散型随机变量的概率分布
例5 某射手在一定条件下，独立地向目标连续射击4次，如果每次击中目标的概率为，求
①恰好中三次的概率；②至少击中三次的概率。
三、几种常见离散型随机变量的概率分布
例5 某射手在一定条件下，独立地向目标连续射击4次，如果每次击中目标的概率为，求
①恰好中三次的概率；②至少击中三次的概率。
三、几种常见离散型随机变量的概率分布
例5 某射手在一定条件下，独立地向目标连续射击4次，如果每次击中目标的概率为，求
①恰好中三次的概率；②至少击中三次的概率。
三、几种常见离散型随机变量的概率分布
（2）二项分布
在n次独立重复试验（n重贝努里试验）中，若以X表示事件A出现的次数，则X是一个随机变量，它所有可能取值为0，1，2，…，n，其分布列为
则称X服从二项分布。简记为X～B（n,p）
三、几种常见离散型随机变量的概率分布
三、几种常见离散型随机变量的概率分布
例9 某厂试制新产品，此新产品试验成功的概率为，独立试验10次，问10次试验恰有8次成功的概率是多少？
解：将每次试验看作一次随机试验，其结果只有两种可能，即成功或失败，而成功的概率为，即p＝，连续10次试验即10重贝努力里实验。设成功的次数为X，则X服从参数为n=10，p＝的二项分布，即X～B（10，）故
三、几种常见离散型随机变量的概率分布
例10 某银行办事处，办理有奖储蓄，每100，000张储蓄券为一组，其中设特等奖1张，一等奖10张，二等奖100张，三等奖1000张，其余无奖，某人持有三张储蓄券，试写出中奖张数的概率分布。
解：由题设，买到一张储蓄券中奖的概率p＝，不中奖的概率q=1－p=，
中奖张数为一个随机变量X，则X～B（3，）
三、几种常见离散型随机变量的概率分布
例11 某人进行射击，设每次击中的概率为，独立射击400次，试至少击中两次的概率是多少？
解：这是一个独立重复试验概型，设击中的次数为X，则它服从参数为n=400，p=0。02的二项分布，即X～B（400，）其概率分布为
练习1 某类灯泡使用时数在1000小时以上
的概率是，求三个灯泡在使用1000
小时以后最多只有一个坏了的概率.
解: 设X为三个灯泡在使用1000小时已坏的灯泡数 .
X ~ b (3, )，
把观察一个灯泡的使用
时数看作一次试验,
“使用到1000小时已坏”
视为事件A .每次试验,
A 出现的概率为
P{X 1} =P{X=0}+P{X=1}
=()3+3()()2
=
三、几种常见离散型随机变量的概率分布
分析
这是不放回抽样.但由于这批元件的总数很大, 且抽查元件的数量相对于元件的总数来说又很小,因而此抽样可近似当作放回抽样来处理.
练习2
三、几种常见离散型随机变量的概率分布
解
三、几种常见离散型随机变量的概率分布
注意：P(X=4)最大。
三、几种常见离散型随机变量的概率分布
一般地，若在k0处，概率P{X=k}达到最大（称
k0为随机变量X的最可能值）。则k0应满足
解上述不等式得(n+1)p-1≤ k0 ≤ (n+1)p 。因为k0必须为整
数，所以
当(n+1)p为整数，
其它，
本例中，n=20，p=, 所以，(n+1)p=, 故k0=4。
三、几种常见离散型随机变量的概率分布
练习3 设有80台同类型设备,各台工作是相互独立的发生故障的概率都是 ,且一台设备的故障能由一个人处理. 考虑两种配备维修工人的方法 , 其一是由四人维护,每人负责20台; 其二是由3人共同维护台80.试比较这两种方法在设备发生故障时不能及时维修的概率的大小.
解
按第一种方法
发生故障时不能及时维修”,
而不能及时维修的概率为
则知80台中发生故障
三、几种常见离散型随机变量的概率分布
故有
即有
三、几种常见离散型随机变量的概率分布
按第二种方法
故 80 台中发生故障而不能及时维修的概率为
三、几种常见离散型随机变量的概率分布
三、几种常见离散型随机变量的概率分布
4、泊松分布
泊松分布是1837年法国数学家泊松（Poisson）作为二项分布的近似计算机引入的。近年来日益显示其重要性，即它不仅是二项分面的泊松近似，它本身就是一种重要的分布。
三、几种常见离散型随机变量的概率分布
定理1：
三、几种常见离散型随机变量的概率分布
证
记
三、几种常见离散型随机变量的概率分布
二项分布 泊松分布
三、几种常见离散型随机变量的概率分布
例12 在本节例11中，如果射手命中率是，连续射击400次，击中至少两次的概率为
三、几种常见离散型随机变量的概率分布
例13 已知某段时间内每一纱锭上的断纱率为，一个女工看管1000个纱锭，求在这段时间内断纱次数不超过10的概率。
三、几种常见离散型随机变量的概率分布
例14 某商店出售某种贵重商品，根据以往经验，每月销售量X服从参数λ＝3的泊松分布，问在月初进货时要库存多少件此商品，才能以99％的概率充分满足顾客的需要？
练习1 独立射击5000次, 命中率为,
解 (1) k = [( n + 1)p ]
= [( 5000+ 1)] =5
求 (1) 最可能命中次数及相应的概率；
命中次数不少于1 次的概率.
(至少命中1次的概率)
三、几种常见离散型随机变量的概率分布
(2) 令X 表示命中次数, 则 X ~ b(5000,)
三、几种常见离散型随机变量的概率分布
解 令X 表示命中次数, 则
令
此结果与用二项分布算得的结果仅相差万分之一.
利用Poisson定理再求例12 (2)
X ~ b( 5000, )
三、几种常见离散型随机变量的概率分布
由此可见日常生活中“提高警惕, 防火防盗”的重要性.
由于时间无限, 自然界发生地震、海啸、空难、泥石流等都是必然的，早晚的事，不用奇怪，不用惊慌.
同样,由于人的一生是一个漫长的过程，在人的一生中发生车祸、失恋、患绝症、考试不及格、炒股大亏损等都属于正常现象, 大可不必怨天尤人, 更不要想不开而跳楼自杀.
小概率事件虽不易发生，但重复次数多了，
就成大概率事件.
本例
启示
三、几种常见离散型随机变量的概率分布
三、几种常见离散型随机变量的概率分布
5、超几何分布
三、几种常见离散型随机变量的概率分布
因此，当N很大而n很小时，超几何分布可用二项分布
来近似。比如，在抽样理论中。
（1）有放回抽取，抽取的次品数是服从二项分布。
（参数n为抽取数，p是次品率）
（2）无放回抽取，抽得的次品数是服从超几何分布。
（N为产品总数，M为次品总数，n是抽取数）
三、几种常见离散型随机变量的概率分布
例12 一批产品共100件，其中20件是一级品，检查产品质量时，从中任取5件（不放回），求这5件中是一级品数的概率分布。
练习题
